最新《四次数学危机与世界十大经典数学悖论》

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《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》

“四次”数学危机

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达

哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发

明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无

所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两

个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成

员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正

方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒

谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人

的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，

这就是第一次数学危机。

最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存

在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正

方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很

显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复

存在了。

我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的 ，

都无法用 来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正

是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学

科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个

人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很

强调其严格的逻辑与推证性的。

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基

础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，

微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析

的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主

要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷

小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的

公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上

自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，

又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？

直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，

即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小

的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概

念，另外Weistrass创立了 极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量

从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。

而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，

我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说 ，但n个1/n相乘就

为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到 等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来

考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。

第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，

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绝对正确的数学出现了自相矛盾。

我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那

么理发师该不该给自己理发呢？还有大家熟悉的“说谎者悖论”，其大体内容是：一个克

里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”试问这句话是真还是假?从数学上

来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。

罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中

可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于R是集合，若R含有

自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有R R。一个集合真包含它自己，这样的

集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可

能的。因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则， 否则就是不合法的集合。这样看来，

罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的

集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也

就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以

否定形式陈述的最大集合悖论。

从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组

公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建

立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一

个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。

现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic

集合论，集合是先定义了全集I，空集 ，在经过一系列一元和二元运算而得来得。而在

七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。

中国数学爱好者李明波，根据他所发现的纯数学及应用数学中种种意想不到的错误现

象，精辟地在警示人们:数学中的错误，正在关系到公众的安危。 李明波在1997年7月

的辽宁省数学年会上首次指出，人类历史上的“第四次数学危机”已经在中国开始了。但

是，由于当时他的论文印数不多，而没能产生太大的影响。 时隔8年之后的2005年9

月，李明波在他原文章的基础上，增添了“重重反例的爱希阿引理”，并整理出了专题文

章《第四次数学危机》。这篇堪称宣布第四次数学危机已经在中国开始的经典论文，已被

本人以《李明波与第四次数学危机》为题投放到东陆论坛。

世界著名数学疑难问题之

哥尼斯堡七桥问题

18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，

将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一

个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七

桥问题，一个著名的图论问题。

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图 1 图 2

这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到

了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解

决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4

个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。

于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每

个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一

笔画。图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍

7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，

同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。

哥德巴赫猜想

1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提

出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11

等。第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。

这就是著名的哥德巴赫猜想。它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。

实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每

个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。1937年，苏联数学家维诺

格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之

和，基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了，

数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的

两个自然数之和，简记为“m+n”。1920年挪威数学家布龙证明了“9+9”；以后的20几

年里，数学家们又陆续证明了“7+7”，“6+6”，“5+5”，“4+4”，“1+c”，其中c

是常数。1956年中国数学家王元证明了“3+4”，随后又证明了“3+3”，“2+3”。60

年代前半期，中外数学家将命题推进到“1+3”。1966年中国数学家陈景润证明了“1+2”，

这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞

誉，不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位，更重要的

是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难，不畏艰险，永攀高峰的精神将鼓舞

和激励有志青年为使中国成为21世纪世界数学大国而奋斗!

世界十大经典数学悖论

1.理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规

定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？

如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照

他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。

2． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如

此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”

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如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与

他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也

就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话

都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。

公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”

同上，这又是难以自圆其说！

说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。

如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。”

又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。

3． 跟无限相关的悖论：

{1，2，3，4，5，…}是自然数集：

{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。

这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？

4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A

连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样

长，与图矛盾。为什么？

5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）

的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了

考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。 你能说出为什么这场考试无法进行

吗？

6.电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每

层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的

时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也

很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论

我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！”

这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底

层的人等得不耐烦？

7.硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果

硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的

才对！你能解释为什么吗？

8.谷堆悖论：

显然，1粒谷子不是堆；

如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；

如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；

……

如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；

……

如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也

不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。这就是令整个古希腊震

惊一时的谷堆悖论。

从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义

“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累中形成

悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一个模糊的“类”。

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这是连锁（Sorites）悖论中的一个例子,归功于古希腊人Eubulides，后来的怀疑论者

不承认它是知识。“Soros”在希腊语里就是“堆”的意思。最初是一个游戏：你可以把

1粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把2粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把3粒谷子说

成是堆吗？不能。但是你迟早会承认一个谷堆的存在，你从哪里区分他们？

9.宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会

塌；……抽第N块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的是，抽第

M块砖是，塔塌了。再换一个地方，塔塌时少了L块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌

时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？

10.著名的鸡与蛋问题：世界上是先有鸡还是先有蛋？

▲一些观点：

老套的问题，当然是先有鸡，只是刚开始它不是鸡，而是别的动物，后来它们的繁衍

方式发生了变化，——成为了卵生，所以才有了蛋。

最早没有卵生动物，很多生物还是无性繁殖的，后来慢慢进化成卵生和哺乳动物，

所以按道理应该先进化成生物本体才可能有蛋的由来。

“蛋”有可能来自外星球，后来环境适应而孵化，之后在地球繁衍.....就形成

了鸡生蛋，蛋又孵化成鸡。

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