弧长的公式扇形面积公式圆锥圆柱弓形面公式及其应用四棱台体积公式

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

弧长及扇形的面积

圆锥的侧面积

二. 教学要求

1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。

2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。

三. 重点及难点

重点：

1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。

2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。

难点：

1、弧长公式、扇形面积公式的推导。

2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

［知识要点］

知识点1、弧长公式

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是

，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，

说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，

例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。

（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积

如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积

是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角

为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。

又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积

的另一个计算公式：。

知识点3、弓形的面积

（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

（2）弓形的周长＝弦长＋弧长

1 / 111 / 111 / 11

（3）弓形的面积

如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把

扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。

当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，

当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，

当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，

例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是 （ ）

（结果用表示）

分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以

∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以

，

所以

注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

公

式

圆周长 弧长 圆面积 扇形面积

（2）扇形与弓形的联系与区别

（2）扇形与弓形的联系与区别

图

示

面

积

知识点4、圆锥的侧面积

2 / 112 / 112 / 11

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，

那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全

面积

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并

明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

或知识点4、

如果用r来表示底面半径，l表示圆锥的母线，n°表示圆锥侧面扇形的圆心角

的度数，则底面周长为2πr,所以扇形的弧线长度也为2πr，而弧线长度（扇形

所占圆周长）就等于n°／360°.扇形所占圆是以以母线l为半径的，所以它的

周长为2πr，得出

n／360 = 2πr／2πl = r／l

r／ l就是弧线长度与扇形所占圆周长之比，也就是扇形与扇形所占圆的面积之

比。所以，只需求出扇形所占圆的面积再乘以r／l便可以得出扇形的面积。而

扇形所占圆的面积为πl2，即可得出：

S侧 = πl2×r／l

= πrl

向前再推一步，又得出扇形面积的计算公式：

S侧 =πrl

=1/2×2πr×l

= 1/2×底面弧线长× 母线长

由此推导出圆锥侧面扇形面积等于πrl ，等于3．14乘以底面半径再乘以母

线即可。圆锥的表面积为侧面积加底面积，又为：

S表 = S侧＋S底

=πrl＋πr2

3 / 113 / 113 / 11

=πrl＋πr×r

=πr(l＋r)

知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，

若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积

知识小结：

圆锥与圆柱的比较

名称 圆锥 圆柱

图形

图形的形成过程

图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面

侧面展开图的特征 扇形 矩形

面积计算方法

由一个直角三角形旋转得到由一个矩形旋转得到的，如矩形

的，如Rt△SOA绕直线SOABCD绕直线AB旋转一周。

旋转一周。

【典型例题】

例1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，

则阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D.

4 / 114 / 114 / 11

分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为，

所以

故答案为：B.

例2. （2004·陕西）如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10

厘米，tan∠BAC＝，求阴影部分的面积。

分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角形的知

识（3）组合图形面积的计算。

解：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝10， tan∠BAC＝，而tan∠BAC＝

设BC＝3k，AC＝4k，（k不为0，且为正数）

由勾股定理得

所以BC＝6，AC＝8，，而

所以

例3. （2003.福州）如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇

形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，

垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（ ）

分析：连接OD，由正方形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，OD＝

，

5 / 115 / 115 / 11

因为正方形的边长为1，所以OE＝DE＝1，所以，设两部分阴影的面积中的

一部分为M，另一部分为N，则，阴影部分面

积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P，

因为∠BOD＝∠DOC，所以

所以M＝P，所以

答案：。

例4. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，

以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。

分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组

成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。

解：作DH⊥BC于H，所以DH＝AB＝2

CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4

在△CDH中，

所以

例5. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米

（1）求扇形的弧长。

（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？

分析：（1）由扇形面积公式，可得扇形半径R，扇形的弧长可由弧长

公式求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形

ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C＝2r，底面圆

半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt△ADC中求得，所以可求。

解：（1）设扇形的半径为R，

由，得，解得R＝30.

6 / 116 / 116 / 11

所以扇形的弧长（厘米）。

（2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝R＝30，BC＝2r，底面圆周长C＝

2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以

在Rt△ADC中，高AD＝

所以轴截面面积（平方厘米）。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题

1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（ ）

A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л

2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（ ）

A. B. C. D.

3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ）

A. 90° B. C. D.180°

4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M， N．已知大圆半

径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（ ）

A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍

5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（ ）

A. B.

C. D.

6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ）

A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm

7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ）

A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶

2，则它们的高之比为（ ）

A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D. 5：

9. 如图，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥

的侧面积为S，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S，则（ ）

12

A. S＝S B. S > S C. S < S D. S、S的大小关系不确定

12121212

7 / 117 / 117 / 11

二、填空题

1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积

是 cm.

2

2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 .

3. 已知扇形面积是12cm，半径为8cm，则扇形周长为 .

2

4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一

个圆锥，其全面积为S；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S，则

12

S： S＝ 。

12

5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形

的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm。

6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D分别是的三等分点，则阴

影部分的面积是 。

7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴

影部分面积为 。

三、计算题

1. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC ，以A为圆心画弧，交AB于点D，交AC延长

线于点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（л

取3）。

2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S，另一个圆锥的侧面积是S，

12

如果圆锥和圆柱等底等高，求．

3. 圆锥的底面半径是R，母线长是3R，M是底面圆周上一点，从点M拉一根绳子绕圆

锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度．

【试题答案】

一、选择题

1. A

2. B

3. C

4. D

5. B

6. B

7. B

8 / 118 / 118 / 11

二、填空题

1、24 144

2、40°

3、19cm

4、3：4

5、3

6、2

7、2－4

三、计算题

1、连接AE，则，所以

8. C

9. B

2、

3、连接展开图的两个端点MM'，即是最短长度。

利用等量关系得出∠MAM′＝120°，∠AMD＝30°，AD＝，

四棱台体积计算公式 v=h*(a*b+(a+a1)*(b+b1)+a1*b1)/6=h/3(S上底面积+S下底面积+

开根号√S上底面积×S下底面积)

体积公式编辑

正四棱台

V=H/3[S+S+√(SS)]

1212

注：非通用公式,（s是上底的面积 ，s是下底的面积 ）

12

通用公式

V=[S + 4S + S] * H / 6

102

=h/6×[a×b+a×b+(a+a)×(b+b)]

11221212

9 / 119 / 119 / 11

注：上底面积S，下底面积S，中截面面积S，高H， 此体积公式多一个

120

参量S——中截面积,它有“万能公式”的美誉。

0

体积公式推导编辑

由相似三角形可得b/h1=a/(h1+h2)，所以h1=bh2/(a-b).

V台 = a^2(h1+h2)/3 - b^2*h1/3

=h1(a^2-b^2)/3+h2*a^2/3

=(a+b)*b*h/3+a^2*h/3

=（a^2+b^2+ab）*h/3

棱台计算公式

四棱台的公式是：V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）

当是正四棱台时带入上述公式，简化后就是：V=(h/3)(a2+ab+b2)﹝其中a，b，h分別为正

四棱台的上、下底边及高的大小）

挖土方需放坡计算公式现在接触已经有三个了

1、（A+2C+KH）（B+2C+KH）*H+1/3 K2 H3

（K2：放坡系数的平方；H3：高度三次方）

2、H/3(F1+F2+ㄏF1*F2）

（F1：上底面积；F2：下底面积；ㄏF1*F2：上底面积乘以下底面积开根）

3、H/6 [ A1*B1+A*B+（A1+A）（B1+B）]

10 / 1110 / 1110 / 11

（A1：上底面积一个边长；B1：上底面积另一个边长）

（A：下底面积一个边长；B：下底面积另一个边长）

1公式：是建筑预算员常用的基坑土方计算公式，直接套用放坡系数；

2公式：是中学生计算棱台的体积公式；用于土方计算时需先计算边长，再计算面积，再计

算体积；

3公式：是棱台体积公式的延伸，当A1/A=B1/B时成立。也不够方便，可用于现场测量结

果的计算（施工计算），土方工程量近似计算。

11 / 1111 / 1111 / 11