何天成从高联到IMO金牌超详细数学竞赛学习方法一

何天成：从高联到IMO金牌，超详细数学竞赛学习方法（一）

本文作者何天成，第58届国际数学奥林匹克（IMO）金牌获得

者，华南师大附中2017届毕业生，北京大学数学科学学院2017级新

生。本文首发于数学新星网。作者非常详细地阐述了从高联一试/二

试，到参加CMO，国家集训队，走向IMO，各级竞赛的心路历程和

学习方法，对于参加竞赛的同学具有非常大的指导意义，因为篇幅

较长，故分为三篇分享给大家。请看过的同学温故知新，没看过的

同学一定要认真做好笔记，满满的干货~正文如下：2017年7月，我

有幸作为中国国家队的一员参加了第 58 届国际中学生数学奥林匹

克竞赛（ IMO ) ，并获得了一枚金牌。回顾六年竞赛之路，我从开

始的一个懵懂无知的新人，一路上经历了不少挫折，走了不少弯

路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一套学习竞赛的方法，最后

的结局也是幸运的。而正是这份幸运，让我觉得有责任把自己学习

数学竞赛的经验与心得分享出来，希望后来者能吸取我的经验和教

训，找到自己的不足，并更好地看清未来。

引 言对于一场考试，我喜欢用以下 3 个参数来衡量最终的分

数：最终分数=实力分 x 运气分 x 状态分。其中实力，运气，状态

均为非负实数。

这里，“实力”顾名思义，尽管不好量化，但是一般来说实力相差

很大还是能看出来的。

“运气”主要代表“题目是否对路”，比如一个擅长几何的选手参

加一场几何送分的考试，当然运气分较低；而参加一场几何难度他

刚刚好能做出来的考试，运气分就比较高了。当然，运气分是取决

于考试本身的，可以认为主观上不能改变它，但是在集训队这样的

多次考试中，平均下来，运气会比较稳定；并且，我们可以用比如

“补短板”或者“狂刷一科”等方法改变运气分的波动大小。另一

方面的运气来自于改卷，即能不能得到预想中的分数，这一点理论

上来说也是不能自己操纵的，但是可以通过加强书写等方法提升。

“状态”源于自身，常见的影响状态的因素有，比如考前一晚睡不

常有自信。如果你批改过其他人的过程，总会觉得“这啥意思啊？

搞了半天都不知道想干啥”或者“这里一句话带过根本就不显然

嘛”。一般来说，过程写不好有两种：如果你讲都讲不清楚，那么

可能是语文学的不好，请回炉再造；如果跟别人讲思路的时候别人

可以理解，但是过程写不好的话，可能是没有掌握好写过程的技

巧。写过程的主要目的有两个：一是要准确，不能让老师误解你的

意思；二是要通俗易懂，节省老师的时间，让老师能够比较容易get

到你的过程的脉络。

所以针对第一点，要学会过程的“数学化”表达：比如很多组合问

题，直接表达就像写小说，如果可以换成集合或者图论的语言，又

或者把它代数化表示，就简单很多了；另外，过程里的因果关系要

清晰，至少要表达出“由什么推出什么”，这就需要多使用连词：

因为（由于、注意到）＋所以、若＋则＋所以＋从而、我们断言（证

明）＋事实上，以及右箭头“=>”。就算连词使用不多样，至少要达

言的关键步骤恰好是答案中的步骤，或者老师知道是对的，那么老

师就大致知道你做出来，只需验证一下细节即可；就算你的证明出

现了一些漏洞，老师也能知道你做出了什么，会更容易得到步骤

分。

当然，还有一个大大增加可读性的方法：画图。特别是组合题，很

多组合题用代数语言表达很繁琐，不易找到重点，也容易出现笔

误，那如何让老师知道你想做什么呢？那就是画图。如果要把一个

图按照某种策略三染色，就画一个示意图，然后用 ABC 标顶点，

看上去就清楚多了嘛；就算几何题是用复数算的，画个图，让老师

不用自己找图，也不是什么难事吧？

最后我谈谈骗分。时间快到了的时候还是做不出题目，想争取一些

过程分的情况是常见的。但是我非常非常反对大家东扯西扯，然后

说证毕——做不出来就做不出嘛，要承认自己就是在混分，至于能

给几分就看你做了什么结论了；但总有一些人不会做就瞎搞一通然

后证毕。这样的人多了，就加大了老师判卷子的难度，就会连累一

些“好人”。反正我觉得，要是明知道是错的还写证毕，绝对是败

人品的行为。

状态方面，我觉得有两点：一是平时加强模拟考试——模拟考试绝

对不仅仅指的是做一套题那么简单！我觉得模拟考试要起到效果，

必须完完全全地模拟真实的情况。特别是 4、5 小时的考试，很多

最好“认真对待”，两天的考试可以带一些心理负担，这样真正考

CMO这样的考试万一面对第一天考试失利，就不会心理太崩盘。

各级竞赛 一全国高中数学联赛

全国高中数学联赛是高中竞赛的第一步，但其实也是不确定性最大

的一步。不同的省份有不同的联赛的备考攻略。如果你来自一些超

级联赛强省，比如上海、浙江等，那么你的一试水平一定要过硬，

因为正常的年份很可能会出现很多人二试并列拼一试的情况；但如

果是中等的省份，就拿广东举例吧，在大部分年份二试 3 题＋ 一

试 90 分可以进省队，并且二试 2 题的话几乎进不了省队，所以其

实只需要做“适当”的一试练习，然后把重点放在二试上。

注意，这里的“ x 题”指的是最终得分，不同的省改卷严格程度不

一，但是一般来说，被判错是少数，并且很有可能是自己的问题（有

些人经常写伪证自己看不出来，或者写过程水平太差确实没法看，

却自我感觉良好），所以在备考的过程中要训练自己的书写，要尽量

写的严谨、工整，避免被判错；但至于最终结果要是还是被判错

了，也没办法啊，尽力而为，问心无愧。

由于联赛的考场很多，并且各地规则不一，请尽量熟悉自己将去到

的考场与考试细则，并在考前做好充足的准备，避免出现考试之外

的问题。笔者在参加联赛的过程中曾经遇到过以下问题（都是血的教

训啊） :

考场偏僻，当天起的很早赶赴考场，很疲倦；考场空调直吹，极

冷；教室很大，老师发卷不及时，导致开考 5 分钟才拿到卷子；考

试要求换草稿纸（收一张给一张）；洗手间较少，要等很久等等。总

之，在考试之前，一定要做好充分的准备，联赛毕竟没几次，要按

照高考的规格对待，提前踩点，准备充足的衣物、食物，避免因为

考前准备不充足痛失好局。联赛与之后的比赛的最大的两点区别就

是：时间短，对书写要求高。所以联赛的模拟更注重踏踏实实地掐

表做，并认真写过程，最好让别人批改或者自己对着答案很仔细地

检查笔误和写的不好的地方。部分因为时间原因没有做出的题目可

以考试结束后再想，在考试的时候一定要保证“分数最大化”，该

跳过的题就跳过，这样在真正的联赛中才不容易手忙脚乱。

联赛有一个不太好的地方：答题的区域非常小，尤其是二试第一

题，要是想到了一个很复杂的方法，有可能要挖掉一大半第二题的

1

一 试

先说一试。我的一试水平历来都不算好，但是也不算差，大概就是

所谓的“90分”标准。我个人认为90分应该是适当训练可以达到

的，而且在训练得当的情况下，基本可以保证拿到这个分数。当

然，我的训练其实不多，（因为前而说的弱省原因），但是也不算

少。首先，如果你刚学高中竞赛，对一试的知识点掌握的还不透

彻，那么大概还是需要把套路过一遍的——这个过程有点像准备高

考，但是要求更高。如果有教练当然极好，让教练帮着补补就好

了；如果自学的话，大概需要做一些题。一试我能想到的问题大概

是下面的这些东西：

直线或者二次曲线之类的嘛，那么比如把 x , y 坐标平方乘系数加加

减减说不定就全部消掉了。

当然，做解析多了之后，要总结经验，在花了一定时间做不下去，

一定要赶紧止损，换个方法，说不定不费很大力气就做出来了。最

后，要记住，验证平行坐标轴的情况。

数列技术含量稍高，不过绝大多数数列问题都是可以用局部不等式

或者裂项做出来的。少数有高级技巧，比如积分估计，三角函数换

元之类的。个人觉得数列其实难度很难估测，有的题目确实有难

度。当然，就联赛的真题来看，数列题目并没有很多模拟题那么

难，需要注意的是一定不能着急的瞎放缩，要多变形 ——绝大部分

的数列都是用代数变形后裂项做出的。

大题里面可能还有一道求导的题目或者其他题目。这一类题目个人

习，通过练习逐渐学会一些技巧。每个人都是从 30 分做到100分的

嘛，开始不要着急，如果遇到完全没有办法的题目可以适当想想暂

时跳过，记住答案里面的关键点，在下一次见到类似的方法时不要

忘记就好。

一般来说，在经过至多一年的学习，一试水平大概就可以达到“90

分”目标，偶尔能全对，但也可能算错很多题划水。这个时候，基

础的东西都学会了，剩下的提分点就在考试的状态上了。关于一试

的时间分配，我个人的习惯是，30 分钟做完填空题，然后一道一道

地做大题（前两个大题大约做10到 15分钟，最后二个比较难的话就

一直做），但是最后至少留下 10 分钟检查。我觉得在练习的过程中

找到自己熟悉的节奏很重要，并且考试的时候要严格执行之前的策

略，不要为了贪最后一个题目放弃检查（当然，如果你的习惯是不检

查，也可以）。

我推荐在至少离考试还有 2 个月的时候开始进行一试模拟训练，大

概每 2 到 3 天做一套计时的一试题。开始的时候肯定状态不会太

好，容易算错，但是经过比较长的熟悉之后，在离考试将近一个月

左右的时候应该问题就不大了。但是状态还是要继续保持，如果突

然出现状态特别差，不要疲劳作战，可以先休息调整一下再仔细分

析在考试过程中出现的时间分配问题（错的多的情况往往是因为花了

过多时间做难题导致时间分配不均）。

2

二 试

联赛不确定性最大的地方，大概就在于二试。

我认为联赛二试是数学竞赛中最不容易稳定发挥的考试。时间太短

导致随机性很大，尽管题目一般本质不算太难，却也都有关键的步

骤。从二试到之后的“大题”训练是数学竞赛的重点，不过好在联

赛二试的题目，说难也不难，相对 CMO 等之后的考试而言套路比

较少。个人认为有集训队实力的同学应该做联赛二试的题目不会很

困难，具体的专题训练写在之后了。

这里只提一点联赛二试要注意的问题：联赛二试时间确实很紧，平

均每题半小时多，很容易因为慌张或者时间不够发挥失误。所以万

一遇到不对路的题目，在做了一段时间之后，要选择果断跳过。这

里的分寸也是要在模拟考试中慢慢总结出来的，因为有的时候尽管

题目本身可能不难，如果思路陷入“死循环”，再浪费一个小时很

可能还是做不出来。再者，如果最后还剩下 1 个小时，并且还剩两

的）。（未完待续...）