经典数学物理方程

毕业论文(设计)

题目名称： 经典数学物理方程（Equations

of Classical Mathematical Physics）

原 著: Hongzheng Xie

译 者： X X

院 (系)： 信息与数学学院

专业班级： 信息与计算科学10901班

指导教师：

时 间： 2012年12月 至 2013年3月

经典数学物理方程

Hongzheng Xie 著 陈旭 译

第一章

引言

1.1 数学物理方程

数学物理学是一门交叉性的学科．在物理学基本规律的基础上, 采用数学方法来

研究材料介质不断发展演化的过程．其目的就是为了用方程等式来描述一个理想状态

下的变化过程（即：不管那些对本质无影响的数量、质量的细节）．为了发明新的能

解决演化问题的方法，为了定性分析和定量分析事物的性质，在后者关于数学物理与

数学模拟和数值分析的方面，但在其最重要的方面是它的边界理论或甚至是实验性的

自然科学．

我们必须把我们的注意力集中在更精确的“宏观世界”的现象上来处理连续介质

上的演化问题．自从咋一眼看上去似乎与原子论的宇宙观不相容，但在这一点上的一

些关于连续介质的概念的论述是非常可取的．这些连续介质的概念与以下物理元素的

量有关．考虑一些在区域上的演变过程并设是一个以直径为度量的三

DR

KD

维凸子集,其中d为

(1.1.1)

这里是点到点的距离，固定，考虑为K的元素，假设是比的特征大

r

pq

dmaxmarx

pq

pKqK

3

pq

pK

d

D

小（即中包含的所有直径的上限）小很多,但是中的单个材料微粒的数量非常多，

DK

它们的大小与相比非常小．考虑中微粒的一些物理特性,即在时刻，中单个

d

KFK

t

ˆˆ

微粒的速度．设表示中所有质点微粒的速度的平均值，如果是

V

F(p,t)F(p,t)

KF

关于和的在中处处连续的函数，则中的介质是关于连续的，除了一些零测

p

t

DDF

度的三维点集即除了一些有限的面和一些有限的孤立点．如果关于问题演化过程的所

有物理量都是连续的，我们可以说介质属性是简单连续的．

自然过程可以划分，粗略的讲可以划分为三种：第一种是静止的过程，即系统的

状态与时间无关；第二种是随着时间的流逝不断演变的过程；第三种是相对保守稳定

的演变过程．

同一种过程中有着相似的基本规律在作用．例如傅里叶热传导定律、菲克扩散定

律和达西的液体通过多孔介质的低渗透是相同的,相当于变量的重新赋值．确实，正

如傅里叶定律所说：热量在一个各向导热均匀同性的导热体中传导，通过的表面

d



的法方向，在的时间内流过的热量是

n

dt

(1.1.2)

dqtTdd





n

这里是表示温度，负号表示热量流动的方向是温度降低的方向．所以导热率系数可

T

以假定为正数．

菲克定律认为溶质在一个各向同性扩散的溶液中传输的规律是在时间内，通

dt

过面元的法向的溶质为

d



n



(1.1.3)

dqDtCdd



n

这里表示溶液浓度．

C

最后达西定律认为大量的液体在多孔均匀介质中的渗透，通过面元的法向，

d



n

在时间内，渗透的液体量为

dt



(1.1.4)

dqKpddt

n



这里表示空隙压力，表示渗透系数，“~”表示变量时多维的．

p

K

所有的这些现象学规律用无穷小量来描述，有着同样的形式，不能对这些现象加

以区分．这就使得同时描述一个不同物理属性但属于同一类型的演变过程成为可能，

使得数学物理学成为一个万能的语言，一个连接不同学科如物理学，生物学，化学等

等的桥梁． 反映各种特性之间的相互关系的偏微分方程及其自然原型是非常深刻的，

有助于我们的研究，以前未知的数学现象相当频繁地通过寻找一种自然现象的解释的

方式来发现的，反之亦然，通过对对象属性的数学模型分析来预测自然现象．

一般来说，数学物理方程包括偏微分方程，常微分方程，积分方程，微积分方程，

这些方程都是从物理学，力学，天文学，化学，生物学和工程学中展现出来的．然而，

偏微分方程是主要内容，也是我们研究的主要课题．

1.2 基本概念和定义

偏微分方程

形如

,

f(x,x,,u,u,u,u,u,)0

12xxxxxx

这里

是相互独立的变量;

x,x,

12

121112

()

——独立变量的未知函数;

uu(x,x,)

12

——未知函数关于独立变量的偏导数，

u,u,u,u,

xxxxxx

121112

u

x,x,

12

xxDR,n2

12

n

这里为维欧几里得空间）——中的开区域．

RR

nn

n

D

方程的解

()

如果存在一个足够光滑的函数（即方程中出现的

uu(x,x,)

12

()

uu(x,x,)

12

及其偏导数在区域上存在，在中连续）, 在这样的在区域上满足方程的函

DD

D

()

数称为方程的解．

uu(x,x,)

12

()

例: 偏微分方程:

uuuy,

xyx

u2yu3xu4sinx,

xxxyyy

(u)(u)1,

xy

uu0,

xxyy

很简单的可以证明函数是方程

u(x,y)(xy),u(x,y)sin(xy)

3

uu0

xxyy

的解．

22

偏微分方程的阶

——有的关于的未知函数的偏微分中阶数最高的阶数．

u

例: 是一个二阶方程， 是一个三阶方程．

u2uuue

xxxyyy

y

uxu8u7y

xxyyy

线性方程: 所有的未知函数和他们的偏导数都是线性的，方程中所有的系数只依

赖于独立的变量．

拟线性方程: 所有最高阶的偏导数是线性的，但方程是非线性的．

非线性方程: 最高阶的偏导数是非线性的．

例: 是一个二阶的线性方程，是一个二阶

yu2xyuux

xxxyy

2

uuxuucosx

xxxy

拟线性方程，是一个二阶非线性方程．

(u)5ueuy

xyx

2y2

一般形式: 个独立变量的二阶线性偏微分方程是

n

i,j1i1



AuBuFuG

nn

ijxxix

iji

()

这里的和是仅仅依赖于个独立变量的函数．

AA,B,F

ijjii

G

n

齐次方程: 如果．

G0

N非齐次方程: 如果．

G0

偏微分方程的解是一般解，不同于普通的微分方程的解得依赖于一些常数．

例:

1º 这里和是一般的连

u0u(x,y)f(x)u(x,y)g(x)h(y)

xyx

g(x)

h(y)

续可微函数．

2º 假定和，我们就可以获得一般解：

uu(x,y,z)

u2

yy

u(x,y,z)yyf(,x)zg(,x)z

2

这里的和是一般的连续可微方程，和只有有限的线性独立函数的阶偏微分方程

f

g

n

不同，可以包含无限个线性独立函数．

例: 使用线性变换

uu0

xy





xy,







xy,

可以得到并获得一般解

2u0



u(x,y)f(xy),

这里是一般的连续可微函数，包含无数的函数例如：, ,

f(xy)sinn(xy)

(xy)

n

cosn(xy)expn(xy)

, , 这些函数都是线性无关的．

(n1,2,3,

1.3 线性算子

算子: 一种数学运算法则把一个函数变换成另一个函数．

例:

2232

uuuuu

2

, ,

L[u]M[u]x

232

xxyyxy

2232



2

LMx

这里和称为微分算子．

232

xxyyxy

, 和是常数

P[u]u(x,)F(,y)d





a

b

a

b

c)Q[u]u(x,u(x,c

, 是常数

x

c

这里是一个积分算子，是一个特殊的算子将有两个变量和的函数变成只有一

P

Q

x

y

个变量的函数．

x

如果算子 和作用在一个函数集上的任何函数，都能得到同样的结果，就称和

ABA

B

在这个集合上的是相同的算子，可用来表示．

AB

这样我们就有了

]A[u]B[u

．

两个微分算子与的和的定义为

AB

(AB)[u]A[u]B[u]

,

这里是一个函数．

u

两个算子与的复合是这样一个算子，它等价于和连续作用的算子）

ABBA

AB[u]A(B[u])

．

微分算子满足一下四个性质

(1) 加法的交换率

;

ABBA

(2) 加法的分配率

)(AB)CA(BC

;

(3) 乘法的分配率d

(AB)CA(BC)

(4) 乘法加法的分配率

A(BC)ABAC

除了上述的结果，在一般情况下,乘法的交换律是错误的．如果微分算子

ABBA

的所有系数是常数，则乘法的交换律是有效的．

例: 设



22

, ,

AxBy

22

(xy0)

xyyy

则

u

2

,

B[u]y

2

yy

uu

22

AB[u](x)(y)

22

xyyy

yxxyx.

uuuuu

xyxyyyy

22232

4332

但是

uu

22

BA[u](y)(x)

22

yyxy

xyxy,

uuuu

yxyyxy

22322

4332

则

AB[U]BA[u].

线性算子满足一下性质:

L[aub]va[L]ub[L]v

这里和是常数．

a

b

有两个变量的二阶偏微分方程的一般形式是

A(x,y)uB(x,y)uC(x,y)uD(x,y)uE(x,y)uF(x,y)uG(x,y),

xxxyyyxy

这里的是关于和的函数，是非齐次项．

A,B,C,E,F,G

x

y

G(x,y)

如果



222

LABCDEF

22

xxyyxy

则方程可以写成如下的形式

, or ．

L[u]G

LuG

第九章

调和函数基本性质

9.1 R上的凸函数，线性函数和凹函数

1

首先，我们介绍下单变量函数的一些简单性质．

这些属性推广到n维空间对关于椭圆边界值问题，涉及静电，静磁，牛顿引力理

论和连续介质力学理论的基本事实提供了重要的信息．

设 是定义在有限区间上的一个二阶连续可微函数．则有以下一些

u(x)u(x)

(a,b)

性质：



du

2

(1) 如果对所有的有（即在区间上是凸

x(a,b)

du/dx00



2

u(x)

(a,b)



dx

的（凹的）），并且在区间上连续，那么它的最小（最大）值会在此闭区间的端

[a,b]

22

点上取得，这个性质被称为弱极值原理．

(2) 如果是一个二阶连续可微函数，并且在区间上是凸的（凹的），在

u(x)

(a,b)

区间内部某点取得它的最小（最大）值，那么在区间上常数．这个

(a,b)(a,b)u(x)

属性被称为强极值原理．

(3) 设在区间上是凸的（凹的）、连续的且不恒等于常数，假设在

u(x)u(x)

(a,b)

区间的端点可导并在这取得最小（最大）值，则在这点上的内侧导数是严格

(a,b)

u

正的（负的）．这就是所谓的霍普夫引理．

1u(a)u(b)

b

u(x)dx

(4) 如果在区间上是线性的，可积的，那么，

u(x)

[a,b]

ba2



a

这个属性被称为中值定理．

(5) 如果是定义在某区间上的函数，且在区间上的每个闭子区间

u(x)

(A,B)(A,B)

上满足性质(9.1.1) ，那么是区间的线性函数，这种断言被称为逆平均值原

u(x)

(A,B)

理．

(6) 线性函数到边界的间隔，它的线性磁通量等于零．即

u(x)

(a,b)

(9.1.2)

(7) 设定义在R的有界线性函数，

u(x)

1

．

那么

u(x)

常数． (9.1.3)

dd

u(b)ua()0

dxdx

这个性质被称为刘维定理．

(8) 区间上的任何线性函数是解析的．

(a,b)

所有这些结论和它们各自的名称仍然有效即成立对于类似的在多维空间R中的

n

凸函数，线性函数和凹函数．关于他们的严谨的叙述在本章中给出．

9.2 多维区域中的超调和函数、调和函数和次调和函数

设是R中的一个点，是矩形的笛卡尔系坐标，为

p(x,x,,x)(x,x,,x)

12n12n

n

D

R的一个区域．

n

定义：函数相应的被称为超调和、调和、次调和的，如果

u(p)C(D)

2

u(p)0u(p)0u(p)0,

, , (9.2.1)

这里是拉普拉斯算子：





2

在R中，和 是某区间，那么



2

D

D{x|axb}

x



du

2



超调和if0,x(a,b),

dx

2



du

2



是 (9.2.3)

u(x)



调和if0,x(a,b),

2

dx





du

2



次调和if0,x(a,b).

2

dx



1



2

udiv[grad(u)]u



2

(9.2.2)

k1

x

k

n

从而，在一维的情形下，凸函数是超调和的，线性函数是调和的，凹函数是次调

和的．我们现在把第9．1节中(1)~(8)的结论推广到维的情形，并证明之．

n

定理 9.2.1（弱极值原理）． 设函数在区域中是超调和的（次调和的）且

u(p)

D

在区域上连续，则函数在区域的边界Σ上的某些点上取得最小值（最大值）．

D

u(p)

D

证明：设在区域上超调和且在闭域上连续．

u(p)

D

D

, (9.2.4)

u0

pD

那么结论的正确性是显然的，确实，设

up()Mminmiunp()m

(9.2.5)

ppD

根据维尔斯特拉斯定理，任何在闭区域上的连续函数都有最小值，故存在一点

D

qD

使得



2

u(q)mu(q)0,i1,2,,nu(q)0,

2

x

(9.2.6)

这与（9.2.4）矛盾，故要证定理只需证当且仅当在区域中存在一点使得．在

D

u0

这样的情形下，可以使用辅助函数的方法．

(9.2.7)

u(q)m,

qD

设为区域的直径，即为

d0

D

dsupr

ps

(9.2.8)

pD,s

引入辅助函数

()v(p)upr

(9.2.9)

Mm

2

pq

2d

2

根据（9.2.5）和（9.2.8），

, , ． (9.2.10)

v(p)v(p)m

MmMm

p

22

故在区域内的某些点取得最小值．这意味着

v(p)

D

． (9.2.11)

v(p)0

0

另一方面，对于每个，我们有

pD

Mm

2

2nv(p)up()n0r

2

, (9.2.12)

pq

d

根据的超调和性，由于（9.2.12）与（9.2.11）矛盾，故假设（9.2.5）是不成立．

u

推论 9.2.1. 调和函数在调和区域的边界取得最大值和最小值，因为任何调和函

数同时是超调和函数和次调和函数．

推论 9.2.2. (泊松方程在有界区域的狄利克雷问题的解的唯一性定理)． 设

u(p)C(D)C(D)

2

且满足狄利克雷问题．

u(p)



u(p)f(p)0,pD

(9.2.13)及(9.2.14)





u(p)(p),p,



如果存在这样的，则它是(9.2.13~9.2.14)的唯一解．

u(p)

证明：假设方程(9.2.13)~(9.2.14)存在两个解和，设

u(p)u(p)

12

． (9.2.15)

u(p)u(p)u(p)

12

则且满足以下条件

u(p)C(D)C(D)

2



u(p)0,pD,

(9.2.16)及(9.2.17)





u(p)0,p.

根据推论9.2.1

,

minup()mauxp()0p,D

即，推论9.2.2得证．

u(p)0

定理 9.2.2. 假设且满足

u(p)C(D)C(D),

2

)00u(p)c(p)u(p(c(p))

,

pD.

则能在Σ上取得正最大值（如果存在）和负的最小值（如果存在）．

u(p)

这个定理得证明与定理9.2.1的证明十分类似，我们这里省略．

备注． 条件是非正的是关键的，例如，设

c(p)

, , (9.2.18)

u(x)sinx()x(,)



我们有



du

2

u0,x(,),







dx

2

(9.2.19)及(9.2.20)





u()u()0,u()1,u()1.







22

即不是在区间的端点上取得正最大值和负最小值而是在它的内部，因

u

(,)



此，在这个例子中，定理得结论是错的．

现在，考虑在不同的形式给出的拟线性椭圆算子

A[u]div[k(u,p)gradu]V(p)gradu

, , , (9.2.21)

pD

uC(D)C(D)

2

这里是区域中的连续向量．

V(p)

D

假设满足不等式

k(u,p)

k0k(u,p)

0

, , , (9.2.22)

pD

uC(D)

2

且存在常数使得

N

, ． (9.2.23)

grad(k,u)pN

uC(D)

2

则以下定理类似于拉普拉斯算子的弱极值原理是正确的．

定理9．2．3．假设条件(9．2．21)~(9．2．23) 有

, ,

mmaxu(p)Mmaxu(p)

ppD

up()m,[Mminmuinp]()

(9.2.24)

ppD

(p)]0)A[u(p)]0(A[u

，，则 如果

pD

． (9.2.25)

Mm