人教版高二年级数学教案分析《基本不等式》

人教版高二年级数学教案分析《基本不等式》

【教案一】

一、教材分析

【教材地位及作用】

基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范大学出版社普通高中课

程标准实验教科书数学必修5第3章第3节内容。教学对象为高二学生，

本节课为第一课时，重在研究基本不等式的证明及几何意义。本节课是在

系统的学习了不等关系和掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的

基本不等式之一，为后续进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题

奠定基础。因此基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生

活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好

素材，所以基本不等式应重点研究。

【教学目标】

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，

难点：利用基本不等式推导不等式.

关键是对基本不等式的理解掌握.

二、教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲

练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出

发，放手让学生探究思索。利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，

使学生思维得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效

率.

三、学法指导

新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡

导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本课主要采取以自主探索与合

作交流的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中

国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代

表中国人民热情好客。

[问题1]请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形它们在面积上

有哪些相等关系和不等关系（让学生分组讨论）

（二）探究问题，抽象归纳

基本不等式的教学设计1.探究图形中的不等关系

形的角度----（利用多媒体展示会标图形的变化，引导学生发现四个

直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积.）

数的角度

[问题2]若设直角三角形的两直角边分别为a、b，应怎样表示这种不

等关系

学生讨论结果：。

[问题3]大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个

不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件不等式中的等号什么时候

成立呢（师生共同探索）

咱们再看一看图形的变化，（教师演示）

（学生发现）当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们

的面积和恰好等于正方形的面积，即.探索结论：我们得到不等式，当且

仅当时等号成立。

2.抽象归纳：

一般地，对于任意实数a，b，有，当且仅当a=b时，等号成立。

[问题4]你能给出它的证明吗

学生在黑板上板书。

[问题5]特别地，当时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么

学生归纳得出。

【归纳总结】

如果a，b都是非负数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。

我们称此不等式为基本不等式。其中称为a，b的算术平均数，称为

a，b的几何平均数。

3.探究基本不等式证明方法：

[问题6]如何证明基本不等式

设计意图：在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从

感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式

的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

方法一：作差比较或由基本不等式的教学设计展开证明。

方法二：分析法

要证

只要证2

要证，只要证2

要证，只要证

显然，是成立的。当且仅当a=b时，中的等号成立。

4.理解升华

1）文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2）符号语言叙述：

若，则有，当且仅当a=b时，。

[问题7]怎样理解“当且仅当”（学生小组讨论，交流看法，师生总

结）

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即；

仅当a=b时，取等号，即。

3）探究基本不等式的几何意义：

基本不等式的教学设计借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生

探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领

悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，

CD⊥AB，AC=a，CB=b，

[问题8]你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗

（教师演示，学生直观感觉）

易证RtACDRtDCB，那么CD2=CA·CB

即CD=.

这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C

与圆心重合，即a=b时，等号成立.

因此：基本不等式几何意义可认为是：在同一半圆中，半径不小于半

弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边

上的高.

4）联想数列的知识理解基本不等式

从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，

基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.

[问题9]回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积”

的结构

归纳得出:

均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.

基本不等式的教学设计（四）体会新知，迁移应用

例1：（1）设均为正数，证明不等式：基本不等式的教学设计

（2）如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，设AC=a，CB=b， ，

过作交于，你能利用这个图形得出这个不等式的一种几何解释吗

设计意图：以上例题是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处

设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式成立

的条件，及当且仅当时，等号成立。这里完全放手让学生自主探究，老师

指导，师生归纳总结。

（五）演练反馈，巩固深化

公式应用之一：

1.试判断与与2的大小关系

问题：如果将条件“某>0”去掉，上述结论是否仍然成立

2.试判断与7的大小关系

公式应用之二：

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题，不仅极大地增强

学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引

导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

（1）用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，有人说只要左右各

秤一次，将两次所称重量相加后除以2就可以了.你觉得这种做法比实际

重量轻了还是重了

（2）甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销.甲商场采取的促

销方式是在原价p折的基础上再打q折；乙商场的促销方式则是两次都打

折.对顾客而言，哪种打折方式更合算（≠q）

（五）反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获取得了哪些经验教训还有哪些问题需

要请教

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，

巩固知识技能，提高认知水平.从各种角度对均值不等式进行总结，目的

是为了让学生掌握本节课的重点，突破难点

知识要点：

（1）重要不等式和基本不等式的条件及结构特征

（2）基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义

思想方法技巧：

（1）数形结合思想、“整体与局部”

（2）归纳与类比思想

（3）换元法、比较法、分析法

（七）布置作业，更上一层

1.阅读作业:预习基本不等式的教学设计

2.书面作业:已知a，b为正数，证明不等式基本不等式的教学设计

3.思考题:类比基本不等式，当a，b，c均为正数，猜想会有怎样的

不等式

设计意图：作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，同

时考虑学生的差异性。阅读作业是后续课堂的铺垫，而思考题不做统一要

求，供学有余力的学生课后研究。

五、评价分析

1.在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学

的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个

问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学

2.本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充

分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，

意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解。“数形结合”作为一种

重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有

学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，

只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌

握它的目的。

六、板书设计

§3.3基本不等式

2.思想方法

【教案二】

学习目标：

1、了解本章的学习的内容以及学习思想方法

2、能叙述随机变量的定义

3、能说出随机变量与函数的关系，

4、能够把一个随机试验结果用随机变量表示

重点：能够把一个随机试验结果用随机变量表示

难点：随机事件概念的透彻理解及对随机变量引入目的的认识：

环节一：随机变量的定义

1.通过生活中的一些随机现象，能够概括出随机变量的定义

2能叙述随机变量的定义

这种对应称为一个随机变量。即随机变量是从随机试验每一个可能的

结果所组成的

到的映射。

（2）表示：随机变量常用大写字母.等表示.

函数随机变量

自变量

因变量

因变量的范围

相同点都是映射都是映射

环节二随机变量的应用

1、能正确写出随机现象所有可能出现的结果2、能用随机变量的描

述随机事件

例1：已知在10件产品中有2件不合格品。现从这10件产品中任取

3件，其中含有的次品数为随机变量的学案.这是一个随机现象。

（1）写成该随机现象所有可能出现的结果；

（2）试用随机变量来描述上述结果。

变式：已知在10件产品中有2件不合格品。从这10件产品中任取3

件，这是一个随机现象。若Y表示取出的3件产品中的合格品数，试用随

机变量描述上述结果

例2连续投掷一枚均匀的硬币两次，用某表示这两次正面朝上的次数，

则某是一个随机变量，分别说明下列集合所代表的随机事件：

（1）{某=0}（2）{某=1}

（3）{某0}

变式：连续投掷一枚均匀的硬币三次，用某表示这三次正面朝上的次

数，则某是一个随机变量，某的可能取值是并说明这些值所表示的随机试

验的结果.

练习：写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示

的随机变量的结果。

（1）从学校回家要经过5个红绿灯路口，可能遇到红灯的次数；

小结（对标）