浙教版九年级上册第三章圆的基本性质 专题：圆内接四边形与正多边形

专题：圆内接四边形与正多边形

一．选择

1. ⊙OABCDBC=DC∠BOC=130°∠BAD

如图，的内接四边形中，，，则的度数是（ ）

A.120° B.130° C.140° D.150°

2. ABOCD.∠BOC=40°

如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点若，则

∠D

的度数为（ ）

A.100° B.110° C.120° D.130°

3. a=6cmb cm

如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（）

A 6cm B 12cm C 6cm D 4cm

．．．．

4. ABCD4EBD∠BAE=22.5°EF⊥AB

如图，正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为

点，则的长为（ ）

FEF

A.1 B.C.4-2D.3-4

5. ⊙1,,,,()

已知的半径为以它的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则

A.

这个三角形是锐角三角形

B.

这个三角形是直角三角形

C.

这个三角形是钝角三角形

D.

不能构成三角形

6. 1

以半径为的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的

面积是（）

A. B. C. D.

7. , ABCDEF⊙O,∠A+∠C+∠E(

如图六边形内接于则的值为）

A.90° B.180° C.270 D.360

8. ABCDEF△BCD4△BCF

如图，在正六边形中，的面积为，则的面积为（ ）

A.16 B.12 C.8 D.6

9. ABD∠ABC=50°∠DAB

如图，是半圆的直径，点是的中点，，则等于（ ）

A.55° B.60° C.65° D.70°

10. ⊙OABCDEF∠E=α∠F=β

如图，的内接四边形的两组对边的延长线分别交于点、，若，，

则等于

∠A( )

A. α+β B. C. 180°αβ D.

﹣﹣

11. ABCDEF2AB1

如图，正六边形的边长为，现将它沿方向平移个单位，得到正六边形

A′B′C′D′E′F′A′BCDE′F′.

，则阴影部分的面积是（ ）

A.3B.4C.D.2+

12. AB⊙OAD⊙OACEB

如图，已知是的直径，切于点，点是弧的中点，则下列结论不成立

的是

( )

AOC∥AE BEC=BC C∠DAE=∠ABE DAC⊥OE

．．．．

13. ABCDEFGHIJA′B′C′D′E′F′G′H′I′J′AA′

如图，平面上有两个全等的正十边形、，其中点与点

重合，点与点重合，则的度数为（ ）

CC′∠BAJ′

A.96° B.108° C.118° D.126°

14. ⊙OABCDEP∠CPD

如图，是正五边形的外接圆，是上一点，则的度数是（ ）

A.30° B.36° C.45° D.72°

15. △ABC∠ACB=90°BC⊙OACDABE

如图，在中，，过，两点的交于点，交于点，连接

EO⊙OF.BFCF∠EDC=135°CF=2AE+BE

并延长交于点连接，，若，，则的值为（ ）

22

A.8 B.12 C.16 D.20

二．填空题

16. ⊙CABCDEFAE∠APE____.

如图，经过正六边形的顶点，，则所对的圆周角等于

17. ABCD⊙O∠ABC=90°AD=3CD=2⊙O____.

如图，点，，，都在中，，，，则的面积是

18.△ABC⊙O∠BAC=120°AB=ACBD⊙OAD=12CD=

如图，内接于，，，为的直径，，则

_____

．

19. ABCDEAMN ______

如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则．

20. 12.

小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图所示，于是他绘制了如图所示的图形

图中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若所在

2PQ

的直线经过点，，小正六边形的面积为，则该圆的半径为

MPB=5cmcm____cm.

2

21. 4ABCDEFBCAMNPAMMN

如图，边长为的正六边形的顶点，分别在正方形的边，上，

CDPNHHN____.

与交于点，则的长为

三．解答题

22. ABCD⊙OAB=BDBM⊥ACM.AM=DC+CM.

如图，已知点、、、顺次在上，，于点求证：

23. BDCE△ABCFGDEBCO△ABC

如图，，是的两条高，和分别是和的中点，是的外

心．求证：．

AO∥FG

24. △ABCAB=ACAB⊙OBCDACE.

已知在中，，以为直径的交于点，交于点

（）当为锐角时，如图，求证：

1∠BAC1∠CBE=∠BAC.

（）当为钝角时，如图，的延长线与相交于点，（）中的结论是否仍然成

2∠BAC2CA⊙OE1

立？请说明理由

.

25. ⊙OABCDAB=AD∠C=120°E

如图，在的内接四边形中，，，点在上．

（）求的度数；

1∠E

（）连接、，当时，恰好为的内接正边形的一边，求的值．

2ODOE∠DOE=90°AE⊙Onn

26. ①ABCD⊙OEDEAE.

如图，正方形内接于，为上任意一点，连接，

（）求的度数；

1∠AED

（）如图，过点作交于点，连接若，，求的长

2②BBF∥DE⊙OFAF.AF=1AE=4DE.

27. ⊙OABCDEF.

如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点、

（）若，求证：；

1∠E=∠F∠ADC=∠ABC

（）若，求的度数；

2∠E=∠F=42°∠A

（）若，，且，请你用含有、的代数式表示的大小

3∠E=α∠F=βα≠βαβ∠A.

28. ABCD⊙O∠D=90°PCD.

如图，已知四边形内接于，，为上一动点（不与点，重合）

（）若，，求的半径；

1∠BPC=30°BC=3⊙O

（）若，求证：

2∠A=90°=.PB-PD=PC.

29. “”

某学习小组在探索各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形时，有如下探讨：

甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．

乙同学：我知道，边数为时，它是正三角形；我想，边数为时，它可能也是正五边形

35…

丙同学：我发现边数为时，它也不一定是正六边形．如图，是正三角形，弧、弧

62△ABCAD

BECFADBECF

、弧均相等，这样构造的六边形不是正六边形．

（）如图，若圆内接五边形的各内角均相等，则，请简要说明圆内接五

11ABCDE∠ABC=____

边形为正五边形的理由．

ABCDE

（）如图，请证明丙同学构造的六边形各内角相等．

22

（）根据以上探索过程，就问题各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形的结论与边数

3“”“n

（，为整数）的关系，提出你的猜想（不需证明）．

n≥3n”

30. 123…MN⊙OABCABCD

如图、图、图、，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形

ABCDE…nABCDE…ABBCBM=CNOMON.

、、正边形的边、上的点，且，连结、

（）求图中的度数；

11∠MON

（）图中的度数是，图中的度数是；

22∠MON____3∠MON____

（）试探究的度数与正边形边数的关系（直接写出答案）

3∠MONnn.

参考答案

1. --------------------------------------------------------------------------

答案：

B.

解：连接，

OD

∵BC=DC

，

∴=

，

∴∠BOC=∠COD=130°

，

∴∠BOD=360°-2×130°=100°

，

∴∠BCD=∠BOD=50°

，

∴∠BAD=180°-∠BCD=180°-50°=130°.

故选

B.

【解题方法提示】

分析题目先根据题意画出辅助线，如图，连接，此时你有思路吗？

OD

根据圆心角、弧、弦的关系由得，则，再利用周角定义计算出

BC=DC∠BOC=∠COD=130°

∠BOD=100°

；

再根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数

∠BCD=∠BOD=50°∠BAD.

2. --------------------------------------------------------------------------

答案：

B.

解：是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点，

∵ABOCD

∴ABCD⊙O

四边形是的内接四边形，

∴∠D+∠ABC=180°.

∵∠BOC=40°OC=OB

，，

∴∠ABC=(180°-40°)÷2=70°

，

∴∠D=180°-70°=110°.

故选

B.

【考点提示】

本题考查圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质，分析题意，确定出四边形是的内接四边形是解题的

ABCD⊙O

切入点；

【解题方法提示】

由已知条件可知四边形是的内接四边形，则圆内接四边形的对角互补，因此要求的度数，需求出

ABCD⊙O∠D

∠ABC

的度数；

由，，结合三角形内角和定理可求出的度数，从而进一步求出的度数

OC=OB∠BOC=40°∠ABC∠D.

3. --------------------------------------------------------------------------

答案：

C

【解答】解：设正多边形的中心是，其一边是，

OAB

∴∠AOB=∠BOC=60°

，

∴OA=OB=AB=OC=BC

，

∴ABCO

四边形是菱形，

∵AB=6cm∠AOB=60°

，，

∴cos∠BAC=

∴AM=6×=3cm

，

（），

∵OA=OC∠AOB=∠BOC

，且，

∴AM=MC=AC

∴AC=2AM=6cm

故答案为

C

，

（）．

【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其

2

半边所对的角是，再根据锐角三角函数的知识求解．

30°

4. --------------------------------------------------------------------------

答案：

C.

解：设

EF=x.

∵EF⊥AB

，

∴∠EFB=90°.

∵ABCD

四边形是正方形，

∴∠ABC=90°.

∵BDABCD

是正方形的对角线，

∴∠FBE=45°

，

∴△EFB

是等腰直角三角形，

∴FB=x

，

∴BE=x.

∵ABCD4

正方形的边长为，

∴BD=4.

∵∠BAE=22.5°∠BAD=90°

，，

∴∠EAD=67.5°.

∵∠EAD=67.5°∠ADB=45°

，，

∴∠AED=67.5°

，

∴AD=ED.

∵AD=EDAD=4

，，

∴ED=4.

∵BD=BE+EDBD=4BE=xED=4

，，，，

∴x+4=4.

，即解得

EF=4-2.x=4-2

故选

C.

【解题方法提示】

分析题意，首先设，由正方形的性质即可得到，进而可得是等腰直角三角形，所以有

EF=x∠ABC=90°△EFBBE=

x

；

接下来根据正方形的边长为，可得；

4BD=4

，，列方程求解即可结合角度间的关系可推出，再根据，

BE=xED=4.AD=ED=4BD=BE+EDBD=4

5. --------------------------------------------------------------------------

B

分别求半径为的圆内接正三角形正方形正六边形的边心距再利用勾股定理的逆定理判断．

1,,,

, 1,O,OB=1,∠OBD=30°

解：如图为正三角形的中心则

则边心距

OD= BO= ;

, 2,O,OB=1,∠OBE=45°

如图为正方形的中心则

则边心距

OE= ;

如图

3,

O,AB,OA=1,∠OAB=60°,

为正六边形的中心为边则

则边心距

OH= ;

∵OD

222

+OE =OH ,

∴

三角形是直角三角形．

故选．

B

6. --------------------------------------------------------------------------

【解答】解：如图，

1

∵OC=1

，

∴OD=1×sin30°=

如图，

2

；

∵OB=1

，

∴OE=1×sin45°=

如图，

3

；

∵OA=1

，

∴OD=1×cos30°=

，

则该三角形的三边分别为：、、，

∵

（）

222

+ =

（）（），

∴

、为斜边的直角三角形，该三角形是以为直角边，

× × = ∴

，该三角形的面积是

故选：．

D

【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾

股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．

7. --------------------------------------------------------------------------

答案：

D

8. --------------------------------------------------------------------------

答案：

C.

解：与同底，其高的比为，

△BCD△BCF1:2

∵△BCD4

的面积为，

∴△BCF8.

的面积为

故选

C.

【考点提示】

本题是关于正多边形与圆的题目，首先回想一下正六边形的性质有哪些；

【解题方法提示】

利用正六边形的性质可得出：与同底，其高的比为；

△BCD△BCF1:2

根据三角形的面积关系可知，的面积是面积的倍，据此问题得解

△BCF△BCD2.

9. --------------------------------------------------------------------------

答案：

C.

解：连结，如图

BD.

∵D

点是的中点，

∴=

，

∴∠ABD=∠CBD.

∵∠ABC=50°∠ABD=∠CBD

，，

∴∠ABD=×50°=25°.

∵AB

是半圆的直径，

∴∠ADB=90°

，

∴∠DAB=90°-25°=65°.

故选

C.

10. --------------------------------------------------------------------------

D

【解答】解：连结，如图，

EF

∵ABCD

四边形为圆的内接四边形，

∴∠ECD=∠A

，

∵∠ECD=∠1+∠2

，

∴∠A=∠1+∠2

，

∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°

，

∴2∠A+α+β=180°

，

∴∠A=

故选．

D

．

【分析】连结，如图，根据圆内接四边形的性质得，再根据三角形外角性质得，则

EF∠ECD=∠A∠ECD=∠1+∠2

∠A=∠1+∠2∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°2∠A+α+β=180°

，然后根据三角形内角和定理有，即，再解方程即可．

11. --------------------------------------------------------------------------

答案：

B.

解：连接，，过作于，

A′E′BDF′F′H⊥A′E′H

则四边形是矩形

A′E′DB.

∵ABCDEF2∠A′F′E′=120°

正六边形的边长为，，

∴∠F′A′E′=30°

，

∴F′H=1A′H=

，，

∴A′E′=2.

∵AB1

将它沿方向平移个单位，

∴A′B=1

，

∴A′BCDE′F′=S

阴影部分的面积

△A′F′E′A′E′DB△BCD

+S+S=2××2×1+1×2=4.

矩形

故选

B.

【解题方法提示】

连接，，过作于，得到四边形是矩形；

A′E′BDF′F′H⊥A′E′HA′E′DB

解直角三角形求出，，进而求得的值；

F′HA′HA′E′

最后根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论

.

12. --------------------------------------------------------------------------

解：、点是弧的中点，

A∵CEB

∴OC⊥BE

，

∵ABO

为圆的直径，

∴AE⊥BE

，

∴OC∥AE

，本选项正确；

B∵CEB

、点是弧的中点

∴BC=CE

，本选项正确；

C∵ADO

、为圆的切线，

∴AD⊥OA

，

∴∠DAE+∠EAB=90°

，

∵∠EBA+∠EAB=90°

，

∴∠DAE=∠EBA

，本选项正确；

DACOE

、不一定垂直于，本选项错误，

故选

D

13. --------------------------------------------------------------------------

答案：

B.

解：

∵

两个图形为全等的正十边形

∴CB′=AB′=AB=BC

，

∠ABC=∠AB′C==144°

∵CB′=AB′=AB=BC

，

∴ABCB′

四边形为菱形，

∵ABC B′

四边形为菱形，

∴∠BAB′=180°-144°=36°

，

∴∠BAJ′=∠B′AJ′-∠B′AB=144°-36°=108°.

故选

B.

【解题方法提示】

由正多边形的各边相等可得，即四边形为菱形，想想还能得到哪些性质

CB′=AB′=AB=BCABCB′?

由正边形每一个内角度数，可得；

n=∠ABC=∠AB′C=144°

，

=36°∠BAB′=180°-144°∠B′AJ′=144°∠BAJ′!

由，结合，即可求出的度数，试试吧

14. --------------------------------------------------------------------------

答案：

B.

解：

∵⊙O

正五边形内接于，

∴.72°

的度数为

.∠P=36°

由圆周角定理的推论可知

故选

B.

15. --------------------------------------------------------------------------

答案：

C.

解：连接、

BDOC.

∵BEDC⊙O∠ACB=90°∠EDC=135°

四边形是的内接四边形，，，

∴∠BED=90°.∠EBC=45°

，

圆内接四边形的对角互补

在中，

Rt△BEDBE=BD-ED.

222

∵∠BED=90°

，

∴△AED.

是直角三角形

∵∠EDC=135°

，

∴∠ADE=45°

，

∴△ADE

是等腰直角三角形，

∴AE=ED

，

∴BE

222

=BD-AE

，

∴AE

222

+BE=BD.

勾股定理

∵∠BED=90°

，

∴BD⊙O.

为的直径

直径所对的圆周角是直角

∵∠EBC=45°

，

∴∠EOC=90°∠EFC=45°

，，

∴△FOC.

是等腰直角三角形

等腰直角三角形的判定

∵CF=2

，

∴OF=OC=2⊙O2

，即的半径为，

∴BD=4

，

∴AE

222

+BE=BD=16.

勾股定理

故选

C.

【解题方法提示】

连接，由圆内接四边形的性质可得，，在中，由勾股定理可得，

BD∠BED=90°∠EBC=45°Rt△BEDBE=BD-ED

222

由圆的知识可知是的直径，则经过点；

BD⊙OBDO

由题目信息可得是等腰直角三角形，则，结合上步结论可得，即，问题

△AEDAE=EDBE=BD-AEAE+BE=BD

222222

转化为求的长；

BD

连接，由圆周角定理可得，由同弧所对的圆周角相等可得，则是等腰直角三角形，

OC∠EOC=90°∠EFC=45°△FOC

由的长可得的长，即得到圆的半径，进而可得直径的长，至此本题不难解答

CFOFBD.

16. --------------------------------------------------------------------------

.30°

答案：

解：

连接、，如图所示：

ACEC

∵ABCDEF

六边形是正六边形，

∴∠BCD=∠BAF=∠F=∠DEF=∠B=∠D==120°AB=BCCD=DE

∴∠BCA=∠BAC=(180°-∠B)=30°

同理，

∠ECD=30°

∴∠ACE=∠BCD-∠BCA-∠ECD=60°

，

∴∠APE=∠ACE=30°.

，

，，，

17. --------------------------------------------------------------------------

答案：

π.

解：连接，

AC

∵ABCD⊙O∠ABC=90°

点、、、都在上，，

∴AC

是直径，

∴∠ADC=90°

，

∵AD=3CD=2

，，

∴AC==

∴⊙Oπ×()

的面积是

【考点提示】

本题考查圆的相关知识，掌握圆周角定理是解题的关键；

2

=π.

，

【解题方法提示】

连接，点、、、都在上，，根据圆周角定理可得到是直径；

ACABCD⊙O∠ABC=90°AC

接下来根据勾股定理可得，进而求解的面积

AC=⊙O.

18. --------------------------------------------------------------------------

第空：

15

【解答】解：连接，，，，，为的直径，

OA ∵∠BAC=120°AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=30°∠D=60° ∵BD⊙O

∴∠BCD=90° ∴∠DBC=30° ∴∠ABO=60° ∵BO=AO ∴△ABO ∴BO=AB=5 ∴BD=10

，，，，是等边三角形，，，

∴CD=5 5

，故答案为：．

OA∠ABC=∠ACB=30°

【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得，根据圆内接四边形对角互

补可得，然后再证明是等边三角形，进而可得的长，从而可得长，然后可得长．

∠D=60°△ABOBODBCD

19. --------------------------------------------------------------------------

OA

解：连接，

五边形是正五边形，

ABCDE

，

是正三角形，

，

，

故答案为：．

连接，分别求出正五边形和正三角形的中心角，结合图形计算即可．

OAABCDEAMN

本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．

20. --------------------------------------------------------------------------

答案：

8.

解：设两个正六边形的中心为，连接，，过作，，

OOPOBOOG⊥PMOH⊥AB

.∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°

由题意得：

∵cm

小正六边形的面积为

∴7cmPM=7cm

小正六边形的边长为，即，

∴S

△MPN

=cm

2

.

2

，

∵OG⊥PMO

，且为正六边形的中心，

∴PG=PM=cm

，

=7cm.Rt△OPGOP=

在中，根据勾股定理得：

设，

OB=xcm

∵OH⊥ABO

，且为正六边形的中心，

∴BH=xOH=x

，，

∴PH=5-xcm

（），

x)+(5-x)=49Rt△PHOOP=(

222

，在中，根据勾股定理得：

解得（负值舍去），

x=8

则该圆的半径为．

8cm

【考点提示】

此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解本题的关键；

【解题方法提示】

设两个正六边形的中心为，连接，，过作，，由正六边形的性质及邻补角性质得到三

OOPOBOOG⊥PMOH⊥AB

角形三角形为等边三角形，由小正六边形的面积求出边长，确定出的长；

PMNPM

进而求出三角形的面积，利用垂径定理求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，

PMNPGOPGOP

设，根据勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果

OB=xcmx.

21. --------------------------------------------------------------------------

答案：

2-2.

解：在中，，，，

Rt△BCM∵AB=BC=4∠CBM=60°∠M=90°

∴∠BCM=30°

，

∴BM=BC=2

∴CM=2

，

，

∴AM=4+2=6.

∵AMNP

四边形是正方形，

∴MN=MA=6

，

∴CN=MN-CM=6-2

∵∠BCD=120°

，

∴∠HCN=30°.

∵∠M=∠N=90°

，

∴△BMC∽△HNC

，

∴

∴

∴HN=2-2.

，

，

，

【解题方法提示】

根据正方形和正六边形的性质结合已知可得，，，则根据直角三角形的性质可得

AB=BC=4∠CBM=60°∠M=90°

∠BCM=30°

；

由上步可得，根据勾股定理可得，由得到的长，再根据正方形的性质得出

BM=BC=2CM=2AM=AB+BMAM

MN

的长；

由可得出的长，由结合第一步可得，再结合可得

CN=MN-CMCN∠BCD=120°∠HCN=30°∠M=∠N=90°

△BMC∽△HNC

；

根据相似三角形的性质可得，据此得出的长

HN.

22. --------------------------------------------------------------------------

证明：在上截取，连接

MAME=MCBE.

∵BM⊥AC

，

∴BE=BC

，

∴∠BEC=∠BCE.

∵AB=BD

，

∴=

，

∴∠ADB=∠BAD.

∵∠ADB=∠BCE

，

∴∠BCE=∠BAD.

∵∠BCD+∠BAD=180°∠BEA+∠BCE=180°

，，

∴∠BEA=∠BCD.

∵∠BAE=∠BDC

，

∴△ABE≌△DBC

，

∴AE=CD

，

∴AM=AE+EM=DC+CM.

【重点难点】

本题重点考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心

.

角的一半同时考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质

..

【辅助线提示】

在上截取，连接，根据垂直平分线的性质，那么有，此时就将问题转化为证

MAME=MCBEAM=DC+CM=DC+EM

明；

DC=AE

【解题方法提示】

依据弦、弧的关系以及圆周角定理，可得以及，进行等量代换即可得；

∠ADB=∠BAD∠ADB=∠BCE∠BCE=∠BAD

再结合圆的内接四边形以及邻补角的性质，易得，从而可证出，得到，至此

∠BEA=∠BCD△ABE≌△DBCAE=CD

问题可解

.

23. --------------------------------------------------------------------------

【解答】证明：如图，连接和．

GDGE

∵∠BDC=∠BEC=90°BG=GC

，，

∴

，

又，

∵DF=EF

∴GF⊥DE

，

延长交于．

OADEH

∵∠BDC=∠BEC=90°

∴BCED

，，，四点共圆，，

即，

又，

∵OA=OB

∴∠EAH+∠AEH=90°

∴AD⊥DE

，

即

OA⊥DE

∴AO∥FG

．

【分析】根据，可判断出，，，四点共圆，然后利用同弧所对的圆周角相等且等于圆心

∠BDC=∠BEC=90°BCED

，，

角的一半可得出，，，结合可判断出，继而可得

出结论．

OA=OBOA⊥DE

24. --------------------------------------------------------------------------

解：（）连接

1AD.

∵AB

是直径，

∴∠ADB=90°AD⊥BC.

，即

∵AB=AC

，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.

∵∠CAD=∠CBE

，

∴∠CBE=∠BAC.

（）结论成立理由如下：

2.

连接

AD.

∵AB

为直径，

∴AD⊥BC.

∵AB=AC

，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.

∵∠CAD+∠DAE=180°∠CBE+∠DAE=180°

，，

∴∠CAD=∠CBE

，

∴∠CBE=∠BAC.

25. --------------------------------------------------------------------------

解析（）首先连接，由在的内接四边形中，，根据圆的内接四边形的性质，的度

1BD⊙OABCD∠C=120°∠BAD

数，又由，可证得是等边三角形，则可求得，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得

AB=AD△ABD∠ABD=60°

∠E

的度数；

（）首先连接，由，利用圆周角定理，即可求得的度数，继而求得的度数，继而求

2OA∠ABD=60°∠AOD∠AOE

得答案．试题解析：（）连接，

1BD

∵ABCD⊙O

四边形是的内接四边形，

∴∠BAD+∠C=180°

，

∵∠C=120°

∴∠BAD=60°

∵AB=AD

∴△ABD

，

，

，

是等边三角形，

∴∠ABD=60°

，

∵ABDE⊙O

四边形是的内接四边形，

∴∠AED+∠ABD=180°

，

∴∠AED=120°

；

（）连接，

2OA

∵∠ABD=60°

，

∴∠AOD=2∠ABD=120°

，

∵∠DOE=90°

，

∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°

，

∴n==12

答案

．

26. --------------------------------------------------------------------------

解：（）如图，连接，，

1①OAOD

∵ABCD

四边形是正方形，

∴∠AOD=90°

，

∴∠AED=∠AOD=45°.

（）如图，连接，，，过点作于点

2②CFCECADDH⊥AEH.

∵BF∥DEAB∥CD

，，

∴∠CDE=∠ABF.

∵ABCD⊙O

四边形是的内接正方形，

∴AC⊙O

为的直径，

∴∠AEC=∠CFA=90°.

∵∠AED=∠ACD=45°∠BFC=∠BAC=45°

，，

∴∠DEC=∠BFC=135°.

∵CD=AB

，

∴△CDE≌△ABF

，

∴AF=CE=1

，

∴AC==

∴AD=AC=.

，

∵∠DHE=90°

，

∴∠HDE=∠HED=45°

，

∴DH=HE

，

设，

DH=EH=x

在中，，

Rt△ADH∵AD=AH+DH

222

∴=(4-x)

22

+xx=

，解得或，

DH=.∴DE=

或

【考点提示】

本题是一道有关直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等的题目；

【解题方法提示】

所对的圆周角是，圆心角是

∠AED∠AOD.

∠DEC=∠AED+∠AEC.

AC=AD+DC=2AD.

2222

在中，利用勾股定理建立关于的方程

Rt△ADHx.

27. --------------------------------------------------------------------------

（）证明：

1

∵∠ADC△DCE∠ABC△BCF

是的一个外角，是的一个外角，

∴∠ADC=∠E+∠DCE∠ABC=∠F+∠BCF.

，

∵∠E=∠F∠DCE=∠BCF∠ADC=∠E+∠DCE∠ABC=∠F+∠BCF

，，，，

∴∠ADC=∠ABC.

（）解：

2

∵ABCD⊙O

四边形是的内接四边形，

∴∠ADC+∠ABC=180°.

∵∠ADC=∠ABC∠ADC+∠ABC=180°

，，

∴∠ADC=∠ABC=90°.

∵△ABE∠ABC=90°∠E=42°

在中，，，

∴∠A=48°.

（）解：连接

3EF.

∵ABCD⊙O

四边形是的内接四边形，

∴∠ECD=∠A.

∵∠ECD△CEF

是的一个外角，

∴∠ECD=∠CEF+∠CFE.

∵∠ECD=∠CEF+∠CFE∠ECD=∠A

，，

∴∠A=∠CEF+∠CFE.

∵∠A+∠CEF+∠CFE+∠AEB+∠AFD=180°∠E=α∠F=β

，，，

∴2∠A+α+β=180°

，

∴∠A=90°-.

28. --------------------------------------------------------------------------

解：（）连接

1AC.

∵∠D=90°

，

∴AC⊙O,

是的直径

∴∠ABC=90°.

∵∠BAC=∠BPC=30°

，

∴AC=2BC=6

，

所以的半径为；

⊙O3

（），

2∵∠BAD=90°

∴∠BCD=90°.

∵AC⊙O

为直径，

∴∠ADC=∠ABC=90°

，

∴ABCD.

四边形为矩形

∵=

，

∴AB=AD

，

∴ABCD

矩形为正方形，

∴BC=DC.

在上截取，连接，

BPBE=DPCEDP.

∵BE=DP∠CBP=∠PDCBC=DC

，，，

∴△BCE≌△DCP

，

∴∠BCE=∠DCPPC=CE

，，

又，

∵∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°

∴∠DCP+∠ECD=∠ECP=90°

，

∴△CPE

为等腰直角三角形，

∴PE=PC

，

PC.∴PB-BE=PB-PD=PE=

29. --------------------------------------------------------------------------

=540°1∵=5-2×180°

解：（）五边形的内角和（），

∴∠ABC==108°

，

，对着，理由：，对着

∠B ∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E∠A

，，即

∴-=-=

∴=

，

∴BC=AE