非球形气溶胶粒子散射相函数经验公式

第卷，第期

391

2 0 191Spectroscopy and Spectral Analysis

年月

光谱学与光谱分析

Vol .39，No .1，ppl * 7

January 2019

，

非球形气溶胶粒子散射相函数经验公式

程晨徐青山!朱琳^

1<230031

中国科学院安徵光学精密机械研究所基础科学中心光电探测室，安徵合肥

2<230031

中国科学技术大学研究生院科学岛分院，安徵合肥

摘要散射相函数是研究电磁波传输特性的重要参数，直接影响电磁波传输方程的简化程度和解的精度。

基于电磁散射与辐射传输中的基本理论，对非球形粒子散射相函数的经验公式进行了研究。为了很好的模

拟非球形粒子的后向散射峰值，提高辐射传输方程的简化程度和解的精度，提出了一种新的相函数经验公

式。分析新的相函数对非球形粒子的适用性，以单个沙尘性气溶胶为例，计算了不同形状粒子的

Henyey-

Geenstein"

相函数和新的相函数随角度的变化，并与？矩阵法的计算结果进行了对比，发现橢球形粒子的

长短轴比和有限长圆柱形粒子的径长比大于时，新的相函数在大角度后向散射部分与矩阵法的吻合

0. 5T

程度较高。考虑波长变化，对比了尺寸谱满足对数正态分布的四种气溶胶粒子的"相函数

Henyey-Geenstein

和新的相函数与矩阵法的计算结果。研究表明，对于橢球形粒子和有限长圆柱形粒子，在大角度（大于

T

90A 0. 694100

后向散射部分，除了时的橢球形海洋性气溶胶，新的相函数均方根差较小的占%，证明了新

的相函数可以较好的模拟非球形粒子的后向散射特征。新的相函数对准确模拟辐射传输过程具有重要意义。

关键词非球形粒子％相函数％经验公式％后向散射

中图分类号：文献标识码

0431.1 ：A !OI: 10. 3964". issn. 1000-0593(2019)01-0001-07

GHenyey-Greenstein" (H-G

)相函数以及")相函数是最常见

的简化经验模型。然而相函数以及"相函数不能

H-GH-G

很好的拟合非球形粒子散射相函数的后向散射特性[6]，为了

引言

大气气溶胶是指悬浮在大气中的直径为的

10 3"101#m

能够很好的模拟非球形粒子的后向散射特性，结合

Rayleigh

相函数和相函数，提出了一种新的简化的经验模型

H-G

固体或液体颗粒组成的体系。由于它是由不同相态物体组成

的，虽然含量很少，但对大气中发生的许多物理化学过程都有

重要的影响。为了加强对大气气溶胶的研究，国际上已经实施

了几个较大的气溶胶研究项目[1]，目前我国有关大气溶胶的

研究主要集中在非球形气溶胶粒子散射和吸收特性以及环境

因素对粒子辐射特性的影响'1]"其中非球形粒子的散射相函

数是非球形粒子散射特性研究的主要工作之一。散射相函数

的计算模型主要有散射理论模型和简化的经验模型两类

"

利用散射理论计算气溶胶粒子的散射过程中，为了计算

方便，常把气溶胶粒子假设为球形，可以由理论计算得

Mie

出[2]，然而实际情况下的大气气溶胶粒子是各种各样的非球

形，其散射特性的计算方法有：时域有限差分方法

(RH-G$

相函数以橢球形粒子和有限长圆柱形粒子为例，

验证新的散射相函数的计算精度，将新的散射相函数的计算

结果与矩阵法的计算结果进行对比，并对计算结果的误差

T

进行了分析。为更准确、简便的计算非球形粒子的散射特性

提供理论支持。

1散射相函数

散射相函数是研究粒子与人射波相互作用的重要途径之

一，是将某个方向的人射能量散射到其他方向的概率，为

'7]

准确地描述散射相函数，定义相函数为角方向上的散射辐射

能量与各向同性散射时该方向散射辐射能量之比[8]。

(FDTD)[3]T[4]'5]"

、矩阵方法、分离变量方法

为了辐射传输理论计算的方便，常用简化的经验模型来

近似描述球形粒子的散射特性，其中

1.1 T

矩阵与散射相函数

按照定义来计算非球形粒子的散相函数时常采用矩

T

Henyey-Greenstein(H- *

收稿日期！修订日期：

2017-06-04,2017-10-25

基金项目：国家自然科学基金项目（和气象专项课题（)资助

41576185)GYHY201106002-03

作者筒介：程晨年生中国科学院安徵光学精密机械研究所博士后

，，:

1989 e-mailcheng006@163. com

"通讯联系人

e-mailqshxu@aiofm. ac. cn

:

2第39卷

光谱学与光谱分析

阵法。矩阵法是基于麦克斯韦方程得到的计算非球形粒子

T

散射特性的重要方法，目前主要用于计算橢球型、有限长圆

柱形等旋转对称粒子的散射特征[9]。矩阵实质上是电磁波

T

人射场与散射场之间的一个传输矩阵，它与粒子的复折射

率、尺寸等固有特性有关，而与电磁波的人射场和散射场无

关。旋转对称粒子的散射特性可以通过无量纲斯托克斯散射

矩阵表示']

0 0

$i

(!) 0 0

a

, (!)

0 0 #3#) $,#)

0 0 — $,#)

a

c

#)

其中！是人射光线与散射光线之间的夹角，即散射角。散射

矩阵的八个矩阵元中，有六个是相互独立的，其中矩阵元#

a

(!)是散射相函数，它满足归一化条件'0]

1 [ # ! " 1 ⑵

,J

0

daOsi

1.2

简化的经验模型

按照散射相函数的定义模拟粒子的散射特性，可保证计

算精度，但缺点是计算时间长、效率低％为了减小计算时间、

提高效率，常使用简化的经验模型

1 2. 1 -相函数

HG

使用理论方法计算散射相函数的过程比较复杂，为了计

算方便，常用表达形式简单、数值计算方便的-相函数来

HG

替代']

&(!') " (1 + '21^2'!)3/2 ()

HGcOS

其中！是散射角，'是不对称因子。-相函数可以较好模

HG

拟球形粒子前向散射峰，但是不能正确模拟后向散射，且当

'(0时，该相函数不能还原成瑞利散射相函数

&#) " (1 + c〇!) #)

s

Cs

1 2. 2 双-相函数

HG

为了克服-相函数不能正确模拟后向散射这个缺陷，

HG

CornetteKattawerHG（DHG

和']提出使用双-相函数-相函

数)来近似

&#，/，'1，'2) " (1 — /)&(!'1)+/&(!'2)

DHGHGHG

'1 ) 0，'，< 0 ( 5)

DHG

相函数虽然可以较好地体现球形粒子的散射特征，但

是解析式是由三个参数确定的&/是一个正的参数％ '1是正

值，表示前向散射部分％ '2是负值，表示后向散射部分，使

用起来比较复杂，不适合实际应用。当'（0时，为了将双

HG

-相函数还原成瑞利散射相函数，前向散射峰和后向散射

峰需要相等，即'1 = 一'2,且/=1，但此时两者之间仍不

能很好的吻合，最小均方根误差为0. 15[2]。且-相函数、

HG

DHG

-相函数只适用于粒子的尺寸参数不是太小的情况。

1.2.3 *相函数

H-G

为了能很好的模拟后向散射问题和利

，

CometteShanks

用相函数与-相函数推导出了改进的-相函

RayleighHGHG

数，即-*相函数']

HG

'2

&(!')

1 ( 2!

cos

2 2('2 (1 + '2 — 2'!)3/2

co

(6)

对于球形粒子来说，该相函数在一定程度上弥补了 相

H-G

函数和-相函数的不足，且只有一个自由参数'，在'（

DHG

0时，与瑞利散射相函数吻合％当'（1时，近似于-相函

HG

数。

1 2. 新提出的相函数经验公式

C

H-GHG

*相函数和-相函数既不能很好的拟合非球形粒

子散射的后向散射特征，也不能拟合相函数的振荡']。为了

能够很好的模拟非球形粒子的后向散射特征，对-相函

HG

数解析式与瑞利散射相函数解析式按照不对称因子进行修

正。将新的相函数数表示成-相函数和瑞利相函数以及

HG

不对称因子的多项式的和，其中-相函数和瑞利相函数

HG

的系数是不对称因子'的多项式。要求在角度大于90°时，

增大后向散射峰值，且在'（0时，新的相函数与瑞利散射

相函数吻合％当'（1时，新的相函数近似于-相函数。

HG

基于这些考虑，改进散射相函数为（)

RH-G

&歷（，'）"(1 + '(1—2'0。！)3,2 (

3(1 —')(1 ( !) ( ' — 1) ()

cos

该相函数在一定 程 度 上 增 大了 后 向 散 射 峰， 解 析 式 形 式 简

单，只有一个自由参数。

2单个非球形粒子散射特性

为了验证新的相函数经验公式在计算非球形粒子上的适

用性，利用-*，-相函数计算了单个橢球形气溶胶

HGRHG

粒子和有限长圆柱形粒子的相函数随角度的变化关系，并以

T

矩阵法的计算结果作为标准[11]来分析简化的经验模型的

21

计算精度。

数值结果

大气中气溶胶和云的强散射主要发生在短波波段，且由

于我国西北沙尘的传输与粉尘的飘移，导致我国绝大部分地

区的气溶胶类型以沙尘为主[12]，因此以沙尘性粒子为例，取

波长为0. 633 #，气溶胶粒子等效体积半径为 = 1 #，复

mrwm

折射率为讲=1. 52 — 0.08[12]。非球形粒子以橢球形粒子和

i

有限长圆柱形粒子为例，图1中给出了橢球形粒子的长短轴

比(#/$)和有限长圆柱形粒子的径长比)为0. 6, 0.8,

OVL

1 5和2.0时，-*相函数、-相函数和矩阵法计算

HGRHGT

的相函数随角度的变化。

由图1可知，（1)-*相函数、-相函数和矩阵

HGRHGT

方法一样，都可以描述非球形粒子散射相函数随角度的变化

趋势：前向散射主瓣区集中了大部分散射能量，后向散射次

之，侧向散射最弱％随着/$和/的变化，粒子的散射能

aDL

量随角度的变化在前向散射部分比较接近，而在大角度后向

散射部分差异比较明显％ (2)/$和/从0. 6变化到2. 0

aDL

的过程中，-相函数与矩阵法计算的相函数的吻合程

RHGT

度高于-*相函数。说明-相函数增大后向散射峰值

HGRHG

是合理的，且相对于-*相函数来说，-相函数在描述

HGRHG

橢球形粒子和有限长圆柱形粒子散射特性上具有一定的优势。

第1期

光谱学与光谱分析

3

2.2

误差分析

为了进一步说明-相函数提高大角度后向散射的

RHG

函数与矩阵法得到的相函数的均方根误差如图2所示其

T

，

中椭球形粒子的长短轴比 / 6)和有限长圆柱形粒子的径长

U

比（/)为0. 3〜3. 0间隔为01

DL

，. 。

由图2可知在/6和/小于05时相函数

，. ，-

aDLRHG

的均方根差大于-"相函数说明此时-"相函数与

HGHGT

，

矩阵法的吻合程度较高这是由于在小于0. 5时粒子的后

，，

向散射不明显而相函数提高了后向散射部分所

，-，

RHG

RHG

-。

相函数会出现较大的均方根差

合理性，及在描述非球形粒子后向散射上的优势，比较了 -

H

GRHGT

"相函数、-相函数与矩阵法在角度大于90°时的均

方根差值。对比时，角度间隔为5°，均方根差值表示为

+ (!)]/19

(!) %

Pt

()

式中!)是散射角！处不同相函数经验公式的计算值

，，

PJPz

(!)是相同角下矩阵法的计算值"相函数相

THGRH-G

。-、

1a)b

沙尘性气溶胶粒子散射相函数（椭球形（)有限长圆柱体 图

Fig. 1 Scattering pha functions of dustlike aerosol particles ( a) ellipsoidal ( b) finite length cylinder

图相函数、相函数与矩阵法的均方根误差比较（（椭球形（)有限长圆柱体

2 H-G"RH-GTb

Fig. 2 Comparisons of the RMSE between the RH-G pha function, the H-G" pha

function and the T-matrix method (a)ellipsoidal (b) finite length cylinder

子的后向散射比较明显，-相函数提高了后向散射能

RHG

力，与矩阵法计算结果的吻合程度较高。

T

在/6和/大于0.5时，随着/6和/的增大，均

aDLaDL

方根差有先增大后减小的趋势，当/^. 5和/二1. 5

awlDL

时，均方根误差最大。之所以出现这样的变化是因为：在/6

a

和/小于1.0时，随着/6和/的增大，非球形粒子

DLaDL

逐渐接近于球形，真实相函数的振荡会进一步加剧，振荡峰

的数目增多，振荡幅度明显增大，-相函数和-"相

RHGHG

函数比较平滑，所以-和-"相函数与矩阵法之间

RHGHGT

的均方根差也逐渐增大；当1. 5和/= 1. 5时，真实

DL

3气溶胶粒子体散射特性

为了进一步分析新的相函数在描述后向散射上的适用

性，比较了新的相函数与矩阵法计算的多分散系气溶胶散

T

射的结果。

相函数的振荡最厉害，与相函数解析式的误差最大，所以出

现误差峰值，波峰两侧呈现小幅度的波动。而且此时

RH-G

相函数的均方根误差小于-"相函数，说明此时非球形粒

HG

3.1

数值结果

LAMAP

在标准辐射大气模式中将平流层气溶胶粒子按

照成分分成的类气溶胶粒子(可溶性、沙尘性、海洋性和煤

C

4

光谱学与光谱分析

第39卷

烟粒子$对这四类气溶胶粒子进行计算，气溶胶粒子尺寸

谱分布符合对数正态分布，其典型数据如表1[7]所示；波长、

等效体积半径和复折射率如表2[1°(所示，其中椭球形粒子的

长短轴比/6=2,有限长圆柱形粒子的径长比 = 2,选

aD/L

择霾粒子的典型尺寸 〇. 〇1 1 #。图是不

rmin#m，rmaxm3

ww

同波长下四种椭球形粒子的散射相函数随角度的变化％图4

是不同波长下四种有限长圆柱形粒子的散射相函数随角度的

变化。

表气溶胶粒子的光学参数

1

气溶胶粒子尺度分布表

Table 1 Particle-size distributions

气溶胶类型

可溶性气溶胶

沙尘性气溶胶

煤烟粒子

海洋性气溶胶

尺寸分布

.

095 27 /^= * 5 #m)=1

，〇〇

m

对数正态

#=

/^= * 5 #m)=1. 095 27

m

〇〇，

对数正态

#=

• 693 17, r= 0. 011 8 #m)

m

对数正态

#=

〇

920 28*= 3 #m)•

，〇=〇

m

对数正态

#

2

Table 2 Particle optical properties

折射率

波长可溶性气溶胶沙尘性气溶胶煤烟粒子海洋性气溶胶

实部

300. 01 530-8. 00X10°31 530-8. 00X10-3-4. 70X10-1-5. 83X10-

400. 0-5. 00X10°31. 7501. 385-8. 00X10-3-4. 60X10-1-9. 90X10-

550. 01. 7501. 381

694. 0-7. 00X10-31. 7501. 376-8. 00X10-3-4. 30X10-1-5. 04X10"

1 5301. 530

1 530-6. 00X10-31. 530-8. 00X10-3-4. 40X10-1-4. 26X10-

1 5301. 530

虚部虚部虚部虚部

实部实部实部

1 7401 395

由图3和图4可知，（1)在波长较小时，对于体积相同的

不同形状的气溶胶粒子，散射相函数的差别特别明显，主要

原因是不同形状的气溶胶粒子，其与电磁波相互作用的结果

不同，不同形状气溶胶粒子的散射效率因子和不对称因子都

不同，且波长较小时，粒子的散射光强度分布曲线呈现显著

振荡，这说明散射光强度并非是各向同性，粒子形状将对散

射产生明显影响。而随着波长的逐渐增大，前后向散射由振

荡而趋于平滑，且有趋于前后向对称分布的趋势。这说明人

射波长的增大，由于粒子几何尺寸所带来的散射影响逐渐减

小，此时散射特征更多受粒子复折射率的影响。（2)-相

RHG

函数、-"相函数与矩阵法都可以正确描述非球形

HGT

粒子散射相函数随角度的变化趋势：随着折射率实部的增

Scattering angle/degScattering angle/deg

图不同波长下四种椭球形粒子的散射相函数随角度的变化

3

Fig. 3 -cattering 34a 6unction 6 611138019 aerosd article

〇

3

第1期

3

光谱学与光谱分析

5

0

2

0

u

0

1

.2

p

0

u

ca

o

(L)

s

cd

q

1

PH

0■

0-2

u

.2

p

u

a

(D

s

q

J

cd

10

10°

1-0

1 -2 _|_____)_____(_____,I 1 _2

〇〇

j________(________,________,________,________________

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Scattering angle/deg Scattering angle/deg

图不同波长下四种有限长圆柱形粒子的散射相函数随角度的变化

4

Fig. 4 Scattering pha function of finite length cylinder aerosol particle

加前向散射峰值逐渐增大随着折射率虚部的增加后向 越小，几种气溶胶粒子中，煤烟粒子后向散射相函数的均方

，；，

散射有减小的趋势这是由于粒子的前向散射以衍射为主

。，

主要受折射率实部影响随着折射率实部的增加前向散射

，，

逐渐增强随着折射率虚部的增加相同/6和/下椭

％，，

aDL

球形粒子和有限长圆柱形粒子的侧向和后向散射对应的振荡

逐渐弱化并最终消失所以相函数与矩阵法计算的

，-

RHGT

相函数的大角度后向散射部分的吻合程度也越来越高（

。)

3

沙尘性气溶胶粒子和海洋性气溶胶粒子的侧向和后向散射比

较明显这是由于沙尘性气溶胶粒子和海洋性气溶胶粒子的

，

侧向和后向散射对形状畸变比较敏感而前向散射的敏感性

，

较弱所以沙尘性气溶胶和海洋性气溶胶的侧向和后向散射

，

比较明显可溶性气溶胶粒子和煤烟粒子的散射相函数变化

％

比较平滑前后向散射较强侧向散射角弱散射能量分布

，，，

近对称各向的散射强度均在一个量级上这与两种粒子的

，，

尺寸有关相函数和矩阵法都可以很好的反映这种

。-

RHGT

情况

。

误差分析

误差的计算方法和计算公式如. 节所示表向散射的拟合效果比-"相函数差的原因是此时海洋性气 是四种

323

。

根误差最小。这是由于随着折射率的增加，光线越来越多的

被吸收，导致粒子的透射光含量越来越少，椭球形粒子的侧

向和后向散射相函数的差别逐渐变大，但整体上趋于平滑，

此时-相函数描述的大角度后向散射与矩阵法的吻

RHGT

合程度也越来越高，说明了 -相函数提高后向散射的必

RHG

要性和合理性。

椭球形气溶胶粒子中-相函数与矩阵法的均方

RHGT

根差较小的占总数95%，说明椭球形粒子中大部分情况下，

RHGT

-相函数在大角度后向散射上与矩阵法的吻合程度较

好；有限长圆柱形气溶胶粒子中，-相函数与矩阵法

RHGT

的均方根差值均小于-"相函数与矩阵法的均方根差

HGT

值，即有限长圆柱形气溶胶粒子中，-相函数在大角度

RHG

后向散射上与矩阵法的吻合程度较好。以上结果说明，用

T

RHG

-相函数来近似计算非球形粒子的散射相函数，与实际

3.2

情况的相函数差距较小。

0. 649 #的海洋性气溶胶粒子中出现-相函数后

mRHG

HG

溶胶粒子的尺度参数最接近1，真实相函数的振荡最厉害，

而相函数解析式描述的相函数随角度的变化曲线比较平滑， 是多分散系有限长圆柱形气溶胶粒子的不同相函数的均方根

所以此时均方根最大。随着波长的增大，-"相函数与

HG

RHG

- 相函数的相函数误差在减小，原因是随着波长的增

多分散系椭球形气溶胶粒子的不同相函数的均方根差表

，

4

差

。

随着波长的增大相函数和"相函数的均方

，--

RHGHG

根误总体来说有减小的趋势随着折射率虚部的增加

。，

RH-

>T

相函数与矩阵法在大角度后向散射部分的均方根越来

大，粒子尺度对散射的影响逐渐减小。

6

表多分散系椭球形气溶胶粒子不同相函数的均方根比较

光谱学与光谱分析

第39卷

3

Table 3 Comparisons of the RMSE between the RH-G pha function, the H-G

pha function and the T-matrix method of ellipsoidal aerosol particle

RMSE

波长

/nm

海洋性气溶胶沙尘性气溶胶煤烟气溶胶

H-G*H-G*H-G*H-G*

RH-GRH-GRH-GRH-G

0.32300.79040.14000.79040.31323000.3177

0.10490.95300.49400.11091.02130.54424000.3034

0.07500.19480.66050.25220.04640.68410.26885500.2621

0.17640.08540.37450.00870.01400.38040.01256940.2252

0. 735 40.313 2

0. 445 3

可溶性气溶胶

4

多分散系有限长圆柱形气溶胶粒子不同相函数的均方根比较表

Table 4 Comparisons of the RMSE between the RH-G pha function, the H-G" pha

function and the T-matrix method of finite length cylinder aerosol particle

RMSE

波长

/nm

海洋性气溶胶沙尘性气溶胶可溶性气溶胶

H-G*RH-GH-G*RH-GH-G*RH-GH-G*RH-G

0.25180.92180.16140.92180.49003000.65680.3408

0.05570.90600.47380.13670.96270.51604000.40330.3298

0.05860.73860.30810.07980.76830.33085500.21010.2953

0.18370.42220.05530.01500.42890.06006940.70880.2534

0. 490 0

煤烟气溶胶

和有限长圆柱形粒子的后向散射特性，计算结果与矩阵法

T

C

结论

提出了一种用于计算非球形粒子散射特性相函数的经验

存在较小的误差。相函数作为一个简化的模型来处理

RH-G

非球形粒子的散射特性是恰当的，可以简化辐射传输方程的

求解过程。

致谢：感谢的教授提供的

NASAMichaelMishchenkoT

矩阵程序。

公式相函数合理提高了后向散射峰值，公式简单，

(RH-G$

计算方便。相函数可以很好的描述橢球形气溶胶粒子