泡沫理论

泡 沫 理 论

【内容摘要】 数学，是一门与我们的生活有着密切联系的学问。在任何时期，

数学对小至个人，大到世界的各个方面都起到了一定的推动作用。在本文中，我

们将从数学中的泡沫理论入手，通过文献查阅等方式谈一谈泡沫理论的起源、发

展及其应用，并由此阐述数学与人类文明的关系，以进一步地了解数学这门与我

们每个人都息息相关的学科。

【关键词】 泡沫理论 起源 发展 应用

纵观古今中外人类文明的发展史，任何时期、任何朝代，无论政治、军事,

还是经济、文化的进步，数学都无一例外地起着巨大的推动作用:爱因斯坦正是

受到数学家黎曼著作的影响才创造出相对论，从而深刻而长久地改变了我们当代

人的生活；量子力学创始人海森堡则运用了数学中的矩阵来描述物理量，从而建

立起量子力学的大厦；1917年数学家拉顿在积分集合研究中引用了一种数学变

换（拉顿变换），几十年后柯尔马克和洪斯菲尔德巧妙地运用拉顿变换，设计出

X射线断层扫描仪——CT，为医学诊断做出了巨大的贡献„„

再到如今世界上的伟大建筑，许多都与数学有着紧密的联系。在2008年的

北京奥运会上，最吸引眼球的建筑当属国家游泳中心——水立方了，她宛如一座

水晶宫殿，与鸟巢交相辉映。这座由“泡泡”和钢结构构成的巨大建筑，凭借着

其创新的设计，获得了2010年国际桥协杰出结构大奖。说到水立方的设计灵感，

它也来源于数学和物理学领域的“泡沫理论”。

一、泡沫理论的起源

泡沫理论的起源最早要追溯到公元4世纪，古希腊几何学家帕普斯（Pappus）

在《On The Sagacity of Bees》一文中提到蜜蜂具有理解几何对称性的灵性，

天生就知道如何用最少量的蜂蜡构建正六边形的蜂巢，紧接着他提出了一系列的

思考：蜜蜂是如何把平面等分割成等边长单元的呢？对于平面而言，为什么只有

等三边、等四边、等六边形能周期性地排布成平面，而其他等边则不行？蜜蜂为

什么选择面积恒定时周长最小的正六边形？另外，在肥皂泡问题上，肥皂泡总是

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试图最小化它们的表面积，以使它们的表面能量最小化。对于一个孤立的肥皂泡，

最佳的表面就是一个球面。公元320年，帕普斯首次对肥皂泡的球状结构进行了

数学分析。1884年，德国数学家施瓦茨（H. A. Schwarz）用微积分对此给出了

严格的证明。然而，肥皂泡的问题远没有被彻底解决，如当两个或多个肥皂泡聚

集在一起时，它们的结构又会如何变化呢？

1840年，比利时物理学家普拉托（J. Plateau）（又译为柏拉图）对最小表

面积问题着手进行实验研究，实验始于一次偶然：他的一个仆人把油溅到了盛有

水和酒精的容器中，普拉托注意到油在混合物中呈现完美的球形，后来他改用肥

皂溶液和甘油并把蘸湿的线框放入其中进行实验。在一系列实验之后，普拉托于

1873年指出，当肥皂泡沫聚集到一起时，首先，4个气泡形成一组相互作用的基

本单元（气泡大小为10μm-1cm），相交于一个交汇点（vertex，junction或node）；

每3个气泡围成一个凹三角形形成柏拉图通道（plateau border），则4个气泡

共形成4个柏拉图通道，其曲率半径为r（大小为~1μm-1mm）。柏拉图通道长

Pb

度L约为气泡大小的1/3，柏拉图通道要比交汇点薄一些，每两个气泡间形成

Pb

一个液膜，4个气泡共形成6个液膜，液膜间以及柏拉图通道间的夹角分别为

arccos(-1/2)=120°和arccos（-1/3）≈109.47°（图1）。这即是著名的柏拉

图规则（Plateau rule），即泡沫结构平衡法则。

柏拉图的结论如此简单，连他自己都感到吃惊，他说：“„„这些规则使得

我们得到一个非常值得关注的结论：那些香槟、啤酒和肥皂水中的泡沫很明显是

液体薄膜的结合体„„因此，尽管泡沫在人们看来是极其易变的，但它一定会受

到以上规则支配的。”

图1

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二、泡沫理论的发展和应用

麦克斯韦提出电磁辐射理论，认为光是电磁波，赫兹实验也表明电磁波具有

光的一切性质。1900年前后，物理学家确认光是一种电磁波。根据经典力学，

波动是需要有介质的，为了解释光的波动性，很多科学家认为光是在一种叫做

“以太”的媒质中传播的。以太一方面要像液体，以便物体可以从中穿行，另一

方面又必须像固体，因为电磁波是横波，而横波只能在固体中传播。

为了理解这种具有奇异性质的以太，19世纪末的物理学家们提出了很多模

型。开尔文（原名威廉姆.汤姆孙（Willian Tomson,1824-1907），1892年被授

予开尔文勋爵封号）曾说过：“如果我能成功地建立起一个（机械）模型，我就

能理解它（以太），否则我就不能。”开尔文和他的终生好友，爱尔兰数学家斯托

克斯（G. G. Stokes），就以太问题经常进行书信讨论。起初，他们把复杂流体

作为以太模型。然而，肥皂泡的弹性结构特征却对开尔文越来越有吸引力，开尔

文设想以太应该具有泡沫一样的结构。这位开尔文爵士是热力学研究的先驱，但

他对泡沫形状的研究也是情有独钟。他的侄女就曾描述过这位爵士大人经常带着

一个盛有肥皂泡水的容器和很多用线做成的不同形状的线框（这种方法为普拉托

首创），对这些肥皂泡膜进行科学的研究。

具有相同体积的所有泡泡应该具有什么样的完美结构？1887年，开尔文提

出了开尔文问题（Kelvin Problem）：如果将三维空间细分为若干个小部分，保

证接触面积最小，这些细小的部分应该是什么形状？这个问题引发了人类对完美

空间的不倦追求。就二维空间来说，其答案即开普勒猜想的生物实现，六角密堆

积的蜂房是平面上效率最高的一种堆积方式，单个蜂房满足表面积最小，从而最

节省蜂蜡。

开尔文很快在《伦敦哲学杂志》上发表了该问题的解决方法。他将既能填满

整个空间、同时又能满足普拉托规则的那些具有最小表面积的相同尺寸的泡泡，

称为开尔文单元（Kelvin cell），其结构为14面体（图2）。开尔文用截去顶端

的八面体去填充整个空间，然而他发现，只有把八面体的每个面进行轻微的弯曲，

才能获取具有较小表面积的泡沫结构，开尔文泡沫结构具有完美的对称性。

在一个多世纪里，人们都把开尔文的泡沫结构视为开尔文问题的最佳答案。

然而，由于开尔文结构缺乏严谨的数学证明和实验论证，科学家们并没有停止寻

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找开尔文问题的更佳答案。

在这个过程中，不只是科学家，一些建筑学家也作出了他们的贡献。世界上

图2 采用Surface Evolver软件复现的开尔文单元结构

很多著名建筑的设计理念就是基于对肥皂泡的形学和力学特性的研究成果。

在这些人中，以德国的著名设计师奥托（）最具代表性。他自1950

年起开始研究索膜结构所具有的结构和形式特性。并且总结出“极小曲面”对索

膜结构设计的重要作用。因为当索膜结构处于极小曲面的时候，膜材料在所有方

向的受力是均等的，他的形式遵从自己的规律，并不以设计者的意志为转移，形

式和结构在此形成了一个不可分的整体，共存于不可变的形体中。

为了找出“极小曲面”，奥托及其合作者将肥皂泡作为研究的主要工具，去

寻求合理的索膜结构形式。奥托在试验中采用的材料是毛发和细丝，他把它们系

在针或细杆的断点，而针或细杆则被钉在有机玻璃板上。如果将这个装置放入肥

皂溶液，再取出，这时肥皂泡的表面积总是最小的，并且各处的表面压力完全相

同，用它来模拟索膜结构是十分理想的。他把细丝系在针的不同高度，这样就会

形成类似帐篷那样的奇妙结构。奥托为此还特意研制了一种“肥皂泡试验装置”，

以便于几何分析和测量这些肥皂泡模型。在装置内的温度控制箱中，这些肥皂泡

可以长时间保存，当一束平行光束按比例地将他们投影到地板或毛玻璃上时，即

可拍照或测量。奥托用他的实验装置研究了各种帐篷形式：帆形、尖顶式、拱形、

凸起式、波浪式等，并广泛应用于设计实践中。

斯图加特轻质研究所是奥托为1967年蒙特利尔世界博览会德国馆所作的结

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构试验建筑。它是张拉索轻质结构，中间是采光天棚，四周的屋面也是端木和拉

索接成的。在这栋建筑的肥皂膜模型试验中，外围的线圈是用系在针杆的细线张

拉而成的，所有针杆都嵌在一个平板上，在模型的上部设有一个吊架，而吸附在

肥皂膜中的线圈悬挂在这个吊架上，然后将线圈向上提起就能形成所需要的形

态。

科学家在这一方面的研究也从未停止过。1993年，爱尔兰都柏林大学圣三

一学院的两位物理学教授威尔（）和弗兰（）受到一类称为笼

结构化合物的启发，提出了新的解决方案。

硅基笼状化合物NaSi整个结构由8个笼组成，而6个4面体和2个12面

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体组成基本单元组合。借助于Surface Evolver软件（这是一种基于最小能量原

理和有限元数值分析方法，针对表面成形演变过程分析的一般问题，用C语言编

写的通用型软件），威尔和弗兰提出要超越开尔文泡沫结构的新型气泡结构模型。

威尔―弗兰气泡（Weaire-Phelan bubbles）模型中包含正12面体单元和14面

体单元这两种多面体单元，两者共有三种表面形状，即一种六边形和两种五边形，

其棱边有四种边长，角点形式则有三种。6个14面体和2个正12面体可组成基

本单元组合，基本单元组合可以沿三个互相正交的方向阵列填充三维空间。WP

单元结构面积比开尔文单元结构的面积小了0.3%，这在数学上有着重大意义。

到目前为止，威尔-弗兰多面体组合仍被认为是开尔文问题的最理想的解答（图

3）。

图3 不同视角时的Weaire-Phelan结构，WP结构的对称性远不如开尔文单

元

威尔—弗兰的气泡理论和开尔文理论相比，多了些复杂性，少了些对称美，

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在某种程度上，那些坚信最好的结构应该具有最美的对称性的科学家对威尔—弗

兰的气泡理论多少有点不安。然而，我们生活于其中的大自然的外在表现所具有

的美学感的结构，是规则和不规则、有序和无序、优雅简单和复杂性的微妙关系

的统一体。这个统一体正是科学家科学研究、工程师工程设计和艺术家创造的重

要驱动力，只要善于观察和吸收自然界中千变万化现象的内在规律，就会有取之

不尽的源泉。

如果肥皂泡的基座不是圆形的话它会自动形成一个最符合泡内压力及最小

面积的形状。如果把一大一小两个肥皂泡放在一起，交界面向大肥皂泡的一方拱

出，其交界面为曲面隔膜。如果两泡大小相等，其交界面会形成一个平面隔膜。

对于多个肥皂泡，其组合形式有如下规律：3个气泡只能相交于一条边，而4个

气泡只能相交于一点，薄膜的交角永远是120°，而四条边形成的角永远是109°

28′，只有这样，在相交边或接触点张力才能平衡，这也就是普拉托于1873年

提出的著名的普拉托规则（Plateau rule）。这个理论在建筑学上的一次应用是

尼古拉斯·格雷姆肖在英国康沃尔郡的伊甸园工程（图4）。

图4

三、总结

从四大文明古国开始，人类的文明已经延续了五六千年。在这五六千年中，

我们见到一个文明衰落，另一个文明兴起，再衰落，再兴起„„如此交替更迭，

而人类文明也在这样的进程中得到了发展。在促进人类文明发展的所有因素中，

数学是不容忽视的。人类社会的发展、文明的进步与数学有着千丝万缕的联系。

邓小平曾说过：“科学技术是第一生产力。”而“科学技术的基础是应用科

学”，“应用科学的基础是数学”。这一论述充分阐明了数学在生产力发展中的

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巨大作用。综上所述，我们可以得出这样的结论：数学的发展推动着人类文明的

发展，数学真的是一门伟大的学科！

【参考文献】

[1][美]A W 亚当森/著 顾惕人/译.表面的物理化学（上册）[M].北京科学出版社.1986.3

[2][英]C.V.波易斯/著 谈镐生/译.肥皂泡和形成它们的力[M].北京科学出版社.1974.5

[3]薛万华 刘月成 安道利. 物理化学简明教程[M].地震出版社.2001

[4]唐玄之 王琦 魏良淑 杨宏伟.大小肥皂泡连通后的讨论与计算[J].大学物理2007年26卷

第10期

[5]孙其诚 谭靓慧.泡沫物理学史拾萃[J].物理.2008年第07期

[6]张昌芳 刘家福.自然的魅力——“水立方”与肥皂泡理论[J].科学（上海），2008年第5期

[7]游少萍.肥皂泡与建筑[J].华中建筑，2008年第26卷第11期

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