有理数的加减乘除运算

有理救的加减泵除运算

—、冃标认知

学习标：拿提冇理数的加比法则，会使用运算律简算；并能鮮决简单的卖际问題。拿握 冇理数的减出出则

E

和运算枝巧.认识减法与加比的亦联糸.合理运算。

余点：冇理数的加比法则.减出比刪.乘出出则.除法法则。冇理数的加比结合律.交换 律；乘比交换律.结合律.

乘比分配律。混仝运算的顺序。

农点：冇理欽运算由刪的理解，尤其是冇理数加出和减法出则的理鮮；冇理数运算中的符 号问題；运用运算律

进行简算问題；运算的准确性问題寻。

二.知识要点核理

知钗点一：甫理數的加法:把两个冇理救合成一个冇理散的运算叫做冇理散的加比。

要点连转：和加的両个冇理散冇以下几科侑况：(])両数都是正救；鬲数却是负救； 冋數异号，即一个

(2)(3)

是正数，一个是负数； 一个是正数，一个是 一个是

(4)(5)

0；

负散，一个是両个都是。

0； 0

(6)

知识点二：有理數如廉出則

根据冇理数的加出出则.两数相加，丸弄请这而个加散是同号还是异号，抿据比则确主 和的符号.然后根

握法刪求出和的绝对值。

要点诠年：丿同号而数扣加，取相同的符号，并把绝对值相加。

(1

(2)

绝对值不相等的异号而救相加，取绝对值较大的加救的符号，并用较大的绝对值 减去较小的绝对

值。互为相反数的两个数相加得。

0

(3)

一个救同相加，仍得这个数。

0

知识点三：有理敎加法的运算文律

要点栓聊：(])加比交换律：

a^b = b-^a

o

(2)

加出结合律：。

6+b)+c = Q+@+c)

知识点曲：疽理散减床的倉义

要点袪畀：有理散减法的意义与』、学学过的减去的意义相同。己知両个加数的和与其中的 -个加数，求另一

•

个加数的运算，叫做减法。减法是加比的运运算。

知识点玉：甫理教减廉決则

要点逢年：减去一个数，等于加上这个数的柑反数，即

a-b = a+(~b)

知识点六：甫理敌4减廉统一成加比的*艾

要点法年：对于有理数的加减混金运算中的减比，可以根扬冇理数减法法则将减法转化为 加法。这挥一来.就

将虑来的混合运算统一为加法运算。统~成加法以后的式子是几个正数 戎负数的和的形式冇时.我们杞这样

M

的式子叫做代数和。

知识履七：有理散加减混合运算的方出

要点连年：运用减出出刪将冇理数混合运算中的减出转化为加比。

(1)

(2)

运用加出法則.加比交换律.加出结仝律简便运算。

知识点八：有理數柬廉张则

要点连年：两敛柏東，同号得正"异号得负，并把处对值相隶。任何救同相那存。 知识点九：甫理教

0jjU0

柬廉廉则的抢广

要点连年：丿几个不等于的数相乘，积的符号由负因欽的个救决；。出负因数有奇数 个对，积为负；生

C10t

负因数冇偶散个时，积为正。

(2)

儿个救相乘，只要冇一个因数为孩就为。

0,0

知识点十：有現敘柬廉的运算走律

要点诠年：(])乘法交换律：

必二ba

(2)如二畑

乘法结金律：

(3)

分配律：讹十二必十处

c)

知识点十一：例數的抚含

要点逢年：积是的两个救互为侧藪。

411

1 1

由于 儿 所以生是不为的冇理数时，的側数是。若互为便数，

a

2 HUa0aQa. b

則

ab = 1o

知识点十二：有理裁除张廉则

a=a

亠&丄

要点连年：()除以一个数寻于乘以这个数的例数。即"

? _，Z

O

(2)

両数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除° 除以任何一个不等于的 散，都得。

000

三.规律方廉描导

1. 0・A

冇理数的加法运算分而种侑况：同号和异号両数相加，互为相反散的而数之和为运 用冇理数的加出

运算对，关键是要确岌和的符号，在具体运算过程中注意能用结仝律戎交换 律一灾要用，以便使运算简便。

2.

有理數的减出比則是减去一个数寻于加上这个数的相反数，这样就把减法转化为加法聲， 同对注意运用运

算律。

3. 1 ；

在遗行有理数的乘出运算肘，关键是确定积的符号，善子应用乘出运算律，互为便数的 両个救的积为

4.

冇理散的除出运算可以转化为乘比运算进行。

5.

亦迸.行加减乘除的混今运算时，要注克运算顺序。

1

-丄

经典例题遗析

类婪一：有理數的运算问题

计算叫討扣號）

）27HC

5 5 1_ ]

忌炼点比 由于上邈中有互为和反数的一 和+&，同分母的 历和一

6

3.2f-3.2=-3b,

可以利用加出的交换律和结合律丸分别计算出它们的值，使运算简便。

原式=（鼻；） +（-专）+ （-召+〔+：）+（- 3

」 》 >

0 0 0

总％升华：互为相及救的而个救的和等于。绝对伎较大的加数是正数的而个救的和等于正 数。绝对值较丸的

0

加数是负数的而个数的和等于负数。

毕一反三：

【隻比】

计算

息珞点抜：丸根据减法法刪去掉桁号，写成省略加号的代救和。再利用加出交换律杷同

分母的顼结合到一起进行计算。一岌要注意交换加数的伐时要连同询面的符号一起交换。

.2.

3 3

2151-3- + 3-=2--3- + 5-+3- = -l + P = 8 if： ^<= ? 3 7 3 7 7

+

1112 1112

总结升华：减去一个冇理数所得的差是这个冇理数的相反数。要％于疫有理数加减混 合运算中运用减

0

倒

5

2、计算①（一却2护I②㈠°） （-*

）+

比法则杷减弘转化为加法。此外对于运算过程中性质荷号和运算符号可以互 相转化。

JS

•

珞点拔：①小題丸确定符号，冇三个负因数相乘欣为负。冉利用乘出交换律丸计算刀

9 18

的值。

②

小題利

19

1Q

-丄

化为 再利用分配律进行计算。

19

①矗扎=

L 77 99J

111

r 1 _ r i

C—x7^x-

=— —X —

L11

1

99

②虑式

总结升华：心进行有理散的乘出运算时，应先考虑计算结果的行号.再进行计算。在进 行乘出和加减运算

L L17- 2.7|

QT Y

I_

肘，应运用乘法分配律进行简算。

(一 》讥一

24

®

思弘点拔：①』、题要注危运算顺序，丸算乘除，再算加减，而不能从左刊右依次计算。③小

241 A

幾可以直接计算，也可以把 写成后利用分配律进行计算。

7

24+

7

类愛二：运算的卖际问题

例* 超市新进了 箱槛子，毎箱标准重量为刊货后超市复秤结果如下(超过标准

1050kg,

重量的千克不足的千克负数八

纵记为正纵,纵记为

+0.5, +03 -0.9, +0.1, +0.4,・0.2, -0.7, +0.8, +03,

+0.1

•

那么超市购迸.的橙子共多少千克？

息珞点拨：本題运用了正负救的克义表示每箱槛子的重量，比如：痕示这錯橙子 的重量超过标准重

+0.5

量千克.为丿千丸。因此.计算总的重量就是求所有箱重 量的和。

0.5(50+0.5

解：购进楼子的总重量为：丿+ 丿+ 」丿+ 丿

(50+0.5(50+0.3(5009) + (50+0(50+0.4

+ (50-0.2) + (5007(50+0.8J + (50+0 (50+0

丿 + 刃 + 」丿

•

= 50X10+ fO.5+03-0.9+0+0.4-0.2-0.7+0.8+03+0

」」)

= 500+0.7=500.7

行克丿

X：500.7

超市购进的橙子共千克

总结升华：整进行运算比较简便

注克凍

举一反三：【支貞】出租车司机小禁天下午的營运全都是东西方向的人民大街上进行的. 如果规主角东为

JA

正向西为负他这天下午行车里程态示如下(单住：千

••

朱)

汁

15,-2,+5,-1 +10-3,-2w+12,+4-5+6 •

%ttt

(1)

将釆后一右乘彖送到的地对小距青下午出车肘的出发点多运？

«•

(2)

如果汽车耗油量为升/千耒这天下午小共耗油多少升？

0.8

•

【丈此】荼人用元购洪了 套儿童服裝，准务以一走价格出售，如果希套儿圭服裝以

24108

55+2, -3, +2, +1> -2, -1, 0, 2・

元的价堀为标准，超出的诃作正救，不足的记作负数，记录如下：一缶它

卖兜套儿音服裝后是盈利还是亏损？盘利(或亏损丿多少钱？

8

【支式】某教具厂加工正方体模世在国绒上注刖边长为」丿表示这种正方体 的边长的标准尺寸

3(5±0cm,

•

是多少？要求边长呆丸不超过标准尺寸多少厘朱？荷金要求的正方体边. 长走小是多少厘卷？

类熨三：代敎式求值同题运］

忆 丄

例、己知：的相反数是耳，的例数是 求算的值

_2a + 3&

4

ab2 ,

扎a_2b

息珞点披：根煽題意，可求出字母和所農示的数，然后再帯入需要计算的代数丸。 淮.计算的过程

31>

中还要注意运算法则和顺序。

.2 , 2

a = b =——

— 1—

鮮：由幾意知： 把它们分别代入算扎，得：

3 , 5 ,

2 2

— 1_ 3x(—_)

+

3 <

“十死兰

-ll-2x(--)

a-2b=

3 5 =13

总结升华：互为相及數的両数的和恒为互为側数的两个非零数的积是常数

0,1・

力+

»

举一反三：【支比】己知的负例数是■丿的相反数是求算式

1X56P + X

的值

兀的倒数是5,少的相反数是2,求代数式％ + £ 一卩-占的值

【支氏

丿丿 I 乙丿

2

】已知:

【支武】己知：互为相反如 匕互为例如且 。求代数式虫+ 的值。

36323a

1 % (1X (1-1) X …XX (1-5・2 ' 3

一 丄)。-丄―)丄― 制 计算：

72

2005， 2006

本题可直接计算，观疼

2 2,

3 3.

…将■虑式进行约分即可。

•

=1

XXXXX

12...20042005

解：虑式

2 3 2005

2006 "

2006

总轴升华：本幾是一类典型问題，解决此类幾目的关键是找刊分子.分母的规律。

i【支““号吩円弓"”"丘

【支氏】已知:

2

1999x1999-1999 2000x2000-2000 2001x2001-2001

农

1998x1998+1998 " 1999x1999 + 1999 " 2000x2000 + 2000

• ■ ♦

—月球选.择邈() 那么月球表面矗夜的泳差为

3.J ^^=4®[13®13]= 4® 25=4x25-1=99 D. 3 C,D. -43

•

-- + --- + --- + …十 ------

農面勺

【支比 计算.

4]1x2 2x3 3x4 2005x2006

1. ：-6+3=()

计算

天的温

【支丸

A-9 C. 3 B9

、、

与

43

2、

下列冬纽数中，互为側数的是()

有理

教的

加减

A. 110°

B・ U 356° C D356° C

、、

110° C

C

4. r)

而个冇理数在数轴上的对应点位于廉点的两旁，那么这而个數的商是

•

ABC.D.

、正救 、负散 零 以上悄况都有可能

5.

如采两个有理数的和是正欽，那么这両个加数()

AB. C. D

、一主都是正数或零 —岌却是负数戎零 一定都是非负数 、至少 有一个是正数

6A1811： 301.5

、茎天种股票的开盘价为元，上午下跌了 元.下午收盘对又上涨了

03fl-J A

元，科股票这天的收盘价为()元.

A. 0. 3 B.16.2 CJ6.8 D8

」

7. 5.54.85.2

—个水利勘疼队沿一条河向上游走了 千耒，又堆续向上游走了 千耒，然后又 向下游走了

千耒，接舟又向下游走了 千朱，这肘勘察队在出发点的()处.

3.8

A.13B.9C10.3D1・3

上游千耒 下游千耒 上游千耒 下游千朱

••

AB.25 C.-5 D.35

」

二.填空幾：

(4)

1. +5= _____________ ；・8 - 6= ____________

计算： 。

(-2)

2. 25X ______________ ； 0

计算：一 ______________ 。

(-2/5) =(-2.7) =

3. ；・5o

・

5的

側数是 _____________ 的平方是 ____________

4.

按照神舟号飞魁环境较制与生命锋障条统的很计指标，“神舟”五号飞期遞凹舱的

温皮为孩区凹怂的呆高温度为 ___________________

21° C±4° C＞° C

5.

找出满足下列条件的欽：(每空格各写出一个即可丿

flJ8,

加上和为正救： _________________

・

；

(2)

乘以积为正散： _________________

・

8,o

6. C1.2+3-4+5-6+7-8+9-10)05

计算：宁 丿= __________________ 。

7. ・5・-2, 1, 4, 7. __________________ .

观家下面一列欽的规律.然后疫橫线上填上迨出的数：

三.鮮篆題：

1

、计算:

1 9

(+冷)+(-律)

(1)

3 3 ⑵ 940+25

1 3

-(--)x3 2_x(-10)

(严冷

2、是-2。

禁冷冻厂的一个冷库，现在的主温■现有一枇僉％.常要在下冷就，如 果每小时能阵温

C-28° C4° C,

要阵到所常温度，常要几个小肘？

3・104 0

篆小麦.如果以千克为准，題过的千克数记作正数，不足的千克数诃做负数称重 的沱录如下：

•

+ 2, + 1, —0.5, —1, —2> +3, —0.5, —1, —1，0 10 41

这 裟小的总重量是多 少千克？

4

•

下表列出了国外几丸个城市与的对差(带正号的欽表承同一对刻比肘间早的小对数丿

城市 纽约 巴黎 东玄

与的对差

-13

-7 +1

()如果现是肘间上午那么东京肘间是多少？

A8： 00,

•

(2)姑址,

如果小强亦对间下午幻给运心纽约的你认为合适吗？

15： 00

5.5

下表是某中学七年级名学生的体重悄况.渕兜成下表

小穎 小创 小字

体重(千克丿

体重与平均体重的臭

34 45

+ 3 _4 0 -7

(U(2)

谁呆重？谁呆轻？ 浚重的与走轻的相差多少？

6. fl300ej

总摩托车厂本周计划每生产辆岸托车，由于工人卖行轮休，每上班人数不一定 相等，卖际每

日生产量与计划量相比恃况如下表(增加的车辆数为正欽，减少的车辆数为负 散丿

1 ---------------------------------

星期

0 q

五 六

增减

_5 +7 -3 +4 +10 -9 -25

()本周三生产多少辆摩托车？

T

(2)

本周总生产量与计划生产量相比，是增加还旻减*?

(3)

产量呆多的一天比产量呆少的一天多生产多少辆？

7

三.

1

n<5

4

(2)(4)

-24 144

(3)

-26

运用加法结合律，将同分母分数结合。

rrz

1 / 1 24 1

「、 /

原尹一去写+ 匕

J+KF

(7)

运用加法结合律，将加减结果为整散的结合。

(一16 — 50 + 3

二)x 5

虑式=

_-_

1 ? 1 3

50()

X

+

丸将除法转化为乘出，运用乘法分配律，但哮要注意符号。

⑻0

2. 6.5 C

小对丿

3

40x10 + (2+1-0.5-1-2 + 3-0.5-1-1 + 0) = 400

了千方)

4 28,4

、 不合迨，因为纽约对间是凌趕点。

(]) 7 (2)

544, +4, 37> 41

、 咗格的散为：

(V(2)(-7)

小创聂重，小穎走轻。(千克丿

4- =11

6

、

(]) 297 (^)

(2)

比计划减少 辆。

-5+7-3+4+ 10-9-25 = -21 <0,21

(3)

35 3)