1．1．1正弦定理
课上讲解：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
ab
sinsinsin
AB
其中R为三角形外接圆半径。
2.正弦定理的基本作用：
c
C
=2R
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
a
bA
sin
sin
B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
sinsin
AB
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3.常用变形：
①
ABC
②
sin(AB)sinC,cos(AB)sinC
③
SabsinC
abc
a
b
1
2
题型一：已知两角和一边（唯一确定）
例1. 已知在.
ABC中，c10,A45,C30,求a,b和B
变式练习1：
1.已知ΔABC，已知A=60，B=30，a=3；求边b=（）:
A.3 B.2 C. D.
3
2
2.已知ΔABC 已知A=45，B=75，b=8；求边ａ＝（）
A.8 B.4 C.4-3 D.8-8
33
3.已知a+b=12，B=45，A=60则a=_____，b=_____
题型二：已知两边和其中一边所对的角（两种情况，由y=sin x的性质决定）
例2.在
ABC中，b3,B60,c1,求a和A,C
变式练习1：
ABC中，c6,A45,a2,求b和B,C
00
00
00
00
0
0
变式练习2：
ABC中，a2,A135,b3,求B
0
变式练习3： 在中，已知角，则角A的值是
ABC
B45，c22,b
43
3
A. B. C. D.或
15751057515
变式练习4：在中，若，则A= 。
ABC
B60，b76,a14
题型三：外接圆问题
例3. 试推导在三角形中===2R其中R是外接圆半径
abc
sinAsinBsinC
abc
k
,则为( ) 变式练习1：在△中，
kABC
sinAsinBsinC
1
A2BC4D(为△外接圆半径)
R R R RABC
R
2
变式练习2：在中，，则为 （ ）
ABC
A20,B40,c5
2R
oo
A、 B、 C、 D、
103
3
10
52102
变式练习3：在中， （ ）
ABC
A、 B、
sinAsinB
C、 D、
sin(AB)cos(AB)
ab
cosBcosA
2R2R
sin(AB)
变式练习4：设△的外接圆半径为，且已知＝4，∠＝45°，则＝________．
ABCRABCR
题型四：比例问题
例4.在中,已知判断的形状．
ABCABC
变式练习1：已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
coscos
aAbB
变式练习2：△中，sin= sin+sin，则△为( )
ABCA B CABC
A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形
abc
,
cosAcosBcosC
222
变式练习3：在三角形ABC中，A为锐角，，则三角形ABC
lgblglgsinAlg2
是 （ ）
1
c
A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形
例5.在中，三个内角之比，那么等于____
ABCA:B:C1:2:3a:b:c
变式练习1：在△中,
ABC
若A30,B60,则a:b:c
变式练习2：在△ABC中,A:B:C=4:1:1,则a:b:c= ( )
A 4:1:1 B 2:1:1 C :1:1 D :1:1
2
3
变式练习2：在中，B=135，C=15，a=5则此三角形的最大边长为_____
ABC
变式练习3：已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边
长分别为________
变式练习4：在△ABC中, 6:5:4，则(2b+c):(3c+a):(a+4b)
sinA:sinB:sinC
00
=_______________
变式练习5：△的三个内角、、所对的边分别为、、，
ABC
AB
C
ac
b
asinAsinBbcosA2a
2
．求
b
a
例6.在中，已知，求的度数
ABCb2csinBC
变式练习1：在△中，若 = 2sin ，则∠为( )
ABCab AB
3
A. B. C.或 D.或
πππ5ππ2π
366633
ABC
技巧的应用：
例7.在△中，，，分别为角 ，，的对边，且.
ABCabcABC
4sincos2A
2
(1)求∠的大小；
A
(2)若 =， + = 3，求和的值.
abcbc
3
变式练习1：△中，若 sin( + )sin( - )= sin ，则△是( )
ABCABABCABC
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
变式练习2： 若△的三内角，，满足 sin 2sincos ，则△为
ABCABCACBABC
_______三角形.
变式练习3：已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若1=2
a=,b=, A+CB,
3
则sinC= .
变式练习4：在中，，
ABC
sin(CA)1,sinB
2
BC7
22
1
3
1）求的值；
sinA
2）设,求的面积.
AC6
题型五：面积问题
例8.在△中，,则三角形ABC的面积为
ABC
AB6,A30,B120
变式练习1：在△中， = 8， =，=，则∠等于( )
ABCbcS A
ABC
83
△
163
A. 30 º B. 60º C. 30º 或 150º D. 60º 或120º
变式练习2：已知△中，＝6，∠＝30°，∠＝120°，则△的面积为
ABCABABABC
( )
ABC
A．9 B．18 C．9 D．18
33
变式练习3：若△的三边长分别为4，5，7，则△的面积 ， 内切圆半径
ABCABC
.
变式练习4： 如图△中，点在边 上，且2，1，∠60°，∠150°，
ABCDBCBD = DC = B = ADC =
求的长及△的面积.
ACABC
提高题：
1.如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
高考真题：
1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在中，角所对的边分别为.若
ABC
B
BDAB
DCAC
A
D C
A,B,C
a,b,c
acosAbsinB
，则
sinAcosAcosB
2
2、（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16）在中，，则
VABC
B60,AC3
的最大值为 .
3、（2011·北京高考理科·T9）在中，若，则 ；
ABC
b5,B,tanA2
o
AB2BC
4
sinA
4、（2011·北京高考文科·T9）在中，若，则= .
ABC
b5,B,sinA
1
a
43
5、(2009·广东高考)已知△中，∠，∠，∠的对边分别为，，.若＝＝6＋
ABCABCabcac
2，且∠＝75°，则＝
Ab
6、在锐角△中，＝1，＝2，则的值等于______，的取值范围为________．
ABCBCBAAC
cos
A
7、在△中，已知2sincos＝sin，那么△一定是 三角形
ABCABCABC
AC
8、.在△中，＝3，＝1，＝，则△的面积等于
ABCABACBABC
6
9、锐角△中，若＝2，则的取值范围是 ；
ABCAB
π
a
b
10、(浙江高考)在△中，角，，所对的边分别为，，，且满足cos＝·，
ABCABCabc
25
ruuu
A
25
uuur
AB
AC
＝3.求△的面积
ABC
11、已知，，为△的三个内角，，的对边，向量＝(3，－1)，＝(cos，
abcABCABCmnA
sin)，若⊥，且cos＋cos＝sin，则角＝________.
AmnaBbAcCB
12、（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，
ABC
a=，b=，，求边BC上的高
3
2
12cos(BC)0
.
13.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）△的三个内角，，
所对的边分别为、、，．求；
14、（2011·山东高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）
ABC
AB
C
a
ac
b
asinAsinBbcosA2a
2
b
在中，内角的对边分别为.已知.求的值；
△
ABCA，B，Ca，b，c
cosA-2cosC2c-a
=
sinC
cosBb
sinA
15、（2011·湖南高考理科·T17）（12分）在角A，B，C所对的边分别为a,b,c，
ABC中，
且满足csinA=acosC.
（1）求角C的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.
3sinAcos(B)
16、（2011·浙江高考理科·Ｔ18）（本题满分14分）在中，角所对的边
ABCA，B，C
4
分别为a,b,c.已知且. （Ⅰ）当
1
2
sinAsinCpsinBpR,
acb
4
5
p,b1
时，求的值；
a,c
4
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