新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第五章计数原理 知识点考点重

第五章 计数原理

1 计数原理 ................................................................................................................... - 1 -

1.1 计数原理......................................................................................................... - 1 -

1.2 计数原理的简单应用 ..................................................................................... - 4 -

2 排列 ........................................................................................................................... - 7 -

2.1 排列与排列数 ................................................................................................. - 7 -

2.2 排列数公式..................................................................................................... - 7 -

3 组合 ......................................................................................................................... - 11 -

3.1 组合 .............................................................................................................. - 11 -

3.2 组合数及其性质 ........................................................................................... - 11 -

4 二项式定理.............................................................................................................. - 15 -

4.1 二项式定理................................................................................................... - 15 -

4.2 二项式系数的性质 ....................................................................................... - 20 -

1 计数原理

1.1 计数原理

1．分类加法计数原理

(1)定义：完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m种方法，在第

1

2类办法中有m种方法，……在第n类办法中有m种方法，那么，完成这件事共

2n

有N＝m＋m＋…＋m种方法．(也称“加法原理”)

12n

(2)分类加法计数原理的理解

分类加法计数原理中的“完成一件事有n类办法”，是指完成这件事的所有

方法可以分为n类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，n类中没有相

同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．

2．分步乘法计数原理

(1)定义：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m种不同的

1

方法，做第2步有m种不同的方法，……做第n步有m种不同的方法，那么，

2n

完成这件事共有N＝m·m·…·m种方法．(也称“乘法原理”)

12n

(2)分步乘法计数原理的理解

分步乘法计数原理中的“完成一件事需要n个步骤”，是指完成这件事的任

何一种方法，都需要分成n个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完

成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才

能完成这件事．

如何区分“分类”还是“分步”？

[提示] 如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完

成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且

只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．

疑难问题

1

类型 分类加法计数原理

【例1】 设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这

些油画、国画、水彩画中只选一幅布置房间，有几种不同的选法？

[思路点拨]

[解] 选一幅画布置房间分三类计数：

第一类：选油画，有5种不同的选法；

第二类：选国画，有2种不同的选法；

第三类：选水彩画，有7种不同的选法．

根据分类加法计数原理，共有N＝5＋2＋7＝14种不同的选法．

分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准

下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：

1完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；

2分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.,前者保证完成这件事的方法

不遗漏，后者保证不重复，即分类要做到不重不漏.

2

类型 分步乘法计数原理

【例2】 某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤．现要配成一荤一素

一汤的套餐，问可以配制成多少种不同的品种？

[思路点拨]

[解] 完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一个汤，因此需

分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得：配制成不同的套餐品种共有6×5×3

＝90种．

解决分步乘法计数问题的思考过程是

1明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事；

2完成这件事如何进行分步，每一步中有多少种方法；

3完成这件事共有多少种方法.

3

类型 两个计数原理的综合应用

【例3】 已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中

任取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同点的个数

为( )

A．18 B．16 C．14 D．10

[思路点拨]

C [完成这件事是确定第一、二象限内的总的坐标，确定点的坐标可分两步

完成，一是先确定横坐标，二是确定纵坐标；而哪个集合中的元素作横坐标，哪

个集合中的元素作纵坐标，需要分两类完成．因此，完成此事可分两类办法．

第一类，以集合M中的元素作为点的横坐标，集合N中的元素作为点的纵坐

标．在集合M中任取一个元素，有3种不同的方法，而适合题意的点在第一、二

象限，必须且只需从集合N中的5，6中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法

计数原理，有3×2＝6个不同的点．

第二类，以集合N中的元素作为点的横坐标，集合M中的元素作为点的纵坐

标．在集合N中任取一个元素，有4种不同的方法，而适合题意的点在第一、二

象限，必须且只需从集合M中的1，3中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法

计数原理有4×2＝8个不同的点．

由分类加法计数原理，得第一、二象限内不同的点共有6＋8＝14个．]

应用两个计数原理解决应用问题的方法

1分清是“分类”还是“分步”；

2清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么；

3“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计

“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性.

归纳总结

1．加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类中

的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．

2．乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干个步骤，每

个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性即不漏步骤也不重

步骤．

1.2 计数原理的简单应用

两个计数原理的联系与区别：

原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理

相同点 完成一件事

与分类有关 与分步有关

每类方法都能完成这件事，它

不同点

们是相互独立的，且每一次得

到的都是最后结果，只需一种

方法就可以完成这件事

每一步得到的只是中间结果，任何

一步都不可能独立地完成这件事，

缺少任何一步都不可能完成这件

事，只有各个步骤都完成了，才能

完成这件事

各类方法之间是互斥的，并列

的，独立的

各步之间是有关联的，不独立的

疑难问题

1

类型 与数字有关的计数问题

【例1】 从0到9十个数字中选出4个组成一个四位数，问组成的数字不重

复的四位偶数共有多少个？

[思路点拨] 本题就要根据0在末位和0不在末位的情况来解．

[解] 0在末位时，十、百、千分别有9、8、7种安排方法，共有9×8×7＝

504个；

0不在末位时，2，4，6，8中的一个在末位，有4种排法，首位有8种(0除

外)，其余两位各有8、7种排法．

∴共有4×8×8×7＝1 792个．

由以上知，共有符合题意的偶数为1 792＋504＝2 296个．

1．对于数字问题的计数：一般按特殊位置(末位或首位)由谁占分类，每类中

再按特殊位置(或元素)优先的方法分步来计数；但当分类较多时，可用间接法．

2．注意合理的画出示意图，直观的展出问题的实质．

2

类型 与几何有关的计数问题

【例2】 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平

行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构

成的“平行线面组”的个数是( )

A．60 B．48 C．36 D．24

B [长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个

顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的

“平行线面组”的个数是36＋12＝48．]

两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法

3()

类型 涂色种植问题

【例3】 用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种

颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？

[思路点拨] 按1，2，3，4顺序涂色时，2，3区域颜色的异同对4有影响，

所以应注意分类讨论．

[解] 完成该件事可分步进行．

涂区域1，有5种颜色可选．

涂区域2，有4种颜色可选．

涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选．若

区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选．

所以共有5×4×(1×4＋3×3)＝260种涂色方法．

涂色种植问题的一般思路

1为便于分析问题，应先给区域种植的品种标上相应序号.

2按涂色种植的顺序分步或按颜色种植的品种恰当选取情况分类.

3利用两个原理计数.

归纳总结

1．两个计数原理的共同点就是将“完成一件事”分解成若干个事件来完成；

不同点是一个与分类有关，一个与分步有关．

2．在解决组数问题，选(抽)问题，涂色(种植)问题时，一定要分清完成一件事

是做什么？是分类还是分步？为何分类、分步等问题．

2 排列

2.1 排列与排列数

2.2 排列数公式

1．排列

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N)个元素，按照一定的

＋

顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．我们把有关求

排列的个数的问题叫作排列问题．

2．排列数及排列数公式

从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N)个元素的所

＋

排列数定义 有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素

的排列数

排列数表示法

排列数

公式

乘积式 A＝n(n－1)(n－2)… (n－m＋1)

阶乘式

A

m

n

m

n

A＝

m

n

n！

n－m！

性质 A＝1 0！＝1

备注 n，m∈N，m≤n

0

n

＋

两个排列相同的条件是什么？

[提示] 这两个排列的元素完全相同，且元素排列的顺序也相同．

疑难问题

1

类型 排列的定义

【例1】 判断下列问题是否为排列问题．

(1)选2个小组分别去种树和种菜，共有多少种选法；

(2)选10人组成一个学习小组，共有多少选法；

(3)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员，共有多少种选法；

(4)某班40名学生在假期相互通信，共需写多少封信．

[思路点拨] 解决本题的关键是要明确排列的定义，看选出的元素在安排时是

否与顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题，否则就不是排列问题．

[解] (1)中种树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；

(2)中不存在顺序问题，不属于排列问题；

(3)中每个人的职务不同，例如甲当班长与甲当学习委员是不同的，存在顺序

问题，属于排列问题；

(4)中A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问

题．

所以在上述各题中(1)、(3)、(4)属于排列问题．

1．保证是排列问题应满足两个条件：

(1)元素互异；(2)元素有序．

2．判断一个具体问题是否为排列问题的思路

2

类型 排列数的计算或化简

【例2】 计算或化简下列各式：

m1nm

－－

A·An－1

12

n1nm

－－

(1)A(2)A(3)；(4)1！＋2·2！＋…＋n·n！；(5)＋＋…＋． ；；

2

8

－

15

8

1n

A2！3！n！

n1

－

[思路点拨] 利用排列数公式和阶乘的定义进行计算，并考虑排列数之间的关

系，化简可减少运算量．

2

[解] (1)A＝15×14＝210；

15

(2)A＝8！＝8×7×6×5×4×3×2×1＝40 320；

8

8

－－

1mmn

AAn－1！·

1

n1nm

－－

(3)＝·(n－m)！·

－

1n

A[n－1－m－1]！n－1！

n1

－

＝·(n－m)！·＝1；

n－1！

1

n－m！n－1！

(4)1！＋2·2！＋…＋n·n！＝(2！－1)＋(3！－2！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n

＋1)！－1；

n－1

11

(5)∵＝－，

n！n－1！n！

n－1

12111111

∴＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－

2！3！n！1！2！2！3！n－1！n！

1

．

n！

1．排列数的第一个公式A＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m

m

n

较小时含有排列数的方程和不等式，在运用该公式时要注意它的特点．

2．排列数的第二个公式A＝，适用于与排列数有关的证明，解不等

m

n

n！

n－m！

式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件

“m≤n且m，n∈N”的运用．

＋

3．常见技巧

(1)n·n！＝(n＋1)！－n！；

(2)＝－；

n－1

11

n！n－1！n！

m1m

－

(3)A＝nA．

nn1

－

3

类型 简单的排列问题

[探究问题]

1．6个人站成一排照相，问有多少种不同的排法？

[提示] 共有A＝6×5×4×3×2×1＝720种．

6

6

2．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，问有多少种不同的

排法？

42

[提示] 共有A×A＝(6×5)×(4×3×2×1)＝720种．

64

3．6个人站成前后两排照相，要求前排3人，后排3人，问有多少种不同的

排法？

33

[提示] 共有A×A＝(6×5×4)×(3×2×1)＝720种．

63

4．通过前面的探究，你发现了什么规律？

[提示] 本题实际上和6个人站成一排照相共有多少种不同排法的问题完全相

6

同，所以不同的排法总数为A＝720种．因此“分排”问题可“直排”处理．

6

【例3】 (1)写出从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素的所有排列，

并指出有多少种不同的排列？

(2)从3、5、7、8中任意选两个分别作为对数的底数与真数，能构成多少个不

同的对数值？

[思路点拨] (1)依据排列的定义，用枚举法求解；(2)看能不能把问题归结为

排列问题，若能，进一步确定m与n的取值．

[解] (1)由题意作树形图，如下．

故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，

3

bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．共有A＝

4

4×3×2＝24种．

(2)选出的任意两个数分别作为对数的底数与真数时，构成的对数值是不一样

2

的，因此是一个有序问题，应用排列去解．故能构成A＝4×3＝12个不同的对数

4

值．

解决简单的排列问题的方法

1要看能不能把问题归结为排列问题，也就是判断问题是否与顺序有关，如

果与顺序有关，就可归结为排列问题来解；如果与顺序无关，则不能用排列问题

求解.

2分析问题中n个不同元素指的是什么，m个元素指的是什么，从n个不同

元素中每次取出m个元素的每一个排列对应着问题里的什么事件，最后再根据排

列数公式A＝nn－1n－2…n－m＋1进行计算.

m

n

归纳总结

1．排列的定义中包括两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序

排列”．

2．有关排列数公式的应用，应注意选择哪种形式的公式，还要注意其隐含条

件．

3 组合

3.1 组合

3.2 组合数及其性质

1．组合及组合数的概念

(1)组合：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N)个元素为

＋

一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N)个元素的所有组合

＋

的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N)个元素的组合数，用

＋

符号C表示．

m

n

2．组合数公式及其性质

m

nn－1n－2…n－m＋1

m

A

n

C＝＝

n

A

m

m！

m

公式

C＝

m

n

n！

m！n－m！

性质

规定 C＝1

nmm

－

性质1 C＝C

nn

mm1

－

性质2 C ＝C＋C

m

n

＋1

nn

0

n

从组合数的定义这个角度，怎样理解组合数的两个性质？

nmm

－

[提示] (1)对C＝C的理解：从n个不同元素中取出m个元素后，剩下(n

nn

－m)个元素，也就是说，从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应

于从n个不同元素中取(n－m)个元素的唯一的一个组合，反过来也如此，因此有

nmm

－

C＝C．

nn

mm1m

－

(2)对C＝C＋C的理解：设a是(n＋1)个元素中的一个元素，从(n＋1)

n1nn

＋

个元素取m个元素的组合可分为不含元素a和含元素a两类．不含a这一类，从

(n＋1)个元素中取m个元素的组合，相当于从n个元素中取m个元素的组合，组

合数为C；含a的这一类，a必被取出，从(n＋1)个元素中取m个元素的组合，

m

n

－

1m

相当于从其余的n个元素中取(m－1)个元素的组合，组合数为C．根据分类加

n

mm1m

－

法计数原理，有C＝C＋C．

n1nn

＋

疑难问题

1

类型 组合概念

【例1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组

合数．

(1)10个人相互写一封信，共写出了多少封信？

(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？

(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场

次？

(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？

(5)从10个人中选出3人担任3个不同学科的科代表，有多少种选法？

2

[解] (1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A＝

10

90．

(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺

序区别，组合数为C＝45．

2

10

2

(3)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C＝

10

45．

3

(4)是组合问题，因为选出的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C＝120．

10

(5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的科代表是有区别的，排列数为A＝

3

10

720．

区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序，而区分事件有无顺序的方法是：

把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，若对

结果产生影响，即说明有顺序，是排列问题；若对结果没有影响，即说明无顺序，

是组合问题.

2

类型 组合数公式及性质的应用

32n3n3338

【例2】 (1)计算：①3C－2C；②C＋C；③C＋C＋…＋C．

853n21n34

＋10

－3

m1m1m1m

＋－＋

(2)证明：C＋C＋2C＝C．

nnnn2

＋

[解] (1)①3C－2C＝3× －2×＝148．

23

85

8×7×65×4

3×2×12×1



38－n≤3n，

②∵∴9.5≤n≤10.5，∵n∈N，∴n＝10，



*



3n≤21＋n，

－

n3n283038

∴C＋C＝C＋C＝＋＝466．

3n21n3031

＋

30！31！

28！×2！30！

444

44443

③法一：原式＝C＋C－C＋C－C＋…＋C－C＝C＝330．

35465

111011

3334334334

法二：原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C

4451055106610

344

＝…＝C＋C＝C＝330．

101011

(2)证明：法一：左边＝＋＋

2n！

m！n－m！

＝[(n－m)(n－m＋1)＋m(m＋1)＋2(m＋1)(n－m＋1)]

＝(n＋2)(n＋1)

＝

n！n！

m＋1！n－m－1！m－1！n－m＋1！

n！

m＋1！n－m＋1！

n！

m＋1！n－m＋1！

n＋2！

m＋1！n－m＋1！

＋

1m

＝C

n2

＋

＝右边，原结论得证．

mm1m

－

法二：利用公式C＝C＋C推得

nn1n1

－－

＋－＋＋

1mmm1m1mm1m

左边＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C＝右边．

nnnnn1n1n2

＋＋＋

1．组合数的两个公式的应用范围

m

mm

A

n

C＝一般偏向于具体组合数的计算；公式C＝常用于有关组

nn

A

m

m

n！

m！n－m！

合数的恒等式的证明．

nm

－

2．关于组合数的性质1(C＝C)

m

n

n

(1)该性质反映了组合数的对称性，即从n个不同的元素中取出m个元素的每

一个组合，都对应着剩下的n－m个元素的一个组合，反过来也一样，这是一一对

应的关系．

n

nmm

－

(2)当m＞时，通常不直接计算C，而改为计算C．

2

nn

mm1m

－

3．关于组合数的性质2(C＝C＋C)

n1nn

＋

(1)形式特点：公式的左端下标为n＋1，右端下标为n，相差1，上标左端与右

端的一个相同，右端的另一个比它们少1；

(2)作用：常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注

意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二

－

1mmm

为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要

nn1n

＋

注意灵活应用．

3

类型 简单的组合问题

【例3】 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

[思路点拨] 第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素

中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，

才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名

女教师中选2名，可用直接法求解．

[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中

10×9

取出2个元素的组合数，即C＝＝45(种)．

2×1

2

10

22

(2)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C

64

种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法CC·＝·＝90(种)．

22

64

6×54×3

2×12×1

解简单的组合问题的方法

1先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组

合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题.

2由上面得出组合排列数，然后用公式计算.

归纳总结

1．组合的定义中包括两个内容：一是“取出元素”；二是“组成一组”是与

顺序无关的问题．

2．与组合数有关的计算或证明，要合理地选择公式，计算时，一般用C＝

m

n

nn－1…n－m＋1n！

，而证明时，一般用C＝．

m

n

m！m！n－m！

yx

3．本节课的易错点是利用组合数性质C＝C解题时，易误认为一定有x＝y，

nn

x＝y或x＝n－y



yx

从而导致解题错误．事实上，C＝C⇔．

nn



x≤n，y≤n



x，y∈N

4 二项式定理

4.1 二项式定理

1．二项式定理

n1n1nkknnn0k*

－－

公式(a＋b)＝Cb＋…＋Cb＋…＋Cb(n∈N)叫作二项式定a＋Caa

nnnn

理．

2．相关概念

(1)公式右边的多项式叫作(a＋b)的二项展开式；

n

(2)各项的系数C(k∈{0，1，2，…，n})叫作二项式系数；

k

n

nkkk

－

(3)展开式中的Cb叫作二项式通项，记作T，它表示展开式的第k＋1a

k1n

＋

项；

122n0

(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)＝C＋Cx＋Cx

nnn

knnk

＋…＋Cx＋…＋Cx．

nn

(12x)55

＋的二项展开式是什么？其第项的二项式系数和第项的系数

n

各是什么？

12233nnn0

[提示] (1＋2x)＝C＋C2x＋C(2x)＋C(2x)＋…＋C(2x)．

nnnnn

4444

其第5项的二项式系数为C2＝16C． ，第5项的系数为C·

nnn

疑难问题

1

类型 二项式定理的正用与逆用

1



3x＋



的展开式； 【例1】 (1)求

x



123n1n

(2)求值C＋3C＋9C＋…＋3C．

nnnn

－

4

[思路点拨] (1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开；(2)先化成

二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．

11



1

123432



＋C[解] (1)法一：＝(3x)＋C(3x)＋C(3x)

444

3x＋

xx



x

121



11

24



(3x)＋C＝81x＋108x＋54＋＋．

4

xx

2



xx

1





3x＋1

1

3x＋



＝(1＋3x) ＝法二：

2

4



x





x

x

1

2233441

＝[1＋C3x＋C(3x)＋C(3x)＋C(3x)]

x

2

4444

1

＝(1＋12x＋54x＋108x＋81x)

x

2

234

112

＝＋＋54＋108x＋81x．

xx

2

2

1

2233nn1

(2)原式＝(3C＋3C＋3C＋…＋3C)

3

nnnn

1

n1n12nn01n22

－－

＝(C×3＋C ×1×3＋…＋C3－1) ×1＋C ×1

3

nnnn

44

34

42

n

4－1

1

＝[(1＋3)－1]＝．

33

n

1．(a＋b)的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：

n

(1)各项的次数都等于n；

(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂

排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n．

2．逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多

项式的特点，向二项展开式的特点靠拢．

2

类型 利用通项公式求二项展开式中的特定项

求二项展开式中的特定项

n



3

1



的展开式中，第6项为常数项． 【例2】 已知在



x－

3

2x



(1)求n；

(2)求含x的项的系数；

2

(3)求展开式中所有的有理项．

[思路点拨] 利用展开式中的通项公式求出当x的次数为0时n的值，再求解

(2)(3)问．

1



k

3



－

＝[解] (1)由通项公式知，展开式中第k＋1项为T＝C(x)··

k1n

＋

knk

－

3





2x



1

C··Cx＝·．

kk

nn



x

3

nkkk

－



1

－

1



1



－·x

3

－

2



2



n－2k

3

∵第6项为常数项，∴k＝5，且n－5×2＝0，

∴n＝10．



1

(2)由(1)知T＝·C·x．令＝2，则k＝2．

k110

＋



－

2



2

k

10－2k

10－2k

3

k

3

451



1

22

∴x的系数为·C＝ ×45＝．



－

2

10

44



(3)当T为有理项时，为整数，0≤k≤10，且k∈N．

k1

＋

10－2k

*

3

10－2k

3

令＝z，则k＝5－z，因为z为偶数，从而求得当z＝2，0，－2时，k

32

＝2，5，8符合条件．

111



22228

4563

－5

－－－



∴有理项为T＝C·x＝x，T＝C＝－，T＝Cx

3106910

222

48

10



45

＝x．

256

－

2

求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求

解，注意k的取值范围k＝0，1，2，…，n.

1第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；

2常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方

程；

3有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.,特定项的系数问题及

相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.

求二项展开式中特定项的系数

【例3】 (1)(多项式是积的形式)(1＋2x)(1＋x)的展开式中x的系数为( )

243

A．12 B．16 C．20 D．24

(2)(多项式是和的形式)已知(1＋ax)＋(1－x)的展开式中含x的系数为－2，

353

则a等于( )

A．23 B．2 C．－2 D．－1

(3)(三项展开式问题)(x＋x＋y)的展开式中，xy的系数为( )

2552

A．10 B．20 C．30 D．60

(1)A (2)B (3)C [(1)展开式中含x的项可以由“1与x”和“2x与x”的

332

133

乘积组成，则x的系数为1×C＋2C＝12．

44

33333533

(2)(1＋ax)＋(1－x)的展开式中x的系数为C则a＋C(－1)＝a－10＝－2，

35

258

a＝8，解得a＝2．

3

(3)法一：(x＋x＋y)＝[(x＋x)＋y]，

2525

232145222351

含y的项为T＝Cy．其中(x＋x)中含x的项为Cx·x＝C(x＋x)·x．

3353

1522

所以xy的系数为CC＝30．

53

法二：(x＋x＋y)表示5个x＋x＋y之积．

252

∴xy可从其中5个因式中，两个取因式中x，剩余的3个因式中1个取x，

522

21252

其余因式取y，因此xy的系数为CCC＝30．]

532

1．求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分

类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．

2．求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，

通常要用到方程或不等式的知识求解．

3．三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多

项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个

整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．

3

类型 利用二项式定理解决整除问题

【例4】 求证：3－8n－9(n∈N)能被64整除．

2n2

＋

＋

[思路点拨] 可将3写成(8＋1)，然后利用二项式定理展开．

2n2n1

＋＋

[解] 3－8n－9＝(8＋1)－8n－9

2n2n1

＋＋

＋＋－

1n1nn12n01n

＝C＋C8＋C8＋C88＋…＋C··－8n－9

nn1n1n11n1

＋＋＋＋＋

n1nn1201

＋－

＝C＋C8＋8(n＋1)＋1－8n－9 88＋…＋C·

n1n1n1

＋＋＋

n1nn1201

＋－

＝C＋C88＋…＋C8，

n1n1n1

＋＋＋

该式每一项都含因式8，故能被64整除．

2

整除性问题或求余数的处理方法

(1)构造一个与题目条件有关的二项式；

(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的

数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑后面(或者是前面)

一、两项就可以了；

(3)要注意余数的范围，若a＝cr＋b，其中b为余数，b∈[0，r)，r是除数．利

用二项式定理展开、变形后，若剩余部分是负数，则要注意转化．

归纳总结

1．二项式定理主要解决了三类问题，一类是求二项式的展开式；二是求二项

式的某些特定项；三是利用二项式定理解决整除或求余数问题．

2．要注意在二项式的展开式中某项的系数与该项的二项式系数之间的区别与

联系．

4.2 二项式系数的性质

杨辉三角的特点

nkk

－

(1)每行两端都是1，与这两个1等距离的项的二项式系数相等，即C ＝C．

nn

(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C

k

n1

＋

－

1kk

＝C＋C．

nn

12nnn0

(3)在(a＋b)的展开式中，各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2．

nnnn

若一个集合有个元素，则它有多少个子集？为什么？

n

012nn

[提示] 由分类加法原理知，其子集个数为C＋C＋C＋…＋C＝2．

nnnn

疑难问题

1

类型 与杨辉三角有关的问题

【例1】 在杨辉三角中，每个数值是它肩上的两个数之和，这个三角形中开

头几行如图所示．

试求在杨辉三角中的某一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5吗？

[思路点拨] 杨辉三角可直观地得出二项式系数的值，但它仅适用于(a＋b)

n

中n值较小时．

1n0

[解] 杨辉三角的第n行是二项式(a＋b)展开式的二项式系数，即C，C，

nn

kn2

C，…，C，…，C．如果第n行中有三个连续的系数之比为3∶4∶5，那么就有

nnn

1k

3

C

n





4C

＝，

k

n

－

一个正整数k，使得



k

4C

n





5

＝.

C

k1

n

＋

从而有







即



n！



4

＝＝.

k！n－k！

k＋1

5

n！n－k





k＋1！n－k－1！



3n＋3＝7k，

即





4n－5＝9k.



n＝62，

解得





k＝27.

n！

3k

k－1！n－k＋1！

＝＝，

4

n！n＋1－k

k！n－k！

272826

∴在第62行中存在连续的三个数C，C，C它们的比为3∶4∶5．

626262

012n

1．本题的突破口在于找到了(a＋b)展开式的二项式系数为C，C，C，…，

nnn

nk

C，…，C．

nn

2．解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察，找出每一行数据间

的相互联系，以及行与行间数据的相互联系，然后对数据间的这种联系用数学式

子将它表达出来，使问题得解．注意观察方法，横看、竖看、连续看、偏行看，

从多角度观察．

2

类型 赋值法求多项式的系数和

【例2】 若(3x－1)＝ax＋ax＋…＋ax＋a，求：