常数列不平常,求通项很好用

非零常数列虽然很简单，但在某些递推数列中巧妙地运用，能起到事半功倍的效果；巧妙树立递推的“形式”，

建立递推的“内涵”是很重要的．常数列是等差数列、等比数列的“融合体”，除了解决常规转化等比、等差关系的数

列递推，还能解决不能用等差、等比关系解决的一些特殊递推数列．

无穷数列ａ，。，ａ，…，称之为常数

列．常数列的通项为ａｎ＝ａ，ｎ∈Ｎ ，用

证明 ，ｎ≥２ 拳 Ｏｎ－Ｉ，

①｛ ②｛ 旷，

Ｉ ｌ

递推式表示： ａｎ

＋ｌ＝

ａｎ

，

若口≠０，则

ｎ＞１２，显然数列｛【 ｝为项是 的常

ａ ∈Ｎ

１＝０．ｎ。∈ ．

：

ｑ ｊ ｑ

．

ｎ

此时的常数列既是公差ｄ＝０的等差

数列．反之也亦然．

③／ ａ￣＝ ｎ ④薯 ’

数列，又是公ｌ：Ｌｑ＝ｌ的等比数列．虽

ｆ 卅１ ｆ ２

然非零常数列很简单，但在某些递

⑤｛ ％⑥｛‰ 而 ’

巧用常数列递推解决一些

【 】＝Ｉ２； 【 】：１．

推数列中巧妙地运用，能起到事半

特殊递推关系的数列

功倍的效果；巧妙树立递推的“形

解析 ①因为 １＝％＋ １ ［（肿

例１设正项数列｛ ｝的首项为

式”．建立递推的“内涵”是很重要的．

ａｌ＝１，满足：（凡＋１） ＋１一ｎ ＋ｃ １ｎａ＝Ｏ，

１）一（ｎ—１）］，所以 ＋１一— １ ｎ（ｎ＋１）＝

一

则它的通项公式是 一

（ 巧用常数列转化等差、等比

分析 ［（ｎ＋１）ａｎ￣１一ｎｃ ］（ａｎ￣１＋（ ）＝

１

・

（ｎ一１）

数列的定义

０，ｄ￣ａｎ＞Ｏ得（ｎ＋１）ａｎ￣１＝ｎａｎ，所以，数列

化归思想是数列学习的重要思

｛ｒ ｌ为项是１Ｘａ１＝ｌ的常数列，ｇｌ￣ａｎ＝

②因ｆｉｔ２／Ｚ２＝ｎ（ｎ＋１） ： １［ （ ＋

想．通过一些特殊的递推关系将数

．

ｎ仨Ｎ

列转化为两个基本数列——等差数

ｎ

１）．（ｎ＋２）一（ｎ一１）ｎ（ｎ＋１）］一 ［ｎ（ｎ＋

列和等比数列得到求解．其实，等差

例２（２００８年江西高考）在数

１）一（ｎ—１）ｎ］，所以 一＿１

数列与等比数列也可以转化为更简

＿ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋

单的常数列来求解，即非零常数列

歹０｛％｝中，。１：２，ｎａ＋ｌ＇－ｌＺｎａ＋１ｎｆ １＋１ １，贝０

＼ ｎ／

２）＋ １ （ ＋１）

＝ａｎ一了１（ 一１） （肘１）＋

是这两个数列的“融合体”．

％等于（ ）

结论１ 若等差数列｛ ｝中，首

Ａ．２＋ｌｎｎ Ｂ．２＋（ｎ一１）Ｉｎｎ

（ ）ｎ．。

项为 ，公差为ｄ，则数列｛％一 ｝是项

Ｃ．２＋ｎｌｎｎ Ｄ．１＋ｎ＋ｌｎｎ

为ａ 一ｄ的常数列．

分析 凑形％＋１一Ｉｎ（１＋ｎ）＝ａｎ—

＝一

证明 ％一ａｎ一１＝ｄ，ｎ≥２：＝＞ａｎ－ｎｄ＝

Ｉｎｎ，即数列｛ｎａ—Ｉｎｎ｝是项为２的常数

等＝ｎ！ Ｌｎ—ｌ Ｊ！ ・

ｌ一

（ｎ一１）ｄ，ｒｌ，≥２，显然数列｛ 一ｎｄ｝

列．选Ａ．

（ ） ＋１：—ａ

：

（ｎ＋１）！ ＋１＝ｎ！ａｎ．

ｎ＋１

为项是ａ 一ｄ的常数列．反之亦然．

说明 运用累加法思想或累乘

ｎ＋１

ｎａ＋ｌ

结论２若等比数列｛ｎａ｝中，首

法思想求解递推关系的数列，转化

＝

％

ｎ—ｌ ｎ十 １ ｎ一上

项为ａｌ公比为ｇ，则数列｛ ａｎ｝是项为

为常数列后求解比较简便．例如，已

ｊ ．： ．

知数列｛ｎａ｝，分别满足下列条件时递

（ｎ＋１）ｎ ｎ（ｎ一１）

的常数列．

推数列可转化为常数列的递推形

。

＠ａｎ＋ｔ＝ｏｄ＋

２

一 ＋ ＝

口

式：

咖