21
.
圆的方程
【知识点梳理】
知识点一：圆的标准方程
(xa)(yb)r
222
，其中为圆心，为半径．
Ca,b
r
知识点诠释：
（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转
a0，b0
xyr
化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：圆与x轴相切时：与坐标轴相切时：；；；
|b|r
|a|r|a||b|r
过原点：
abr
222
（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．
(xa)(yb)r
a，b
r
（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要
a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(xa)(yb)r
222
Ca,b
r
（1）若点在圆上
Mx,y
00
|CM|rxaybr
00
2
（2）若点在圆外
Mx,y
00
|CM|rxaybr
00
2
（3）若点在圆内
Mx,y
00
|CM|rxaybr
00
2
知识点三：圆的一般方程
DE
22
当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，
DE4F0
22
xyDxEyF0
,
22
22
22
22
222
222
1
DE4F
22
为半径．
2
知识点诠释：
DEDE4F
22
由方程得
xyDxEyF0
xy
224
22
22
（1）当时，方程只有实数解． ．它表示一个点
DE4F0
22
x,y
DE
DE
(,)
22
22
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当时，可
DE4F0DE4F0
2222
1
DE
以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
,
DE4F
22
22
2
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．
（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．
a、b、rD、E、F
（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
a、b、rD、E、F
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关
于变量之间的方程．
x,y
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的
定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关
点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
(x,y)
M
（2）列出关于的方程；
x,y
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
【题型归纳目录】
题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：点与圆的位置关系
题型四：轨迹问题
题型五：二元二次曲线与圆的关系
题型六：圆过定点
题型七：与圆有关的对称问题
【典型例题】
题型一：圆的标准方程例．（·贵州·高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程是
120222
（）
A
．
xy1xy4
2222
B
C
．
x1y13x1y16
D
22
．
．
22
例．（·重庆南开中学高一期末）与直线切于点，且经过点的圆的方程为
22022
y3xA(3,3)B(33,1)
（）
A
．
(x3)(y3)24(x3)(y1)16
2222
B
C
．
(x3)(y1)16(x23)(y2)4
2222
D
．
．
例．（·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为
32022
A(1,1),B(3,5)2xy20
_______
．
例．（·河北唐山·高二期中）圆心在直线－－＝上的圆与轴交于（，）、（，）
420222x3y10xA10B30
两点，则圆的方程为．
________
例．（·江苏·高二单元测试）求满足下列条件的圆的标准方程．
52022
（）圆心在轴上，半径为，且过点；
1x5
A2,3
（）经过点、，且以线段为直径；
2AB
A4,5
B6,1
（）圆心在直线上，且与直线相切于点；
3y=-2xy=1-x
2,1
（）圆心在直线上，且过点，．
4x-2y-3=0
A2,3B2,5
例．（·全国·高二课时练习）求圆的半径的最小值．
62022
xy2x2ay40(aR)
22
【方法技巧与总结】
一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标
和半径．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆
心和半径r，一般步骤为：
（a,b）
（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于a、b、
(xa)(yb)r
222
r的方程组；
（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
题型二：圆的一般方程
例．（·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知圆经过点，，．求圆
72022
MM
A2,2B4,6C4,2
的方程；
例．（·全国·高二课时练习）已知一个等腰三角形底边上的高等于，底边两端点的坐标分别是
820225
4,0
､
(4,0)
，求它的外接圆的方程．
例．（·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）已知的三个顶点分别为
92022
ABC
A4,0,B0,2,C2,2
，求：
（）边中线所在的直线方程
1
AB
（）的外接圆的方程
2
ABC
例．（·北京十五中高二期中）已知圆，则圆的坐标为，圆的半径为
102022C____C
C：xy4y0
22
_______
．
例．（·江苏·高二）圆的圆心和半径分别是（）
112022
xy2x4y60
22
A
．
1,2
，．，．，．，
1111
B C D
1,21,21,2
1111
例．（·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为
122022
(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)
____________
．
例．（·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）（）求过点（，），且在坐标轴上截距互为相
1320221A25
反数的直线的方程．
l
（）已知圆：＋＋＋－＝，圆心在直线＋－＝上，且圆心在第二象限，半径长为，求
2CxyDxEy60xy204
22
圆的一般方程．
【方法技巧与总结】
一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不
相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要
注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．
题型三：点与圆的位置关系
例．（·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（文））若坐标原点在圆
142022
xy2ax2ay2aa10
222
内，则的取值范围是．
a
_________
例．（·河南·油田一中高二阶段练习（文））已知点在圆的外
152022
(a,2)
xy2ax3yaa0
222
部，则的取值范围是（ ）
a
A
．
,,
B C D
44
999
．．．
2,
4
9
2,
4
例．（·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知点在圆：的外
162022C
A2,1
xy2xmy20
22
部，则实数的取值范围为（）
m
A
．
3,22,
B
．
2,23,
C
．
2,
D
．
3,
例．（多选题）（·河北·衡水市第十四中学高二阶段练习）过点可作两条直线与圆：
172022
F3,0
C
xy2x4ym0
22
相切，则实数可能取值为（）
m
A0 B1 C-3 D4
．．．．
【方法技巧与总结】
点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为，半径为，则点在圆内；点在圆上
O
r
PP
|PQ|r
|PQ|r|PQ|r
；点在圆外．从数的角度来看，设圆的标准方程为，圆心为
P
(xa)(yb)r
222
A(a,b)
，半径为，则点在圆上；点在圆外
r
Mx,yMx,y
0000
xaybr
00
2
(xa)(yb)rMx,y
00
222
；点在圆内．
00
xaybr
00
2
22
22
题型四：轨迹问题
例．（·山东·德州市教育科学研究院三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平
182022
面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直
k(k0,k1)
角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（）
xOy
A(4,0)B(2,0)
MM
A
．
(x4)y16(x4)y16x(y4)16x(y4)16
22
B C D
．．．
222222
|MA|
2
|MB|
例．（·安徽滁州·二模（文））已知，为圆上的两个动点，为弦
192022ABP
C:xy2x4y30
22
AB
的中点，若，则点的轨迹方程为（）
ACB90
P
1
B
4
1
C
．
(x1)(y2)
22
D
4
A
．
(x1)(y2)
22
．
(x1)(y2)1
22
．
(x1)(y2)1
22
例．（多选题）（·江苏·高二专题练习）方程（，不全为
202022
xy2xxy2y0
2222
零），下列说法中正确的是（）
A
．当
0
时为圆
B
．当
0
时不可能为直线
C
．当方程为圆时，，
满足
0
D
．当方程为直线时，直线方程
yx
例．（·吉林·希望高中高二期末）若两定点，的距离为，动点满足，则
212022AB3MM
MA2MB
点的轨迹围成区域的面积为
_________
例．（·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知圆的圆心在直线上，
222022
C
l:2x7y80
且过和两点．
A6,0B1,5
（）求圆的标准方程；
1
C
（）过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程．
2
P0,1
l
CMN
M,N
Q
例．（·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））如图所示，等腰梯形的底边
232022ABCDAB
在轴上，顶点与顶点关于原点对称，且底边和的长分别为和，高为．
xABOABCD63
26
（）求等腰梯形的外接圆的方程；
1ABCDE
（）若点的坐标为（，），点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
2N52MEMNP
例．（·江苏·高二）已知圆过三个点．
242022
C
M(1,0),N(3,2),R(5,0)
（）求圆的方程；
1
C
（）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹．
2
OC
l
A,B
AB
M
例．（·全国·高二课时练习）已知，动点满足，求动点的轨迹．
252022PP
A2,1,B(4,9)
APB90
例．（·全国·高二课时练习）已知圆经过（，），（，），（，）三点．
262022C-135320
（）求圆的方程；
1C
15
（）设点在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹方程．
2ACMM
B8,
AM2MB
2
【方法技巧与总结】
用直接法求曲线方程的步骤如下：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
(x,y)
M
（2）列出关于的方程；
x,y
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
题型五：二元二次曲线与圆的关系
例．（·江苏·高二单元测试）若方程表示一个圆，则实数的取值范
272022
xy2kx4y3k80
22
k
围是．
______
例．（·广东·高二期中）已知，方程表示圆，则圆
282022
mR
3m1xm1y8x4y5m0
222
心坐标是．
______
例．（·江苏·高二单元测试）若曲线：表示圆，则实数的取值范围
292022
C
xy2ax4ay10a0
22
a
为（）
A
．
2,0
B
C
．
2,0
D
．
,20,
．
,20,
例．（·全国·高三专题练习）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的
302022
a3
xyx3ya0
22
（）
A B
．充分不必要条件．必要不充分条件
C D
．充要条件．既不充分也不必要条件
22
例．（多选题）（·江苏无锡·模拟预测）关于曲线：，下列说法正确的是
312022
C
xy2x2y
（）
A
．曲线围成图形的面积为
C
48
B
．曲线所表示的图形有且仅有
C
2
条对称轴
CD
．曲线所表示的图形是中心对称图形．曲线是以
CC
1,1
为圆心，为半径的圆
2
例．（·全国·高一）画出方程表示的曲线．
322022
x11y
2
例．（·四川巴中·高二期中）已知方程
332022
xy2cosx4siny4sinsin100,2
222
表示圆．
（）求的取值范围．
1
（）求该圆半径的最大值．
2
【方法技巧与总结】
方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关
xyDxEyF0
22
DE4F0
22
1
DE
问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径
,
rDE4F
22
22
2
题型六：圆过定点
例．（·全国·高三专题练习）判别方程（为参数，
342022k
xy2kx(4k10)y10k200
22
k1
）表示何种曲线找出通过定点的坐标．
?
例．（·全国·高三专题练习）求证：对任意实数，动圆恒过
352022
a2
(a2)x(a2)y4x2a0
22
两定点．
例．（·全国·高二专题练习）已知点和以为圆心的圆．
362022
P2,3
Q
xm1y3m4
（）求证：圆心在过点的定直线上，
1
Q
P
（）当为何值时，以为直径的圆过原点．
2
m
P、Q
例．（·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）点是直线上任意一点，是坐标
372022
Px,y
2xy50
O
原点，则以为直径的圆经过定点（）
OP
A
．
0,0
和．和．和．和
1,10,02,20,01,20,02,1
B C D
22
【方法技巧与总结】合并参数
题型七：与圆有关的对称问题
例．（·全国·高二专题练习）已知圆关于直线对称的圆的方程为
382022
xyaxby10
22
xy1
xy1
22
，则＝．
ab
_______
例．（·江苏·高二课时练习）已知圆：关于直线＋－＝对称，且
392022Cx2y40
xyDxEy120
22
圆心在轴上，求圆的标准方程．
yC
例．（·上海市第三女子中学高二期末）圆关于直线对称的圆的方程
402022
x2y15
xy0
为．
______
例．（·河北唐山·高二期中）点，是圆＝上的不同两点，且点，关
412022MN0MN
xykx2y4
22
于直线－＋＝对称，则该圆的半径等于（）
xy10
A B C3 D9
．．．．
22
2
22
例．（·全国·高三专题练习）圆关于直线对称的圆的方程是
422022
xy2x4y40
22
xy10
（）
A
．
(x3)y16x(y3)9
2222
B
C
．
x(y3)16
22
D
．
．
(x3)y9
22
例．（·陕西渭南·高一期末）若圆与圆关于直线对称，则圆的方程
432022CC
x2xy0
22
xy0
为（）
A
．
x2xy0
22
B C D
．．．
xy2y0x+y+2y0x2xy0
2222
22
22
例．（·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）
442022
x1y24
axby10
a0b0
对称，则的最小值为（）
12
ab
5
A
．
B9 C4 D8
2
．．．
例．（·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（）
452022
2xy10
(xa)y1
22
a
A
．
B C1 D
1
2
1
．．．
2
【方法技巧与总结】
1
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
【同步练习】
一、单选题
12022
．（·安徽省宣城中学高二期末）已知直线
axby10(ab0)
过圆的圆心，
(x1)(y1)2022
22
则的最小值为（）
ab
22
A
．
B1 C D2
1
2
．．．
2
2
2 2022
．的圆的方程为（）（·北京十五中高二期中）经过三个点
0),B(23,0),C(0,2)A(0,
A
．
x3y12x3y12
C
．
x3y14
22
22
B
2
D
．
2
2
2
．
x3y14
32022x
．（·江苏·高二单元测试）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分
5,3
圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）
x1y15
A
．
2x3y10
B
C
．
3x2y103x2y10
D
．
2x3y10
．
22
42022
．（·全国·高二课时练习）由曲线
yx
与所围成的较小区域的图形面积是（）
xy4
22
π
A
．
B C D
4
．．．
π
3π
4
3π
2
22
52022
．（·江苏·高二单元测试）曲线
xy2x4y
围成的图形的面积为（）．
A8+10π
B16+10π C5π D5
．．．
62022
．（·河北保定·高二期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之
A
B
比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗
0
1
尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的
xOy
A4,0
B2,0
PP
轨迹的圆心坐标为（）
A B C D
．．．．
4,00,4
22
PA
PB
2
4,0
2,0
72022
．（·全国·高三专题练习）圆
x1y+22
关于直线：对称的圆的方程为
l
xy20
（）
A
．
x4y12x4y12
B
C
．
x4y12x4y12
D
2222
2222
．
．
82022ab
．（·浙江金华·模拟预测）实数，满足，则下列说法正确的是（）
a2b4ab10
A B
．．
52a52
C D
．．
23b23
二、多选题
92022
．（·江苏·高二单元测试）设圆的方程是
xaybab
22
，其中，，下列说法
a0
b0
中正确的是（）
A B
．该圆的圆心为．该圆过原点
a,b
Cx D
．该圆与轴相交于两个不同点．该圆的半径为
ab
22
22
945a945
945b945
102022
．（·全国·高二）设有一组圆
C
k
：，下列命题正确的是（）
(xk)(yk)4
22
(kR)
A
．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
k
C
0)(3，
B
．所有圆
C
k
均不经过点
2)(2，
的圆有且只有一个
C
k
C
．经过点
D
．所有圆的面积均为
4
112022
．（·全国·高二课时练习）［多选题］若原点
O0,0
在圆外，则的取
xy2axa2a10
222
a
值可以是（）．．．．
A B C1 D2
2
1
2
3
122022AB
．（·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点，的距离之比
为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，（－，
λλ≠1xOyA2
0B40P
），（，），点满足
PA
PB
＝．设点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ）
2
PC
1
ACx4
．轨迹的方程为（＋）
22
＋＝
y9
BxABDE
．在轴上存在异于，的两点，使得
PD
PE
＝
2
1
CABPPO∠APB
．当，，三点不共线时，射线是的平分线
DCM
．在上存在点，使得
MO2MA
三、填空题
132022
．（·全国·高二专题练习）在圆
x2y32
上与点距离最大的点的坐标是
(0,5)
______
．
142022
．（·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（文））过三点，，
0,0
4,0
1,1
的圆的方程是
______
．
1520223yx-3y0
．（·江苏·高二）已知半径为的圆的圆心到轴的距离等于半径，圆心在直线＝上，则此
圆的方程为．
______
16202219-
．（·江苏·高二专题练习）曼哈顿距离是由世纪著名的德国数学家赫尔曼闵可夫斯基所创的词
汇，用来标明两个点在标准坐标系中的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系中，点的曼哈
A1,3,B2,5
顿距离为．已知动点在圆上，点，则两点的曼哈顿距离的最大
12353
N
xy9
22
M3,4
M,N
值为．
__________
四、解答题
172022
．（·湖北·黄石市有色第一中学高二阶段练习）已知的三个顶点分别为
ABC
A(3,0)
，，
B(2,1)
C(2,3)
，求：
22
（）边上中线所在直线的方程；
1
BC
AD
（）边的垂直平分线的方程；
2
BC
DE
（）的外接圆方程．
3
ABC
1820221
．（·湖南·株洲市五雅中学高二期中）已知圆的半径为，圆心既在直线
C
y2x4
上又在直线
yx1
上．求圆的标准方程；
C
192022
．（·全国·高二）直线过点且与直线
l
A1,2
2xy10
平行．
（）求直线的方程；
1
l
（）求圆心在直线上且过点、的圆的方程．
2
l
O0,0
B2,0
202022
．（·全国·高三专题练习（文））已知点，圆
P2,2
C:xy8y0
22
，过点的动直线与圆
P
l
C
交于两点，线段的中点为，为坐标原点．
A,B
AB
M
O
（）求的轨迹方程；
1
M
（）当时，求的方程及的面积
2l
|OP||OM|
POM
222022xOyBCxy4A
．（·全国·高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知，为圆＋＝上两点，点
22
（，），且，求线段的长的取值范围．
11AB⊥ACBC
21
.
圆的方程
【知识点梳理】
知识点一：圆的标准方程
(xa)(yb)r
222
，其中为圆心，为半径．
Ca,b
r
知识点诠释：
（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转
a0，b0
xyr
化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：圆与x轴相切时：与坐标轴相切时：；；；
|b|r
|a|r|a||b|r
过原点：
abr
222
（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．
(xa)(yb)r
a，b
r
（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要
a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(xa)(yb)r
222
Ca,b
r
（1）若点在圆上
Mx,y
00
|CM|rxaybr
00
2
（2）若点在圆外
Mx,y
00
|CM|rxaybr
00
2
（3）若点在圆内
Mx,y
00
|CM|rxaybr
00
2
知识点三：圆的一般方程
DE
22
当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，
DE4F0
22
xyDxEyF0
,
22
22
22
22
222
222
1
DE4F
22
为半径．
2
知识点诠释：
DEDE4F
22
由方程得
xyDxEyF0
xy
224
22
22
（1）当时，方程只有实数解． ．它表示一个点
DE4F0
22
x,y
DE
DE
(,)
22
22
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当时，可
DE4F0DE4F0
2222
1
DE
以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
,
DE4F
22
22
2
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．
（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．
a、b、rD、E、F
（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
a、b、rD、E、F
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关
于变量之间的方程．
x,y
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的
定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关
点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
(x,y)
M
（2）列出关于的方程；
x,y
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
【题型归纳目录】
题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：点与圆的位置关系
题型四：轨迹问题
题型五：二元二次曲线与圆的关系
题型六：圆过定点
题型七：与圆有关的对称问题
【典型例题】
题型一：圆的标准方程例．（·贵州·高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程是
120222
（）
A
．
xy1xy4
2222
B
C
．
x1y13x1y16
D
【答案】
B
22
．
．
22
【解析】圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程为．
2
xy4
22
故选：
B
例．（·重庆南开中学高一期末）与直线切于点，且经过点的圆的方程为
22022
y3xA(3,3)B(33,1)
（）
A
．
(x3)(y3)24(x3)(y1)16
2222
B
C
．
(x3)(y1)16(x23)(y2)4
2222
D
【答案】
D
【解析】设圆的方程为，
(xa)(yb)r
222
2
2
3a3br
2
2
2
2
根据题意可得，
33a1br
b31
3a3
．
．
a23
解得，
b2
r4
2
所以该圆的方程为．
(x23)(y2)4
22
故选：．
D
例．（·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为
32022
A(1,1),B(3,5)2xy20
_______
．
【答案】
(x2)(y2)10
22
【解析】设圆的标准方程为，
(xa)(yb)r
222
因为圆过点，且圆心在直线上，
A(1,1),B(3,5)2xy20
1a1br
22
2
22
2
则有，解得，所以所求圆的方程为．
3a5br
a2,b2,r10
(x2)(y2)10
22
2ab20
故答案为：．
(x2)(y2)10
22
例．（·河北唐山·高二期中）圆心在直线－－＝上的圆与轴交于（，）、（，）
420222x3y10xA10B30
两点，则圆的方程为．
________
【答案】＝
(x2)(y1)
22
2
【解析】由题意得：圆心在直线上，
x2
又圆心在直线上，令，得
2x3y10y1
x2
圆心的坐标为，又，
M
(2,1)
A(1,0)
半径，
|AM|(21)(10)2
22
则圆的方程为．
(x2)(y1)2
22
故答案为：
(x2)(y1)2
22
例．（·江苏·高二单元测试）求满足下列条件的圆的标准方程．
52022
（）圆心在轴上，半径为，且过点；
1x5
A2,3
（）经过点、，且以线段为直径；
2AB
A4,5
B6,1
（）圆心在直线上，且与直线相切于点；
3y=-2xy=1-x
2,1
（）圆心在直线上，且过点，．
4x-2y-3=0
A2,3B2,5
2
【解析】（）设圆的标准方程为．
1
xay25
2
因为点在圆上，所以，解得或，
A2,3
2a325
22
22
a=-2a=6
所以所求圆的标准方程为或．
x2y25x6y25
22
（）设圆的标准方程为，由题意得，；
2
xaybrr0
2
a1b3
又因为点在圆上，所以．
6,1
r611329
2
所以所求圆的标准方程为．
x1y329
（）设圆心为．
3
22
22
22
4651
22
a,2a
a2a1
11
22
a22a1
因为圆与直线相切于点，所以，
y=1-x
2,1
22
22
解得．所以所求圆的圆心为，半径．所以所求圆的方程为
a=1
1,2
r12212
x1y+22
22
．
（）设点为圆心，因为点在直线上，故可设点的坐标为．
4CCC
x2y30
又该圆经过、两点，所以．
AB
CACB
所以，解得，
2a3,a
2a32a32a32a5
2222
a=-2
所以圆心坐标为，半径．
C1,2
r10
22
故所求圆的标准方程为．
x1y210
例．（·全国·高二课时练习）求圆的半径的最小值．
62022
xy2x2ay40(aR)
22
【解析】由题意，
xy2x2ay40(aR)(x1)(ya)a5
22222
故圆的半径
ra55
2
当且仅当时等号成立
a0
故圆的半径的最小值为
xy2x2ay40(aR)
22
5
【方法技巧与总结】
一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标
和半径．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆
心和半径r，一般步骤为：
（a,b）
（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；
(xa)(yb)r
222
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
题型二：圆的一般方程
例．（·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知圆经过点，，．求圆
72022
MM
A2,2B4,6C4,2
的方程；
【解析】设圆的一般方程为，把三个点代入得
xyAxByC0
22
442A2BC0A2
16364A6BC0
，得
B4
1644A2BC0
C20
所以圆的方程为
xy2x4y200
22
即．例．（·全国·高二课时练习）已知一个等腰三角形底边上的高等于，底
(x1)(y2)25
22
820225
边两端点的坐标分别是，求它的外接圆的方程．
4,0
､
(4,0)
【解析】由题意得，等腰三角形顶点的坐标为或．
(0,5)
(0,5)
当顶点坐标为时，设三角形外接圆的方程为，
(0,5)
xyDxEyF0
22
D0,
255EF0,
9
则解得
164DF0,
E,
5
164DF0,
F16.
22
所以圆的方程为．
xyy160
9
5
9
y160xy
．当顶点坐标是时，同理可得圆的方程为
5
99
2222
综上，它的外接圆的方程为或．
xyy160xyy160
55
22
(0,5)
例．（·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）已知的三个顶点分别为
92022
ABC
A4,0,B0,2,C2,2
，求：
（）边中线所在的直线方程
1
AB
（）的外接圆的方程
2
ABC
3
【解析】（）设的中点为，则所在直线的斜率为，
1
AB
D(2,1)
CD
4
3
则边所在直线的方程为，即．
CD
y1(x2)
3x4y20
4
（）设的外接圆的方程为，
2
ABC
xyDxEyF0
22
4DF160D2
由，解之可得
2EF40E2
2D2EF80F8
故的外接圆的方程为．
ABC
xy2x2y80
22
例．（·北京十五中高二期中）已知圆，则圆的坐标为，圆的半径为
102022C____C
C：xy4y0
22
_______
．
【答案】（，）
02 2
【解析】因为圆，即圆，
C：xy4y0C：x(y2)4
2222
所以圆的圆心为（，），半径为．
C
022
故答案为：（，），．例．（·江苏·高二）圆的圆心和半径分别是
022112022
xy2x4y60
22
（）
A
．
1,2
，．，．，．，
1111
B C D
1,21,21,2
1111
【答案】
D
【解析】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为．
x1y211
1,2
11
故选：．
D
例．（·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为
122022
(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)
____________
．
【答案】或或或
x2y313x2y15
22
22
22
4765
xy
339
22
1698
2
；
xy1
255
【解析】依题意设圆的方程为，
xyDxEyF0
22
2
F0F0
若过，，，则，解得，
0,04,0
1,1
164DF0
D4
11DEF0
E6
所以圆的方程为，即；
xy4x6y0
22
x2y313
22
F0F0
若过，，，则，解得，
0,04,04,2
164DF0
D4
1644D2EF0
E2
所以圆的方程为，即；
xy4x2y0
22
x2y15
22
F0
F0
8
若过，，，则，解得，
0,04,2
1,1
11DEF0
D
3
1644D2EF0
14
E
3
22
814
4765
所以圆的方程为，即；
xyxy0
xy
339
33
22
16
F
5
11DEF0
16
若过，，，则，解得，所以圆的方程为
1,1
4,04,2
164DF0
D
5
1644D2EF0
E2
1616
8169
2
xyx2y0
，即；
xy1
55
255
22
2
故答案为：或或或
x2y313x2y15
22
22
4765
xy
339
22
1698
2
；
xy1
255
例．（·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）（）求过点（，），且在坐标轴上截距互为相
1320221A25
反数的直线的方程．
l
（）已知圆：＋＋＋－＝，圆心在直线＋－＝上，且圆心在第二象限，半径长为，求
2CxyDxEy60xy204
22
圆的一般方程．
2
5
【解析】（）解法：当直线在坐标轴上的截距均为时，方程为＝，即－＝；
11∠l0y5x2y0
x
2
∠l0
当直线在坐标轴上的截距不为时，可设方程为
xy
1
，即－＝，
xya
aa
又过点（，），－＝，＝－，的方程为－＋＝，
∠lA25∠25aa3∠lxy30
综上所述，直线的方程是－＝或－＋＝．
l5x2y0xy30
解法：由题意知直线的斜率一定存在．设直线的点斜式方程为－＝（－），
2y5kx2
5
当＝时，＝－，当＝时，＝－．
x0y52ky0x2
k
55
根据题意得－＝－（－），解方程得或＝．
52k2k1
k
k2
当时，直线方程为－＝（－），即－＝；
k
5
5
y5x25x2y0
2
2
当＝时，直线方程为－＝（－），即－＋＝．
k1y51×x2xy30
综上所述，直线的方程是－＝或－＋＝．
l5x2y0xy30
（）圆心，因为圆心在直线＋－＝上，所以，即＋＝－．
2Cxy20DE4∠
(,)20
DEDE
2222
DE24
22
4r
，所以＋＝．又因为半径长
DE40∠
22
2
由可得
∠∠
D2D6
或
E6E2
又因为圆心在第二象限，所以，即．则故圆的一般方程为＋＋－－＝．
0
【方法技巧与总结】
D2
D
D>0xy2x6y60
22
2
E6
一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不
相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要
注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．
题型三：点与圆的位置关系
例．（·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（文））若坐标原点在圆
142022
xy2ax2ay2aa10
222
内，则的取值范围是．
a
_________
【答案】
1,
2
1
【解析】依题意可知，即．
4a4a42aa10
a10,a1
由于在圆内，
0,0
xy2ax2ay2aa10
222
222
1
2
所以，解得．
2aa10,2a1a10
1a
2
所以的取值范围是
a
1,
2
1
故答案为：
1,
2
1
例．（·河南·油田一中高二阶段练习（文））已知点在圆的外
152022
(a,2)
xy2ax3yaa0
222
部，则的取值范围是（ ）
a
A
．
,,
B C D
44
999
．．．
2,
4
9
2,
4
【答案】
D
【解析】由点在圆外知，即，解得，
a22aa32aa0
222
a20a2
2
又为圆，则，
xy2ax3yaa0
222
2a34aa0
22
解得，故．
a2a
99
44
故选：．
D
例．（·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知点在圆：的外
162022C
A2,1
xy2xmy20
22
部，则实数的取值范围为（）
m
A
．
3,22,
B
C
．
2,
D
．
2,23,
．
3,
2
2m80
2
【答案】【解析】由题意，得，解得，或．
A
22
3m2m2
2122m20
故选：．例．（多选题）（·河北·衡水市第十四中学高二阶段练习）过点可作两条直线与
A172022
F3,0
圆：相切，则实数可能取值为（）
C
xy2x4ym0
22
m
A0 B1 C-3 D4
．．．．
【答案】
ABD
【解析】由题意，过点可作两条直线与圆相切，可得点在圆外，
F3,0
CC
F
又由圆，
C:xy2x4ym0
22
则满足且，解得．
302340m0
22
x1y25m0
3m5
结合选项，可得符合题意．
ABD
故选：．
ABD
【方法技巧与总结】
点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为，半径为，则点在圆内；点在圆上
O
r
PP
|PQ|r
|PQ|r|PQ|r
；点在圆外．从数的角度来看，设圆的标准方程为，圆心为
P
(xa)(yb)r
222
A(a,b)
，半径为，则点在圆上；点在圆外
r
Mx,yMx,y
0000
xaybr
00
2
(xa)(yb)rMx,y
00
222
；点在圆内．
00
xaybr
00
2
22
22
22
题型四：轨迹问题
例．（·山东·德州市教育科学研究院三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平
182022
面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直
k(k0,k1)
角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（）
xOy
A(4,0)B(2,0)
MM
A
．
(x4)y16(x4)y16x(y4)16x(y4)16
22
B C D
【答案】
B
【解析】，即
∠
|MA|
2
|MA|2|MB|
|MB|
|MA|
2
|MB|
．．．
222222
设，则，整理得
Mx,y
故选：．
B
x4y2x2y
22
22
22
(x4)y16
例．（·安徽滁州·二模（文））已知，为圆上的两个动点，为弦
192022ABP
C:xy2x4y30
22
AB
的中点，若，则点的轨迹方程为（）
ACB90
P
1
B
4
1
C
．
(x1)(y2)
22
DB
4
A
．
(x1)(y2)
22
．
(x1)(y2)1
22
．【答案】
(x1)(y2)1
22
【解析】圆即，半径
C
(x1)(y2)2
22
r2
因为，所以
CACB
AB2r2
又是的中点，所以
P
AB
CPAB1
1
2
所以点的轨迹方程为
P
(x1)(y2)1
22
故选：
B
例．（多选题）（·江苏·高二专题练习）方程
202022
xy2xxy2y0
2222
（，不全为零），下列说法中正确的是（）
A
．当
0
时为圆
B
．当
0
时不可能为直线
C
．当方程为圆时，，
满足
0
D
．当方程为直线时，直线方程
yx
【答案】
ACD
【解析】对于，由题可得，代入得或，都是圆，故
AA
00
或
xy2y0xy2x0
22
22
00
对；对于，当时，化简得是直线，故错；对于，原式可化为
BBC
1,1
yx
(+)x(+)y2x2y0
22
，要表示圆，则必有，故对；对于，只有时，方
0
CD
0
程表示直线，故对．
yx
D
故选：．
ACD
例．（·吉林·希望高中高二期末）若两定点，的距离为，动点满足，则
212022AB3MM
MA2MB
点的轨迹围成区域的面积为
_________
【答案】【解析】以点为坐标原点，射线为轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点
4
AABx
M(x,y)
，
则，
A0,0，B0,3
由，化简并整理得：，
xy2(x3)y
2222
(x4)y4
22
于是得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其面积为，
M2
(4,0)
4
所以点的轨迹围成区域的面积为．
M
4
故答案为：
4
例．（·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知圆的圆心在直线上，
222022
C
l:2x7y80
且过和两点．
A6,0B1,5
（）求圆的标准方程；
1
C
（）过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程．
2
P0,1
l
CMN
M,N
Q
2t8
【解析】（）设圆心，则，
1
Ct,
ACBCr
7
即，解得：，
t6t15
22
2t8
497
2
2t8
t3
2
22
r13
，又圆心，圆的标准方程为；
C3,2
C
x3y213
（）为弦中点，，即，
2
QCQMNCQPQ
MN
设，则，，
Qx,y
CQx3,y2
PQx,y1
CQPQxx3y1y2xy3x3y20
22
，
即点的轨迹方程为：．
Q
xy3x3y20
22
例．（·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））如图所示，等腰梯形的底边
232022ABCDAB
在轴上，顶点与顶点关于原点对称，且底边和的长分别为和，高为
xABOABCD6
26
3
．
（）求等腰梯形的外接圆的方程；
1ABCDE
（）若点的坐标为（，），点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
2N52MEMNP
【解析】（）设，
1
E(0,b)
由已知可得：，
A(3,0),B(3,0),C(6,3),D(6,3)
由得：
|EB||EC|
(30)(0b)(60)(3b)b1
2222
，
∠
圆
E
的圆心为，半径为，
E(0,1)
r10
∠
圆
E
的方程为：．
x(y1)10
22
（）设，
2
P(x,y),M(x,y)
00
5x
0
x
x2x5
2
∠
P
为线段的中点，，
MN
∠
0
y2y2
2y
0
y
0
2
代入点所在圆的方程得：
M
535
(2x5)(2y3)10(x)(y)
2222
，
222
∠
点
P
的轨迹方程为．
(x)(y)
535
22
222
例．（·江苏·高二）已知圆过三个点．
242022
C
M(1,0),N(3,2),R(5,0)
（）求圆的方程；
1
C
（）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹．
2
OC
l
A,B
AB
M
【解析】（）设圆的方程为，
1
C
xyDxEyF0(DE4F0)
2222
1DF0
因为圆过三个点，可得，解得，
C
M(1,0),N(3,2),R(5,0)
943D2EF0
D6,E0,F5
255DF0
所以圆的方程为，即．
C
xy6x50(x3)y4
2222
（）因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，
2
MM
AB
CMOMOC
39
以为直径的圆的方程为，
OC
(x)y
22
24
55
x3y4
2
2
xx
33
2
联立方程组，解得或，
39
2
2525
yy
xy
24
33
395
所以点的轨迹方程为．
M
(x)y,(x3)
22
243
例．（·全国·高二课时练习）已知，动点满足，求动点的轨迹．
252022PP
A2,1,B(4,9)
APB90
【解析】由题意，点，动点满足，
A2,1,B(4,9)
P
APB90
所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标为，半径为，
PAB
(1,5)
rAB5
所以点的轨迹方程为，其中且．
P
(x1)(y5)25
22
x2x4
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，且除去点和．
P
(1,5)B(4,9)
5
A2,1
例．（·全国·高二课时练习）已知圆经过（，），（，），（，）三点．
262022C-135320
（）求圆的方程；
1C
15
（）设点在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹方程．
2ACMM
B8,
AM2MB
2
1
2
【解析】（）设圆的方程为
1C
xyDxEyF0
22
13D3EF0
2
2
D4
22
则有，解之得
535D3EF0
E6
F4
202DF0
22
则圆的方程为
C
xy4x6y40
22
（）设，，
2
M(x,y)
A(x,y)
AA
则有，，由，可得
AM(xx,yy)2MB(162x,152y)
AA
MB(8x,y)
15
AM2MB
2
xx162x
AA
x163x
，解之得
yy152y
y153y
A
A
由点在圆上，得
AC
163x153y4163x6153y40
22
即
xy12x12y710
22
故点的轨迹方程为．
M
xy12x12y710
22
【方法技巧与总结】
用直接法求曲线方程的步骤如下：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
(x,y)
M
（2）列出关于的方程；
x,y
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
题型五：二元二次曲线与圆的关系
例．（·江苏·高二单元测试）若方程表示一个圆，则实数的取值范
272022
xy2kx4y3k80
22
k
围是．
______
【答案】
,14,
【解析】因为方程表示一个圆
xy2kx4y3k80
22
2
所以，，即，解得或．
4k1643k80
k3k40
2
k4k1
所以，实数的取值范围是
k
,14,
故答案为：
,14,
例．（·广东·高二期中）已知，方程表示圆，则圆
282022
mR
3m1xm1y8x4y5m0
222
心坐标是．
______
【答案】
2,1
【解析】由题意得，解得或．
m13m1
2
m1
2
22
当时，方程为，即，圆心为；
m1
xy4x2y0x2y1
55
22
2,1
22
22
426
当时，方程为，即，不表示圆．
m2
5x5y8x4y100
xy
555
22
故答案为：例．（·江苏·高二单元测试）若曲线：表示圆，则
292022
2,1
C
xy2ax4ay10a0
22
实数的取值范围为（）
a
A
．
2,0
B
C
．
2,0
D
【答案】
B
【解析】由，
xy2ax4ay10a0
22
得，
xay2a5a10a
2
由该曲线表示圆，
可知，
5a10a0
2
解得或，
a0
a2
故选：．
B
例．（·全国·高三专题练习）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的
302022
a3
xyx3ya0
22
22
．
,20,
．
,20,
（）
A B
．充分不必要条件．必要不充分条件
C D
．充要条件．既不充分也不必要条件
【答案】
B
【解析】若方程表示圆，则，解得：；
xyx3ya0
22
134a104a0
2
a
∠
a3aaa3
2
5
2
55
，，，甲是乙的必要不充分条件．
22
故选：．
B
22
例．（多选题）（·江苏无锡·模拟预测）关于曲线：，下列说法正确的是
312022
C
xy2x2y
（）
A
．曲线围成图形的面积为
C
48
B
．曲线所表示的图形有且仅有
C
2
条对称轴
C
．曲线所表示的图形是中心对称图形
C
D
．曲线是以
C
1,1
为圆心，为半径的圆
2
【答案】
AC
22
【解析】曲线：如图所示：
C
xy2x2y
对于：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一
A
1,1
2
个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为，
S2222
1
故正确；
A
对于，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故错误；
BB
C
x
yyxyx
对于，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故正确；
CC
C
对于，曲线的图形不是一个圆，故错误．
DD
C
故选：
AC
11
22
2
C
S4S48
1
例．（·全国·高一）画出方程表示的曲线．
322022
x11y
2
【解析】由题意得：，，方程两边平方得：，
x1
1y1
x1y1
2
如图所示：实线为所求
2
方程表示的曲线为以为圆心，半径为的圆的右
x11y
2
A1,0
1
半部分．
例．（·四川巴中·高二期中）已知方程
332022
xy2cosx4siny4sinsin100,2
222
表示圆．
（）求的取值范围．（）求该圆半径的最大值．
12
【解析】（）因方程表示圆，
1
xy2cosx4siny4sinsin10
222
则有，整理得：，
(2cos)(4sin)4(4sinsin1)0
222
sinsin0
2
解得，而，则有或，
0sin1
[0,2)
0
所以的取值范围是或．
0
22
22
1111
4(sinsin)(sin)r
22
，（）由（）知或，圆的半径
21
0
2242
22
15
当且仅当，即或时取“”，
sin
=
266
所以圆半径的最大值为．
2
【方法技巧与总结】
方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关
xyDxEyF0
22
DE4F0
22
1
1
DE
问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径
,
rDE4F
22
22
2
题型六：圆过定点
例．（·全国·高三专题练习）判别方程（为参数，
342022k
xy2kx(4k10)y10k200
22
k1
）表示何种曲线找出通过定点的坐标．
【解析】将原方程整理得，
(xk)[y(2k5)]5(k1)0
222
即，
(xk)[y(2k5)][5(k1)]
222
方程表示圆心在，半径为的圆，
(k,2k5)
5|k1|
将原方程整理为关于的方程：，
k
xy10y20k(2x4y10)0
22
xy10y200,
22
由
2x4y100
x1,
解得
y3,
即圆过定点．
M(1,3)
例．（·全国·高三专题练习）求证：对任意实数，动圆恒过
352022
a2
(a2)x(a2)y4x2a0
22
两定点．
【解析】证明：圆系方程可化为．
xy2a2x2y4x0
2222
设．对（）恒成立，
f(a)xy2a2x2y4x
∠
f(a)0
aRa2
2222
xy20
22
x1x1
∠
22
，解得或．
y1y1
2x2y4x0
因此，圆系过定点和．
(1,1)
(1,1)
例．（·全国·高二专题练习）已知点和以为圆心的圆．
362022
P2,3
Q
xm1y3m4
（）求证：圆心在过点的定直线上，
1
Q
P
（）当为何值时，以为直径的圆过原点．
2
m
P、Q
【解析】（）由题可知圆心的坐标为，
1
Q
m1,3m
令消去，得．
xm1
m
y3x3
y3m
22
∠
直线
y3x3
过点．
P2,3
∠
圆心
Q y3x3
在过点的定直线上．
P
（）以为直径的圆过原点，
2∠
P、Q
∠
OPOQ
．
33m
1
，
∠
2m1
2
．
11
2
即当时，以为直径的圆过原点．
m
P、Q
11
∠
m
例．（·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）点是直线上任意一点，是坐标
372022
Px,y
2xy50
O
原点，则以为直径的圆经过定点（）
OP
A
．
0,0
和．和．和．和
1,10,02,20,01,20,02,1
B C D
【答案】
D
【解析】设点，则线段的中点为，
Pt,52t
OP
M,
t52t
22
圆的半径为，
M
OM
t52t
2
42
2
5t20t25
2
22
t52t5t20t25
2
所以，以为直径为圆的方程为，
OP
xy
242
22
22
即，即，由，解得或，
xytx2t5y0
xy5yt2yx0
2yx0x2
x0
22
xy5y0y1
y0
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、．
OP
0,02,1
故选：．
D
【方法技巧与总结】
合并参数
题型七：与圆有关的对称问题
例．（·全国·高二专题练习）已知圆关于直线对称的圆的方程为
382022
xyaxby10
22
xy1
xy1
22
，则＝．
ab
_______
【答案】
4
00，
，半径为，【解析】圆的圆心是坐标原点
1
xy1
22
00，
关于直线的对称点为，设
xy1
mn
，
mn
1
m1
22
则，解得，
n1
m
1
n
01,10，
关于直线对称的点的坐标为，所以点
xy1
因为圆关于直线对称的圆的方程为，
xyaxby10xy1
2222
xy1
所以圆关于直线对称的圆的方程为，即，
xy1xy2x2y10
2222
xy1
x1y11
22
所以，即．
ab2ab4
故答案为：．
4
例．（·江苏·高二课时练习）已知圆：关于直线＋－＝对称，且
392022Cx2y40
xyDxEy120
22
圆心在轴上，求圆的标准方程．
yC
DED
,)C(
在直线＋－＝上，即－－－＝．【解析】由题意知：圆心
x2y40E40
22
2
D
又圆心在轴上，所以－＝．
Cy0
2
由以上两式得：＝，＝－，则，
D0 E4
xy4y120
22
故圆的标准方程为．
C
x(y2)16
22
例．（·上海市第三女子中学高二期末）圆关于直线对称的圆的方程
402022
x2y15
xy0
为．【答案】
______
x1y25
【解析】圆的圆心为，半径为；
x2y15
2,1
5
圆心关于直线对称的点为，
2,11,2
xy0
所以所求圆的方程为．
x1y25
故答案为：．
x1y25
例．（·河北唐山·高二期中）点，是圆＝上的不同两点，且点，关
412022MN0MN
xykx2y4
22
于直线－＋＝对称，则该圆的半径等于（）
xy10
A B C3 D9
．．．．
22
【答案】
C
【解析】圆＝的标准方程为（＋）＋（＋）＝＋，
xykx2y4
22
0xy15
22
2
22
22
22
22
22
k
2
k
2
4
k
k
2
则圆心坐标为（－，－），半径为
1
r5
4
2
因为点，在圆＝上，且点，关于直线：－＋＝对称，
MN0MNlxy10
xykx2y4
22
所以直线：－＋＝经过圆心，
lxy10
k
所以－＋＋＝，＝．
110k4
2
所以圆的方程为：＝，圆的半径＝．
xy4x2y4
22
03
r5
故选：．
C
k
2
4
例．（·全国·高三专题练习）圆关于直线对称的圆的方程是
422022
xy2x4y40
22
xy10
（）
A
．
(x3)y16x(y3)9
2222
B
C
．
x(y3)16
22
D
【答案】
D
【解析】圆的圆心坐标为，半径为
xy2x4y40
22
(1,2)
3
设点关于直线的对称点为，
(1,2)xy10(m,n)
n2
1
m3
m1
，解之得
则
n0
m1n2
10
22
．
．
(x3)y9
22
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为则该圆的方程为
xy2x4y40
22
xy10
(3,0)
(x3)y9
22
，
故选：．
D
例．（·陕西渭南·高一期末）若圆与圆关于直线对称，则圆的方程
432022CC
x2xy0
22
xy0
为（）
A
．
x2xy0
22
B C D
【答案】
C
【解析】圆的标准方程为，其圆心为，半径为
x2xy0(x1)y1
2222
(1,0)
r1
因为关于直线对称的点为，所以圆的方程为
(1,0)xy0(0,1)
C
x(y1)1
22
即
x+y+2y0
22
故选：
C
例．（·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）
442022
x1y24
axby10
a0b0
对称，则的最小值为（）
22
．．．
xy2y0x+y+2y0x2xy0
2222
22
12
ab
B9 C4 D8
．．．
5
A
．
2
【答案】
B
【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
x1y24
1,21,2
axby10
因此，即，
a2b10
a2b1a0,b0
22
∠
12122b2a2b2a
a2b5529
，
abababab
2b2a1
ab
，即时取“”，当且仅当
=
ab3
12
所以的最小值为．
9
ab
故选：．
B
例．（·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（）
452022
2xy10
(xa)y1
22
a
A
．
B C1 D
【答案】
A
【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得
a,0
2a010
1
2
1
．．．
2
1
a
1
．
2
故选：A．【方法技巧与总结】
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
【同步练习】
一、单选题
12022
．（·安徽省宣城中学高二期末）已知直线
axby10(ab0)
过圆的圆心，
(x1)(y1)2022
22
则的最小值为（）
ab
22
A
．
B1 C D2
【答案】
A
【解析】由题意得圆心为（，），因为直线过圆心，
11
axby10(ab0)
所以，即，
ab1a1b
1
2
．．．
2
2
11
所以，
ab(1b)b2b2b12b
22
22222
2
所以当时，的最小值为．
b
故选：
A
1
1
ab
22
2
2
2 2022
．的圆的方程为（）（·北京十五中高二期中）经过三个点
0),B(23,0),C(0,2)A(0,
A
．
x3y12x3y12
C
．
x3y14
22
22
B
2
D
．
2
2
2
．
x3y14
【答案】
C
0),B(23,0),C(0,2)A(0,
分别在原点、轴、轴上，【解析】由已知得，
x
y
ABAC
，经过三点圆的半径为，
rBC230022
11
22
2
2
23002
,
圆心坐标为的中点，即，
BC
22
圆的标准方程为．
x3y14
3,1
2
2
故选：．
C
32022x
．（·江苏·高二单元测试）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分
5,3
圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）
x1y15
A
．
2x3y10
B
C
．
3x2y103x2y10
D
【答案】
A
【解析】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，
A
5,3
x1y15
B(1,1)
22
22
．
2x3y10
．
设是轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，
C(x,0)
x
x1y15
所以反射光线经过点，
B(1,1)
由反射的性质可知：，
kk00x
ACBC
k
BC
30101
5x1x2
22
于是，所以反射光线所在的直线方程为：
102
1
1()
3
2
21
y(x)2x3y10
，
32
故选：
A
42022
．（·全国·高二课时练习）由曲线与
yx
xy4
22
所围成的较小区域的图形面积是（）
π
A
．
B C D
4
【答案】
B
．．．
π
3π
4
3π
2
x,x0
yx
y
【解析】将化为，
x,x0
在同一坐标系中作出曲线与的图象（如图所示），
yx
xy4
22
1
两者所围成的较小区域（扇形）是圆的，
4
其面积为．
Sr
故选：．
B
22
52022
．（·江苏·高二单元测试）曲线
xy2x4y
围成的图形的面积为（）
11
2
ππ4=π
44
A8+10π B16+10π C5π D5
．．．．
【答案】
B
22
【解析】当时，曲线方程为，．
x0,y0
xy2x4y0
22
x1y25
2
由于在曲线上，
x,y,x,y,x,y,x,y
所以曲线关于轴、轴、原点对称，
x
y
由此画出曲线的图象如下图所示：
π1
故曲线围成的图形的面积为．
42451610π
22
故选：
B
62022
．（·河北保定·高二期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之
A
B
比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗
0
1
尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的
xOy
A4,0
B2,0
PP
轨迹的圆心坐标为（）
A B C D
．．．．
4,00,4
【答案】
A
【解析】令（，），则，两边平方并整理得：，
Pxy
∠40
圆心为（，）．
故选：
A
．
72022
．（·全国·高三专题练习）圆
x1y+22
关于直线：对称的圆的方程为
l
xy20
（）
A
．
x4y12x4y12x4y12
BC
222222
PA
PB
2
4,0
2,0
x4y2x2y
22
22
2
x4y16
2
22
．．
D
【答案】
A
．
x4y12
22
【解析】圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的
x1y+22
1,21,2
r2
l:xy20
22
点的坐标为，
a,b
b2
11
a4
a1
22
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为
x1y+22
l:xy20
b1
1ab2
20
22
4,1
，半径，
r2
22
所以对称圆的方程为；
x4y12
故选：
A
82022ab
．（·浙江金华·模拟预测）实数，满足，则下列说法正确的是（）
a2b4ab10
A B
．．
52a52
C D
．．
23b23
【答案】
B
【解析】由题知，即，
a2b4ab10
ab4ab4b2b14
即，则表示在，的坐标系下，圆心
(ab2)(b1)4(ab2)(b1)4
2222
xab
yb
坐标为，半径为的圆，表示的几何意义为圆上一点到原点的距离的平方，
(2,1)
2
a(ab)(b)
22
22
所以，
a(ab)(b)
22
(52),(52)
945,945
945a945
945b945
同理．
b(b)[0,9]
2
故选：．
B
二、多选题
92022
．（·江苏·高二单元测试）设圆的方程是
xaybab
22
，其中，，下列说法
a0
b0
中正确的是（）
A B
．该圆的圆心为．该圆过原点
a,b
Cx D
．该圆与轴相交于两个不同点．该圆的半径为
ab
22
【答案】
BC
22
【解析】由圆的标准方程可知：该圆的圆心坐标为，半径为，所以选项、不正确；
a,b
ab
22
AD
因为，所以该圆过原点，因此选项正确；
0a0bab
22
B
在圆的方程中，令，有
xaybab
22
y0
22
22
xababxaax2a
22
2222
，或，因为，
x0
a0
所以该圆与轴相交于两个不同点，因此选项正确，
xC
故选：
BC
102022
．（·全国·高二）设有一组圆
C
k
：，下列命题正确的是（）
(xk)(yk)4
22
(kR)
A
．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
k
C
0)(3，
B
．所有圆
C
k
均不经过点
2)(2，
的圆有且只有一个
C
k
C
．经过点
D
．所有圆的面积均为
4
【答案】
ABD
【解析】选项，圆心为，一定在直线上，正确；
AA
k,k
yx
0)(3，0)(3，
代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，
2k6k50
2
40
C
k
B
B
选项，将
正确；
2)(2，2)(2，
代入得：，其中，故经过点的圆有两个，故错
k4k20
2
16880
C
k
C
C
选项，将
误；
所有圆的半径为，面积为．
24
故选：
ABD
112022
．（·全国·高二课时练习）［多选题］若原点在圆
O0,0
xy2axa2a10
222
外，则的取
a
值可以是（）
A
．
2
B C1 D2
【答案】
BD
【解析】由题意，圆的方程可化为，由，解得
xy2axa2a10
222
xay2a1
2
2a10
2
1
．．．
2
3
a
1
，又由原点在圆外，可得，解得，
O0,0
xy2axa2a10
222
a2a10
2
a1
2
1
a1
或．所以实数的取值范围是：
a1
a
2
故选：．
BD
122022AB
．（·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点，的距离之比
为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，（－，
λλ≠1xOyA2
0B40P
），（，），点满足
PA
PB
＝．设点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ）
2
PC
1
ACx4
．轨迹的方程为（＋）
22
＋＝
y9
BxABDE
．在轴上存在异于，的两点，使得
PD
PE
＝
2
1
CABPPO∠APB
．当，，三点不共线时，射线是的平分线
DCM
．在上存在点，使得
MO2MA
【答案】
BC
【解析】在平面直角坐标系中，（－，），（，），点满足，设（，），则
xOyA20B40PPxy
1
=
PB2
PA
(x2)y
22
(x4)y
22
1
，化简得（＋）＋＝，所以错误；
x4y16A
22
2
假设在轴上存在异于，的两点，使得，设（，），（，），则
xABDEDm0En0
PD
PE2
1
(xn)y2(xm)y
2222
，化简得＋－（－）＋－＝，由轨迹的方程为＋
3x3y8m2nx4mn0Cxy
222222
＋＝，可得－＝－，－＝，
8x08m2n244mn0
22
解得＝－，＝－或＝－，＝（舍去），即在轴上存在异于，的两点，使，
m6n12m2n4xABDE
所以正确；
B
当，，三点不共线时，，
ABP
PD
PE2
1
OAPA
OB2PB
1
可得射线是的平分线，所以正确；若在上存在点，使得，可设（，），
PO∠APBCCMMxy
MO2MA
则有＝，化简得＋＋＝，与＋＋＝联立，方程组无解，故不
xy
22
2xy0xy8x0
(x2)y
22
2222
存在点，所以错误．
MD
故选：
BC
1616
x
＋
33
三、填空题
132022
．（·全国·高二专题练习）在圆
x2y32
上与点距离最大的点的坐标是
(0,5)
______
．
23，
【答案】
22
【解析】，点在圆外
025382
22
(0,5)
圆上与点距离最远的点，在圆心与点连线上，且与点分别在圆心两侧，
(0,5)(0,5)(0,5)
令直线解析式：，
ykxb
由于直线通过点和，可得直线解析式：，
(2,3)(0,5)yx5
与圆的方程联立，可得，或
x2x22
x3
x1
交点坐标为和，其中距离点较大的一个点为．
(3,2)(0,5)(3,2)
(1,4)
22
故答案为：．
(3,2)
142022
．（·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（文））过三点，，
0,0
4,0
1,1
的圆的方程是
______
．
【答案】
x2y313
【解析】由题，设，，，则的中垂线方程为，又和的中点
A0,0A0,0
B4,0
C1,1C1,1
AB
x2
11
为，且直线的斜率为，故直线的中垂线斜率为，故直线的中垂线方程为
,
ACACAC
1
1
22
yx
11
，即，故圆心的坐标为与的交点，半径，故圆的
yx1yx1
x2
2,3
r2313
22
22
22
22
方程为
x2y313
故答案为：
x2y313
1520223yx-3y0
．（·江苏·高二）已知半径为的圆的圆心到轴的距离等于半径，圆心在直线＝上，则此
圆的方程为．【答案】或
______
x3y19
x3y19
【解析】由题意，圆的半径为与轴相切，且圆心在直线上，
3
y
x3y0
设此圆的方程为，
(xa)(yb)9
22
22
22
22
a3b0
a3
a3
则，解得或，
a3
b1
b1
所以圆的方程为或．
x3y19
x3y19
故答案为：或．
x3y19
x3y19
16202219-
．（·江苏·高二专题练习）曼哈顿距离是由世纪著名的德国数学家赫尔曼闵可夫斯基所创的词
汇，用来标明两个点在标准坐标系中的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系中，点的曼哈
A1,3,B2,5
顿距离为．已知动点在圆上，点，则两点的曼哈顿距离的最大
12353
N
xy9
22
M3,4
M,N
值为．
__________
【答案】
732
【解析】设点，则两点的曼哈顿距离
N3cos,3sin
M,N
22
22
22
22
d33cos43sin33cos43sin732sin732
，
4
当且仅当时取等号，
2kkZ
3
4
所以两点的曼哈顿距离的最大值为．
M,N
732
故答案为：．
732
四、解答题
172022
．（·湖北·黄石市有色第一中学高二阶段练习）已知的三个顶点分别为
ABC
A(3,0)
，，
B(2,1)
C(2,3)
，求：
（）边上中线所在直线的方程；
1
BC
AD
（）边的垂直平分线的方程；
2
BC
DE
（）的外接圆方程．
3
ABC
【解析】（）设边的中点的坐标为，则，，
1
BC
D
(x,y)
x0
所以边的中线过点，两点，
BC
AD
A(3,0)
D(0,2)
由截距式得所在直线方程为，则直，即；（）直线的斜率
AD
2(2)
13
y2
2
2
311
xy
k
1
2x3y60
2
BC
1
222
32
线的垂直平分线的斜率，
BC
DE
k2
2
由（）知，中点的坐标为，
1
BC
D
(0,2)
由点斜式得直线的方程为，即；
DE
y22(x0)
2xy20
（）设的外接圆方程为，将，，，
3
ABC
xyDxEyF0
22
A(3,0)
B(2,1)
C(2,3)
93DF0
39
812
代入方程得，解得，，，
52DEF0
DE
F
77
7
132D3EF0
22
所以的外接圆的方程为．
ABC
xyxy0
81239
777
1820221
．（·湖南·株洲市五雅中学高二期中）已知圆的半径为，圆心既在直线
C
y2x4
上又在直线
yx1
上．求圆的标准方程；
C
【解析】根据题意，要求圆的圆心既在直线上又在直线上．
y2x4
yx1
y2x4
x3
则有，解可得，
y2
yx1
即圆心的坐标为，圆的半径为，
(3,2)
1
则圆的标准方程为；
C
(x3)(y2)1
22
192022
．（·全国·高二）直线过点且与直线
l
A1,2
2xy10
平行．
（）求直线的方程；
1
l
（）求圆心在直线上且过点、的圆的方程．
2
l
O0,0
B2,0
【解析】（）因为直线与直线平行，则直线的方程可设为，
1
ll
2xy10
2xyc0
又因为直线过点，所以，
l
A1,2
c0
所以直线的方程为；
l
y2x
（）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
2
l:y2x
a,2a
又因为该圆过点、，
O0,0
B2,0
所以有，解得，
a02a0a22a0
2222
a1
22
所以圆心坐标为，半径，
1,2
r10205
22
故圆的方程为．．（·全国·高三专题练习（文））已知点，圆
x1y25
202022
P2,2
C:xy8y0
22
，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．
P
l
C
A,B
AB
M
O
（）求的轨迹方程；
1
M
（）当时，求的方程及的面积
2l
|OP||OM|
POM
【解析】【解析】（）因为点和，故其中点坐标为，斜率为，
1
A1,0
B3,41,2
1
则线段的垂直平分线方程为：，即，
AB
y2x1
yx3
故可设圆的圆心为，则其标准方程为，
P
a,a3
xaya340
22
又其过点，即，解得或，
1,0
a1a340
a5a3
22
因为圆心在第二象限，故，即圆心坐标为，
a3
3,6
故圆的标准方程为：．
P
x3y640
（）点共有个，证明如下：
2Q2
因为，又直线方程为：，
AB130442
22
22
AB
yx1
若使得的面积为，设点到直线的距离为，
∠8
QAB
Q
AB
d
则，解得．
1
ABd8
d22
2
因为圆心到直线的距离为，
P
AB
361
2
42
故，，
21042222104222
根据圆的对称性可知，使的面积等于的点共有个．
∠8Q2
QAB
222022xOyBCx
．（·全国·高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知，为圆
22
＋＝上两点，点
y4A
（，），且，求线段的长的取值范围．
11AB∠ACBC
【解析】设的中点为，由可得
BC
M(x,y)
AB∠AC
|AM||BC||BM|
1
，
2
故，
|OB||OM||BM||OM||AM|
22222
113
22
所以，化简得，
4xy(x1)(y1)
2222
(x)(y)
222
11
6
为半径的圆，如图：
即点的轨迹是以为圆心，
M
N(,)
22
2
所以，
|AN|(1)(1)
22
112
222
6262
所以的取值范围是，
|AM|
[,]
2222
从而的取值范围是．
|BC|
[62,62]
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