有限维线性空间上子空间并的性质的一个注记

有限维线性空间上子空间并的性质的一个注记

孙丽雪;李永彬;林晨

【摘 要】对于特征为零的域上的有限维线性空间的子空间的并,我们知道下述性质:

有限个互不包含的非平凡子空间的并不是原来的线性空间.一方面,本文通过介绍有

限维线性空间中任一子空间与齐次线性方程组解子空间的关系,及商空间的维数公

式,给出了上述性质的一个改进证明.另一方面,本文把仿射簇的概念和子空间联系起

来,并根据仿射簇的一个简单性质,给出了上述性质的另一个更为简洁的证法.

【期刊名称】《大学数学》

【年(卷),期】2014(030)004

【总页数】4页(P29-32)

【关键词】子空间;商空间;维数公式;子空间的并;特征;仿射簇

【作 者】孙丽雪;李永彬;林晨

【作者单位】电子科技大学数学科学学院,四川成都611731;电子科技大学数学科

学学院,四川成都611731;电子科技大学数学科学学院,四川成都611731

【正文语种】中 文

【中图分类】O143

1 引 言

高等代数中介绍了线性子空间的交与和，对于线性子空间的并，多数教材中并未详

细讨论.本文主要讨论了特征为零的域上的有限维线性空间中有限个非平凡子空间

的并这个问题，并试图用更本质的方法证明：特征为零的域上的有限维线性空间中

互不包含的非平凡子空间的并不能构成线性子空间.

文献[1]中给出了一个相当巧妙的证明，本文一方面结合商空间的维数公式给出一

个改进证法，另一方面结合代数几何中仿射代数簇的一个简单性质给出了另一个更

为简洁的证法.

首先，对于线性空间的子空间，在各版教材(文献[1],[2],[3])习题中有下述结论，设

Fn是数域F上的全体n维向量构成的线性空间，则Fn的任一子空间V1必至少是

一个n元齐次线性方程组的解子空间.而商空间是我们不太熟悉的一个概念，在文

献[2]中详细介绍了这个概念及商空间的维数公式.

从上述线性空间中任一子空间与齐次线性方程组解子空间的关系，及商空间的维数

公式，文中讨论了特征为零的域上的有限维空间上有限个子空间的并集是否是子空

间这一问题，并且给出否定回答，从而这个并集不是原来的线性空间.

其次，由线性子空间与仿射簇概念的相似性，引出仿射簇的定义.从而考虑仿射簇

的并，不同的是仿射簇虽与子空间定义类似，但仿射簇的定义方程不要求是线性的，

从而仿射簇的并与子空间的并的性质也不相同，由此可以更好地理解子空间与仿射

簇的区别.

最后，由每个线性子空间可以找到一个包含它的仿射簇，从仿射簇的角度，同样得

出，该并集不是原来的线性空间.

2 特征为零的域上的有限维线性空间V上子空间的并集

在线性空间这一章中，有下述结论：

定理1 设W1,W2,…,Ws(s>1)是特征为零的域F上的n维线性空间V的s个互不

包含的非平凡子空间，那么这s个非平凡子空间的并不等于整个空间V，即V≠

为证明上述定理，通常证明V中至少有一个向量不属于W1,W2,…,Ws中任何一个，

并用数学归纳法来证.即先证明s=2时定理成立，然后设s=k时成立，证明

s=k+1时定理也成立即可，详见[2].

注意上述定理要求n维线性空间V所在域的特征为零，这个条件是不可缺少的.因

为对于特征不为零的域上的线性空间，如中，上述定理的结论是不成立的，即不等

式要改为等式，详见[4].文献[1]给出了定理1的一个相当巧妙的证明，在原证法的

基础上，我们将给出一种改进的证法.

下面首先介绍域的特征的概念.

定义1 设F为域，如果存在最小的正整数n，使得对所有的a∈F，有na=0，则

称n为域F的特征.如果这样的正整数不存在，则称域F的特征为零.

通常熟悉的复数域、实数域、有理数域都是特征为零的域.而上文提到的Z2就是特

征不为零的域，Z2的特征是2，是域Z2上的3维线性空间.又如Z2上所有3阶

方阵的全体M3(Z2)是域Z2上的9维线性空间；系数在Z2上的所有多项式的全

体Z2[x]是域Z2上的无穷维向量空间.

注意，特征为零的域一定是无限域.因为有限域可以看作关于加法运算构成了一个

群，所以这个群的阶数就是有限的，从而一定存在最小的正整数n，使得对于域中

所有的元素a，都有na=0.

再来介绍商空间的一些知识.

设V是域F上的线性空间，W是V的子空间，可以把V中的向量这样分类：α和

β属于同一类当且仅当α-β∈W.显然，与α同类的向量全体为α+W=α+w w∈W，

这称为模W的一个同余类，α称为此类的代表元.此类中的任一元素β都可以作为

代表元，即若有β∈α+W，则β.于是V中的向量被划分为许多个同余类.同余类的

全体记为V/

对于α1,α2∈V,c∈F，在V/W中定义加法和数乘如下：

， 或 (α1+W)+(α2+W)=(α1+α2)+W；

或 c(α+W)=cα+W.

定义2[2] 设W是域F上线性空间V的子空间，V/W是V对模W的同余类全体，

则V/W是域F上的线性空间，称为商空间.

引理1[2] 商空间的维数公式：dimV/W=dimV-dimW

以下在[1]中证法的基础上，借助引理1，我们给出定理1的一个替代的证明.

证法一 用反证法.假设W=W1∪W2∪…∪Ws构成子空间，且不妨设W⊂Fn.由于

任一线性空间的子空间都是一个齐次线性方程组的解子空间，对每个i(i=1,2,…,s)，

不妨设Wi均为n-1维子空间(不然将Wi扩大即可)，设以Wi为解子空间的线性

方程分别为

ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0， i=1,2,…,s.

由这些方程导出关于未定元T的多项式

fi(T)=ai1+ai2T+ai3T2+…+ainTn-1， i=1,2,…,s.

对每一个i，fi(T)最多有n-1个根，故这些多项式最多有s(n-1)个根.而F中有无限

多个元素，因此存在t∈F，使得fi(t)≠0，即

ai1+ai2t+ai3t2+…+aintn-1≠0， i=1,2,…,s.

设βj=(1,tj,,…,T，j=0,1,2,…,n-1，其中tj(j=0,1,2,…,n-1)满足

…≠0.

于是，由…≠0可知βj(j=0,1,2,…,n-1)不是以W1为解子空间的齐次线性方程组的

解，即βj∉W1.同理，由…≠0(其中i=2,…,s)得βj∉W2,…,βj∉Wn.因此

βj∉W1∪W2∪…∪Ws，j=0,1,2,…,n-1.以βj(j=0,1,2,…,n-1)为列向量构成行列式，

于是得到范德蒙行列式

.

由于tj互不相同，故D≠0，从而(1,tj,,…,T,j=0,1,2,…,n-1线性无关.

于是(1,tj,,…,T+W,j=0,1,2,…,n-1也是线性无关的.由此得到商空间V/W的一组基

(1,tj,,…,T+W，j=0,1,2,…,n-1，且商空间V/W的维数是n.由商空间的维数公式

dimV/W=dimV-dimW，有n=n-dimW，从而dimW=0，即W为零空间.由已

知条件W1,W2,…,Ws都是非平凡子空间，且W=W1∪W2∪…∪Ws，这与W是

零空间矛盾.所以，假设不成立，即W1∪W2∪…∪Ws不能构成子空间.

注 该以上证法与[1]中给出的证法没有太大的差异，但能较好的理解定理1的结论.

下节给出一种更为简洁和本质的证法.

3 另一种证法

由线性子空间与仿射簇二者概念的相似性，引入下面仿射簇的概念，详见文献[5].

定义3[5] 设F是一个域，f1,f2,…,fs是Fx1,x2,…,xn中的多项式.令集合

V(f1,f2,…,fs)=(a1,a2,…,an)∈Fn对所有的1≤i≤s都有fi(a1,a2,…,an)=0，

则称V(f1,f2,…,fs)是由f1,f2,…,fs定义的仿射簇.

由定义可知，V(f1,f2,…,fs)是使得所有f1,f2,…,fs等于零的点的集合.线性空间的任

一子空间对应一个n元齐次线性方程组的解子空间，而在仿射簇的定义中没有要

求它的定义方程是线性的，因而子空间可以看作是特殊的仿射簇，仿射簇是子空间

的推广.那么对应子空间的并，仿射簇的并还是仿射簇吗？下面定理2讲述了这个

问题.

定理2 如果V,W⊂Fn是仿射簇，证明V∪W也是仿射簇.

证 假设V=V(f1,f2,…,fk)，W=V(g1,g2,…,gl)，其中k和l为正整数.则有

V∪W=V(fpgq:1≤p≤k,1≤q≤l).一方面，如果(a1,a2,…,an)∈V，那么所有的fp在

这一点为0，也就蕴含着所有的fpgq在(a1,a2,…,an)点也等于0.因此V⊂V(fpgq).

类似地，有W⊂V(fpgq).这就证明了V∪W⊂V(fpgq).

另一方面，取(a1,a2,…,an)∈V(fpgq)，如果该点在V中，那么就完成了证明.如果

该点不在V中，那么对某个p0，有fp0(a1,a2,…,an)≠0.又因为fp0gq对所有的q，

在(a1,a2,…,an)点都等于0，那么gq一定在这个点为0，这就证明了

(a1,a2,…,an)∈W.于是得到V(fpgq)⊂V∪W.

综上有V∪W=V(fpgq).因此V∪W也是仿射簇.

从定理2的证明过程可见下述推论1显然成立.

推论1 设 f,g∈Fx1,x2,…,xn，则有V(f)∪V(g)=V(fg).

定理2蕴含着有限个仿射簇的并集还是仿射簇，只需将这有限个仿射簇的定义方

程写出来即可证明.

从定理2可以看到子空间的并不同于仿射簇的并，二者既有联系又有区别.

以下从仿射簇的角度证明定理1.

定理1证法二 与第一种证法类似，对每个i，不妨设Wi均为n-1维子空间(不然

将Wi扩大即可)，设以Wi为解子空间的线性方程分别为

ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0， i=1,2,…,s.

对于每个i，ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0表示一个超平面.

令fi=ai1x1+ai2x2+…+ainxn，则fi=0(即该超平面的定义方程)在几何上表示由

多项式fi定义的仿射簇Vi.由于对于每个子空间，存在一个包含它的超平面，从而

对于每个子空间Wi，存在一个包含它的仿射簇Vi，其中i取值均为1,2,…,s.因此，

由推论1易知⊂V(g),其中

显然g为s次齐次多项式，现设h=g(1,t,…,tn-1)∈F[t]，则有h(t)在F上最多有

有限个根. 而F中有无限多个元素，因此存在tj∈F(j=0,1,2,…,n-1)，使得h(tj)≠0.

设βj=(1,tj,,…,T， j=0,1,2,…,n-1，则βj∉V(g)(j=0,1,2,…,n-1)，因而

βj∉V1∪V2∪…∪Vs，从而βj∉W1∪W2∪…∪Ws，j=0,1,2,…,n-1.以下证明过程

同证法一，假设W=W1∪W2∪…∪Ws构成子空间，采用反证法可得到相同的结

论.

[参 考 文 献]

【相关文献】

[1] 张贤科,许甫华.高等代数学 [M]. 2版.北京:清华大学出版社，2004.

[2] 丘维声.高等代数学习指导书(上、下册)[M].北京:清华大学出版社，2009.

[3] 黄廷祝,何军华,李永彬.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2012.

[4] 韩士安,林磊.近世代数 [M]. 2版.北京:科学出版社，2009.

[5] David Cox,John Little,Donal o’ Varieties,and Algorithms [M]. 2nd. Ed. New

York: Springer，2006.