0为什么是最小的自然数

0为什么是最小的自然数

0是自然数 最小的一位数是1. 随着九年义务教

育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，

一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的

关注。无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，

或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，

引发了大家的思考。

思考之一：为什么要把0划归自然数 从历史

上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种

观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然

数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不

包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然

数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民

共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》

（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近

几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人

员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，

用0表示。0也是自然数。

思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？

0是最小的自然数，那么最小的一位数是

“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很

清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然

数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的

疑问，笔者认为最小的一位数还是1。

因为，0表示一个物体也没有，在记数法中

是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示

这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将“0”

划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几

位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，

叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数

字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0

也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是

“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少

呢？

《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学

用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常

在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，

2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数

位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做

三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。

所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也

是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是9，

最小一位数是1；最大两位数是99，最小两位数是10；

最大三位数是999，最小三位数是100……”

综上所述，“0”虽然是最小的自然数，但

仍然不能称为“一位数”，更不能称为最小的一位数。

思考之三：自然数的计数单位还是“1”吗？

大家都知道，0是自然数中最小的一个。0加1

得1，1加1得2 ，2加1得3，……这样继续下去可

以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺序可知，

后面一个自然数比前面一个自然数多1。因此，任何

一个自然数都是由若干个1合并而成，所以1是自然

数的单位。0可以看成是由0个1组成的自然数。

思考之四：0是其它非零自然数的倍数吗？

《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关

于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何

改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被

2整除，所以0也是偶数”。以此类推，0能被所有非

零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零

自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考

虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，

一般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是

把0排除在外的。为此，《九年义务教育六年制小学

数学》第十册50页明确指出：“为了方便，以后在研

究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”。这

样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说法就

必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小倍数是

它本身”、“自然数的约数的个数是有限的”等，这

样的结论必须纠正。

思考之五：0是不是合数？

过去，在教学中，关于自然数的组成，有两种情

况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合；二

是所有的质数与所有的合数及1也组成自然数集合。

现在0也成为了自然数集合的一员，因而有许多教师

提出这样的问题：0是不是合数？

前面已经谈过了，以后“在研究约数和倍数时，

我们所说的数一般不包括0”，但作为一种学术研究，

进行探讨也未尝不可。笔者以为，0的约数有无数个，

根据《九年义务教育六年制小学数学》第十册中关于

合数的定义：“一个数，如果除了1和它本身还有别

的约数，这样的数叫做合数。”似乎应该把0划归为

合数范围，但仔细一想0是个特殊的自然数，因为所

有非零自然数都有“本身”这个约数，如，1是1的

约数，2也是2的约数……，而0这个自然数恰恰少

了“本身”这个约数，因此，也不能归为合数。试想：

假设如果0是合数，那么它能用质因数相乘的形式表

现出来吗？这就与“每个合数都可以写成几个质数相

乘的形式”产生了矛盾。所以，我主张把0划归为“既

不质数，也不是合数”范围。当然了，这需要权威机

构和专家们的认定。但我认为，目前在没有明确0是

不是合数的情况下，还是以回避为好。

思考之六：“任何相邻的两个自然数是互质数”对

吗？

0没有成为自然数时，这一结论毫无疑问是

正确的。现在0也是自然数，我们只要研究“0和1”

这两个相邻的自然数是不是质数，就行了。根据《九

年义务教育六年制小学数学》第十册中关于互质数的

定义：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”笔

者认为，0的约数有无数个，而1的约数只有一个，

那就是它本身。综上所述，0和1的公约数只有“1”，

因此，0和1是互质数。自然，“任何相邻的两个自

然数是互质数”这个结论也是正确的。

最小的一位数究竟是几?

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转载自 子涓 转载于2010年01月13日 17:13 阅读(1) 评论(0) 分类：

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最小的一位数究竟是几?

最近，经常有老师问，最小的一位数究竟是几？因为一些教辅资料上有关于最小

的一位数是几的判断题或填空题，有的资料上的答案是1，有的则是0。要判断

这两种答案究竟哪一种正确，先要搞清楚“一位数”和“几位数”这两个概念。

关于“一位数”和“几位数”的定义，笔者从有关资料中找到以下几种：

用一个数字记出的数（不是0），叫做一位数。（《数学（算术理论部分）》，

上海:上海教育出版社，1979年6月1版，第10页）

用一个不是0的数字写出的数叫做一位数。例如：1、3、9……在一个数中,数字

的个数是几,（其中最左端的数字不是0），这个数就叫做几位数。（刘梦湘、黄

文选主编.《小学数学问答手册》，北京:北京师范大学出版社，1993年3月1版，

第13页）

从上面的定义中可知，最小的一位数是1而不是0。为什么会出现最小的一位数

是0的说法呢？一是持有这些认识的人对一位数的概念不清楚；二是受九年义务

教育小学数学教材(试用修订版)将“0”划规为自然数的影响。笔者认为，判断

最小的一位数是几，只能用一位数的定义来判断，与0是否划规为自然数无关。

进一步研究，为什么要在几位数的定义中加上“最左端的数字不是0”这个限制

条件？为便于说明，先假设没有这个条件，将会产生什么后果。由于0＜1，且

也是一个数字，那么最小的一位数就应该是0；然而，由此也可以得出最小的两

位数就不是10，而是00，同样最小的三位数是000，……而 0＝00＝000……就

会得出最小的任意位数都是相等的，它们都等于0这样一个错误的结论。不仅如

此，我们说5是一位数，05当然是两位数，005则是三位数，等等，同一个数我

们说它是任意几位数都可以。这里的所谓一位数、两位数、三位数，等等，实际

上都没有本质的区别，因而几位数这个概念就没有存在的必要了。由此可见，在

定义几位数时，“其中最左端的数字不是0”这个条件是决不可少的。这样，最

小的一位数只能是1而不是0。 最小的一位数究竟是几?

最近，经常有老师问我，最小的一位数究竟是几？因为一些教辅资料上有关于最

小的一位数是几的判断题或填空题，有的资料上的答案是1，有的则是0。要判

断这两种答案究竟哪一种正确，先要搞清楚“一位数”和“几位数”这两个概

念。关于“一位数”和“几位数”的定义，笔者从有关资料中找到以下几种：

用一个数字记出的数（不是0），叫做一位数。（《数学（算术理论部分）》，

上海:上海教育出版社，1979年6月1版，第10页）

用一个不是0的数字写出的数叫做一位数。例如：1、3、9……在一个数中,数字

的个数是几,（其中最左端的数字不是0），这个数就叫做几位数。（刘梦湘、黄

文选主编.《小学数学问答手册》，北京:北京师范大学出版社，1993年3月1版，

第13页）

从上面的定义中可知，最小的一位数是1而不是0。为什么会出现最小的一位数

是0的说法呢？一是持有这些认识的人对一位数的概念不清楚；二是受九年义务

教育小学数学教材(试用修订版)将“0”划规为自然数的影响。笔者认为，判断

最小的一位数是几，只能用一位数的定义来判断，与0是否划规为自然数无关。

进一步研究，为什么要在几位数的定义中加上“最左端的数字不是0”这个限制

条件？为便于说明，先假设没有这个条件，将会产生什么后果。由于0＜1，且

也是一个数字，那么最小的一位数就应该是0；然而，由此也可以得出最小的两

位数就不是10，而是00，同样最小的三位数是000，……而 0＝00＝000……就

会得出最小的任意位数都是相等的，它们都等于0这样一个错误的结论。不仅如

此，我们说5是一位数，05当然是两位数，005则是三位数，等等，同一个数我

们说它是任意几位数都可以。这里的所谓一位数、两位数、三位数，等等，实际

上都没有本质的区别，因而几位数这个概念就没有存在的必要了。由此可见，在

定义几位数时，“其中最左端的数字不是0”这个条件是决不可少的。这样，最

小的一位数只能是1而不是0。

榆林市教研室丁玉明

真笨

哎！一年级的小不点人虽小，可

鬼着呢！

一天刚上完课，韦昊冷不丁的问

我：“老师，8的一半是多少 ？” 我眼珠一转，笑

着说：“是0。”心里想着：答得挺好的呢！ 韦昊拍

着手笑道：“错了错了！8的一半是4呀，这都不知

道，老师真笨！”

我不好意思地低下了头，轻声说：

“0也没错呀，巧问妙答嘛！”可我当时恨不得有个

地缝钻进去。

第二天，罗俊又问我 ：“老

师，8的一半是多少？”我这回可有防备了，依然笑

着说：“是4，也可以说是0。”罗俊哈哈大笑，捂

着肚子说：“是3呀！老师真笨……真……”

第三天，张鑫也跑过来问我：

“老师，8的一半……”我打断他的话，不耐烦的说：

“是4，是0，也是3。”张鑫听了咯咯地笑了，说：

“老师又错了，八的一半是一撇。”说完蹦蹦跳跳地

走了。

哎，这帮小不点可真厉害呀，

真不敢小看他们呀！

两个都咬一口

我问孩子们：“你有两个苹果，一个大一个小，

你准备吃哪个？”孩子们大声嚷着：“吃小的。”正当

我为自己的有效教育效果窃喜时，突然文静的杨红站

起来说：“老师，我想两个都要一口。”同学们哈哈大

笑，我愕然，心里直犯嘀咕：这孩子怎么这么自私，

再看杨红，还一脸的委屈。于是我耐着性子问道 ：“能

说说为什么吗 ？”“我要把甜一点的那个给妈妈，因

为妈妈平时就是这样把最甜的苹果挑给我吃的。”我

震惊，我更感动，我把杨红紧紧的楼在怀里.