高二数学 第七章 《直线和圆的方程》同步辅导教材

高二数学 第七章 《直线和圆的方程》同步辅

导教材

一、知识结构

二、学习指导

1、本章让学生初步接触解析几何的基本思想，即在坐标系这

个工具之下，理解形与数（方程）的对应关系。从形到数，给出

了两个最基本图形直线和圆对应的方程，在此基础上，将图形的

几何位置关系研究通过数的知识来解决，如两条直线平行及垂直

的关系，反映在它们对应的方程的系数关系上。从数到形，在二

元一次方程（等量关系）的基础上，介绍了二元一次不等式的几

何意义，并用这个几何意义解决一类二元函数的最值问题。以形

助数的思想，既可以理解为解析几何的运用（方程的几何意义是

曲线），又可以理解为是对解析几何的补充。从而说明了数和形

之间是辩证统一的。

2、倾斜角和斜率是描述直线方向的两个重要参数。倾斜角是

区间角[0，π），倾斜角与斜率之间是正切函数的关系，斜率k∈

（-∞，+∞）。直线方程的五种形式中，点斜式、斜截式、两点

式、截距式都具有明确的几何意义，从几何条件看，主要是两种

条件：两点及点斜。直线方程的一般式偏重于数，说明什么的二

元方程与直线对应。求直线方程主要用待定系数法，关键是选择

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适当的形式，若选择k作为参数，应注意其不存在的情形。含参

数的直线方程为直线系，直线系的特征无非是两种：平行直线系

与旋转直线系。

3、在二元一次方程与直线对应的基础上，借助于分类讨论的

思想，课本介绍了二元一次不等式的几何意义，利用它可以解决

用数的方法（单调性及基本不等式）所不能解决的一类二元函数

问题。作为这类二元函数的模型，课本介绍了《运筹学》中的重

要分支简单线性规划，体现了学实用数字的新教材理念。

4、圆是一种简单的图形，通过圆的学习，一方面体会曲线和

方程的对应关系，另一方面通过在圆的解题过程中大量运用圆的

几何性质，揭示了数与形的紧密联系。

5、本章主要方法：坐标法，待定系数法，配方法，向量法；

本章主要思想方法：数形结合，消元思想，分类讨论。

三、典型例题例

1、点A（1，0）到直线l的距离为2，点B（-4，0）到l的

距离为3，求l的条数。解题思路分析：若用待定系数法，显然很

复杂。考虑借助于几何性质，用轨迹的概念求解。以A为圆心，2

为半径作圆，则直线l为⊙A的切线；以B为圆心，3为半径作

圆，则直线l为⊙B的切线。则问题转化为判断圆A与圆B的公切

线的条数。先判断⊙A与⊙B的位置关系∵ |AB|=5，r1+r2=5∴

⊙A与⊙B外切∴ ⊙

A、⊙B的公切线共有三条例

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2、圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0，直线l：x+y-9=0，过l上一

点A作△ABC，使AB边过圆心M，点

B、C在圆M上，且∠BAC=，求：（1） 点A横坐标a=4时的

直线AC方程；（2） 点A横坐标a的取值范围。

解题思路分析：

（1）∵A∈l，x=4∴ yA=5∴ A(4，5)又圆M：x2+y2-4x-4y-

=0配方得：(x-2)2+(y-2)2=∴ 圆心M（2，2），∵ AB与AC夹角

为450∴ tan450=∴ ，或∴ 直线AC方程为x-5y+21=0，或5x+y-

25=0 （2）求a范围，实际上就是求点A在直线l运动的范围。

过A作圆的切线AT，连MTRt△MAT中∵ ∠MAT>∠MAC=∴

|AT|<|MT|=r当AC为圆的切线时，|AT|=|AC|=r∴ 点A到圆的切

线长≤r∵ A（a，9-a）∴ 切线长≤化简得：a2-

9a+18<0∴3≤a≤6注：在解第（1）小题时，利用夹角公式求得

AC斜率有两解，同学们容易遗漏。在第（2）个小问题求切线长

时，应把圆的一般方程转化为标准形式。例

3、求圆C1：x2+y2+2x+6y+9=0和圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0的

公切线。解题思路分析：先判定两圆位置关系：圆C1：

(x+1)2+(y+3)2=1，圆心O1（-1，-3），半径r1=1圆C2：(x-

3)2+(y+1)2=32，圆心O2（3，-1），半径r2=3∵

|O1O2|=>4=r1+r2∴ C1与C2外离∴ 圆C1与圆C2的外公切线共

有4条如图再分别求内、外公切线（1） 外公切线、延长两外公

切线交于点M0，则M0、O

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1、O2三点共线∵ ∴ =-3设M0（x0，y0）则 ∴ M0（-3，-

4）设外公切线方程为y+4=k(x+3)，即kx-y+3k-4=0∵ O1到公切

线距离等于1∴ ∴ =|2k-1|，k2+1=(2k-1)2整理得：3k2-4k=0∴

k=0，k=当k=0时，外公切线方程为y=4当k=时，外公切线方程为

4x-3y=0（2） 求内公切线当M为内公切线交点时，∴ M分分比

λ=3∴ M（0，）同（1）可得内公切线方程为3x+4y+10=0由图可

知，y轴也是两圆的内公切线∴ 两圆内公切线为x=0，

3x+4y+10=0注：判断两圆位置关系求公切线的基础，很多同学总

以为公切线是4条，在以k为参数时，应注意k不存在的情形，

可画图。例

4、已知对于圆x2+(y-1)2=1上任意一点P（x，y），不等式

x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围。解题思路分析：学了解

析几何以后，二元问题既可以用数的知识，也可以用形的知识求

解。法一：令x=cosθ，y=1+sinθ则x+y+m≥0恒成立m≥-(x+y)

恒成立m≥-(sinθ+cosθ+1)恒成立m≥[-

(sinθ+cosθ+1)]max∵1≤-1当且仅当θ+，θ=时取得最大值∴

m≥-1法二：当直线x+y+m=0与圆相切时，直线的截距-m=+1，或-

m=1-∴ 直线l1：x+y-1-=0 直线l2：x+y+-1=0以圆上点（0，0）

代入l1方程，不满足x+y+m≥0，直线l1向上平移均不满足。以

（0，0）代入l2，满足x+y-m≥0，当l1向下平移时，圆周上的

点均满足不等式∴∴ m≥-1例

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5、设圆满足：①y轴截圆所得弦长为2，②被x轴分成两段

弧，其弧长之比为3∶1，在满足①②的所有圆中，求圆心到直线

l：x-2y=0的距离最小的圆的方程。解题思路分析：根据条件，选

用圆的标准方程设圆心为（a，b），半径为r，则条件①转化为：

r2=a2+1条件②转化为：圆被x轴截得的弦对圆心张角为900，从

面有r2=2b2∴2b2=a2=1，即2b2-a2=1（*）又圆心到直线l的的

距离下求在（*）式条件下，该二元函数的最小值法一：用基本不

等式，由得5d2=(a-2b)2=a2+4b2-4ab∵

a2+b2≥2ab∴5d2=a2+4b2-4ab≤a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1当且

仅当，即或时，等号成立此时r2=2b2=2∴ 所求圆方程为(x-

1)2+9y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2法二：用形的知识求解方程

2b2-a2=1表示aob坐标系下的双曲线，如图由得|a-2b|=d当a-

2b=时，b=该方程表示aob坐标系下平行直线系显然当直线与双曲

线下半支相切时，达到最大，从而d最小由得∴ 由△=得：d2=∵

d>0∴ d=此时直线b=在b轴上截距为，确实是与下半支相切∴

a=-1，b=-1，r2=2∴ 所求圆方程为(x+1)2+(y+1)2=2同理当a-

2b=d时，所求圆方程为(x-1)2+(y-1)2=2注：本题也可用三角换

元求解

四、单元测试

（一） 选择题（每小题4分，共40分）

1、过点P（0，1），且倾斜角的余弦是的切线方程是

A、4x+5y-5=0

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B、3x+4y-4=0

C、4x+3y-3=0

D、3x+5y-5=02、 直线3x+ay+4=0平行于直线

(a+5)x+2y+8=0，则实数a的值是

A、-6

B、1

C、7

D、2

53、 过点（-1，）且与直线x-y+1=0的夹角是的直线方程是

A、x-y+4=0

B、x+1=0，或x+y-2=0

C、x+1=0，或x-y+4=0

D、y-=0，或x+y-2=0

4、已知A（-1，5），B（3，0），C（5，-4），则△ABC

中，BC边上的高所在直线方程是

A、2x+y-3=0

B、2x-y+7=0

C、x-2y+11=0

D、x+2y-9=05、 直线l1与l2的斜率是方程6x2+x-1=0的两

根，则l1与l2夹角是

A、

B、

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C、

D、

6、若不等式x+(m-3)y-7m<0表示的区域为直线x+(m-3)y-

7m=0的上方，则m的取值范围是

A、m>3

B、m<3

C、m=3

D、1

37、若三条直线x+2y-5=0，2x-3y+4=0和ax+y=0不能构成三

角形，则不同的a值有

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

8、若直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那

么点P（a，b）与圆C的位置关系是

A、在圆上

B、在圆内

C、在圆外

D、不确定

9、与圆x2+y2-4x+2=0相切，且在x、y轴上截距相等的直线

共有

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A、4条

B、3条

C、2条

D、1条

10、若实数x、y满足x2+y2=1，则 的最大值是

A、

B、

C、-1

D、不存在

（二） 填空题（每小题5分，共25分）

11、圆x2+y2=4上的点到直线4x+3y-12=0的距离最小值是

________。

12、如果直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分，且不通过第四象

限，则l的斜率取值范围是__________。

13、已知x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值是__________。

14、从动点P（a，2）向圆(x+3)2+(y+3)2=1作切线，则切线

长的最小值是__________。

15、若两直线11x-y+1=n和x-ny=-2n的交点在第二象限，则

n的范围是__________。

（三） 解答题

16、（10分）已知平行四边形ABCD的顶点A（4，8），

B(0，4），D（8，0）（1） 求点C的坐标；（2） 若直线l的倾

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斜角为300，且将平行四边形ABCD的面积平分，求l方程。X

+y+z=1

17、（11分）设实数x、y、z满足 0≤x≤1，求F=2x+6y+4z

的最值。

0≤y≤23y+z≥2

18、（12分）△ABC的边长分别为3，4，5，M是它内切圆上

一点，求|MA|2+|MB|2+|MC|2的最大值和最小值。

19、（12分）已知圆C：(x-2)2+(y-3)2=4，直线l：

(m+2)x+(2m+1)y=7m+8（1） 证明：不论m为何值，直线l与圆C

恒相交；（2） 当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值。

五、参考答案

（一） 选择题

1、B。

设倾斜角为α，则α∈[0，π），cosα=，tanα=，直线方

程，即3x+4y-4=02、A。a 满足，∴，∴a=-

63、C。

注意斜率不存在情形，x=-

14、C。k BC=-2，∴BC边上高所在直线斜率k=

5、B。l1与l2的斜率k

1、k2分别为、，∴，∵，∴

6、B。

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由x+(m-3)y-7m=0得（显然m-3≠0），当，即m<3时，表示

直线x+(m-3)y-7m=0下方区域

7、C。

由，或得，，此时，三条直线中有两条平行，不能构成三角

形由得代入ax+y=0得a=-2此时三条直线共点，也不能构成三角

形

8、C。由已知得，∴，即|PC|>r，∴P在圆C外

9、B。

对截距是否为零分类讨论，当截距不为零时，可设直线方程

为x+y=a，由得a=0，a=4；当截距等于零时，设直线y=kx，由解

之得k=1，∴直线共有x+y=0，x+y=4，x-y=0三条

10、B。

用几何意义，或参数方程，或△法

（二） 填空题1

1、圆心O到直线距离，故所求最小值为

12、

[0，2] 画图即可

13、10 思路同上

14、 圆心O’(-3，-3)，|PO’|2=(a+3)2+25∴ 切线长≥当

且仅当a=-3时，取得最小值

15、 交点坐标为，由得0

（三） 解答题

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16、 解：（1）由得∴ C（4，-4） ……4分 （2）∵ 直线

l平分平行四边形ABCD∴ l过平行四边形ABCD中心（4，2）∴ l

方程：y-2=(x-4)，即 ……10分

17、 解：由x+y+z=1得z=1-x-y ……2分 0≤x≤1∴ 条件

化简为 0≤y≤2 x-2y≤0 目标函数为F=2x+2y+4 ……8分利用线

性规划的图解法可解得Fmin=4，Fnax=8 ……11分

18、 解；如图建立直角坐标系，设Rt△ABC内切圆方程为

（x-1)2+(y-1)2=1设M(1+cosθ，1+sinθ)

……2分则|MA|2+|MB|2+|MC|2=(1+cosθ)2+(1+sinθ-3)2+

(1+cosθ-4)2+(1+sinθ)2+(1+cosθ)2+(1+sinθ)2 =20-

2cosθ ……6分∵1，θ=2kπ+π，k∈Z时，

(|MA|2+|MB|2+|MC|2)max=22 当cosθ=1，θ=2kπ，k∈Z时，

(|MA|2+|MB|2+|MC|2)min=18 ……12分

19、 解：（1）整理l方程为(x+2y-7)m+(2x+y-8)=0则l过

直线x+2y-7=0与2x+y-8=0交点由得∴ l过定点（3，2），圆心

C（2，3），半径r=2 ……2分∵ |AC|=∴ 点A在⊙C内部∴ l

与圆C恒相交 ……6分 （2）， ∴ m=-1 ……12分

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