2020年中考三轮冲刺复习同步练习：
《反比例函数》实际应用（三）
1．（1）兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如表：
①写出兄吃饺子数与弟吃饺子数之间的函数关系式（不要求写的取值范围）．
yxxy
yyx
）在减少，但与是成反例吗？②虽然当弟吃的饺子个数增多时，兄吃的饺子数（
t如表：（2）水池中有水若干吨，若单开一个出水口，水流速v与全池水放光所用时
①写出放光池中水用时t（小时）与放水速度v（吨/小时）之间的函数关系．
②这是一个反比例函数吗？
③与（1）的结论相比，可见并非反比例函数有可能“函数值随自变量增大而减小”，反之，
所有的反比例函数都是函数值随自变量的增大而减小吗？这个问题，你可以提前探索、
“
”反比例函数的图象和性质，也可以等到下一节课我们共同解尝试，也可以预习下一课时
决．
2．保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂1月的利润为200
万元．设1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定1月底
起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成
反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增
加20万元（如图）．
（1）分别求该化工厂治污期间y与x之间对应的函数关系式．
y与x之间对应的函数关系式．（2）求5月份的利润及治污改造工程完工后
1月的水平？（3）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到
13．①一电源E给不同电阻值的电阻供电，测量通过各电阻的电流，结果如下：
R/Ω5 10 15 20 25 30 …
I/A0.6 0.3 0.2 0.15 0.2 0.1 …
②给一电阻R加上不同的电压，测得相应的电流结果如下：
U2.4 4.8 7.2 9.6 12 …
I0.2 0.4 0.6 0.8 1 …
要求：
（1）根据表①的数据，求出I关于R的函数关系式，画出图，并确定这一电源E的电压；
（）根据表②的数据，求出关于的函数关系式，画出图象，并确定这一电阻的阻
2IUR
值；
（3）当电源E给电阻R供电时，电流是多少．
14．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温
度不变时，气球内气体的气压P（KPa）是气体体积V（m）的反比例函数，其图象如图
所示．
（1）写出这一函数的解析式．
（2）当气体的体积为1m时，气压是多少？
3
3
（3）当气球内的气压大于150KPa时，气球会将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不
小于多少？
15．已知圆柱的侧面积是6πcm
2
，若圆柱的底面半径为x（cm），高为ycm．
（）写出关于的函数解析式；
1yx
（2）完成下列表格：
x…0.5 1 1.5 2 3 4 5 6 …
y……
（3）在所给的平面直角坐标系中画出y关于x的函数图象．
162/y（吨）、
．今年某水果超市都以万元吨的价格购进甲、乙两种水果，甲水果的销量
1
乙水果的销量（吨）与售价（万元吨）之间大致满足如图所示的两个函数关系．
yx/
2
（1）求y，y的函数解析式；
12
（2）在两种水果的售价相同的情况下，售价定为多少时，甲水果的销量大于乙水果的销
量？
（3）分别将甲、乙两种水果的售价定为多少时，通过销售这两种水果各能获得12万元
的利润？（利润＝销售量×（售价﹣进价））
17．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果如下：用1个单位量
的水可洗掉蔬菜残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总有农药残留在蔬
菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药
量之比为函数＝（）
yx≥０
（1）试确定c的值，并写出两条上述函数的性质；
（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后清洗两次，
试用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
18．为了预防流感，某校在休息日用药熏消毒法对教室进行消毒，消毒过程中，室内每立方
米空气中的含药量（）与消毒开始后的时间（）之间的函数图象如图所示，其中
ymgxh
药物释放完毕前与成正比例；药物释放完毕后，与成反比例．
yxyx
（1）求y关于x的函数解析式；提示：分两段求解．
（2）如果规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时工作人员方可进入教室
开窗换气，清理卫生，那么从药物释放开始小时后工作人员才能进入教室．
19．有一水池装水12立方米，若从水管中每小时流出x立方米的水，则经过y小时可以把
水放完．
（1）写出y与x的函数关系式．
（2）如果准备在3小时内将满池水放完，那么从水管中每小时至少流出多少立方米的水？
（3）已知从水管中每小时最多流出15立方米的水，那么最少多长时间可将水池里的水
全部放完？
20．某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为1亿千瓦时，本年度计划将电价调至
y（亿0.55﹣0.74元/千瓦时之间．经测算，若电价调至x元/千瓦时，则本年度新增用电量
千瓦时）与（﹣）成反比例，且当＝元千瓦时时，＝亿千瓦时．
x0.4x0.65/y0.8
（）请写出本年度新增用电量（亿千瓦时）与调整后的电价（元千瓦时）的函数解
1yx/
析式；
（2）若想电价不高于0.65元/千瓦时，则新增用电量至少是多少亿千瓦时？
．解：（）①兄吃饺子数与弟吃饺子数之间的函数关系式为：＝﹣，
1yxy30x1
参考答案
②与之间的函数关系式是一次函数而不是反比例函数，
yx
∴y与x不成反比例；
（2）①V＝，
②是反比例函数．
③y＝30﹣x是一个一次函数，因为x前面的系数是负数，所以y随x的增大而减小．
v＝是一个反比例函数，因为10大于0，所以当t大于0时，v随t的增大而减小．
，把（1，200）代入，得k＝200，即；2．解：（1）当1≤x≤５时，设
（）∵从月到月，与成反比例．
215yx
∴当＝时，即＝，
x5
∴＝，
y40
∵到月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万
520
元，
∴当x＞5时，y＝40+20（x﹣5）＝20x﹣60；
（3）当y＝200时，20x﹣60＝200，
解得：x＝13，
所以治污改造工程顺利完工后经过13﹣5＝8个月后，该厂利润达到200万元．
3．解：（1）I＝，图象如图所示；．
（）＝，图象如图所示；
2I
根据R＝可得R＝12；
（3）由（1）可知U＝3，由（2）R＝12，
∴电流I＝＝＝0.25．
4．解：（1）设，将A（0.5，120）代入求出k＝60，
∴；
（2）当V＝1m时，P＝60（KPa）；
3
（3）当P＞150KPa时，气球将爆炸，
∴P≤150，即，
解得V≥＝0.4（m）．
3
故为了安全起见，气体的体积应不小于0.4（m）．
3
5．解：（1）依题意，得2πxy＝6π，即y＝；
（2）填表如图：
x…0.5 1 1.5 2 3 4 5 6 …
y…6 3 2 1.5 1 0.75 0.6 0.5 …
（）函数图象如图：
3
61y＝，将（6，5）代入得：
．解：（）设
1
k30
＝，
则y的函数解析式为：y＝，
11
设y＝ax+b，将（6，5），（10，3），
2
则，
解得：，
故y的函数解析式为：y＝﹣x+8；
22
（2）如图所示：当0＜x＜6时或x＞10时，甲水果的销量大于乙水果的销量；
（）设甲的利润为：根据题意可得：
3w
w
1
＝（﹣）＝，＝﹣
x2×1230
解得：x＝，
1
乙的利润为：w根据题意可得：
2
w＝（x﹣2）×（﹣x+8）＝12，
2
解得：x＝4，x＝14，
12
答：甲种水果的售价定为万元/吨时，能获得12万元的利润，
乙种水果的售价定为12万元的利润．4或14万元/吨时，能获得
7．解：（1）由题意x＝0时，y＝1，
∴1＝，
∴c＝1，
性质①函数的图象在第一象限，性质②＞时，随的增大而减小．
x1yx
（）若是一次清洗，则：
2
农药量y＝，
若分为两次清洗，则：
第一次清洗后农药量y＝＝，
第二次清洗后农药的量是y＝＝（）．
2
∵＜1，
∴（）＜．
2
所以可知当分两次清洗时，农药残留量均小于一次清洗．
所以应两次清洗．
8．解：（1）设药物释放完毕后y与x之间的解析式y＝，
把点（3，0.5）代入得0.5＝，
解得k＝1.5，
∴y关于x的函数式为：y＝（1.5x≤），
当＝时，＝，
y11
解得：＝，
x1.5
∴设药物释放完毕前y与x的关系式为：y＝ax，
则1＝1.5a，
∴解得：＝，
a
故＝（）；
yx0≤x≤1.5
（2）当y＝0.25时，由y＝；
解得：x＝6，所以6后学生才可进入教室．
故答案为：．
6
9．解：（1）根据题意得xy＝12，
∴y与x的函数关系式为y＝（x＞0）；
（2）把y＝3代入中，可得：x＝4，
4立方米的水；答：从水管中每小时至少流出
得y＝＝，（3）把x＝15代入y＝
小时．所以当x＝15米/小时，时间y的值为
x﹣0.4）成反比例，10．解：（1）∵本年度新增用电量y（亿千瓦时）与（
3
∴设y＝．
∵x＝0.65元/千瓦时时，y＝0.8亿千瓦时，
∴0.8＝．
解得k＝0.2．
∴＝．
y
yx/y
（亿千瓦时）与调整后的电价（元千瓦时）的函数解析式是：即本年度新增用电量
＝．
（）由＝元千瓦时时，＝亿千瓦时可知，若想电价不高于元千瓦时，
2x0.65/y0.80.65/
则新增用电量至少是0.8亿千瓦时．
答：若想电价不高于0.65元/千瓦时，则新增用电量至少是0.8亿千瓦时．
2020年中考三轮冲刺复习同步练习：
《图形的对称》综合训练（二）
1PABCDBCPBCAPB
．如图，为正方形的边上的一动点（不与、重合），连接，过点
作⊥交于点，将△沿着所在直线翻折得到△，延长交
BQAPCDQBCQBQBQEQEAB
的延长线于点M．
（1）探求AP与BQ的数量关系；
（2）若AB＝3，BP＝2PC，求QM的长．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是对角线BD上的一点，把△ABE沿着直
线AE翻折得到△AFE，且点F恰好落在AD边上，连接BF．
（）求△的周长；
1DEF
（）求∠的值．
2sinBFE
314×51
．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为．网格线的交点称为格点，以格点
为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线及格点，，连接．
（）请根据以下要求依次画图：
1
①在直线l的左边画出一个格点△ABC（点C不在直线l上），且满足格点△ABC是直角
三角形；
②画出△ABC关于直线l的轴对称△A'B'C'．
（2）满足（1）的△A′B′C′面积的最大值为．
lABAB
4ABCBAC90°DBCABDADAED
．在△中，∠＝，点是上一点，将△沿翻折后得到△，边
AEBCF
交射线于点．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）
（）如图①，当⊥时，求证：∥；
1AEBCDEAC
（）若∠﹣∠＝，∠＝．
2CB10°BADx°
①如图②，当⊥时，求的值；
DEBCx
x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存②是否存在这样的
在，请说明理由．
51ABCDDEAA'EFA
．如图．将矩形沿折叠使点落在处，然后将矩形展平，沿折叠使点
落在折痕上的点处，再将矩形沿折叠，此时顶点恰好落在上的
DEGABCDCEBDE
点处，如图．
H2
（1）求证：EG＝CH；
（2）已知AF＝，求△CDE的面积．
6AB1542
．如图，已知直线经过点（，）和（，）．
（）求直线的解析式；
1AB
（）若把横、纵坐标均为整数的点称为格点，则图中阴影部分（不包括边界）所含格点
2
的个数有个；
（3）在图中作点C（4，0）关于直线AB的对称点D，则点D的坐标为；
（4）若在直线AB和y轴上分别存在一点M、N使△CMN的周长最短，请在图中标出点
M、N（不写作法，保留痕迹）．
7ABCDAD10AB8ADAD
．如图，长方形的纸片，长＝厘米，宽＝厘米，沿点对折，点
正好落在上的点处，是折痕．
BCFAE
（）图中有全等的三角形吗？如果有，请直接写出来；
1
（2）求线段BF的长；
（3）求线段EF的长．
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．
（）如图，若是边上的一个定点，在上找一点，使的值最小；
11EACCDPPA+PE
（）如图，若是边上的一个动点，在上找一点，使的值最小，并
22EACCDPPA+PE
直接写出其最小值．
9．已知：如图，已知△ABC
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A，并写出△A各顶点的坐标；
111111
BCBC
（）求四边形
2CC
11
AA
的面积；
（3）在x轴上找一点P使得PB+PC最小．
101PAOBOP5cmMNOAOB
．如图：是∠内任意一点，＝，和分别是射线和射线上的动
点．
（）请你在图中利用作图确定点和点的位置，使得△的周长最小（保留作
12MNPMN
图痕迹）；
（）在图中若△周长的最小值是，则∠的度数是多少？
22PMN5cmAOB
参考答案
1．解：（1）AP＝BQ．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴＝，∠＝∠＝，
ABBCABCC90°
∴∠∠＝．
ABQ+CBQ90°
∵⊥，
BQAP
∴∠∠＝，
PAB+QBA90°
∴∠＝∠．
PABCBQ
在△和△中，
PBAQCB
，
∴△PBA≌△QCB（ASA），
∴AP＝BQ；
（）过点作⊥于，如图．
2QQHABH
∵四边形ABCD是正方形，
∴QH＝BC＝AB＝3．
∵BP＝2PC，
∴＝，＝，
BP2PC1
∴＝＝＝＝，
BQAP
∴BH＝＝＝2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠＝∠．
CQBQBA
由折叠可得∠＝∠，
EQBCQB
∴∠QBA＝∠EQB，
∴MQ＝MB．
设＝，则有＝，＝﹣．
QMxMBxMHx2
在△中，
RtMHQ
根据勾股定理可得＝（﹣），
解得＝．
x
．∴QM的长为
xx2
222
+3
2．解：（1）∵AB＝6，BC＝8，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝10，
∵把△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，
∴AF＝AB＝6，BE＝EF，
∴△的周长＝＝﹣＝﹣＝；
DEFEF+DE+DFBE+DE+ADAF10+8612
（）如图，过点作⊥于，
2FFHBDH
∵＝，∠＝，
ABAFBAD90°
∴＝，
BF6
∵＝，
BEEF
∴∠＝∠，
EBFEFB
∵＝＝，
S×BD×FH×DF×AB
△
BFD
FH86×610×
＝（﹣），∴
∴＝，
FH
，∵∠＝∠＝
sinBFEsinEBF
∴∠＝＝．
sinBFE
3．解：（1）①如图1﹣7中，△ABC即为所求．
②如图1﹣7中，△A′B′C′即为所求．
B′C′21A′545675
（）满足（）的△面积的最大值为，如，，，，中，三角形的面积都是．
故答案为．
5
41AEBC
．证明：（）∵⊥，
∴∠∠＝，
EAC+C90°
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B＝∠EAC，
∵将△ABD沿AD翻折后得到△AED，
∴∠B＝∠E，
∴∠EAC＝∠E，
∴∥；
DEAC
（）①∵∠∠＝，∠﹣∠＝，
2B+C90°CB10°
∴∠＝，∠＝，
B40°C50°
∵⊥，
DEBC
∴∠＝，
EDF90°
∵将△沿翻折后得到△，
ABDADAED
∴∠B＝∠E＝40°，∠BAD＝∠EAD＝x°，
∴∠DFE＝50°，
∵∠DFE＝∠B+∠BAF，
∴2x+40＝50，
∴＝；
x5
②由题意可得，∠＝，∠＝﹣，
ADC40+xADB140x
∠＝﹣﹣（）＝﹣，
EDF140x40+x1002x
∠＝，
DFE40+2x
若∠＝∠，则﹣＝，
EDFDFE1002x40+2x
∴x＝15；
若∠EDF＝∠E，则100﹣2x＝40，
∴x＝30；
若∠DFE＝∠E，则40+2x＝40，
∴x＝0（舍去）．
综上可得＝或．
x1530
51ABCD
．（）证明：∵四边形是矩形，
∴＝，
ADBC
∵将矩形沿折叠使点落在处，
ABCDDEAA'
∴AD＝A'D，AE＝A'E，∠ADE＝∠A'DE＝45°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
由折叠的性质可得AE＝EG，BC＝CH，
∴EG＝CH；
（）∵∠＝，∠＝∠＝，＝，
2ADE45°FGEA90°AF
∴＝，＝，
DGDF2
∴＝＝；
ADAF+DF+2
由折叠知∠＝∠，∠＝∠，
AEFGEFBECHEC
∴∠∠＝，∠∠＝，
GEF+HEC90°AEF+BEC90°
∵∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠BEC＝∠AFE，
在△AEF与△BCE中，
，
∴△≌△（），
AEFBCEAAS
∴＝，
AFBE
∴＝＝＝＝，
ABAE+BE+2+2+2CD
∴△的面积＝＝（）（）＝．
CDE×CD×AD×2+2×2+4+3
61ABykx+b
．解：（）设直线的解析式为＝，
把（，）和（，）代入，解得，
1542
∴直线的解析式为＝﹣；
AByx+6
（）图中阴影部分（不包括边界）所含格点为（，），（，），（，），（，），
211121314
（，），（，），（，），（，），（，），（，），共个；
21222331324110
（）∵＝＝，
3OAOB6
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∵点C与点D关于AB对称，
∴∠DAB＝45°，
∴△为等腰直角三角形，
ACD
∴＝＝，∠＝，
ADAC2DAC90°
∴D（6，2）；
故答案为10，（6，2）；
（）如图，点、为所作．
4MN
71ADEAFE
．解：（）由折叠性质可得：△≌△
（）∵△≌△
2ADEAFE
∴＝＝，＝
ADAF10cmDEEF
在△中，＝＝＝
RtABFBF6cm
（）∵＝＝，＝
3BCAD10cmBF6cm
∴＝
FC4cm
∵在Rt△EFC中，EF＝EC．
222
+FC
∴EF＝（8﹣EF）
22
+16
∴EF＝5
8．解：（1）如图，作点E关于CD的对称点F连接AF交CD于点，P
则此时，PA+PE的值最小；
点P即为所求；
（）如图，过作⊥于，过作⊥交于，
2DDFBCFFEFACCDP
则此时，的值最小；
PA+PE
PA+PEEF
的最小值＝，
∵是角平分线，∠＝，
CDBAC90°
∴DA＝DF，
即点A与点F关于CD对称，
∴CF＝AC＝10，
∵∠ACB＝30°，
∴EF＝CF＝5．
91ABC
．解：（）如图所示，△
111
即为所求，
A
111
（2，3），B（3，2），C（1，1）；
（）四边形
2CC
11
AA×264+2×
的面积＝＝；（）
（）如图所示，点即为所求．
3P
101POAOBDCCD
．解：（）分别作点关于、的对称点，，连接，
分别交、于点、，连接、、，则△的周长最小；
OAOBMNPMPNMNPMN
（2）连接OC、OD，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴＝，＝，∠＝∠，
PNCNOPOCCOBPOB
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵PN+PM+MN的最小值是5cm，
∴＝，
PM+PN+MN5
∴＝，
DM+CN+MN5
即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△是等边三角形，
OCD
∴∠＝，
COD60°
∴∠＝．
AOB30°
2020年中考三轮冲刺复习同步练习：
《图形的平移》综合训练（二）
1ADBCBD50°EFBCCADCAEAF
．如图，∥，∠＝∠＝，点、在上，且满足∠＝∠，平分
∠．
BAE
（）∠＝；
1CAF°
（）若平行移动，那么∠与∠度数的比值是否随之发生变化？若变化，试
2CDACBAEB
说明理由；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动CD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFB＝∠ACD？若存在，求出
∠ACD度数；若不存在，说明理由．
2Aa0D64ADBCB0
．如图，在平面直角坐标系中，（，），（，），将线段平移得到，使（，
b），且a、b满足|a﹣2|+＝0，延长BC交x轴于点E．
（）填空：点（，），点（，），∠＝；
1ABDAE°
（2）求点C和点E的坐标；
（3）设点P是x轴上的一动点（不与点A、E重合），且PA＞AE，探究∠APC与∠PCB
的数量关系？写出你的结论并证明．
3A0aBb0ab+|b+4|+c+2
．如图，在平面直角坐标系中，（，）、（，），，满足（）
＝，将线段平移得到线段，交轴与点，点，分别对应点，．
0ABCDCDxEABDC
（）求，，的值；
1abc
2
（）如图，∠与∠的角平分线交于，求∠的度数；
21BAOBECNN
G（3）如图2，延长BA至F，∠BED的平分线交∠BAO的平分线AN的反向延长线与
点，AM平分∠GAF，GQ∥AM，GP平分∠AGE，若∠BAO＝α，求∠PGQ的度数（用含
α
的式子表示）．
4A0aBbc+b+a7+|cb+1|
．在平面直角坐标系中，点（，），（，）的坐标满足（﹣）﹣
2
＝0．
（）求点、的坐标；
1AB
（2）如图1，将线段AB平移至CD处（A点对应C点），使点C在坐标轴上，且点D
到轴的距离是点到轴的距离的，求点坐标；
xDyC
（3）如图2，作射线BO，过A作射线AC∥BO，已知P（a，﹣1）是平面内一点，问当
a满足什么条件时，∠CAP﹣∠OBP＝∠APB总是成立？
5．在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A（0，a）、B（b，0）满足：
．
（）求、两点的坐标；
1AB
（）将线段平移到，点的对应点为（﹣，），如图所示．若三角形的
2ABCDAC2tABC
面积为，求点的坐标．
9D
6．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．
（1）填空：AB与CD的关系为∠B与∠D的大小关系为；
（2）如图2，若∠B＝60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD＝∠EDF，DG平分∠CDE
交于，求∠．
BEGFDG
（）在（）中，若∠＝，其它条件不变，则∠＝．
32FDGαB
7．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，
∠＝，∠＝，平分∠，平分∠，与相交于．
PAC50°ADC30°AEPADCEACDAECEE
（）求∠的度数；
1AEC
（）若将图中的线段沿向右平移到如图所示位置，此时
21ADMNA2A
111
DE
平分
∠AA，CE平分∠ACD，A
1111111
DE与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，求∠AEC
的度数．
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A如图3所示位置，其他条件与（2）
相同，求此时∠A
1
EC的度数．
11
D
8l
．已知
1212
∥，点，在上，点，在上，连接，．，分别是∠，
lABlCDlADBCAECEBAD
∠的角平分线，∠＝，∠＝．
BCDα70°β30°
（）如图①，求∠的度数；
1AEC
（）如图②，将线段沿方向平移，其他条件不变，求∠的度数．
2ADCDAEC
91MNPQBMNCPQAB
．如图（）所示：已知∥，点在上，点在上，点在点的左侧，
E（不与B、D点重合），∠CBN点D在点C的右侧，∠ADC、∠ABC的平分线交于点
＝110°．
（1）若∠ADQ＝140°，则∠BED的度数为（直接写出结果即可）；
（2）若∠ADQ＝m°，将线段AD沿DC方向平移，使点D移动到点C的左侧，其它条件
不变，如图（2）所示，求∠BED的度数（用含m的式子表示）．
10．如图，已知射线CD∥OA，点E、点F是OA上的动点，CE平分∠OCF，且满足∠FCA
＝∠．
FAC
（）若∠＝∠，判断与的位置关系，证明你的结论．
1OADCADOB
（）若∠＝∠＝，求∠的度数．
2OADC60°ACE
（）在（）的条件下左右平行移动，∠和∠存在怎样的数量关系？请直
32ADOECCAD
接写出结果（不需写证明过程）
参考答案
11ADBC
．解：（）∵∥，
∴∠∠＝，
B+BAD180°
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝130°，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAF，
∵∠＝∠，
CADCAE
∴∠CAF＝∠BAE+∠DAE＝∠BAD＝65°，
故答案为65．
（）结论：∠与∠度数的比值不变．
2ACBAEB
理由：∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE，
∵∠＝∠，
CADCAE
∴∠＝∠，
ACECAE
∵∠＝∠∠＝∠，
AEBACE+CAE2ACB
∴∠：∠＝：．
ACBAEB12
（）设∠＝，∠＝．
3ACDxCADy
则有x+y＝130°，
∵∠AFB＝∠ACD＝∠ACB+∠CAF，
∴x＝65°+y，
解得x＝97.5°，
∴∠＝．
ACD97.5°
21ab|2a|+0
．解：（）∵，满足﹣＝，
∴﹣＝，＝，
2a06+b0
∴＝，＝﹣，
a2b6
∴（，），（，﹣）；
A20B06
∵tan∠DAE＝1，
∴∠DAE＝45°，
故答案为2，0，0，﹣6，45°；
（）∵∥，＝，
2ADBCADBC
∴点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
B44C
∵（，﹣），
B06
∴（，﹣）．
C42
∴直线的解析式为＝﹣，
BCyx6
∴E（6，0）．
（）①当点在点的左侧如图，连接．
3PA2PC
∵＝，
OEOB
∴∠＝，
PEC45°
∵∠＝∠∠，
PCBAPC+PEC
∴∠﹣∠＝
PCBAPC45°
②当在直线与轴交点的右侧时
PBCx
∵∠PCB＝∠PEC+∠APC，
∴∠PCB﹣∠APC＝135°．
31+|b+4|+c+2
．解：（）∵（）
2
＝，
0
∴﹣＝，＝，＝，
a30b+40c+20
∴＝，＝﹣，＝﹣；
a3b4c2
（2）如图1，过N作NM∥AB，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，∠BAC＝∠ACD，
∴∠＝∠，
34
∴∠∠＝∠∠，
2+31+4
∵AN平分∠BAC，EN平分∠BEC，
∴∠1＝∠BAC，∠4＝BEC，
∴∠∠＝∠∠＝（∠∠），
1+42+3BAC+BEC
∵∠＝∠，∠∠＝，
BACOCEOCE+BEC90°
∴∠BAC+∠BEC＝90°，
∴∠＝∠∠＝∠∠＝＝；
ANE2+31+445°
（）∵∥，
3ABCD
∴∠BAO＝∠ACD＝α，
∴∠ABE＝∠BEC＝90°﹣α，EG平分∠BED，
∴∠BEG＝45°+α，
在△中，∠＝﹣∠﹣∠＝﹣（﹣）﹣（）＝
BEHBHE180°ABEBEH180°90°45°+α45°+α
α，
∴∠＝﹣，
AHG′135°α
在△中，∠＝﹣∠﹣∠＝﹣﹣（﹣）＝，
AGHAGH180°GAHAHG180°α135°α45°
∵平分∠，平分∠，
AMGAHPGAGH
∴∠＝，
GAM′α
∴∠＝，
AGP22.5°
∵QG∥AM，∠QGA＝∠MAG＝α，
∴∠PGQ＝∠QGA+∠AGP＝α+22.5．°
41+b+a7+|cb+1|0
．解：（）∵（﹣）﹣＝．
2
又∵≥０，（b+a﹣7）
2
≥０|cb+1|≥０
，﹣，
∴，
解得，
∴（，），（，）．
A04B32
（）由题意点在轴上，向左平移或得到线段，
2CxCD
∴点的横坐标为﹣﹣＝﹣或﹣＝﹣，
C33+
故C（﹣，0）或（﹣，0）．
（）当点不在与直线＝﹣的交点的左边时，过作∥∥，如图
3QOBy1DQQKACOB
2
，
则有∠CAQ＝∠AQK，∠OBQ＝∠BQK，
∵∠AQK﹣∠BQK＝∠AQB，
∴∠CAQ﹣∠OBQ＝∠AQB，
设的解析式为＝（），
OBykxk≠０
∵（，），
B32
∴＝，
3k2
∴＝，
k
∴直线OB的解析式为：y＝x，
令＝﹣，提﹣＝，
y11x
解得，＝﹣，
x
∴D（﹣，﹣1），
∵（，﹣），
Qa1
∴当a≥﹣时，∠CAQ﹣∠OBQ＝∠AQB总是成立的．
5．解：（1）∵．
又∵﹣﹣，，
|2ab1|≥０≥０
∴﹣﹣＝，﹣＝，
2ab10a+2b80
解得＝，＝，
a2b3
∴、两点的坐标分别为（，），（，）．
AB0230
（2）如图，△ABC的面积＝长方形CMMT的面积﹣（△ANB+△ACT的面积的面积
+△CMB的面积）
依题意有9＝5（2+|t|）﹣[×2×3+×2×（2+|t|）+×5×|t|]，
化简得＝，
|t|4
解得＝，
t±
依题意＜，
t0
∴＝﹣，
t
点C的坐标为（﹣2，﹣），
所以点D的坐标是（1，﹣）．
6．解：（1）AB∥CD，且AB＝CD，∠B与∠D相等；
（2）∵AB∥CD，
∴∠＝∠，
DCEB
由三角形的外角性质得，∠＝∠﹣∠，
CDFDFEDCE
∴∠＝∠∠＝∠﹣∠∠，
CDGCDF+FDGDFEDCE+FDG
在△中，∠＝﹣∠，
DEFDEF180°2DFE
在△中，∠＝﹣∠﹣∠，
DFGDGF180°FDGDFE
∴∠EDG＝∠DGF﹣∠DEF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣（180°﹣2∠DFE）＝2∠DFE﹣
∠FDG﹣∠DFE，
∵DG平分∠CDE，
∴∠CDG＝∠EDG，
∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，
∴∠FDG＝∠DCE，
即∠FDG＝∠B，
∵∠B＝60°，
∴∠FDG＝×60°＝30°；
（3）思路同（2），
∵∠FDG＝α，
∴∠B＝2α，
故答案为：（1）AB∥CD，且AB＝CD，相等；（3）2α．
711
．解：（）如图所示：
∵直线∥，∠＝，
PQMNADC30°
∴∠＝∠＝，
ADCQAD30°
∴∠＝，
PAD150°
∵∠＝，平分∠，
PAC50°AEPAD
∴∠PAE＝75°，
∴∠CAE＝25°，
可得∠PAC＝∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠＝，
ECA25°
∴∠＝﹣﹣＝；
AEC180°25°25°130°
（）如图所示：
22
∵∠，∥，
AMNPQ
1111
DC30°ADMNAD
＝，线段沿向右平移到
∴∠＝，
QA30°
11
D
∴∠＝，
PA150°
11
D
∵，
A
111
EAAD
平分∠
∴∠＝，
PA75°
111
EEAD
＝∠
∵∠＝，∥，
PAC50°PQMN
∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD，
1
∴∠ACE＝25°，
∴∠＝﹣﹣﹣＝；
CEA360°25°130°75°130°
1
（3）如图3所示：
过点作∥，
EFEPQ
∵∠A，∥MN，PQ
1111
DC＝30°，线段AD沿MN向左平移到AD
∴∠QA＝30°，
11
D
∵A，
111
E平分∠AAD
∴∠
QA
1
E215°
＝∠＝，
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠＝，
ACN50°
∵平分∠，
CEACD
1
∴∠＝∠＝∠＝，
ACEECN125°
∴∠CEA＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．
1
8．解：（1）过点E作EF∥l
1
，
∵l∥l，
12
∴EF∥l，
2
∵l∥l，
12
∴∠BCD＝∠α，
∵∠α＝70°，
∴∠＝，
BCD70°
∵是∠的角平分线，
CEBCD
∴∠＝＝，
ECD70°35°
∵∥，
EFl
2
∴∠＝∠＝，
FECECD35°
同理可求∠＝，
AEF15°
∴∠＝∠∠＝；
AECAEF+CEF50°
（）过点作∥，
2EEFl
1
∵∥，
ll
12
∴∥，
EFl
2
∵∥，
ll
12
∴∠＝∠，
BCDα
∵∠＝，
α70°
∴∠＝，
BCD70°
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠＝＝，
ECD70°35°
∵EF∥l，
2
∴∠FEC＝∠ECD＝35°，
∵l∥l，
12
∴∠BAD+∠β＝180°，
∵∠β＝30°，
∴∠＝，
BAD150°
∵平分∠，
AEBAD
∴∠＝＝，
BAE×150°75°
∵∥，
EFl
1
∴∠∠＝，
BAE+AEF180°
∴∠＝，
AEF105°
+35°AEC105°140°
∴∠＝＝．
911EEFPQ
．解：（）如图（），过点作∥．
∵∠＝，∠＝，
CBN110°ADQ140°
∴∠＝，∠＝．
CBM70°ADP40°
∵∠＝∠，∠＝∠，
CDEADEABECBE
∴∠EBM＝35°，∠EDP＝20°．
∵EF∥PQ，
∴∠DEF＝∠EDP＝20°．
∵EF∥PQ，MN∥PQ，
∴∥，
EFMN
∴∠＝∠＝，
FEBEBM35°
+35°BEDDEF+FEB20°55°
∴∠＝∠∠＝＝；
故答案为：
55°
（）如图（），过点作∥．
22EEFPQ
∵∠CBN＝110°，
∴∠CBM＝70°．
∵∠CDE＝∠ADE，∠ABE＝∠CBE，
∴∠EBM＝35°，∠EDQ＝m°．
∵EF∥PQ，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDQ＝180°﹣m°．
∵EF∥PQ，MN∥PQ，
∴EF∥MN，
∴∠FEB＝∠EBM＝35°，
∴∠BED＝∠DEF+∠FEB＝180°﹣m°+35°＝215°﹣m°．
10．解：（1）∵CD∥OA，
∴∠BCD＝∠O，
∵∠O＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠CDA，
∴∥；
ADOB
（）∵∠＝∠＝，
2OADC60°
∴∠＝，
BCD60°
∴∠＝，
OCD120°
∵∥，
CDOA
∴∠DCA＝∠CAO，
∵∠FCA＝∠FAC，
∴∠DCA＝FCA，
∵CE平分∠OCF，
∴∠OCE＝∠FCE，
∴∠ECF+∠ACF＝∠OCD＝60°，
∴∠ACE＝60°；
（3）∠CAD+∠OEC＝180°，
理由：∵∥，
ADOC
∴∠＝∠，
CADOCA
+OCEOCAOCE+ACE60°
∠，∵∠＝∠∠＝
+OCEAECO+OCE60°
∠，∵∠＝∠∠＝
∴∠AEC＝∠CAD，
∵∠AEC+∠OEC＝180°，
∴∠CAD+∠OEC＝180°．
三轮冲刺复习：《图形的旋转》综合训练（一）
1．如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，
点为线段的中点，连接．
FADCF
（）如图，当点在上时，试判断线段、的关系，并证明你的结论；
11DBCBECF
BE、CF（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变时，请探究
的关系并直接写出结论．
2．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，
DG交EC于O点
（1）求证：DO＝OG；
（2）若∠ABC＝135，°AC＝2，求DG的长；
（3）若∠ABC＝90°，BC＞AB，且＝时，直接写出的值．
3．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，
点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的长；
（2）将△COD绕点O旋转一定的角度到图2所示位置时，线段OH与AD有怎样的数
量和位置关系，并证明你的结论．
4．（1）问题发现
如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，D是OB上一点，将点D绕点O顺时针
旋转50°得到点C，则AC与BD的数量关系是．
（2）类比探究
如图，将∠绕点在平面内旋转，（）中的结论是否成立，并就图的情形说明
2CODO12
理由．
（3）拓展延伸
∠COD绕点O在平面内旋转，当旋转到OD∥AB时，请直接写出∠BOD度数．
5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC
C′Aa0°a180°AB′2DB'EC'
绕点顺时针旋转角（＜＜），得到△（如图），连接，．
（）探究与的数量关系，并结合图给予证明；
1DB'EC'2
（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；
时，此时EC′的长为．②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝
6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将
DBD90°DEAE
绕点逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝
AD．
（）如图②，当时，（）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，
2CD≠AC1
请说明理由．
（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明
理由；若不成立，请直接写出线段三者之间的数量关系AB、AE、AD
式．
7．如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN
与直线相交于点．把∠绕着点旋转．
BONMCNC
（）如图，当点在射线上时，求证：＝；
11NOBOCOM+ON
（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是
（直接写出结论，不必证明）
81ABCDGECFCGECFG
．如图（），将正方形与正方形的顶点重合，当正方形的顶点
的值为．在正方形ABCD的对角线AC上时，
如图（2），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°＜a＜45°），猜测AG与BE
之间的数量关系，并说明理由．
如图（3），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（45°＜a＜90°）使得B、E、G
三点在一条直线上，此时tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE的面积．
9RtACBACB90°ACBCDABAB
．已知，在△中，∠＝，＝，是上一点（不与点．重合），
连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE．
（1）如图1，求证：∠EBD＝90°
（）如图，连接与相交于点，在上，连接．若：＝：．
22DEBCFGACDGAGCG75BD
＝2AD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有正切值为的角．
10．已知：在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD⊥BC，点D为BC的中点．
（1）如图1，求∠B的度数；
（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE并延长至点F，连接CF，过点C作CH⊥DF，
垂足为点H，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接BP，使得∠BPD＝∠F，将线段
EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当BP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的
长．
参考答案
．解：（1）结论：BE＝2CF，BE⊥CF．1
理由：∵△和△都是等腰直角三角形，
ABCDEC
∴＝，＝，∠＝∠＝，
BCACCDCEACBECD90°
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，
∵F为线段AD的中点，
∴CF＝AF＝DF＝AD
∴BE＝2CF；
∵AF＝CF，
∴∠DAC＝∠FCA，
∵∠BCF+∠ACF＝90°，
∴∠∠＝，
BCF+EBC90°
即BE⊥CF；
（2）旋转一个锐角后，（1）中的关系依然成立．
证明：如图2，延长CF到M，使FM＝FC，连接AM，DM，
又AF＝DF，
∴四边形AMDC为平行四边形
∴AM＝CD＝CE，∠MAC＝180°﹣∠ACD，
∠BCE＝∠BCA+∠DCE﹣∠ACD＝180°﹣∠ACD，
即∠MAC＝∠BCE，
在△和△中，
MACECB
，
∴△MAC≌△ECB（SAS），
∴CM＝BE；∠ACM＝∠CBE，
∴＝＝，
BECM2CF
∴∠CBE+∠BCM＝∠ACM+∠BCM＝90°，
即BE⊥CF．
2．解：（1）如图1，延长CB交DE于H．
∵∠ABC+∠ABH＝180°，∠ABC＝∠ADH，
∴∠ADH+∠ABH＝180°，
∴∠DAB+∠DHB＝180°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴∠DHB＝∠HCG＝90°，
∴DE∥CG，
∴∠＝∠，
EDOG
∵DE＝BC＝CG，∠DOE＝∠GOC，
∴△DOE≌△GOC（AAS），
∴EO＝OC．
（2）如图2，连接EG，BD，
由旋转知，AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝45°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠∠＝，
ABD+ABC180°
∴点D，B，C在同一条直线上，
由（1）知，∠EDG＝∠CGD，
∴DE∥CG，
∵DE＝CG，
∴四边形CDEG是平行四边形，
∵将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，
∴∠DCG＝90°，
∴平行四边形CDEG是矩形，
∴＝，
DGCE
由旋转知，∠＝，＝＝，
CAE90°AEAC2
∴CE＝AC＝2，
∴DG＝2，
（3）如图3，延长DA，CG相交于点F，
由旋转知，∠BAD＝∠BCG＝90°，
∴∠＝∠＝，
BAFBCF90°
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴AF＝BC，CF＝AB，
∴FD＝FG，
在Rt△DFG中，DG＝DF＝（AD+AF）＝AB+BC），（
在RtACF中，AF+CF＝AC，
222
∴+BC＝，
ABAC
222
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴2AB﹣5AB?BC+2BC＝0，
22
∴（2AB﹣BC）（AB﹣2BC）＝0，
∴2AB﹣BC＝0或AB﹣2BC＝0，
∴＝或＝2（舍弃），
故答案为：．
3．（1）证明：如图1中，∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，AB＝8，CD＝2，
∴OA＝AB＝4，OD＝CD＝，
∴AD＝＝＝，
∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OC＝OD，OA＝OB，
∵在△AOD与△BOC中，，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴BC＝AD＝，
∵点为线段的中点，
HBC
∴OH＝BC＝；
（2）解：结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接
BE，
∵点H是BC中点，
∴BH＝CH，
∴△BEH≌△CHO（SAS），
∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，
∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180﹣°∠BOC，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，
∵OB＝OA，OC＝OD，
∴△≌△（），
BEOODASAS
∴OE＝AD，
∴＝＝
OHOEAD
由△≌△，知∠＝∠
BEOODAEOBDAO
∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，
∴OH⊥AD．
4．解：问题发现
（1）∵将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，
∴OC＝OD，且OA＝OB，
∴AC＝BD，
故答案为：＝；
ACBD
（2）结论仍然成立，
理由如下：
∵将∠COD绕点O在平面内旋转，
∴∠COD＝∠AOB，
∴∠BOD＝∠AOC，且AO＝BO，CO＝DO，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴AC＝BD；
（3）∵OA＝OB，∠AOB＝50°，
∴∠＝∠＝，
OABOBA65°
当点在点左侧，
DO
∵OD∥AB，
∴∠BOD+∠OBA＝180°，
∴∠BOD＝115°，
当点D在点O右侧，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBA＝65°．
5．解：（1）DB'＝EC'，
理由如下：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC边的中点，
∴＝，
ADAE
由旋转可得，∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，
∴∠DAB'＝∠EAC'，且AB'＝AC'，AD＝AE
∴△ADB'≌△AEC'（SAS），
∴DB′＝EC′，
（2）①当DB′∥AE时，∠B'DA＝∠DAE＝90°，
又∵AD＝AB'，
∴∠AB'D＝30°，
∴∠DAB'＝60°，
∴旋转角α＝60°，
故答案为，
60°
②如图3，当点B'，D，E在一条直线上，
∵＝，
AD
∴AB'＝2，
∵△ADE，△AB'C'是等腰直角三角形，
∴B'C'＝AB'＝4，DE＝AD＝2，
由（1）可知：△ADB'≌△AEC'，
∴∠ADB'＝∠AEC'，B'D＝C'E，
∵∠ADB'＝∠DAE+∠AED，∠AEC'＝∠AED+∠DEC'，
∴∠DEC'＝∠DAE＝90°，
∴B'C'＝B'E，
+C'E
∴＝（）+C'E，
162+EC'
∴CE＝﹣1，
故答案为：﹣1．
ACB＝90°，6．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠
22
222
∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45°
∵AC＝CD，BC⊥AC，
∴AB＝BD，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∵将绕点逆时针旋转，得到线段，
DBD90°DE
∴＝，∠＝，
BDDEBDE90°
∴DE＝AB＝BD，AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，且AB＝BD，
∴四边形是正方形，
ABDE
∴AB＝AE，AD＝AB，
∴AB+AE＝AD，
故答案为：；
（2）结论仍然成立；
如图②过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F，
∵BC∥DF，
∴∠ADF＝∠ACB＝90°，∠F＝∠ABC＝45°，
∴∠F＝∠DAF＝45°，
∴AD＝DF，
∴AF＝AD，
∵∠ADF＝∠EDB＝90°，
∴∠ADE＝∠BDF，且DE＝DB，AD＝DF，
∴△≌△（），
ADEFDBSAS
∴AE＝BF，
∴AB+AE＝AB+BF＝AF＝AD；
（3）不成立，
当点D在线段AC上时，如图③，过点D作DF∥BC，
∴∠＝∠＝，∠＝∠＝，
AFDABC45°ACBADF90°
∴∠DAF＝∠AFD＝45°，
∴AD＝DF，AF＝AD，
∵∠EDB＝90°＝∠ADF，
∴∠ADE＝∠BDF，且AD＝DF，DE＝BD
∴△ADE≌△FDB（SAS）
∴AE＝BF，
∵AB﹣BF＝AF，
∴AB﹣AE＝AD；
当点在的延长线上时，如图④，过点作∥，交延长线于点，
DCADDFBCBAF
∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠AFD＝45°，
∴AD＝DF，AF＝AD，
∵∠EDB＝90°＝∠ADF，
∴∠FDB＝∠EDA，且AD＝DF，DE＝BD
∴△≌△（）
ADEFDBSAS
∴AE＝BF，
∵AB+AF＝BF，
∴AB+AD＝AE．
7．（1）证明：作∠OCG＝60°，交OA于G，如图1所示：
∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠CON＝∠COG＝60°，
∴∠＝∠，
OCGCOG
∴OC＝CG，
∴△OCG是等边三角形，
∴OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，
∵∠MCN＝∠OCG＝60°，
∴∠OCN＝∠GCM，
在△OCN和△GCM中，，
∴△OCN≌△GCM（ASA），
∴＝，
ONGM
∵＝，
OGOM+GM
∴OC＝OM+ON；
（2）解：OC＝OM﹣ON，理由如下：
作∠OCG＝60°，交OA于G，如图2所示：
∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠CON＝∠COG＝60°，
∴∠CON＝120°，∠OCG＝∠COG，
∴OC＝CG，
∴△OCG是等边三角形，
∴＝，∠＝，
OCOGCGO60°
∴∠CGM＝120°＝∠CON，
∵∠MCN＝∠OCG＝60°，
∴∠OCN＝∠GCM，
在△和△中，，
OCNGCM
∴△OCN≌△GCM（ASA），
∴ON＝GM，
∵OG＝OM﹣GM，
∴＝﹣；
OCOMON
故答案为：＝﹣
OCOMON
81
．解：（）如图①中，
∵AC＝BC，CG＝EC，
BC﹣EC＝BE，∴AG＝AC﹣CG＝
∴＝，
．故答案为：
（2）结论：＝．
CG．如图②中，所示，连接
∵∠＝∠，＝＝，
ACGBCE
∴△∽△，
ACGBEC
∴＝，
（）如图③中，连接，、
3CG
∵△ACG∽△BEC，
∴∠GAC＝∠EBC∠AGC＝∠BEC＝90°，
∵AG＝6，
∴BE＝，
，∵tan∠EBC＝tan∠GAC＝
∴∠EBC＝30°，
在△中，∠＝
RtBECtanEBC
∴＝，
EC
∴，
9．（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△和△中，，
ACDBCE
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴∠∠＝，
ABC+CBE90°
∴∠＝；
EBD90°
（2）解：由（1）得：△ACD≌△BCE，∠EBD＝90°，
∴AD＝BE，
∵BD＝2AD，
∴＝，
BD2BE
∴tan∠BDE＝＝；
作⊥于，如图所示：
DMACM2
则∥，△是等腰直角三角形，
DMBCADM
∴＝＝2，AM＝DM，
∴＝＝，
CM2AM2DM
∴tan∠BCE＝tan∠ACD＝＝；
∵AG：CG＝7：5，
∴设AG＝7x，则CG＝5x，AC＝12x，DM＝AM＝AC＝4x，
∴MG＝AG﹣AM＝3x，
∴DG＝＝＝5x，
∴DG＝CG，
∴∠GDC＝∠ACD，
∴tan∠GDC＝tan∠ACD＝；
综上所述，图2中所有正切值为的角为∠BDE、∠ACD、∠BCE、∠GDC．
．（1）∵AD⊥BC，D为BC中点，10
∴AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠BAC＝2∠B，∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+2∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝45°；
（）∠＝∠，
2F2FDC
理由如下：
在DH上取一点N使HN＝HF，
∵CH⊥DF，HN＝HF，
∴CN＝CF，
∴∠F＝∠CNF，
∵DH＝CF+HF，DH＝DN+HN，
∴CF＝DN，
∵CN＝CF，CF＝DN，
∴CN＝DN，
∴∠FDC＝∠NCD，
∵∠＝∠∠，
CNFFDC+NCD
∴∠F＝2∠FDC；
（3）连接PC交DF于K，过点C作CM⊥EG于M，
由（2）知∠F＝2∠FDC，设∠FDC＝α，则∠F＝2α，
∵∠BPD＝∠F，
∴∠BPD＝2α，
∵AD⊥BC，D为BC中点，
∴BP＝CP，∠PCD＝∠PBD，
∵∠BPD＝2α，
∴∠＝∠＝﹣，
PCDPBD90°2α
∴∠PKD＝∠PCD+∠FDC＝90°﹣α，
∵AD⊥BC，
∴∠ADF＝90°﹣∠FDC＝90°﹣α，
∴∠PKD＝∠ADF，
∴PK＝PD，
由EF沿着EC折叠可知∠FEC＝∠GEC，
∴CM＝CH，
由（1）知∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠＝，
BAD45°
∵∠＝∠，
BAC2ABC
∴∠DAC＝45°，
∴∠AED＝45°，+α
∴∠FEC＝∠CEG＝∠AED＝45°，+α
∴∠HEG＝90°+2，α
∵∠DEG＝90°﹣2α，
∴∠EGC＝90°﹣α，
∵∠EKC＝∠PKD＝90°﹣α，
∴∠EGC＝∠EKC，
又∵∠＝∠＝，
GMCKHC90°
∴△GMC≌△KHC（AAS），
∴GC＝CK，
由BP：PD＝12：5，设BP＝12x，PD＝5x
∴GC＝CK＝CP﹣PK＝BP﹣PK＝12x﹣5x＝7x
∵GC﹣PD＝3
∵7x﹣5x＝3
∴x＝1.5
∴GC＝7x＝10.5
2020年中考三轮冲刺复习同步练习：
二次函数实际应用（三）
16
．某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的产量为万件，可在国内和
国外两个市场全部销售．若在国外销售，平均每件产品的利润y（元）与国外销售量x
（万件）的函数关系式为y＝．若在国内销售，平均每件产品的
利润为y＝84元．
2
（1）求该公司每年在国内和国外销售的总利润w（万元）与国外销售量x（万件）的函
数关系式，并指出的取值范围；
x
1
1
（）该公司每年在国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是
2
多少？
（3）该公司计划从国外销售的每件产品中捐出2m（1≤m≤４）元给希望工程，从国内销售
的每件产品中捐出4万件，若这时国内国外销售的m元给希望工程，且国内销售不低于
总利润的最大值为520万元，求m的值．
2．某水果店计划购进甲、乙两种高档水果共400千克，每千克的售价、成本与购进数量（千
克）之间关系如表：
每千克售价（元）每千克成本
（元）
甲﹣0.1x+100
乙﹣0.2x+120（0＜x≤200）60
（200＜
x≤400）
50
（1）若甲、乙两种水果全部售完，求水果店获得总利润y（元）与购进乙种水果x（千
克）之间的函数关系式（其他成本不计）；
（2）若购进两种水果都不少于100千克，当两种水果全部售完，水果能获得的最大利润．
3．为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策；提供16万元的无息创业贷款．小
吴利用这笔贷款注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种畅销产品，并约定用该
4元，员工每人每月网店经营的利润逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件
y（万件）的工资为4000元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量
与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求该网店每月利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
16万元的无息贷款？（2）小吴自网店开业起，最快在第几个月可还清
4．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点
A时，高O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点
度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y
轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）
之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说
明理由．
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），
问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）
5．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购
进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲
商品的日销售量x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数y（单位：件）与销售单价
值对应关系如表：
销售单价x（元/件）
日销售量y（件）18 2
11 19
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（）在（）的条件下，设甲商品的日销售利润为元，当甲商品的销售单价（元件）
32wx/
定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
620502050
．经销商购进某种商品，当购进量在千克～千克之间（含千克和千克）时，
每千克进价是5元；当购进量超过50千克时，每千克进价是4元，此种商品的日销售量
y（千克）与销售价x（元/千克）的影响较大，该经销商试销一周后获得如下数据：
x（元/千5 5.5 6 6.5 7
克）
y（千克）90 75 60 45 30
解决下列问题：
（1）求y关于x的一次函数表达式；
（2）若每天购进的商品能够全部销售完，且当日销售价不变，日销售利润w元，那么销
售价定为多少时，该经销商销售此种商品的当日利润最大？最大利润是多少？此时购进
量应该为多少千克？【注：当日利润＝（销售价﹣进货价）×日销售量】
7．随着国内疫情基本得到控制，旅游业也慢慢复苏，经市场调研发现，某旅游景点未来15
天内，旅游人数y与时间x的关系如下表；每张门票z与时间x之间存在如图所示的一
次函数关系．（1≤x≤15，且x为整数）
时间x（天）1 4 7 10 …
人数y（人）310 340 370 400 …
请结合上述信息解决下列问题：
（1）直接写出：关于x的函数关系式是．z与时间x函数关系式是．
（2）请预测未来15天中哪一天的门票收入最多，最多是多少？
30003
元捐赠给武（）为支援武汉抗疫，该旅游景点决定从每天获得的门票收入中拿出
汉红十字会，求捐款后共有几天每天剩余门票收入不低于元？
12960
8．为了增加学校绿化，学校计划建造一块长为40m的正方形花坛ABCD，分别取四边中点
E、F、G、H，构成四边形EFGH部分使用EFGH，并计划用“两花一草”来装饰，四边形
甲种花，在正方形ABCD四个角落构造4个全等的矩形区域种植乙种花，剩余部分种草
坪，图纸设计如下．
（1）经了解，种植甲种花50元/m，乙种花80元/m，草坪10元/m，设一个矩形的面
积为xm，装饰总费用为y元，求y关于x的函数关系式；
（）当装饰费用为元时，则一个矩形区域的长和宽分别为多少？
274880
2
222
40元/m的花，乙区域用单价为（3）为了缩减开支，甲区域用单价为a元/m（a＜80，
22
且a为10的倍数）的花，草坪单价不变，最后装饰费只用了55000元，求a的最小值．
9．在“6?18活动中，某网店拿出当季新款鞋”30双参加网络拼团促销：若拼团一次性购买不
超过10双，则每双售价10双，则每多买一双，所买的300元；若拼团一次性购买超过
每双鞋的售价均降低3元．已知该新款鞋的进价是200元/双，设顾客拼团一次性购买鞋
x双，该鞋店可获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）顾客拼团一次性购买多少双时，该鞋店获利最多？
10．某厂家接到一批特殊产品的生产订单，客户要求在两周内完成生产，并商定这批产品的
出厂价为每个x16元．受市场影响，制造这批产品的某种原材料成本价持续上涨，设第
m＝m元，m与x之间的函数关系为天（1≤x≤14，且x为整数）每个产品的成本为
x天生产的产品个数x+8．订单完成后，经统计发现工人王师傅第y与x满足如图所示的
函数关系：
（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设王师傅第x天创造的产品利润为W元，问王师傅第几天创造的利润最大？最大
利润是多少元？
参考答案
1．解：（1）w＝y
1
?x+84（6﹣x）．
x≤２0≤w100x+846x16x+504
当时，＝（﹣）＝；
x≤６2≤wx2x+104+846x2x
当时，＝（﹣）（﹣）＝﹣
+20x+504．
2
∴w＝；
（2）当0≤x≤２时，w＝16x+504；
∵k＝16＞0，当x＝2时，w＝16x+504的最大值为536；
当2≤x≤６时，w＝﹣2x+20x+5042x5+554
＝﹣（﹣）．
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝5时取最大值554，
∵554＞536，
所以当＝时取最大值．
x5554
即：当该公司每年的国外销售量为万件，国内销售量为万件时，可使公司每年的总
利润最大，最大值是554万元；
4万件，即6﹣x≥４，则x≤２，（3）∵该公司计划在国内销售不低于
51
22
∴该公司每年在国外销售的件数x的范围为：0≤x≤２．
则总利润w′＝（100﹣2m）x+（84﹣m）（6﹣x）＝（16﹣m）x+504﹣6m．
∵1≤m≤４，
∴16﹣m＞0，
则当x＝2时，w′取得最大值．
依题意得：2（16﹣m）+504﹣6m＝536﹣8m＝520，
解得：＝．
m2
2．解：（1）当0＜x＜200时，y＝（﹣0.2x+120﹣60）x+[﹣0.1（400﹣x）+100﹣50]×（400
﹣x）＝﹣0.3x+90x+4000；
当200≤x≤400时，y＝（+50﹣60）x+[﹣0.1（400﹣x）+100﹣50]×（400﹣x）＝﹣
0.1x+20x+10000；
2
2
（2）若100≤x＜200，则y＝﹣0.3x+90x+4000＝﹣0.3（x﹣150）+10750，
22
当＝时，的最大值为；
x150y10750
若200≤x≤300时，y＝﹣0.1x﹣16x+10000＝﹣0.1（x﹣100）
+11000，
∵x＞100时，y随x的增大而减小，
∴当x＝200时，y取得最大值，最大值为10000元；
∵10750＞10000，故x＝150，
综上，当购进甲种水果150千克、乙种水果250千克时，才能使获得的利润最大．
22
31ABykx+b
．解：（）设直线的解析式为：＝，
代入A（4，4），B（6，2）得：，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8，
同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，
∵工资及其它费用为：0.45+1×＝3万元，
2
∴当4≤x≤６时，w＝（x﹣4）（﹣x+8）﹣3＝﹣x+12x35
1
﹣，
当6＜x≤８时，w＝（x﹣4）（﹣x+5）﹣3＝﹣x+7x﹣23；
2
2
（2）当4≤x≤６时，
w＝﹣x+12x35x6+1
1
﹣＝﹣（﹣），
∴当x＝6时，w取最大值是1，
1
当6＜x≤８时，
w+7x﹣23＝﹣（x﹣7）+，
2
＝﹣x
22
22
当x＝7时，w取最大值是1.5，
2
∴，
即最快在第11个月可还清10万元的无息贷款．
4．解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）+2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）+2.88；
当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）+2.88＝2.8＞2.24，
2
2
2
当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）
2
+2.88＝0.64＞0，
故这次发球过网，但是出界了；
（）如图，分别过点作底线、边线的平行线、交于点，
2PQOQQ
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当＝时，＝﹣（﹣）
y0yx7
2
+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴＝，而＝，
OP19OQ17
故PQ＝6＝8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
5．解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：
，
解得：．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k，将（11，18），（19，2）代入得：
11
x+b
，解得：．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．
（3）由题意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣+60x﹣400
2x
2
＝﹣（﹣）
2x15
2
+50（11≤x≤19）．
∴当x＝15时，w取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
6．解：（1）设函数表达式为：y＝kx+b，
在表格取两组数值（5，90），（6，60）代入上式得，解得，
故函数表达式为：y＝﹣30x+240；
y≤50220≤wx5yx530x+24030x6.5
（）①当时，＝（﹣）＝（﹣）（﹣）＝﹣（﹣）
+67.5，
故销售价x＝6.5元时，利润的最大值为67.5元，日销售量y＝45千克；
2
2
②当y＞50时，w＝（x﹣4）y＝（x﹣4）（﹣30x+240）＝﹣30（x﹣6）
+120，
即销售价x＝6元时，利润的最大值w为120元，日销售量y＝60千克；
综上，当销售价为6元时，利润最大，
故当销售价为120元，此时购买量为60千克．6元时，获利最大，最大利润为
71xyykx+b
．解：（）设、对应函数表达式为：＝，
，解得，将（1，310）、（4，340）代入上式，得
故x、y对应的函数表达式为：y＝10x+300（1≤x≤15，且x为整数），
设z、x对应的函数表达式为：y＝mx+n，将点（1，49）、（15，35）代入上式并解得：
z、x对应的函数表达式为：z＝﹣x+50（1≤x≤15，且x为整数）；
故答案为：y＝10x+300（1≤x≤15，且x为整数），z＝﹣x+50（1≤x≤15，且x为整数）；
（2）设第x天的门票收入为w，则w＝yz＝（10x+300）（﹣x+50）＝﹣10（x+30）（x
﹣50），
∵﹣＜，故有最大值，当＝（﹣）＝时，的最大值为，
100wx503010w16000
16000元；故未来15天中第10天的门票收入最多，最多是
（3）由（2）知第x天的门票收入w＝﹣10（x+30）（x﹣50），则w﹣3000≥12960，
解得：8≤x≤12，
故第8，9，10，11，12天，共5天，剩余门票收入不低于12960元．
81EFGHABCD
．解：（）∵，，，分别为正方形各边的中点，
∴四边形EFGH为正方形且，
∴y＝800×50+4x?8+（800﹣4x）×10＝280x+48000；
（）令＝时，＝，解得：＝，
2y74880280x+4800074880x96
设PQ＝PE＝b，则AP＝20﹣b，
∴b（20﹣b）＝96，解得b＝12，b＝8，
12
∴矩形的长为12，宽为8；
（3）由题意得800×40+4xa+（800﹣4x）×10＝55000，
∴（a﹣10）x＝3750，
∴，
2
∵x＝b（20﹣b）＝﹣b+20bb10x＝100，
，当＝时，
max
∴a≥47.5，
又∵a＜80，且a为10的倍数，
∴a的最小值为50．
9．解：（1）由题意可得，
x≤100≤y300200x100x
当时，＝（﹣）＝，
当10＜x≤30时，y＝[300﹣200﹣3（x﹣10）]x＝﹣3x
+130x，
2
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（2）∵当0≤x≤10时，y＝100x，
∴当x＝10时，y取得最大值1000，
∵当10＜x≤30时，y＝﹣3x+130x＝﹣3（x﹣）+，
∴当x＝＝21时，y取得最大值，
22
∵x为整数，
∴当x＝22时，y取得最大值1408，
∵1000＜1408，
∴当x＝22时，该鞋店获利最多，
答：拼团一次性购买22双时，该鞋店获利最多．
，解得，．解：（）设前天、对应的函数表达式为：＝，则
10110xyykx+b
故函数的表达式为：y＝4x+80，
故y和x的函数表达式为y＝；
（2）当1≤x≤10且x为正整数时，
W＝（4x+80）[16﹣（x+8）]＝﹣（x﹣6）+676，
2
∵a＝﹣1＜0，故x＝6时，W的最大值为676；
当1≤x≤14且x为整数时，W＝128×[16﹣（x+8）]＝﹣32x+1024，
∵k＝﹣32＜0，
故W随x的增大而减小，
当x＝11时，W的最大值为：﹣32×11+1024＝672，
∵676＞672，
故王师傅第6天创造的利润最大，最大利润为676元．
2020年中考三轮冲刺复习同步练习：
二次函数实际应用（五）
1．2018年兼善中学内的银杏树落叶纷飞，兼善学子决定使用银杏树叶制作精美手工艺品并
销售，经市场调研：校徽“善”型手工艺品成本每个为10元，当售价每个为12元时，销
1元，销售量就会减少售量为180个，若售价每提高10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示校徽x（元）之间的函数关系“善”型手工艺品销售量y（个）与售价
（12≤x≤30）；
（2）兼善学子为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，兼善学子获得利润最大，最大利润是多少？
2．农华公司以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与
销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克）10 15 20 25 30
日销售量p（千克）
300 225 150 75 0
p（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定
与x之间的函数表达式；
（2）农华公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润W元最大？
（3）若农华公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当20≤x≤25
时，农经公司的日获利Q元的最大值为1215元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日
支出费用）
3．春节即将来临，某企业接到一批礼品生产任务，约定这批礼品的出厂价为每件6元，按
要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小王第x天生
产的礼品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝
（1）小王第几天生产的礼品数量为390件？
（）如图，设第元，与之间的关系可用图中的函数天生产的每件礼品的成本是
2zzxx
x天创造的利润为图象来刻画．若小王第w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第
几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）
4．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产
进行了调研，结果如下：某件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上
的点来表示（如图甲），这件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线
上的点来表示，其中6月份成本最高（如图乙）．
（1）这件商品在6月份出售时的利润是多少元？
Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式，并写（2）求出图乙中表示的这件商品的成本
出自变量的取值范围；
（3）你能求出3月份至7月份这件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系
式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品3000件，请你计算该公司在一个月内最少获
利多少元？
5．一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单
位：m）近似满足函数关系y＝﹣x
距离为10m．
（）求铅球出手时离地面的高度；
1
+x+c，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平
2
（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为m时，求此时铅球的水平距离．
6．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8m时，水面宽AB为12m．当水面上升6m时达到
警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少？
m
下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，
，（，），此时点的坐标为（），抛物线的顶点坐标为
B
．可求这条抛物线所表示的二次函数的解析式为
当y＝6时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题．
方法二：如图y轴，建立平面直角坐标系xOy，2，以抛物线顶点为原点，对称轴为
．这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为
当＝时，求出此时自变量的取值为，即可解决这个问题．
yx
7200
．深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为元，试销过程中发
现，每月销售量y（个）与销售单价y＝﹣x（元）之间的关系可以近似的看作一次函数
0.2x+260，设每月的利润为w（元）（利润＝销售额﹣投入）．
（）该公司想每月获得元的利润，应将销售单价定为多少元？
136000
20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完（2）如果该公司拟每月投入不超过
这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？
8
．如图，某校一次足球比赛中，一名运动员将球沿着与地面成一定角度的方向踢出，足球
的飞行路线将是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球的飞行高度h（单位：米）与飞行时
间t（单位：秒）之间具有函数关系h＝﹣t+t．
（1）足球飞行的最大高度是多少米？
（2）足球从踢出到落地要用多长时间？
2
9
．九年级数学兴趣小组经过市场调查，某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表．
售价（元/件）100 101 102 103 …
月销量（件）
200 198 196 194 …
x元．已知该运动服的进价为每件60元，设售价为
元，②月销量是（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是
件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大？最大利润
是多少？
1040005080
．某商店计划用元购买甲、乙两款充电宝共个．现有两款充电宝的售价都是
元．该商店计划购买甲充电宝x个，但在实际购买时，甲充电宝的售价上涨了x%，乙充
电宝的价格下降了10元．该商店决定在购买总量不变的情况下，乙充电宝的数量比原计
划增加20%．
（）根据题意，填写下表．
1
售价（元）数量（个）
原售价实际售价原计划实际
甲充电宝80 x
乙充电宝80 70
y元，求y关于x的函数表达式（不要求（2）设实际购买的总费用为x的取值范围）．
（3）若最终节约了464元，求实际购买了多少个甲充电宝．
参考答案
11“”xy
．解：（）设校徽善型手工艺品售价为元时，销售量为个，
根据题意可知：y＝180﹣10（x﹣12）
＝﹣10x+300（12≤x≤30）．
（2）设兼善学子获得的利润为W，
2
则W＝（x﹣10）y＝﹣10x
+400x﹣3000，
令W＝840，则﹣10x+400x﹣3000＝840，
解得：x＝16，x＝24（舍去），
12
答：为获得840元利润，售价应定为16元；
2
（3）∵W＝﹣10x
+400x﹣3000＝﹣10（x﹣20）+1000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当＝时，取最大值，最大值为元．
x20W1000
p＝kx+b，2．解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为
22
则，
解得：k＝﹣15，b＝450，
∴＝﹣，
p15x+450
检验：当＝，＝；当＝，＝；当＝，＝，符合一次函数解析式；
x15p225x20p150x25p75
（2）设日销售利润w＝p（x﹣10）＝（﹣15x+450）（x﹣10）
2
即w＝﹣15x+600x﹣4500，
∴当x＝﹣＝20时，w有最大值1500元，
20元，才能使日销售利润最大；故这批农产品的销售价格定为
（3）日获利Q＝p（x﹣10﹣a）＝（﹣15x+450）（x﹣10﹣a），
即w＝﹣15x+600+15ax450a+4500
（）﹣（），
对称轴为x＝﹣＝20+a，
2
①若a≥10，则当x＝25时，Q有最大值，
即q＝1125﹣75a＜1215（不合题意）；
②若0＜a＜10，则当x＝20+a时，Q有最大值，
将x＝20+a代入，可得Q＝a﹣150a+1500，
2
2
当＝时，﹣＝，
Q1215a150a+15001215
解得a＝2，a＝38（舍去），
12
综上所述，a的值为2．
3．解：（1）∵6×40＝240，
∴前六天中第6天生产的礼品最多达到240只，
将390代入25x+90得：25x+90＝390，
∴x＝12，
答：第12天生产的礼品数量为390只；
（2）当0≤x＜10时，z＝3，
当10≤x≤20时，设z＝kx+b，将（10，3）和（20，4）代入，得
解得：，∴z＝x+2；
当0≤x≤６时，w＝（6﹣3）×40x＝120x，w随x的增大而增大，
∴当x＝6时最大值为720元；
当6＜x≤10时，w＝（6﹣3）×（25x+90）＝75x+270，w随x的增大而增大，
∴当x＝10时最大值为1020元；
x﹣2）（25x+90）＝﹣x+91x+360，当10＜x≤20时，w＝（6﹣
2
对称轴为：直线x＝18，天数为整数，将x＝18代入得w＝1188元；
综上所述，w与x的函数表达式为w＝，
答：第18天利润最大，最大利润为1188元．
8﹣4＝4（元）；4．解：（1）由图可知，这件商品六月份出售时的利润＝
2
（）由题意可设与之间的关系式为：＝（﹣）+4，
2QtQat6
2
而（，）满足上面关系式．则（﹣）+4＝1，解得a＝﹣，
31a36
∴Q＝﹣（t﹣6）
2
+4（3≤t≤７，t为整数），
（3）由题意得，W＝M﹣Q，设M＝kt+b，∵点（3，6），（6，8）满足此式，
∴，解得：，
∴M＝t+4
∴W＝t+4+（t﹣6）﹣4＝（t﹣5）+
∵元，＞0，∴在5月份时出售这件商品的最低利润为
22
，
3000件这种商品的最低利润＝一个月内售出3000×＝11000（元），
11000元．答：一个月内售出3000件这种商品的最低利润是
x+5．解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝﹣x+c，得：﹣×10+×10+c＝0，
22
解得＝，
c
即铅球出手时离地面的高度m；
（2）将y＝代入﹣x+x+
2
2
＝，
整理，得：x﹣8x﹣9＝0，
解得：x＝9，x＝﹣1（舍），
12
∴此时铅球的水平距离为．
9m
6．解：方法一：B（12，0），O（6，8），
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）
把点的坐标代入得，＝﹣，
Ba
∴二次函数的解析式为y＝﹣x
+8，
+x；
2
2
2
方法二：设二次函数的解析式为y＝ax，
把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x；
2
y2x±3
＝﹣时，求出此时自变量的取值为，
x+故答案为：12，0，6，8，y＝﹣x，y＝﹣x；﹣2，±3．
22
7．解：（1）由题意得，（﹣0.2x+260）（x﹣200）＝36000，
解得：x＝1100，x＝400．
12
答：销售单价定为1100元或400元时厂商每月能获得36000万元的利润；
（2）由题意：200（﹣0.2x+260）≤20000，
解得x≥800，
∵＝（﹣）（﹣）＝﹣+300x﹣52000，
w0.2x+260x2000.2x
∴函数的对称轴x＝750，开口向下，
60000元．∴x＝800时利润最大，最大利润为
800元．答：所获得的最大利润为60000元，此时定价应为
2
8．解：（1）h＝﹣t+t＝﹣（t﹣5）+，
22
ht5h
＝，∴当＝时，取得最大值，此时，
答：足球飞行的最大高度是米；
（2）当h＝0时，
0t+t
＝﹣，
2
解得，t＝0，t＝10，
12
∵10﹣0＝10，
∴足球从踢出到落地要用时间．
10s
x﹣60；9．解：（1）①由题意可得：销售该运动服每件的利润是为：
②设月销量W与x的关系式为w＝kx+b，
由题意得，，
解得，，
∴W＝﹣2x+400；
故答案为：（﹣）；（﹣）；
x602x+400
（2）由题意得：y＝（x﹣60）（﹣2x+400）
＝﹣2x+520x﹣24000
＝﹣2（x﹣130）+9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
101
．解：（）
售价（元）数量（个）
原售价实际售价原计划实际
甲充电宝80 （）x﹣
801+x%1.2x
10
乙充电宝50﹣x60﹣
80 70
1.2x
故答案为：80（1+x%），50﹣x，1.2x﹣10，60﹣1.2x；
（2）根据题意得，y＝80（1+x%）（1.2x﹣10）+70（60﹣1.2x）＝0.96x
+4x+3400；
（3）根据题意得，0.96x+4x+3400＝4000﹣464，
2
2
2
2
解得：x＝10，x＝﹣（舍去），
12
∴实际购买了2个甲充电宝．
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