2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题

专题七 一次函数中的构造等腰直角三角形法

11ABC∠ACB90°CBCAEDCAAD⊥ED

、如图，等腰直角三角形中，＝，＝，直线经过点，过作于点

DBBE⊥EDE

，过作于点．

求证：；

△BEC≌△CDA

解：（）由题意可知：（型全等），

1△BEO≌△AODK

∴OEAD

＝，

∵k1

＝﹣，

∴yx+4

＝﹣，

∴B04

（，），

∴OB4

＝，

∵BE3

＝，

∴OE

＝，

∴AD

＝；

（）＝﹣时，＝﹣，

2kyx+4

∴A30

（，），

①BM⊥ABBMAB

当，且＝时，

过点作轴，

MMN⊥y

∴△BMN≌△ABOAAS

（），

∴MNOBBNOA

＝，＝，

∴MN4BN3

＝，＝，

∴M47

（，）；

②AB⊥AMAMAB

当，且＝时，

过点作轴垂线，

MxMK

∴△ABO≌△AMKAAS

（），

∴OBAKOAMK

＝，＝，

∴AK4MK3

＝，＝，

∴M73

（，）；

③AM⊥BMAMBM

当，且＝时，

过点作轴，轴，

MMH⊥xMG⊥y

∴△BMG≌△AHMAAS

（），

∴BGAHGMMH

＝，＝，

∴GMMH

＝，

∴4MHMH3

﹣＝﹣，

∴MH

＝，

∴M

（，）；

综上所述：（，）或（，）或（，）；

M73M47M

（）当＞时，＝，

3k0AO

过点作轴，

QQS⊥y

∴△ABO≌△BQSAAS

（），

∴BSOASQOB

＝，＝，

∴Q44

（，﹣），

∴OQ

＝，

∴k1QO4

当＝时，最小值为；

当＜时，（，﹣），

k0Q44

∴OQ

＝，

∴k1QO4k0

当＝时，最小值为，与＜矛盾，

∴OQ4

的最小值为．

2A60B08Cy

、已如，在平面直角坐标系中，点的坐标为（，）、点的坐标为（，），点在轴上，作直线

ACBACB′xCB′

．点关于直线的对称点刚好在轴上，连接．

（）写出点的坐标，并求出直线对应的函数表达式；

1B′AC

（）点在线段上，连接、、，当是等腰直角三角形时，求点坐标；

2DACDBDB′BB′△DBB′D

（）如图，在（）的条件下，点从点出发以每秒个单位长度的速度向原点运动，到达点

322PB2OO

时停止运动，连接，过作的垂线，交轴于点，问点运动几秒时是等腰三角形．

PDDDPxQP△ADQ

解：（）的坐标为（，）、点的坐标为（，），

1∵A60B08

∴OA6OB8

＝，＝，

∵∠AOB90°

＝，

∴AB10

＝，

∵BB'AC

与关于直线对称，

∴ACBB'

垂直平分，

∴BCCB'AB'AB10

＝，＝＝，

∴B'40

（﹣，），

设点（，），

C0m

∴OCm

＝，

∴CB'CB8m

＝＝﹣，

∵Rt△COB'∠COB'90°

在中，＝，

∴m+168m

22

＝（﹣），

∴m3

＝，

∴C03

（，），

设直线的解析式为＝（），

ACykx+bk≠0

把（，），（，）代入可得＝﹣，＝，

A60C03kb3

∴yx+3

＝﹣；

（）垂直平分，

2∵ACBB'

∴DBDB'

＝，

∵△BDB'

是等腰直角三角形，

∴∠BDB'90°

＝，

过点作轴，轴，

DDE⊥xDF⊥y

∴∠DFO∠DFB∠DEB'90°

＝＝＝，

∵∠EDF360°∠DFB∠DEO∠EOF∠EOF90°

＝﹣﹣﹣，＝，

∴∠EDF90°

＝，

∴∠EDF∠BDB'

＝，

∴∠BDF∠EDB'

＝，

∴△FDB≌△EDB'AAS

（），

∴DFDE

＝，

设点（，）代入＝﹣中，

Daayx+3

∴a2

＝，

∴D22

（，）；

（）同（）可得＝，

32∠PDF∠QDE

∵DFDE2∠PDF∠QDE

＝＝，＝，

∴△PDF≌△QDEAAS

（），

∴PFQE

＝，

①DQDA

当＝时，

∵DE⊥x

轴，

∴QEAE4

＝＝，

∴PFQE4

＝＝，

∴BPBFPF2

＝﹣＝，

∴P1

点运动时间为秒；

②AQAD

当＝时，

∵A60D22

（，）、（，），

∴AD2

＝，

∴AQ2

＝，

﹣，＝＝

4 ∴PFQE2

，＝﹣＝﹣

∴BPBFPF102

秒；点的运动时间为﹣

∴P5

③QDQA

当＝时，

设＝，

QEn

则＝＝﹣，

QDQA4n

在中，＝，

Rt△DEQ∠DEQ90°

∴4+n4n

22

＝（﹣），

∴n1.5

＝，

∴PFQE1.5

＝＝，

∴BPBF+PF7.5

＝＝，

∴P3.75

点的运动时间为秒，

∵0≤t≤4

，

∴t3.75

＝，

综上所述：点的运动时间为秒或﹣秒或秒．

P153.75

3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x，y），Q（x，y），若点M（x，y）满足x＝3（x+x），y

112212

＝3（y

12

+y），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满

足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．

（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；

（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．

①求y与x的函数关系式；

①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．

解：（1）①3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，

①点B是A、C的“美妙点”；

（2）设点D（m，m+2），

①①M是点D、E的“美妙点”．

①x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6，

故m＝x﹣3，

①y＝（x﹣3）+6＝x+3；

①由①得，点M（9+3m，m+6），

如图1，当①MEF为直角时，则点M（3，4），

①9+3m＝3，解得：m＝﹣2；

①点D（﹣2，）；

当①MFE是直角时，如图2，

则9+3m＝m，解得：m＝﹣，

①点D（﹣，）；

当①EMF是直角时，不存在，

综上，点D（﹣2，）或（﹣，）．

4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．

（1）求k的值；

（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．

（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；

（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．

解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：

k＝﹣3；

（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，

则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；

（i）S

①BCO

＝OB×CO＝2×6＝6，

直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，

则S

①CDE

＝2或4，

而S

①CDEEE

＝×CD×x＝4×x＝2或4，

则x

E

＝1或2，

故点E（1，3）或（2，0），

将点E的坐标代入直线l表达式并解得：

直线l的表达式为：y＝±x+2；

（①）设点E（m，﹣3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），

则AE＝（m﹣1），AD＝2，ED＝m，

2222222

+（3﹣3m）+（4﹣3m）

当AE＝AD时，（m﹣1）＝2，解得：m＝或；

22

+（3﹣3m）

当AE＝ED时，同理可得：m＝；

综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．

5、建立模型：

如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作

CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直

角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．

模型应用：

（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．

①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；

①若AB为直角边，求点C的坐标；

（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段

NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角

顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．

解：（1）①过点C作CD①x轴于点D，

①①BDC＝90°＝①AOB，

①①BCD+①DCB＝90°，

①①ABC＝90°，

①①ABO+①DBC＝90°，

①①ABO＝BCD，

①AB＝BC，

①①AOB①①BDC（AAS），

DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；

①若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，

故点C′（﹣1，﹣3）；

故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；

（2）如图2，当①MGP＝90°时，MG＝PG，

过点P作PE①OM于E，过点G作GH①PE于H，

①点E与点M重合，①GF＝AB＝4

设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，

易得G点坐标（4，2）；

如图3，当①MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），

综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）．

6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．

（1）求出点A，点B的坐标．

（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．

（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A

11

B，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m

上是否存在点Q，使得①A

11

BQ是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．

解：（1）设y＝0，则x+2＝0，

解得：x＝﹣4，

设x＝0，则y＝2，

①点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；

（2）①点C（﹣2，0），点B（0，2），

①OC＝2，OB＝2，

①P是直线AB上一动点，

①设P（m，m+2），

①①BOP和①COP的面积相等，

①×2|m|＝2×（|m|+2），

解得：m＝±4，

当m＝﹣4时，点P与点A重合，

①点P坐标为（4，4）；

（3）存在；

理由：如图1，

①当点B是直角顶点时，

1

①BQ＝BA，

111

①①ABO+①QBH＝90°，①ABO+①OAB＝90°，

1111111

①①OAB＝①QBH，

111

在①A

111

OB和①BHQ中，，

①①AOB①①BHQ（AAS），

111

①BH＝AO，OB＝HQ＝2，

111

①B（0，﹣2）或（0，2），

1

当点B

1

（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），

当点B

1

（0，2）时，

①B（0，2），

①点B（0，2）（不合题意舍去），

1

①直线AB向下平移4个单位，

①点Q也向上平移4个单位，

①Q（﹣2，2），

①当点A是直角顶点时，AB＝AQ，

1111

①直线AB的解析式为y＝x+2，

由平移知，直线A

11

B的解析式为y＝x+b，

①A（﹣2b，0），B（0，b），

11

①AB+b

11

2222

＝4b＝5b，

①AB①AQ，

111

①直线AQ的解析式为y＝﹣2x﹣4b

1

①Q（﹣2，4﹣4b），

①AQ+（4﹣4b）+40b+20，

1

2222

＝（﹣2b+2）＝20b

①20b

22

﹣40b+20＝5b，

①b＝2或b＝，

①Q（﹣2，﹣4）或（﹣2，）；

①当Q是直角顶点时，过Q作QH①y轴于H，

①AQ＝BQ，

11

①①QAC+①AQC＝90°，①AQC+①CQB＝90°，

11111

①①QAC＝①CQB，

11

①m①y轴，

①①CQB＝①QBH，

11

①①QAC＝①QBH

11

在①A

11

QC与①BQH中，，

①①AQC①①BQH（AAS），

11

①CQ＝QH＝2，BH＝AC，

11

①Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），

即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．

7、如图1，等腰直角三角形ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD①DE于点D，

过B作BE①DE于点E，则①BEC①①CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）

【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．

（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD

的长；

（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若①ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；

（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，

求OQ长的最小值．

解：（1）由题意可知：①BEO①①AOD（K型全等），

①OE＝AD，

①k＝﹣1，

①y＝﹣x+4，

①B（0，4），

①OB＝4，

①BE＝3，

①OE＝，

①AD＝；

（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，

①A（3，0），

①当BM①AB，且BM＝AB时，

过点M作MN①y轴，

①①BMN①①ABO（AAS），

①MN＝OB，BN＝OA，

①MN＝4，BN＝3，

①M（4，7）；

①当AB①AM，且AM＝AB时，

过点M作x轴垂线MK，

①①ABO①①AMK（AAS），

①OB＝AK，OA＝MK，

①AK＝4，MK＝3，

①M（7，3）；

①当AM①BM，且AM＝BM时，

过点M作MH①x轴，MG①y轴，

①①BMG①①AHM（AAS），

①BG＝AH，GM＝MH，

①GM＝MH，

①4﹣MH＝MH﹣3，

①MH＝，

①M（，）；

综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；

（3）当k＞0时，AO＝，

过点Q作QS①y轴，

①①ABO①①BQS（AAS），

①BS＝OA，SQ＝OB，

①Q（4，4﹣），

①OQ＝，

①当k＝1时，QO最小值为4；

当k＜0时，Q（4，4﹣），

①OQ＝，

①当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，

①OQ的最小值为4．

8

、【模型建立】

（）如图，等腰直角三角形中，＝，＝，直线经过点，过作于

11ABC∠ACB90°CACBEDCAAD⊥ED

点，过作于点．

DBBE⊥EDE

求证：．

△CDA≌△BEC

【模型运用】

（）如图，直线：＝与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转至直线，求直

22lyx+4ABlA90°l

112

线的函数表达式．

l

2

【模型迁移】

如图，直线经过坐标原点，且与轴正半轴的夹角为，点在直线上，点为轴上一动点，

3lOx30°AlPx

连接，将线段绕点顺时针旋转得到，过点的直线交轴于点，＝，点

APAPP30°BPBBCxC∠OCB30°

Bx2P

到轴的距离为，求点的坐标．

证明：【模型建立】

（），，

1∵AD⊥DEBE⊥DE

∴∠D∠E90°

＝＝

∵∠ACB90°

＝，

∴∠ACD90° ∠BCE∠CBECABC∠D∠E90°

＝﹣＝，且＝，＝＝

∴△CDA≌△BECAAS

（）

【模型运用】

（）如图，在上取点，使＝，过点作，垂足为

22lDADABDDE⊥OAE

2

∵yx+4AB

直线＝与坐标轴交于点、，

∴A30B04

（﹣，），（，），

∴OA3OB4

＝，＝，

由（）得，

1△BOA≌△AED

∴DEOA3AEOB4

＝＝，＝＝，

∴OE7

＝，

∴D73

（﹣，）

设的解析式为＝，

lykx+b

2

得

解得

∴l

直线的函数表达式为：

2

【模型迁移】

（）若点在轴正半轴，如图，过点作，

3Px3BBE⊥OC

∵BE2∠BCO30°BE⊥OC

＝，＝，

∴BC4

＝，

∵APP30°BP

将线段绕点顺时针旋转得到，

∴APBP∠APB30°

＝，＝，

∵∠APC∠AOC+∠OAP∠APB+∠BPC

＝＝，

∴∠OAP∠BPC∠OAC∠PCB30°APBP

＝，且＝＝，＝，

∴△OAP≌△CPBAAS

（）

∴OPBC4

＝＝，

∴P40

点（，）

若点在轴负半轴，如图，过点作，

Px4BBE⊥OC

∵BE2∠BCO30°BE⊥OC

＝，＝，

∴BC4

＝，

∵APP30°BP

将线段绕点顺时针旋转得到，

∴APBP∠APB30°

＝，＝，

∵∠APE+∠BPE30°∠BCE30°∠BPE+∠PBC

＝，＝＝，

∴∠APE∠PBC

＝，

∵∠AOE∠BCO30°

＝＝，

∴∠AOP∠BCP150°∠APE∠PBCPAPB

＝＝，且＝，＝

∴△OAP≌△CPBAAS

（）

∴OPBC4

＝＝，

∴P40

点（﹣，）

综上所述：点坐标为（，）或（﹣，）

P4040

91yx+bxyABCm0

、如图，在平面直角坐标系中，直线＝﹣与轴、轴相交于、两点，动点（，）在线

段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作

OACBC90°CDDABDDE⊥x

轴于点．

E

（）求和的数量关系；

1mb

（）当＝时，如图，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的

2m12△BCDx△B′C′D′B′C′DB′

坐标及平移的距离；

△BCD

（）在（）的条件下，直线上是否存在一点，以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形？

32ABPPCD

若存在，写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

P

解：（）直线＝﹣与轴相交于点，

1yx+byB

∴B0b

（，）

∴OBb

＝，

∵Cm0

点（，）

∴OCm

＝

∵∠BCO+∠ECD90°∠BCO+∠OBC90°

＝，＝，

∴∠OBC∠ECD

＝．

在和中，

△OBC△ECD

∴△OBC≌△ECDAAS

（）

∴BOCEbDEOCm

＝＝，＝＝，

∴Db+mm

点（，）

∴mb+m+b

＝﹣（）

∴b3m

＝

（）＝，

2∵m1

∴b3C10D41

＝，点（，），点（，）

∴AByx+3

直线解析式为：＝﹣

设直线解析式为：＝，且过（，）

BCyax+310

∴0a+3

＝

∴a3

＝﹣

∴BCy3x+3

直线的解析式为＝﹣，

设直线的解析式为＝﹣，把（，）代入得到＝，

B′C′y3x+cD41c13

∴B′C′y3x+13

直线的解析式为＝﹣，

当＝时，＝

y3x

当＝时，＝

y0x

∴B′3C'0

（，），（，）

∴CC′

＝，

∴△BCD

平移的距离是个单位．

（）当＝，＝时，点与点重合，

3∠PCD90°PCCDPB

∴P03

点（，）

如图，当＝，＝时，

∠CPD90°PCPD

∵BCCD∠BCD90° ∠CPD90°

＝，＝，＝

∴BPPD

＝

∴PBDB03D41

点是的中点，且点（，），点（，）

∴P22

点（，）

综上所述，点为（，）或（，）时，以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．

P0322PCD

10yx+7yxAxB

、如图，已知一次函数＝﹣与正比例函数＝的图象交于点，且与轴交于点．

（）求的面积：

1△AOB

（）在轴上找一点，使最小，求最小值及点坐标．

2yCAC+BCC

（）点从出发向点以个单位每秒的速度运动，点从点出发向点以同样的速度运动，两

3POB1QBA

个点同时停止，当为等腰三角形时，求点坐标．

△BPQQ

解：（）一次函数＝﹣与正比例函数＝的图象交于点，且与轴交于点．

1∵yx+7yxAxB

∴B70x+7x

点（，），﹣＝

∴x3

＝，

∴A34

点（，）

∴S

△

AOB

＝＝；

×7×414

（）如图，作点关于轴的对称点（﹣，），连接，交轴于点，

21ByH70AHyC

∴AC+BCAH

此时最小值为，

∵A34H70

点（，），点（﹣，），

∴AH2

＝＝，

∴AC+BC2

最小值为，

设直线解析式为：＝，且过点（，），点（﹣，），

AHykx+bA34H70

∴

，

解得：

∴AHyx+

直线解析式为：＝；

（）如图，过点作，

32QQE⊥OB

∵

以同样的速度运动，

∴BQOP

＝，

∵yx+7yD

一次函数＝﹣与轴交于点，

∴D07

点（，），

∴ODOB7∠DOB90°

＝＝，且＝，

∴∠DBO45°QE⊥OB

＝，且，

∴∠QBE∠EQB45°

＝＝，

∴QEBE

＝，

∴QBQEEB

＝＝，

若＝，且＝，

PBQBOPBQ

∴OPPBBQ

＝＝＝，

∴BEEQ

＝＝，

∴OE7

＝﹣，

∴Q7

点（﹣，），

若＝，且，

QPQBQE⊥OB

∴PEBE

＝，

∵OB7OP+PE+BE

＝＝，

∴7BE+2BE

＝，

∴BEQE

＝＝，

∴OE

＝

∴Q

点（，），

如图，若＝，过点作，

3BPPQPPF⊥BQ

∴BFFQBQ

＝＝，

∵∠ABO45°PF⊥AB

＝，，

∴∠FPB∠ABO45°

＝＝，

∴PFBF

＝，

∴PBBF

＝，

∴7BQ

﹣＝

∴BQ

＝，

∴BEQE

＝＝，

∴Q7

点坐标为（﹣，）．

114OACBOABxyD

、一边长为正方形放在平面直角坐标系中，其中为原点，点、分别在轴、轴上，为

射线上任意一点．

OB

（）如图，若点坐标为（，），连接交于点，则的面积为 ；

11D02ADOCE△AOE

（）如图，将沿翻折得，若点在直线＝图象上，求出点坐标；

22△AODAD△AEDEyxE

（）如图，将沿翻折得，和射线交于点，连接，若＝，平面

33△AODAD△AEDDEBCFAF∠DAO75°

内是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点坐标；若

Q△AFQAFQ

不存在，请说明理由．

解：（）边长为正方形放在平面直角坐标系中，

1∵4OACB

∴A40C44

点坐标（，），点（，），

∴OCyx

直线解析式为：＝，

∵D02A40

点坐标为（，），点坐标（，），

∴ADyx+2

直线解析式为：＝﹣，

∴

解得：

∴E

点坐标（，）

∴△AOE×4×

的面积＝＝，

故答案为：；

（）如图，过点作，

22EEH⊥OA

∵△AODAD△AED

将沿翻折得，

∴AOAE4

＝＝，

设点（，），

Eaa

∴OHaEHa

＝，＝，

∴AH4a

＝﹣，

∵AEEH+AH

222

＝，

∴16a+4a

＝（﹣），

22

∴a0a

＝（舍去），＝，

∴E

点（，）

（）将沿翻折得，

3∵△AODAD△AED

∴∠DAO∠DAE75°OAAE∠DOA∠DEA90°

＝＝，＝，＝＝，

∴∠OAE150°AEAC∠ACF∠AED90°

＝，＝，＝＝，

∴∠CAE60°

＝，

∵AEACAFAF

＝，＝，

∴Rt△AEF≌Rt△ACFHL

（）

∴∠CAF∠EAF30°AC4

＝＝，且＝，

∴CF

＝，

∵△AFQAF

是以为直角边的等腰直角三角形，

∴∠AFQ90°AFFQ3QQN⊥BF

若＝，＝，如图，过点作，

∴∠NQF+∠QFN90°∠QFN+∠AFC90°

＝，且＝，

∴∠NQF∠AFC∠ACF∠QNF90°QFAF

＝，且＝＝，＝，

∴△QNF≌△FCAAAS

（）

∴QNCFACNF4

＝＝，＝＝，

∴Q4+

点（，）

同理可求：（，﹣），

Q'8+4

若＝，＝时，

∠FAQ90°AFAQ

同样方法可求，（，），（，﹣）

Q''0Q'''8