博弈论

博弈论

博弈论（Game Theory），亦名“对策论”、“赛局理论”，

是一种处理竞争与合作问题的数学决策方法；研究竞争中参加者为争

取最大利益应当如何做出决策的数学方法；根据信息分析及能力判

断，研究多决策主体之间行为相互作用及其相互平衡，以使收益或效

用最大化的一种对策理论；研究决策主体的行为发生直接相互作用

时候的决策以及这种决策的均衡问题。

博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己

的对抗策略，达到取胜的目的。博弈论思想古已有之，我国古代

的《孙子兵法》就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博

弈论著作。博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，

人们对博弈局势的把握只停留在经验上，没有向理论化发展。 博

弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优

化策略。近代对于博弈论的研究，开始于策墨洛（），

Zermelo

波雷尔（）及冯·诺伊曼（）。

Borelvon Neumann

1928年，冯·诺依曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了

博弈论的正式诞生。1944年，冯·诺依曼和摩根斯坦共著的划时

代巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到n人博弈结构并

将博弈论系统的应用于经济领域，从而奠定了这一学科的基础和

理论体系。1950～1951年，约翰·福布斯·纳什（

John Forbes

Nash Jr

）利用不动点定理证明了均衡点的存在，为博弈论的一般

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化奠定了坚实的基础。纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》

（1950），《非合作博弈》（1951）等等，给出了纳什均衡的

概念和均衡存在定理。此外，塞尔顿、哈桑尼的研究也对博弈论

发展起到推动作用。今天博弈论已发展成一门较完善的学科。

博弈的分类根据不同的基准也有所不同。一般认为，博弈主

要可以分为合作博弈和非合作博弈。它们的区别在于相互发生作

用的当事人之间有没有一个具有约束力的协议，如果有，就是合

作博弈，如果没有，就是非合作博弈。从行为的时间序列性，博

弈论进一步分为两类：静态博弈是指在博弈中，参与人同时选择

或虽非同时选择但后行动者并不知道先行动者采取了什么具体行

动；动态博弈是指在博弈中，参与人的行动有先后顺序，且后行

动者能够观察到先行动者所选择的行动。通俗的理解："囚徒困境

"就是同时决策的，属于静态博弈；而棋牌类游戏等决策或行动有

先后次序的，属于动态博弈 。按照参与人对其他参与人的了解程

度分为完全信息博弈和不完全信息博弈。完全博弈是指在博弈过

程中，每一位参与人对其他参与人的特征、策略空间及收益函数

有准确的信息。如果参与人对其他参与人的特征、策略空间及收

益函数信息了解的不够准确、或者不是对所有参与人的特征、策

略空间及收益函数都有准确的准确信息，在这种情况下进行的博

弈就是不完全信息博弈。目前经济学家们现在所谈的博弈论一般

是指非合作博弈，由于合作博弈论比非合作博弈论复杂，在理论

息静态博弈，完全信息动态博弈，不完全信息静态博弈，不完全

信息动态博弈。

博弈要素: (1)决策人：在博弈中率先作出决策的一方，这一

方往往依据自身的感受、经验和表面状态优先采取一种有方向性

的行动。(2) 对抗者：在博弈二人对局中行动滞后的那个人，与

决策人要作出基本反面的决定，并且他的动作是滞后的、默认的、

被动的，但最终占优。他的策略可能依赖于决策人劣势的策略选

择，占去空间特性，因此对抗是唯一占优的方式，实为领导人的

阶段性终结行为。(3)局中人（players）：在一场竞赛或博弈中，

每一个有决策权的参与者成为一个局中人。只有两个局中人的博

弈现象称为“两人博弈”,而多于两个局中人的博弈称为 “多人

博弈”。(4)策略(strategies)：一局博弈中，每个局中人都有选

择实际可行的完整的行动方案，即方案不是某阶段的行动方案，

而是指导整个行动的一个方案，一个局中人的一个可行的自始至

终全局筹划的一个行动方案，称为这个局中人的一个策略。如果

在一个博弈中局中人都总共有有限个策略，则称为“有限博弈”，

否则称为“无限博弈”。(5)得失(payoffs)：一局博弈结局时的结

果称为得失。每个局中人在一局博弈结束时的得失，不仅与该局

中人自身所选择的策略有关，而且与全局中人所取定的一组策略

有关。所以，一局博弈结束时每个局中人的“得失”是全体局中

人所取定的一组策略的函数，通常称为支付（payoff）函数。(6)

次序（orders）：各博弈方的决策有先后之分，且一个博弈方要

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作不止一次的决策选择，就出现了次序问题；其他要素相同次序

不同，博弈就不同。(7)博弈涉及到均衡：均衡是平衡的意思，在

经济学中，均衡意即相关量处于稳定值。在供求关系中，某一商

品市场如果在某一价格下，想以此价格买此商品的人均能买到，

而想卖的人均能卖出，此时我们就说，该商品的供求达到了均衡。

所谓纳什均衡，它是一稳定的博弈结果。

纳什均衡(Nash Equilibrium)：1950年和1951年纳什的

两篇关于非合作博弈论的重要论文，彻底改变了人们对竞争和市

场的看法。他证明了非合作博弈及其均衡解，并证明了均衡解的

存在性，即著名的纳什均衡。从而揭示了博弈均衡与经济均衡的

内在联系。纳什的研究奠定了现代非合作博弈论的基石，后来的

博弈论研究基本上都沿着这条主线展开的。纳什均衡的提出和不

断完善为博弈论广泛应用于经济学、管理学、社会学、政治学、

军事科学等领域奠定了坚实的理论基础。纳什均衡的主要内容是：

在一策略组合中，所有的参与者面临这样一种情况，当其他人不

改变策略时，他此时的策略是最好的。也就是说，此时如果他改

变策略他的支付将会降低。在纳什均衡点上，每一个理性的参与

者都不会有单独改变策略的冲动。纳什均衡点存在性证明的前提

是“博弈均衡偶”概念的提出。所谓“均衡偶”是在二人零和博

弈中，当局中人A采取其最优策略a*,局中人B也采取其最优策

略b*,如果局中人B仍采取b*,而局中人A却采取另一种策略a，

那么局中人A的支付不会超过他采取原来的策略a*的支付。这一

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结果对局中人B亦是如此。这样，“均衡偶”的明确定义为：一

对策略a*(属于策略集A)和策略b*（属于策略集B）称之为均衡

偶，对任一策略a(属于策略集A)和策略b（属于策略集B），总

有：偶对（a, b*）≤偶对(a*,b*)≥偶对（a*，b）。对于非零和博

弈也有如下定义：一对策略a*（属于策略集A）和策略b*（属于

策略集B）称为非零和博弈的均衡偶，对任一策略a(属于策略集

A）和策略 b（属于策略集B），总有对局中人A的偶对（a, b*）

≤偶对(a*,b*);对局中人B的偶对（a*，b）≤偶对(a*,b*)。有了上

述定义，就立即得到纳什定理：任何具有有限纯策略的二人博弈

至少有一个均衡偶。这一均衡偶就称为纳什均衡点。 纳什定理

的严格证明要用到不动点理论，不动点理论是经济均衡研究的主

要工具。通俗地说，寻找均衡点的存在性等价于找到博弈的不动

点。纳什均衡点概念提供了一种非常重要的分析手段，使博弈论

研究可以在一个博弈结构里寻找比较有意义的结果。但纳什均衡

点定义只局限于任何局中人不想单方面变换策略，而忽视了其他

局中人改变策略的可能性，因此，在很多情况下，纳什均衡点的

结论缺乏说服力，研究者们形象地称之为“天真可爱的纳什均衡

点”。

智猪博弈：猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的

一边有个踏板，每踩一下踏板，在远离踏板的猪圈的另一边的投

食口就会落下少量的食物。如果有一只猪去踩踏板，另一只猪就

有机会抢先吃到另一边落下的食物。当小猪踩动踏板时，大猪会

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在小猪跑到食槽之前刚好吃光所有的食物；若是大猪踩动了踏板，

则还有机会在小猪吃完落下的食物之前跑到食槽，争吃到另一半

残羹。那么，两只猪各会采取什么策略？答案是：小猪将选择“搭

便车”策略，也就是舒舒服服地等在食槽边；而大猪则为一点残

羹不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之间。原因何在？因为，小猪踩

踏板将一无所获，不踩踏板反而能吃上食物。对小猪而言，无论

大猪是否踩动踏板，不踩踏板总是好的选择。反观大猪，已明知

小猪是不会去踩动踏板的，自己亲自去踩踏板总比不踩强吧，所

以只好亲力亲为了。“小猪躺着大猪跑”的现象是由于故事中的

游戏规则所导致的。规则的核心指标是：每次落下的食物数量和

踏板与投食口之间的距离。

如果改变一下核心指标，猪圈里还会出现同样的“小猪躺着

大猪跑”的景象吗？试试看。

者来说，这个规则的成本相当高（每次提供双份的食物）；而且

因为竞争不强烈，想让猪们去多踩踏板的效果并不好。

改变方案三：减量加移位方案。投食仅原来的一半分量，但

同时将投食口移到踏板附近。结果呢，小猪和大猪都在拼命地抢

着踩踏板。等待者不得食，而多劳者多得。每次的收获刚好消费

完。对于游戏设计者，这是一个最好的方案。成本不高收获最大。

原版的“智猪博弈”故事给了竞争中的弱者（小猪）以等待

为最佳策略的启发。但是对于社会而言，因为小猪未能参与竞争，

小猪搭便车时的社会资源配置的并不是最佳状态。为使资源最有

效配置，规则的设计者是不愿看见有人搭便车的，政府如此，公

司的老板也是如此。而能否完全杜绝“搭便车”现象，就要看游

戏规则的核心指标设置是否合适了。比如，公司的激励制度设计，

奖励力度太大，又是持股，又是期权，公司职员个个都成了百万

富翁，成本高不说，员工的积极性并不一定很高。这相当于“智

猪博弈”增量方案一所描述的情形。但是如果奖励力度不大，而

具有赢利能力新产品、继而大举仿制牟取暴利的游资；公司里不

创造效益但分享成果的人，等等。因此，对于制订各种经济管理

的游戏规则的人，必须深谙“智猪博弈”指标改变的个中道理。

博弈论的研究方法和其他许多利用数学工具研究社会经济现

象的学科一样，都是从复杂的现象中抽象出基本的元素，对这些

元素构成的数学模型进行分析，而后逐步引入对其形势产影响的

其他因素，从而分析其结果。基于不同抽象水平，形成三种博弈

表述方式，标准型、扩展型和特征函数型利用这三种表述形式，

可以研究形形色色的问题。因此,它被称为“社会科学的数学”从

理论上讲，博弈论是研究理性的行动者相互作用的形式理论，而

实际上正深入到经济学、政治学、社会学等等，被各门社会科学

所应用。博弈论是指某个个人或是组织，面对一定的环境条件，

在一定的规则约束下，依靠所掌握的信息，从各自选择的行为或

策略进行选择并加以实施，并从各自取得相应结果或收益的过程，

在经济学上博弈论是个非常重要的理论概念。可以这样说,要想赢

得生意,不可不学博弈论;要想赢得生活,同样不可不学博弈论。

囚徒困境：在博弈论中，含有占优战略均衡的一个著名例子

是由塔克给出的“囚徒困境”（）博弈模

prisoners’ dilemma

型。该模型用一种特别的方式为我们讲述了一个警察与小偷的故

事。假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。警

方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌

疑人，警方给出的政策是：如果两个犯罪嫌疑人都坦白了罪行，

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交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪，各被判刑8年；

如果只有一个犯罪嫌疑人坦白，另一个人没有坦白而是抵赖，则

以妨碍公务罪（因已有证据表明其有罪）再加刑2年，而坦白者

有功被减刑8年，立即释放。如果两人都抵赖，则警方因证据不

足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱

1年。

下表给出了这个博弈的支付矩阵

A╲B 坦白 抵赖

坦白 -8，-8 0，-10

抵赖 -10，0 -1，-1

我们来看看这个博弈可预测的均衡是什么。对A来说，尽管

他不知道B作何选择，但他知道无论B选择什么，他选择“坦白”

总是最优的。显然，根据对称性，B也会选择“坦白”，结果两

人都被判刑8年，倘若他们都选择“抵赖”，每人只被判刑1年。

在表中的四种行动选择组合中，“抵赖、抵赖”是合作博弈最优

选择，因为偏离这个行动选择组合的任何其他行动选择组合都至

少会使一个人的境况变差。不难看出，“坦白”是任一犯罪嫌疑

人的占优战略，而“坦白，坦白”是一个占优战略均衡。按照亚

当·斯密的理论，每一个人都是从利己的目的出发，他们选择坦白

交代是最佳策略。因为坦白交代可以期望得到最好的结果——不

被判刑，但前提是同伙抵赖，显然要比自己抵赖要坐10年牢好。

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这种策略是损人利己的策略。不仅如此，坦白还有更多的好处。

如果对方坦白了而自己抵赖了，那自己就得坐10年牢。太不划

算了！因此，在这种情况下还是应该选择坦白交代，即使两人同

时坦白，至多也只判8年，总比被判10年好吧。所以，两人合

理的选择是坦白，原本对双方都有利的策略（抵赖）和结局（免

刑）就不会出现。这样两人都选择坦白的策略以及因此被判8年

的结局被称为“纳什均衡”，也叫非合作均衡。因为，每一方在

选择策略时都没有“共谋”（串供），他们只是选择对自己最有

利的策略，而不考虑社会福利或任何其他对手的利益。也就是说，

这种策略组合由所有局中人（也称当事人、参与者）的最佳策略

组合构成。没有人会主动改变自己的策略以便使自己获得更大利

益。

“囚徒的两难选择”有着广泛而深刻的意义。个人理性与集

体理性的冲突，各人追求利己行为而导致的最终结局是一个“纳

什均衡”，也是对所有人都不利的结局。他们两人都是在坦白与

抵赖策略上首先想到自己，这样他们必然要服长的刑期。只有当

他们都首先替对方着想时，或者相互合谋(串供)时，才可以得到

最短时间的监禁的结果。“纳什均衡”首先对亚当·斯密的“看不

见的手”的原理提出挑战。按照斯密的理论，在市场经济中，每

一个人都从利己的目的出发，而最终全社会达到利他的效果。不

妨让我们重温一下这位经济学圣人在《国富论》中的名言：“通

效地促进社会利益。”从“纳什均衡”我们引出了“看不见的手”

的原理的一个悖论：从利己目的出发，结果损人不利己，既不利

己也不利他。两个囚徒的命运就是如此。从这个意义上说，“纳

什均衡”提出的悖论实际上动摇了西方经济学的基石。因此，从

“纳什均衡”中我们还可以悟出一条真理：合作是有利的“利己

策略”。但它必须符合以下黄金律：按照你愿意别人对你的方式

来对别人，但只有他们也按同样方式行事才行。也就是中国人说

的“己所不欲勿施于人”。但前提是人所不欲勿施于我。其次，

“纳什均衡”是一种非合作博弈均衡，在现实中非合作的情况要

比合作情况普遍。所以“纳什均衡”是对冯·诺依曼和摩根斯特恩

的合作博弈理论的重大发展，甚至可以说是一场革命。

价格战博弈：现在我们经常会遇到各种各样的价格大战，这

成垄断价格，并尽力获取垄断利润。如果垄断可以形成，则博弈

双方的共同利润最大。这种情况就是垄断经营所做的，通常会抬

高价格。另一个极端的情况是厂商用正常的价格，双方都可以获

得利润。从这一点，我们又引出一条基本准则：“把你自己的战

略建立在假定对手会按其最佳利益行动的基础上”。事实上，完

全竞争的均衡就是“纳什均衡”或“非合作博弈均衡”。在这种

状态下，每一个厂商或消费者都是按照所有的别人已定的价格来

进行决策。在这种均衡中，每一企业要使利润最大化，消费者要

使效用最大化，结果导致了零利润，也就是说价格等于边际成本。

在完全竞争的情况下，非合作行为导致了社会所期望的经济效率

状态。如果厂商采取合作行动并决定转向垄断价格，那么社会的

经济效率就会遭到破坏。这就是为什么WTO和各国政府要加强

反垄断的意义所在。

污染博弈：假如市场经济中存在着污染，但政府并没有管制

的环境，企业为了追求利润的最大化，宁愿以牺牲环境为代价，

也绝不会主动增加环保设备投资。按照看不见的手的原理，所有

企业都会从利己的目的出发，采取不顾环境的策略，从而进入“纳

的情况就是如此。只有在政府加强污染管制时，企业才会采取低

污染的策略组合。企业在这种情况下，获得与高污染同样的利润，

但环境将更好。

以牙还牙：重复的博弈理论上导致了合作的产生，但是谁也

不能保证合作的继续，因为之前已经说过，合作的代价是建立在

损害个人利益基础之上的。如果个人放弃未来收益或当前背叛收

益大于未来收益，背叛的风险仍然存在。那么在重复博弈中怎样

的策略才是最优。若干睿智而复杂在经过计算机中PK之后，极

其原始的“以牙换牙”策略脱颖而出，固然这个策略简单至极，

抗，集体将获得左右策略，但是这需要壮士断腕的勇气，部分人

可能因此受伤。这里是实力与勇气的较量，而且实力暂居上风。

酒吧博弈：如果人人理性，那么每一天到达酒吧的人数将是

差不多正好的，但是人非圣贤，往往是有限理性的。第一次到酒

吧的人多，那么大多人人认为酒吧人太多，太挤。第二次决定的

时候，参考前次而不去酒吧。少数去的人发现酒吧的人第二天很

少，感觉很爽，第三次将继续回来，并重新带回许多人……循环

就此开始。酒吧博弈一方面显示，现实的博弈参与者，是极其有

限理性的，其理性只前延后伸一小段。历史数据只对计算机有用，

对人，则不一定。另一个方面，酒吧博弈指出，胜利者永远只是

少数。尽管酒吧存在调谐的可能，譬如发短信时时提醒，但成本

击破之中任何一个，王者仍将归来。这就是先发优势。假设这是

一场类似CS的竞技，优秀的枪手击倒二号枪手，立刻获得奖励：

盾牌。那么三号枪手将陷入绝境。不过，不管怎样，这个博弈模

型，到底给了弱势者一份希望。机会永远存在。

猎鹿博弈：两个猎人合作猎鹿获得的收益将远大于分别猎兔

的收益，战略联盟将开始。这或许是件好事，不过有取决于最后

猎获的鹿——这一公共资源的分配，如果分配得当，整体的效率

将增加。如果一方主导，另一方受损，那么帕累托改善将无法进

行为开始变得“仪式化”，没有人真正流血。这只不过是两个巨

头玩弄的游戏，目的是警告后来者，想进来，那么也得陪我们一

起玩，可是你玩的起么？这正是百事的广告，即使暗含挑衅也最

多只到“敢为中国红”这样的地步的原因。

协和谬误：欧洲政府在大量投资协和飞机后，终于不能自拔。

即使前景黯淡，也撑着面子投下去，非要走投无路才放弃。而这

时投入的成本已经全打水漂了。如果，发现不能继续的时候，就

果敢放手，损失会小得多。可是他们会、能这么做么？壮士断腕，

是何等的壮烈，却也是何等的艰难！沉没成本很可能会延续人们

无畏的坚持。已经沉没的本该放弃，可惜大部分有赌徒式的心理，

相信阿基米德的杠杆终将启动。可惜他们在爬到足够撬动杠杆的

支点之前，已经窒息了。协和谬误，倒是给了人们半途而废的理

由，会不会有人担心它的滥觞会左右一些本该坚持的目标？的确

有这个可能，但是应该相信人们足够理智，完全可以比较沉没成

本、机会成本与未来收益的关系。看清了的，必定会坦然地走出

协和谬误。

蜈蚣博弈：“蜈蚣博弈悖论”（简称“蜈蚣悖论”）是在博

弈论及博弈逻辑的研究中发现的悖论，是一种合理行为选择的悖

论。“蜈蚣博弈”(centipede game)是由罗森塞尔(Ronthal)

在1981年提出的一个动态博弈问题。由于这个博弈的扩展形很

和“不合作”两种。他们的博弈展开式如下：

A — B — A —…… A — B — A — B — (10,10)

| * * * | * * * | * * * * * * | * * *| * * * | * * * |

(1,1) * (0,3) * (2,2) * * * (8,8) * (7,10) * (9,9) * (8,11)

在图中，博弈从左到右进行，横向连杆代表合作策略，向下

的连杆代表不合作策略。每个人下面对应的括号代表相应的人采

取不合作策略，博弈结束后，各自的收益，括号内左边的数字代

表A的收益，右边代表B的收益。如果一开始A就选择了不合作，

则两人各得1的收益，而A如果选择合作，则轮到B选择，B如

果选择不合作，则A收益为0，B的收益为3，如果B选择合作，

则博弈继续进行下去。

可以看到每次合作后总收益在不断增加，合作每继续一次总

收益增加1，如第一个括号中总收益为1＋1＝2，第二个括号为

0＋3＝3，第二个括号则为2＋2＝4。这样一直下去，直到最后

两人都得到10的收益，总体效益最大。遗憾的是这个圆满结局

很难达到！

大家注意，在上图中最后一步由B选择时，B选择合作的收

益为10，选择不合作的收益为11。根据理性人假设，B将选择

不合作，而这时A的收益仅为8。A考虑到B在最后一步将选择

不合作，因此他在前一步将选择不合作，因为这样他的收益为9，

比8高。B也考虑到了这一点，所以他也要抢先A一步采取不合

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作策略……如此推论下去，最后的结论是：在第一步A将选择不

合作，此时各自的收益为1！这个结论是令人悲伤的。

不难看出，在该博弈的推理过程中，运用的是逆推法。从逻

辑推理来看，逆推法是严密的，但结论是不合理的。因为一开始

就停止的策略A、B均只能获取1，而采取合作性策略有可能均

获取10，当然A一开始采取合作性策略有可能获得0，但1或者

0与10相比实在是很小。直觉告诉我们采取“合作”策略是好的。

而从逻辑的角度看，A一开始应选择“不合作”的策略。人们在

博弈中的真实行动“偏离”了运用逆推法关于博弈的理论预测，

造成二者间的矛盾和不一致，这就是蜈蚣博弈的悖论，一场颠前

倒后的博弈。蜈蚣博弈的机理是以最终的结果倒退至开始。这是

一个睿智的策略，因果相报，把握好因缘，自有好结果。它的另

一个好处，就是使得未来的计划明晰化，是你不再徘徊。只可惜，

很多时候，碌碌无为的我们并没有看透迷局的眼睛。我们黑色的

眼睛只习惯于黑夜。蜈蚣博弈也有一个致命的悖论，仍旧是个人

利益和集体利益的冲突，因为最后一次的背叛收益始终优于合作。

可悲的是，这一次背叛将由于人性的理智，穿越时光隧道，回到

原始的地点：人们将从开始就拒绝合作。还是感谢我们这个不完

美的世界吧，事实上人们很少这样做。当然合作到最后的也很少，

这意味着，倒推法只在中间阶段突然发生了作用，只不过谁也不

能预测，中间一步在哪里。在那里，我们只有冀望信任、道德、

良知等等。

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