哥廷根学派

2．以哥廷根学派为中心的黄金时期

(1918一1933)

从第一次世界大战结束，到1933年希特勒法西斯上台，世界的数学中心在德国的哥廷根大学。

在哥廷根学派的带动下，出现了20世纪数学发展的一段黄金时期。

哥廷根是德国的一座小城，以哥廷根大学而著名。大数学家高斯(Gauss，1777一1850)曾长

期在此工作。1886年，F．克莱因(K1ein，1849—1925)来哥廷根任教授并主持数学系，遂延

请希尔伯特、闵可夫斯基来校执教，不久就成世界数学中心。第一次世界大战结束时，德国

虽是战败国，但数学的元气未伤。法国在大战中损失了一代大学生，巴黎高师的学生名册上

布满了黑框。在20世纪20年代，法国几乎是函数论王国，很少有新学科产生。一个例外是E．嘉

当(Canan，1869一 1951)，他在李群表示、外微分方法、活动标架法、微分方程组的研究上

有独到的见解，成为日后微分几何的经典性工作，可惜当时末受到充分重视。英国继续维持

哈代的分析学派，没有新的突破。20世纪20年代的美国数学，还远远落后于西欧，苏联、东

欧诸国的数学刚刚起步。尽管优秀数学家遍布欧洲和世界各地。哥廷根却是公认的世界数学

中心。

在20世纪20年代，克莱因已经退休，希尔伯特也已老了。闵可夫斯基则因病在1909年去世。

但是，新人不断在成长。希尔伯特的继承人是H．外尔(Weyl，1885一1955)。他是全才的数

学大家，他创立的学科数不胜数，例如，数论中的一致分布理论、黎曼曲面、微分流形、算

子谱论、偏微分方程、胞腔概念、规范理论、李群表示、数学物理等等，都在他的手中得到

改观。

克莱因的继承者是R．柯朗(Courant，1888一1971)。他专长分析，在数学物理方程、差分方

法、变分学等领域都有创造性的工作，尤其具有行政组织能力；1929年，柯朗任哥廷根数学

研究所所长。20世纪最伟大的女数学家E．诺特(Noether，1882—1935)在哥廷根完成一般理

想论，创立了抽象代数学科。

冯·诺依曼曾是希尔伯特在数学基础研究上的助手。

20世纪20年代，苏联数学学派开始倔起，鲁金(Lusin，1883一1950)和叶戈洛夫(Egorov，1869

—1931)领导的函数论群体，出现了像柯尔莫哥洛夫(Ko1mogorov，1903—1987)、亚历山大

罗夫(AIexandrov，1896一1982)那样著名的数学家。他们都和哥廷根有密切联系。柯尔莫哥

洛夫常到哥廷根访问，他的成名作《概率论的基本概念》[4]，用测度论和实变函数论方法，

把概率论建立在完全严格的基础上。此书最初是用德文写成并发表的。亚历山大罗夫则E．诺

特联系密切。诺特对亚历山大罗夫建立代数拓扑学有关键性的建议。第一次世界大战之后，

波兰数学发展迅速。这一学派的中坚人物，如西尔宾斯基(Sierpinski,1882—1969)、斯坦

因豪斯(Stein— hauss，1887一1972)都深受哥廷根学派的影响。

在20世纪20年代，量子力学的诞生，是物理学的又一场革命。哥廷根及时为量子力学提供了

数学框架。冯·诺依曼的《量子力学的数学基础》，外尔的《群论与量子力学》成为一个时

期的经典著作。[5]

这一时期数学成就的特色是：无限维空间、抽象的代数方法、几何上的大范围整体性质，显

示出与19世纪的数学在研究对象和研究方法上有了根本的差别，而以三个数学新分支的形成

为重要标志：

（1）泛函分析

它起源于希尔伯特的抽象积分方程理论，其中使用了由无限维正交系所生成的完备空间，现

在称之为希尔伯特空间。冯·诺依曼正是利用这一理论为量子力学提供了数学框架(1929年)。

此外，波兰的S．巴拿赫(Banach，1892—1945)提出了赋范空间，发展了其上的算子理论。

（2）抽象代数

以E．诺特于1926年发表的一般理想论为主要标志。在汉堡大学的E．阿丁(Artin，1898—1962)

也做出了开创性的工作。范·德·瓦尔登(Van．der Waerden，1903一)于1932年出版的《代

数学》是抽象代数早期工作的总结。

（3）拓扑学

其基本思想可导源于庞加莱于1896年所写的《位置分析》。由于康托集合论的影响。研究数

列和函数各种收敛性的点集拓扑学随之产生，其代表作是德国数学家豪斯多夫(Haussdorf，

1868一1942)于1913年完成的《集论纲要》。但是，意义更为重大的几何拓扑学由苏联的亚历

山大罗夫和瑞士的H．霍普夫(Hopf，1894一1971)合作完成。他们合写的《拓扑学》(1935

年)是拓扑学最早的经典著作。与此同时，美国的S．莱夫谢兹(Lefchetz，1884一1972)，J．W．亚

历山大(Alexander，1888一1971)和H．M．莫尔斯(Mor，1892—1977)分别以拓扑不动点理

论，曲面同调论和临界点理论为拓扑学增色。在20世纪20年代的美国，拓扑学的研究是在世

界上领先的少数学科之一。1930年，比利时的德·拉姆(De Rham，1903一1969)给出高维

微分流形上微分形式和上同调性质的关系，是一项重要的成就。

1933年，柏林大学、哥廷根大学等德国一流大学的校园内贴出告示，让一切犹太人离开学校。

德国数学就此被断送。