笨⼈学习⼤学数学的⽅法，如何打开⼤学数学学习之门
我们总希望学⽣通过学习数学，能够启迪⼼智，使⾃⼰变得更加聪明，更具有智慧，更有充分的发展潜⼒和⼴阔的发展前途。⼩编整理了相关内容，希望能帮助到您。
笨⼈学习⼤学数学的⽅法
数学是什么?
⼤部分中国⼈⼼⽬中的数学，其实按严格的分类，都属于应⽤数学。⼀句话：应⽤数学是⽤数字和公式描述客观世界的科学，研究的是客观世界的数量性质和运动规律;⽽数学(为了区分，多称作“纯数学”或“基础数学”)是含有公式的哲学，研究的是抽象概念的关系、运动规律和空间的性质，具有很强的主观性和艺术性。
古⼈从猎物分配中总结了算术，从⼟地⾯积丈量中总结出基础的平⾯⼏何，可以说，先有应⽤数学后有纯数学。⼆者在300年前可以说不分彼此，⽜顿、⾼斯、欧拉等⼤数学家同样也在应⽤数学、物理和哲学等领域取得累累硕果。后来，罗巴切夫斯基和黎曼等建⽴⾮欧⼏何学，使得⼈类第⼀次脱离⽣活中直观的三维空间，思考抽象空间的性质，这个事件标志着纯数学开始⾃⽴门户。⽽1900年希尔伯特在国际数学家⼤会上的讲话，可以说是纯数学从应⽤数学中彻底独⽴出来。⼆战后经济复苏，数学家有了资⾦⽀持可以⽆忧⽣计，全⼼全⼒做研究，数学得到长⾜发展。
为什么要学基础数学?
常⾔道，练武不练功，到⽼⼀场空。倚天剑屠龙⼑是绝世神兵，但也要拿得动舞得起来才有威⼒。看过电影《导⽕线》的筒⼦，肯定对⾥⾯甄⼦丹的背摔印象深刻。但如果没有甄⼦丹的⾝体素质和协调能⼒，硬⽤背摔这样的技能⾮伤到⾃⼰不可。应⽤数学的模型的发明研究者多数有很深的基础数学功底，故学习者若⽆⼀定的基础数学的训练，理解他们的成果就要花费很多的时间和精⼒，⽽且难以理解透彻和应⽤到位，更不要提举⼀反三了。⽽⽬前⼯业⽇新⽉异，⾦融界瞬息万变，相关的模型和公式也是层出不穷。学习者如果不能触类旁通，⼀个⼀个学是必然学不完的。
⼀切⾼级的数学，归根结底都是微积分和线性代数的各种变化，这漱佛数学系主任丘成桐和普林斯顿数学系前系主任释天(Elias Stein)经常告诫学⽣的话。⽽基础数学的初级学科，如数学分析和⾼等代数，就是对最基本的⾼等数学和线性代数进⾏理论上的完善，让学习者不仅仅能学会现有的套路，更能理解公式定理背后的道理，从⽽能更好地应对各种随机的情况，甚⾄于⾃创招式。故将来计划学习理⼯科和⾦融的学⽣，除了练好微积分和线性代数的计算，⾄少要学习⼀下这两个领域的证明课程，也就是⼀年的基础数学。这只是最低要求，物理学特别是理论⽅向的必修群论(属于抽象代数)，量⼦⼒学要学希尔伯特空间(属于实变函数)。
另外，有些较为⾼端的⾦融数学项⽬中的随机模型的课程，已经要求初步掌握测度论。具体到理⼯科和⾦融的名家案例：⽣物学家施⼀公⾼中数学竞赛河南省第⼀名，⼤学物理和⽣物双学位中修了⼤量数学；
哈佛⼤学双聘教授庄⼩威本科在中科⼤读核物理，群论和偏微分⽅程是必修，出国读博时数学⽔准不亚于数学系毕业⽣;⽂艺复兴基⾦创始⼈、30年内杀⼊福布斯前50名的富豪赛猛宅(James Simons)本⾝就是基础数学出⾝。
近⼀点的例⼦：北⼤⽣命科学学院05级本科第⼀名、现斯坦福博⼠⽣⾼⼩井;06级本科第⼀名、现哈佛医学院博⼠⽣李鑫，⾼中都有数学奥赛经历，在⼤学也⼀直加强数学学习。MHC⽣物和化学双学位取得者，⽬前杜克⼤学医学院MD学⽣王晓雯，⼤学期间做完了著名的《吉⽶多维奇数学分析习题集》。本科阶段学好数学，是理⼯社科从业者⼀⽣的财富。
如何学好数学?
我的数学到底有多烂?做过《五年⾼考三年模拟》的朋友，都知道⾼考数学北京卷的特点是基础题特别基础，最后⼀道⼤题⽤超纲知识+新信息+⽅法综合拉开分数档次。我当时模考，就总是最后⼀道题得⼀两分或者全部放弃。我从⼩强于记忆⽽不善也不喜欢逻辑推理，故⾼中数学基本上靠题海练习、熟悉题型、照搬定式来得分。
来到⽯溪，我学数学有过⾮常痛苦的经历。其实当时规划也有失误，很多地⽅失于急躁冒进，不然，完全可以不那么累⽽且学得更好。欧美有很多数学天才写过数学的学习⼼得，但鉴于他们起点太⾼，学习节奏可以很快，故⽅法未必适合⼤家。我的⽅法可以说是零起点的，⽬的是帮助像我⼀样没搞过竞赛
的理科⽣以及⽂科⽣搞定美国⼤学的数学系要求，以在未来的职业竞争中，数学⽅⾯不⾄于拖累⾃⼰甚⾄领先⾝边⼈。那么如何学好数学?看我细细道来：
第⼀，要具备不卑不亢的⼼态
数学并⾮难，只是它的表述体系和思维要求，对于多数中国学⽣⽐较陌⽣。要把它当作全新的东西来认识，就跟学习⼀门新语⾔⼀样。以前⾃⼰学的东西，包括⾼中知识和AP数学等，记住概念即可，思维推导不要沿⽤。然后严格按照⽼师讲的思维⽅式，不厌其烦的推导和证明，慢慢⼀回⽣⼆回熟。⼏年前华⼈数学天才陶哲轩给UCLA本科⽣讲Honor Analysis(荣誉数学分析)的时候，上来进度⾮常慢，前⼀个⽉都在证明⽪亚诺公理、集合论和基本的映射理论，但后来可以越学越快，⽽且学⽣越学越Hi。拳不离⼿，曲不离⼝，学语⾔要勤动⼝和动笔，学数学也要没事常动脑。
就算⽂科⽣⼀样可以学好数学：20世纪俄罗斯数学学派掌门⼈、莫斯科国⽴⼤学数学系主任柯莫⾼(Kolmogorov,⼜译柯尔莫格洛夫)⼤⼀是读历史的。美国⼈魏爱华(Edward Witten)更奇葩，本科四年读的都是历史和语⾔学，博⼠申请UWM的经济学博⼠，读了半年退学，⾃修数学和物理,23岁考进Princeton，硕转博再同时搞数学和物理。16年后，他站在菲尔兹奖的领奖台上。
我说过了基础数学其实是哲学，⽽哲学算⽂科还是理科都有道理。另⼀⽅⾯，国内就算奥赛摘⾦夺银，到美国也要扎扎实实的学。因为奥赛国际⾦牌在欧美的精英⾯前多数是渣：俄罗斯盖芳德(Gelfand)15
岁读完代数⼏何教⽗⾼探蝶(Grothendieck)的名著EGA(代数⼏何原理)，这套书让北⼤博⼠去读都够呛。我们⽯溪的⽶糯教授本科⼤⼀在《数学年鉴》上发论⽂，这是数学界最⾼学术期刊，每年中国⼤陆都很难有⼀篇⽂章发表。
这⾥特别要说⼀下美国数学教学的⼆段教学法：不同于俄罗斯和中国上来就是带证明的数学分析和⾼等代数，美国的教学更为亲民：上来先是微积分和不带证明的线性代数，内容⽐较简单，作业和考试很多中国学⽣可以依靠⾼中基础秒杀之。但不少⼈练习不够，很多知识没搞透，⽅法技巧也不够熟练。然后到了第⼆段，数分和⾼代⼀开，很多⼈欲哭⽆泪。这就要求第⼀阶段，哪怕觉得这些题再傻，⼀本书⼀道不落地做完是很有必要的。然后第⼆段就要细读书，多问⽼师。在美国基础数学能学好的中国⼈，要么是⾃⼰天才，要么就把教授办公室的椅⼦坐穿。
第⼆，保证数学的学习时间
要是天才并且喜欢数学，那你⾃然会给数学⼤量时间。如果是为了将来胜任其他领域⽽学数学，要记住⼤⼀⼤⼆对于打好数学基础是最宝贵的。所以，建议每天先完成其他学科的作业，然后把⼤块时间分配给数学的看书做题细琢磨。
我⽬前主要是修各种数学课和⼀门应⽤数学的概率论，每天时间⼤体是这样分割的：睡觉6⼩时，吃饭包括饭后的休息2⼩时，健⾝和洗澡2⼩时，交通1⼩时，个⼈爱好1⼩时(抄抄四书五经，读读⽂艺的歌词，
主要是墨明棋妙的还有林⼣的)，机动时间1⼩时，剩下11⼩时是听课和课下学习。周末多⽤两⼩时坐校车去买个菜，路上⼀直思考，也相当于最终学习10⼩时。
谁说数学天才每天悠哉游哉?那么最年轻的菲尔兹奖得主，27岁得奖的赛赫(Jean-Pierre Serre)够天才了吧?他⾃述道：习惯带着数学题⼊梦，醒来往往有思路。故我⽤最爱的《红楼梦》第⼀回作为他的雅号：“梦幻通灵”赛赫(与“造化阴阳”⾼探蝶，“迷津慈航”艾抵涯(Sir Michael Atiyah，英国皇家学会会长，敕封爵⼠)并列20世纪世界第⼀的数学家)。数学多好算好?别说拿A，满分都是不够的。⼀本书读完，知识和⽅法不超纲的题⽬要难不住你(by“现代微分⼏何之⽗”陈省⾝)。⼀本书读完，同⼀领域下⼀阶段的书要能⾃通30% (by菲尔兹奖得主Curtis McMullen的导师Dennis Sullivan，⽯溪数学四⼤导师之苏⽴⽂)。校内传的什么每天学习⼋⼩时那是给别的学科的。每天⼋⼩时想学好数学?做梦!
第三，学会科学的思维⽅法
(1)数学思维的三个⽅⾯
任何数学的定义、定理说透了也就三部分：
第⼀是它本⾝的⽂字和(或)符号、公式内容;
第⼆是它在数学知识体系中的位置，与其他数学内容的逻辑关系，包括由什么可以推出来该定义或定
理，它⼜可以(与其它定理⼀起)推出些什么;
第三是它所涉及的范畴有什么具体实例(⽐如循环群就有旋转图形、整数加群和同余模加群等例⼦)，这些例⼦⼜有何作⽤，能否在数学中或数学外(典型的如⼏何和物理)取得应⽤。
这就分别是数学对象的本体论、⽅法论和⽬的论。柯莫⾼说：“的确学⽣对数学的适应性存在差异，这种适应性表现在：
1、算法能⼒，也就是对复杂式⼦作⾼明的变形，以解决标准⽅法解决不了的问题的能⼒。
2、⼏何直观的能⼒，对于抽象的东西能把它在头脑⾥像图画⼀样表达出来，并进⾏思考的能⼒。
3、⼀步⼀步进⾏逻辑推理的能⼒。
这些对应的就是掌握数学概念的三⽅⾯需要什么能⼒。提⾼算法能⼒最好多做题，⼏何直观除了做题还要平时多留意，多联系⽣活实际；逻辑推理这个往往是中国学⽣的弱项，毕竟我们母语的⽅块字⼆维画⾯性远远超过西⽅拼⾳⽂字，⽽⼀维线形(逻辑链的内在属性)却不⾜。汉字个个如画，横竖左右写均可，⽽西⽅拼⾳⽂字就得⼀条路从左往右，上下写都够呛。故逻辑推理要特别练习。练习逻辑推理的⽅法关键在定理的证明，下⾯会详述。
(2)如何课前预习
⼀开始微积分可以多做⼀点，⽽数分和⾼代等带证明的预习下⼀节课内容即可。先回顾上堂课所学知识，再看新章节内容：先略读本章节，看清有⼏个定义(Definition)，⼏个定理(Theorem)和引理(Lemma)，有哪些例⼦(Example)和注释(Remark)。如果把数学⽐作⼀门语⾔，定义就是名词，定理和引理是句⼦，⽽例⼦和注释相当于古⽂经典中的注和疏。定义⼀定要⾃⼰品味，⽐较长的拆开句⼦成分慢慢看，不⾏就抄。⽇本第⼀个菲尔兹奖⼩平邦彦⼤学时抄过整本Van de Warden的代数，咱们抄书不丢⼈。定义要么是全新的，这个不急着理解，往后看看；要么是基于以前内容的，这个不妨回顾⼀下相关内容再继续看。
遇到定理就要注意，课本的证明不要先看，⾃⼰理解定理内容后，把定理当作习题徒⼿证⼀遍，写下来，再与课本原⽂⽐较，查找⼆者的不同：⾃⼰的证明是不是漏某条件或者把某需要说明的当做显然了(初学者常犯错误)，是不是有多余的语句，是不是有地⽅⽤错了。凡是不同处，都要重点思考，这样进步就快了。如果实在想不起来，就看看书本怎么证的。对于⾃⼰的不⾜，要整理到上述公式、逻辑或⼏何三个⼤类中，并提醒⾃⼰注意(如国内分析教材从罗尔定理证明拉格朗⽇中值定理，很多⼈不会把⼀般的函数构造成符合罗尔定理条件的函数，这个就牵涉到公式变形能⼒和逻辑能⼒)。
引理也是这么证。别⼩看引理，朗兰兹猜想中的基本引理之⼀，吴宝珠证出来就是⼀个菲尔兹奖。⾄于例⼦，也是不要先看，⾃⼰看了定理，⾃⼰想⾄少两个例⼦，⼀个是典型的，⼀个是退化的极限情况(by Halmos，《我要做数学家》和《希尔伯特空间习题集》的作者，芝加哥⼤学⿍盛时期和陈省⾝等共事的数学家)。例如⾼中解析⼏何的双曲线，分母的a^2, b^2当然⼤于零，可以找出来⼀个例⼦。如果其中⼀
项等于零，就退化成两条直线，这就是退化的极限情况。不要⼩看退化，这正是跟以前知识的联系。⾃⼰想了例⼦，其实潜意识中，注释的内容已经过了⼀遍。然后不必太早做习题，再回顾⼀下整个思维过程有没有需要看课本提⽰的地⽅，有没有⾃⼰能看懂但是跟以往惯性思维相悖的地⽅，有没有突然顿悟的地⽅。这都要记下来，上课等⽼师讲到这⾥时要格外留⼼。
(3)听课
美国的数学教授基本还是写⿊板，⽽且不会太快。上课公式⼀写⼏⿊板的那是应⽤数学教授，噼噼啪啪打幻灯的在⽯溪⼀定不是数学或物理教授。所以，有时间记笔记。但不必全记住，把预习的成果调动起来，⽼师讲的时候跟⾃⼰脑中的备份随时印证并修正。就⼀个建议，教授不停嘴，学⽣不动笔。真正听好了，上课⼀字不写⼜何妨?课下完全可以轻松补全并注上⾃⼰的⼼得见解。
(4)课下
先整理笔记，⼀定有⾃⼰的见解，全抄⽼师的对于学应数是有⽤的，对于学数学则是浪费时间。数学界的师⽣关系往往很融洽，但思维上绝对是批判继承和启发继承，学我者昌，似我者亡。然后是定义再品味⼀下，定理和引理⾃⼰再证⼀遍，⽐较⽼师的证明、课本的证明和⾃⼰当初的证明，这次不仅要能说出哪个好，还要能说出为什么好。
然后是做题了。除了开始的微积分要刷书，带证明的课，课本做好作业题就够了，因为⽼师选的可能不是经典教材(经典的往往⽐较难，很多美国学⽣受不了)。但每个题要做精，做完⼀题回顾⾃⼰的思路历程，并对其中的公式变形、逻辑推理和⼏何直观进⾏归类。实在做不出来，画个记号，改天再看，两天都做不出来才可以看解答。对于解答中⾃⼰想不到的，要特别标注，常常回顾。然后就是选⼀本这⼀门课⽐较经典的书，按照上⽂预习和做题的路⼦⾛⼀遍。经典教材的知识点和思路要⾃⼰总结，每过⼀两章节，找⼀张⼤的纸画下来本章定理的逻辑体系图。经典教材的题⽬最好都做，做不出来，Office Hour坐穿椅⼦去。
(5)⼼理状态
很多⼈开始觉得数学难，然后⽣怕基础打得不牢，⼀个定理看半天，看似很认真很投⼊，其实就算理解了思维也很僵化，⽽且容易跟不上进度。这就像打⽻⽑球和练书法，你⼼⾥紧张，⼿抓得太紧，反⽽发不出⼒来，写的字也不好看。掌⼼要虚着，⾝体要保持随时可以发⼒的弹簧状，击球时蹬地转体推肩压臂⼀套动作⼀⽓呵成，⼿掌瞬间抓紧最后⼀次加速，这才能打出林丹那样硬砸开李宗伟铁板防御的扣杀。书法所谓挥洒，也是如此。要保持轻微的紧张和激动，有点⼩期待，随时能调动已有知识，并可以多⾓度观察新知识，思维能发散也能迅速收回并集中攻关。
这种感觉⼀旦找到，妙不可⾔。不过重难点也要适当⽂⽕慢炖：如果教材中有令⾃⼰感到太难的思考，
头⼀天理解了要标记，第⼆天要试着不看书回忆。曾任Princeton和University of Wisconsin Madison教授，现坐镇⽯溪的微分⼏何⼤家陈秀雄先⽣在《初遇尤⾦·卡拉⽐》中写道，当年导师卡拉⽐告诉过他：如果你不能在脑海中重复整个论证过程，那么它就没有成为你的⼀部分。
第四，打造良好的⾝体素质
数学是劳⼼的⼯作，如果⾝体素质不够，⽓⾎不⾜，将直接影响思维质量。数学⽜⼈⼏乎没有不爱运动的：柯莫⾼70岁仍冬泳，注意，是莫斯科的冬天!陶哲轩骑⼭地车，⾼探蝶养⽜(囧)，陈秀雄卖萌(我坚持认为他是⾃然萌)。要想学好数学，摸爬滚打⾄少要喜欢⼀项。这⾥给男⽣推荐练习腹肌：⾸先这个可以天天练，作为读书的调剂(上肢和下肢如果负重，要隔天练才不会受伤)；其次腹肌训练能提⾼躯⼲供⾎，这样在各种环境(沙发，椅⼦，树上，⽕车或飞机上)看书都不易出现头晕或胸闷；最后当然是能吸引妹⼦。每天推荐训练量：腹肌撕裂者(Abs Ripper)或⼋分钟腹肌(8 Min Abs)教程⼀套(⽹上有)，配合腿部负重(沙袋就好)；负重仰卧起坐50次每组x5组(开始可以20次每组x10组)，负重悬垂举腿10-30每组x5组，负重俯卧挺⾝10-20次每组x5组。这对综合防⾝也有⽤：常⾔到⼿是两扇门，全靠腿打⼈。同样是低位置的快速踢腿，⼩腿发⼒叫下段踢，腰胯发⼒叫碎⾻，只有⽤上腹部和背部的⼒量，才是令⼈闻风丧胆的“武神强踢”。
最后祝⼤家都能以⾼效率学好数学，享受学习数学的过程。各路⾼⼈欢迎拍砖。
⼏个本科课程的经典教材：
基础微积分：Stewart，Thomas，吉⽶多维奇选⼀个就可以。吉⽶可以晚⼀些，学数学分析时做。
基础线性代数：Gilbert Strang的Introduction to Linear Algebra, MIT OCW上有教学视频，作者亲⾃讲，⾮常⾮常适合⼊门。
⾼等代数(带证明的线代)：Friedberg的Linear Algebra。不要⽤那个Linear Algebra Done Right，太粗糙。
抽象代数：⼩丫挺(Michael Artin)的Algebra，国内张⽲瑞的《近世代数基础》很好，毕竟是⼩丫挺的⽗亲丫挺先⽣(Emil Artin)的博⼠⽣，⼟⾖⽹上有授课视频。学有余⼒的看Dummit & Foote的Algebra，再⽜的挑战郎射⽇(Serge Lang)的Algebra。
数学分析：基础⼀般的，陶哲轩的Analysis I,II很好。基础很好的⽤苏联卓⾥奇(Vladimir Zorich)的Mathematical Analysis I,II，这是清华基础科学班⼤⼀数分教材。课外想⾃虐的⽤Rudin的Principles of Mathematical Analysis，即Baby Rudin。
复分析：经典的多数⽤Rudin的Real and Complex Analysis，不过有点⼩难。
实分析：这个不必看本科⽣专门的实分析，研究⽣的可以直接上，毕竟本科分析扎实的话，测度论可
以直接看。上⼀条中Rudin的就好，另外有个Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications by Folland写的不错。⾄于释天的三卷分析，相当难，慎⽤。
微分⽅程：常微分⽅程很多⼈推荐Arnold的，不过偏难。偏微分⼀定要问⽼师，毕竟涉及的范畴太⼴了。
拓扑学：Munkres的不解释。如果多元微积分很好，可以⽤Milnor的那本⼩册⼦(Topology from the Differentiable Viewpoint)看看微分拓扑。
如何打开⼤学数学学习之门
什么是⼤学新⽣所⾯临的的最⼤问题呢?
01
应试教育靠加班加点，靠死打硬拼，靠对同⼀类型的题⽬反复操练，要求达到“条件反射”般的敏捷，达到不动脑筋、⼀看到题⽬就能做、⼀做就必对的程度。这样的训练是很使⼈疲劳的，也必然很使⼈倒胃⼝。但是为了实现考上⼤学这⼀⽬标，再疲劳，再⽆趣，也要忍受;⽽且天天有⽼师和家长看着你，不忍受也得忍受。现在考进⼤学了，不少⼈会觉得壮志已酬，⼈⽣的⽬标似乎已经达到，⼜没有⽼师和家长盯得紧紧的，课业表⾯上也不太重，⼀些⼈还可能相当缺乏⾃制的能⼒，很容易在⼀开始处于⼀种松垮的状
态，优哉游哉⼀下，甚⾄沉醉于上⽹、玩⼀些⽆聊的游戏等等。这⼀放松，时间很快就过去了。等到发觉⼤事不好，想要抢救过来就难了。为什么这么说呢?除了⼀般性的道理之外，更是由数学的特点决定的。数学这个学科逻辑性强，整个体系⼗分严谨，⼀环扣⼀环，前⾯没有很好掌握和理解，后⾯学习就会有本质上的困难。形象地说，学习数学和在⾷堂⾥打饭不同，是不能“插队”的!
这⼀点，学⽣在中学阶段是很难体会的，这不仅因为中学⾥学习的内容相对说来要简单得多，⽽且中学⾥的课程现在更多是按“知识点”来讲授的，很少注意知识之间的联系，没有着重强调知识之间客观形成的体系，不少内容是相当零乱、分散地出现的，后⾯讲的内容和前⾯讲的内容之间的关系显得不⼤密切，偶尔“插⼀下队”应该是没有问题的。但⼤学的数学课程有⾃⼰严密的逻辑体系，再想这样“插队”就不可能了。⼀开始放松，就很难抓得回来，就可能永远被动下去，甚⾄⼀蹶不振。⼀开始不抓紧，往往就可能输在起跑线上!为什么我们常常可以看到：⼀些中学时代的“龙”，到⼤学却变成“⾍”了呢?!难道不应该从他们的学习态度、学习⽅法和学习习惯⽅⾯认真找⼀找原因吗?!难道不值得引起⼤家强烈的警惕和注意吗?!因此，⼀开始就要
提醒⼤家，⼀定要有⼀种紧迫感，对在校的学习岁⽉要加倍的珍惜。⼀定要要求⼤家坚持认真、刻苦的学习，不能松懈。
有⼀分劳动，就有⼀分收获，这是永恒的真理，学数学更不能例外。将⾃⼰的⾝⼼献给数学的数学家，
我们的不少⽼师，⾯对着丰富多彩、⼴阔⽆垠的数学世界，⾯对着百思不得其解的数学课题，⾯临着即将取得突破的关键时刻，是没有星期六、星期天的。他们享受这样的⽣活节奏，感受到⽣命的充实，深深地为之陶醉，不仅造就了他们的事业，也为⼤家树⽴了榜样。要学好数学，不出⽓⼒，玩⼩聪明，偷⼯减料，含糊敷衍，都是不⾏的。⼀些勤奋学习、刻苦钻研、奋⼒拼搏的学⽣应该成为⼤家的榜样，⼤家要认真地向他们学习，努⼒营造⼀个良好的学习氛围。
02
从中学到⼤学，学习要求和学习环境都有了重⼤的变化，但⼤家⼀开始可能没有感觉，⽽⼀旦感觉到了，往往为时已晚。因此，⼀定要要求新⽣将⾃觉地改变⾃⼰的学习⽅法和学习习惯作为开始阶段的第⼀(注意，不是第⼆、第三，⽽是第⼀!)要务，⼒争在转折点处掌握先机，抓住学习的主动权。
对怎样才算“数学学得好”这个根本性的问题，中学⽣中⼀个相当普遍的看法是：谁题⽬解得多、解得快，谁就是数学好。更有⼀种“刷题”的说法，不少的⼈以每天刷了多少题⽽⾃豪。据说⼀些⽹站更为在其上刷了多少题建⽴指标、给以奖励，等等。如果进了⼤学，仍然以此作为“数学学得好”的标准，那就⼤错特错了，也必然对数学学习的效果造成极⼤的负⾯影响。
其实，数学是⼀门重思考与理解的学科，在⼊门阶段，数学学习的好坏要看是否理解深⼊、运作熟练及表达明晰这三个⽅⾯，这⼉所说的运作泛指运算及推理等环节，⽽三者中的关键是要深⼊的理解。只
有深⼊的理解，对数学的概念、⽅法及结论，不仅知其然，⽽且知其所以然，才能掌握数学的精神实质和思想⽅法，才能实现运作熟练和表达明晰这样⼀些外在层⾯上的表现。对这⼀点，习惯于中学阶段应试训练的学⽣是很少能有深刻的理解的，他们往往被⽼师牵着、抱着甚⾄赶着⾛，很少在深⼊理解上下功夫，平时也没有认真钻研教材的习惯，把⼤量的功夫都⽤在照搬照抄、反复操作⼤量同⼀类型的习题上。⽽如果只满⾜于会解题，⽽不知道为什么这样做，即使题刷得再多、再快，充其量只能成为⼀个熟练的解题⼯匠，是谈不上和数学真正结缘的，更是不可能培养⾃⼰的创新精神和创新能⼒的。
再说，⽬前中学⾥平时做的题(特别是考试中做的题)，⼤多是选择题或填充题，简单地写上⼀个答案就可以了。答案尽管是对的，但如果要求从头到尾将证明或过程写清楚，往往会暴露出不少的问题，就会发现要使表达简明清晰实在是⼀件很困难的事。别⼈三⾔两语就能搞定的，⾃⼰却啰啰嗦嗦地写了⼀⼤堆，颠三倒四，不得要领，这难道算是学好了数学吗?这样的状态能适应⼤学的学习⽣活吗?能保证⾃⼰不会输在起跑线上吗?这样看来，学⽣进了⼤学，⼀开始就要求他们并帮助他们⾃觉地转变思想、转变观念、转变习惯，实在⾮常重要。
03
学⽣进⼊⼤学数学类专业，不免要关⼼⾃⼰的前途和出路。对此有⼀个明确的定位，是提⾼他们学习积极性的⼀个重要的环节。当学⽣正在开始以数学为专业的系统学习，正在跨进数学科学的殿堂、成为⼀⽀
数学新军的时候，要使他们了解到：他们将要遨游于博⼤精深⽽⼜美轮美奂的数学王国，品尝并探索数学科学的精义和奥秘，欣赏它特有的美感，并努⼒为之添砖加⽡；同时，还要籍助于数学这⼀既神奇⼜实⽤的思路、⼯具和⽅法，努⼒揭⽰⼤⾃然和⼈类社会的种.种奥秘和规律，对我们所处的这个世界有更好的了解和认识，进⽽为国家、为民族、为⼈类造福。
正因为这样，⼀开始就要⿎励和希望学⽣树⽴⼀个远⼤的志向，拥有⼀个美丽的梦想，那就是将数学作为⾃⼰毕⽣的事业，⽴志将⾃⼰培养和造就为⼀个未来的数学家，为数学的发展与进步、为⼈才的教育与培养、为⼈类社会的发展与进步做出⾃⼰的建树和贡献，也为中国的数学增光添彩。拿破仑说过：“不想做将军的⼠兵，不是⼀个好的⼠兵!”套⽤⼀下他的话，我们应该也可以说：“不想做数学家的学⽣，不是数学类专业的⼀个好学⽣!”我们相信，这是不少学⽣发⾃内⼼的⾃觉追求，应该给以充分的⿎励和热情的⽀持。
还可能有相当⼀部分学⽣，他们虽然对数学有兴趣，也深知数学的重要性，但希望先打好⼀个数学基础，将来转⼊到其他各⾏各业发挥作⽤。不要认为他们这么想、这么做是离经叛道，将他们打⼊另册，⽽应该认识到这也是学习数学的⼀个良好的出路和动机。众多有着良好数学基础和修养的毕业⽣进⼊各⾏各业，不仅会从根本上改变这些⾏业的⾯貌，⽽且对数学发展本⾝也提供了良好的外部环境和带来极⼤的推动，同样是值得⿎励和⽀持的。
但是，这些学⽣尽管将来要进⼊各⾏各业，他们的⼈⽣不应该仅仅锁定在找⼀个⾼收⼊的⼯作这样功利且低俗的⽬标上，放弃了对数学的热爱与追求。相反，要使他们懂得，他们和其他⼈相⽐的优势不在别的地⽅，⽽在他们数学上的积淀；他们将来在新的环境中能不能脱颖⽽出，靠的也只能是他们在数学上的优势，⽽不是其他!他们将来的着⼒点，应该是在数学与其他学科交叉与融合的结合部上，这就是现在⼈们⼤⼒提倡的⼯业与应⽤数学。他们的奋⽃⽬标同样应该是成为⼀个数学家，⽽且是⼀个真正意义上的⼯业与应⽤数学家。
