高中数学新教材第一册2.3

2.3

二次函数与一元二次方程、不等式

运用一解一元二次不等式（无参数）

【例1】解下列不等式：

（）；（）；

12

3xx40 xx120

22

（）；（）．

34

x3x40 168xx0

22

（）（）－＋－＜；＋－＞

562x3x20x3x50



22

1

2

4

3

（）－＜－．

72x3x≤10

2

【答案】（）或或；

1

{x|x1x1}

x

}

；（）；（）

23

{x|3x4}

{x|x4

（4）

{x|x4}

.(5)(6)R(7)[－2，1)∪(2，5]



【解析】（1）由题意，不等式

3xx4(x1)(3x4)0

2

，则不等式的解集为或

{x|x1

x

}

；

（2）由题意，不等式

xx12(x4)(x3)0

2

，则不等式的解集为；

{x|3x4}

4

3

（3）由题意，不等式或；

x3x4(x4)(x1)0

2

，则不等式的解集为

{x|x4

x1}

（4）由题意，不等式；

168xx(x4)0

22

，则不等式的解集为

{x|x4}

（）原不等式可化为－＋＜，＝－－＝－＜，所以方程－＋＝无实根，又二次函

5x6x100Δ(6)4040x6x100

222

数＝－＋的图象开口向上，所以原不等式的解集为

yx6x10

2



（6）原不等式可化为2x－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x－3x＋2＝0无实根，又二

22

次函数y＝2x－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R

2

2





xx

①

32

（7）原不等式等价于，①可化为x－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1



2

2





xx

②

310

②可化为x－3x－10≤0，解得－2≤x≤5．故原不等式的解集为[－2，1)∪(2，5]

2

【思路总结】

解不含参数的一元二次不等式有以下种方法：

3

方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，

则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．

方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大

于或等于零，不等式的解集易得．

方法三：则采用求一元二次不等式解集的通法——判别式法．

【触类旁通】

1.

解关于

x

的不等式

(1)(3)x

x6x90

．－2x＋1<0(4)(4)4x－4x＋1≤6；

(2)3x8x40

2

22

【答案】(1)(2)

{x|x3}

{|2}

xx

2

2

(3)∅(4){x|x＝

1

}．

2

3

【解析】(1)∵函数轴有唯一的公共点（3，0），∴原不等式的解集为

yx6x9

2

的图象开口向上，且与

x

{x|x3}

．

(3)∵的图象开口向下，且与

3x8x40

2

，∴，∵函数轴的

(x2)(3x2)0

y3x8x4

2

x

交点为（2，0），（，0），∴原不等式的解集为

(3)方程x＝x＝1.

2

－2x＋1＝0有两个不同的解x

12

22

{|2}

xx

．

33

根据y＝x－2x＋1的图象(如图(3)所示)，可得不等式x－2x＋1<0的解集为∅.

22

11

(4)4x≤0，∴x＝}．

222

－4x＋1≤0，即(2x－1)，∴4x－4x＋1≤0的解集为{x|x＝

22

运用二解一元二次不等式（含参数）

【例2】(1)解关于x的不等式x＋(1－a)x－a＜0.

2

（）解关于的不等式：－＋；

2xxax1≤0(aR)

2



（3）解关于x的不等式：ax－(a－1)x－1＜0(a∈R)．

2

【答案】见解析

【解析】（1）方程x＋(1－a)x－a＝0的解为x＋(1－a)x－a的图象开口向上，则

22

12

＝－1，x＝a，函数y＝x

当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；

当a＝－1时，原不等式解集为∅；

当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．

（2）对于方程x－ax＋1＝0，其判别式Δ＝a－4＝(a－2)(a＋2)

22

当－2＜a＜2时，Δ＜0，方程无实根，不等式的解集为



若a＝－2时，Δ＝0，方程有两个相等的实根x

12

＝x＝－1，不等式的解集为{x|x＝－1}

若a＝2时，Δ＝0，方程有两个相等的实根x

12

＝x＝1，不等式的解集为{x|x＝1}

aa



2

4

x

12

，



2

当a＜－2或a＞2时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，不等式的解集为

aaaa

22

44

22

{x|≤x≤}

（3）原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)＜0，

当a＝0时，x＜1，

1

x＋

1

当a＞0时＜x＜1.

a

(x－1)＜0∴－

a

当a＝－1时，x≠1，

1

x＋

1

当－1＜a＜0时，或x＜1.

a

(x－1)＞0，∴x＞－

a

11

当a＜－1时，－＜1，∴x＞1或x＜－，

aa

综上原不等式的解集是：当a＝0时，{x|x＜1}；

1

x|－

＜x＜1

当a＞0时，；

a

当a＝－1时，{x|x≠1}；

当－1＜a＜0时，

x|x＜1或x＞－

1

a

.

1

x|x＜－

或x＞1

当a＜－1时，，

a

【思路总结】

解含参数的一元二次不等式时

（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数＞0，＝0，＜0；

aaa

（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(＞0)，一根(＝0)，无根(＜0)；

ΔΔΔ

（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：＞，＝，＜．

xxxxxx

121212

【触类旁通】

1解关于x的不等式：ax

2

－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．

【答案】见解析

【解析】若a＝0，原不等式可化为－x＋1＜0，即x＞1.

11

若a＜0，原不等式可化为(x－或x＞1.

)(x－1)＞0，即x＜

aa

1

若a＞0，原不等式可化为(x－

)(x－1)＜0.(*)

a

1

其解的情况应由与1的大小关系决定，故

a

(1)当a＝1时，由(*)式可得x∈∅；

1

(2)当a＞1时，由(*)式可得

＜x＜1；

a

1

(3)当0＜a＜1时，由(*)式可得1＜x＜.

a

1

综上所述：当a＜0时，解集为{x|x＜或x＞1}；

a

当a＝0时，解集为{x|x＞1}；

1

当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜

}；

a

当a＝1时，解集为∅；

1

当a＞1时，解集为{x|＜x＜1}．

a

2．当a为何值时，不等式(a

22

－1)x－(a－1)x－1<0的解集为R?

【答案】见解析

【解析】①当a－1＝0时，a＝1或－1.

2

若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．

1

若a＝－1，则原不等式为2x－1<0即x<，不合题意，舍去．

2

②当a－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是

2

a

2

－1<0，

Δ＝[－(a－1)]

22

＋4(a－1)<0.

解得－，＋∞).

31

5

<a<1.综上，a的取值范围是.∴原不等式解集为(－∞，a]∪[

－，1

3

5

a

运用三三个二次之间的联系

【例3】（1）已知关于的不等式的解集是，的值是（）

x

xaxb0

2

(2,3)

ab

ABCD

．．．．

77

11

11

（）（陕西高二期末（文））不等式的解集为，则不等式

22019·

axbxc0

2



4,1

bx1ax3c0



2



的解集为（）

A．B．









44

33

,11,

CD

．．







,1,1,,

44





33

【答案】（1）A（2）B

【解析】（）由题得，所以故选：

1a+b=7.A







23

a



(2)3



b

,1,6



ab

（）由题意知：是方程的两个解，代入方程得到

2

4,1

axbxc0

2









41

b



a



baca

3,4

，

a0









41

c

a

不等式

bx1ax3c03ax1ax34a0



22



可化为：





即故答案选

3x1x340



2



解得

x







1,

4



3

B

【思路总结】

1．一元二次不等式ax

22

＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根，

也是函数y＝ax＋bx＋c与x轴交点的横坐标．

2

2．二次函数y＝ax

22

＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax＋bx＋c＞0的x的值构

成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依

2

存、相互转化．

【触类旁通】

1．（2019·北京丰台二中高二期末）已知关于的解集为

x

的不等式，则等于

axxc0

2



x|1x2

ac

（）

B1CD3A

．．．．

3

1

【答案】

A

【解析】由题得、2为方程的根，将代入，

11

axxc0axxc0

22

得，即，故选：A.

a1c0ac1

2．（2019·藁城市第一中学高一月考）设，则关于

a1

x

的不等式的解集是（）

(1a)(xa)x0









1

a



1

(,a),





A

．





a

C．D．



a,,a,

B

．



a,





11

aa







【答案】D

【解析】a＞1时，1﹣a＜0，且a，

＞

1

a

1



1

＜

01axax



可化为（﹣）（）＞，则关于的不等式

0xaxx



a



a



解得或＞，所以不等式的解集为（﹣，）∪（，）．故选：．

xxa∞a+∞D

＜

11

aa

运用四恒成立问题

【例4】（1）（2019·江苏省天一中学高一期末）已知关于的不等式对任意恒成

x

kx6kxk80

2

xR

立，则的取值范围是（）

k

ACDB

．．或．或．

0k10k1

k0k0

k1

k³1

x

2

＋2x＋a

(2)已知f(x)＝

，对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

x

(3)当x∈(1,2)时，不等式x

2

＋mx＋4<0恒成立．则m的取值范围是________．

1

【答案】(1)A(2){x|－3＜x＜

}.(3)(－∞，－5]

2

【解析】当时，不等式为恒成立，符合题意；

(1)

k0

80

当时，若不等式对任意恒成立，

k0

kx6kxk80

2

xR

则

36k4k(k8)0

2

，解得；

0k1

当时，不等式不能对任意恒成立。

k0

kx6kxk80

2

xR

综上，的取值范围是.

k

0k1

x

2

＋2x＋a

(2)∵x≥1，∴f(x)＝≥0恒成立等价于φ(x)＝x

2

＋2x＋a≥0(x≥1)恒成立．又等价于当x≥1时，φ(x)的最

x

小值大于等于0恒成立．∵φ(x)＝(x＋1)＋a－1在x≥1上是增函数，∴φ(x)

2

min

＝φ(1)＝a＋3，∴a＋3≥0，∴

1

a≥－3.所求不等式的解集为{x|－3＜x＜

}.

2

(3)构造函数f(x)＝x

2

＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．

由于当x∈(1,2)时，不等式x＋mx＋4<0恒成立．

2

则有

f(1)≤0

f(2)≤0

⇔⇔⇔m≤－5.

1＋m＋4≤0

4＋2m＋4≤0

m≤－5

m≤－4

【思路总结】

一、求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法：

1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题，

设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，则

2

f(x)0a0Δ0f(x)≥0a0Δ≤0

＞恒成立＞且＜；恒成立＞且；



f(x)0a0Δ0f(x)≤0a0Δ≤0

＜恒成立＜且＜；恒成立＜且．



注：当未说明不等式是否为一元二次不等式时，先讨论a＝0的情况．

2,。将参数分离出来，利用等价转化思想转化为求函数的最值问题（转化为f(x)＞a或f(x)≥a

或＜或恒成立的问题）即：

f(x)af(x)≤a

（）存在成立

1

若f(x)在定义域内存在最大值m，则f(x)＜a恒成立a＞m；



若f(x)在定义域内存在最大值m，则f(x)≤a恒成立a≥m；



若在定义域内存在最小值，则＞恒成立＜；

f(x)mf(x)aam



若在定义域内存在最小值，则恒成立．

f(x)mf(x)≥aa≤m



（2）恒成立

在定义域上，不等式恒成立，则

D

f(x)m

mf(x)

max

，不等式能成立，则

f(x)m

mf(x)mf(x)

minmin

，不等式恒成立，则，不等式能成立，则

f(x)mf(x)m

mf(x)

max

．转化时要注意是求最大值还是求最小值．

【触类旁通】

1.若(m＋1)x

2

－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(－∞，－

13

)

11

【解析】由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，

原不等式可化为2x－6＜0，解得x＜3，不符合题意，应舍去；

当m＋1≠0时，由(m＋1)x－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，

2

则有解得m＜－

m＋1＜0，

Δ＝m－1

2

－12m＋1m－1＜0，

13

)．

11

13

.

11

综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－

（奎屯市第一高级中学高一月考（文））当．时，不等式

2019·2

xmx40

2

恒成立，则的取

m

值范围是（）

ABCD

．．．．

(,4]

【答案】

A

【解析】∵时，不等式恒成立，

(,5)(,5]

(5,4)

xmx40

2

∴，解得．故选．





140



m

m4

A

4240



m



）的不等式上有解，则（

3．（2019·浙江高一期末）设，若关于在区间

aR

x

xax10

2



1,2

A．B．C．

a2

【答案】

D

【解析】由题意得：当

0a2

a2

aa

55

22

D．



a22

或

a







0

5



或



当

5

aa

22

2



ff



1020

或



aa

或

2

2



当综上所述：

02a2

a

5

,D.

选

2

4．（2019·河北高二月考）已知不等式

2axax30

2

对任意的恒成立的的取值集合为，不

a[1,3]

x

A

等式取值集合为，则有（）

mx(m1)xm0

2

对任意的恒成立的

x[1,3]

m

B

A．

ACBBCA

RR

【答案】D

【解析】令的一次函数必单调，则，解得

fa2xxa3



，则关于

a



2

B．C．D．

AB

BA





f



30



3



a

或，

a1

2





f



10



即

A





,1,





3



2

又对任意的恒成立

mxxxm



1



2

又单调递减，故

y



x

1

xx

2



1

x



1

1

y1

max

，故，即

m>1

B1,



x

x

x[1,3]

2

xx



1

综上故选：D．

BA

1．（2019·天津市

新华中学）已知命题，命题，，则成立是成立的（）

p

:

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】

A

【解析】求解不等式可得，

11



q:xR

axax10

2

p

q

a

4

对于命题，当时，命题明显成立；

q

a0

11



0a4

a4



a



0

当时，有：，解得：，

a0



0a4

2



aa

40



即命题为真时，故成立是成立的充分不必要条件故选：

qq

0a4

p

.A.

（江西高二期末（文））如果方程的两个实根一个小于，另一个大于，．

2019·112

x(m1)xm20

22

那么实数的取值范围是（）

m

ACDB

．．．．

(2,2)

【答案】C

【解析】

fxx(m1)xm2



22

(2,1)(2,0)

(0,1)

因为方程

x(m1)xm20

22

的两个实根一个小于1，另一个大于1，

所以可作出函数的简图如下：

yfx



由图可得：，即：

f10



mm20

2

解得：故选：C

2m1

（宁夏银川一中高一期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范．

2019·a3

x(1,)(x1)(ax1)0

围为（）

ABCD

．．．．

1a1a1

【答案】

D

a1

a1

【解析】对任意，不等式恒成立

x1,





x1ax10

x10

即恒成立

ax10

ax10aa1



1

故答案为

D

x

（浙江高一期末）若不等式对实数恒成立，则实数．

2019·4

mx(m1)xm0

2

xR

m

的取值范围

（）

A．或

m<1

m

C．

mm

11

33

1

3

B．

m1

D．

1

【答案】C

【解析】由题得时，＜，与已知不符，所以

m0

x0m≠0.

当时，

m≠0

m0且(m1)4m0

22

，

所以

mm

11

.m.C

综合得的取值范围为故选：

33

（黑龙江牡丹江一中高二期中（文））不等式．

2019·5

axbxc0

2

的解集为（），则不等式

-4,1

b(x1)a(x3)c0

2

的解集为（）

A

．

(1,)



C

．

(,1)(,)(1,)



44

33

4

3

B

．

(,1)(,)



D

．

4

3

【答案】A

【解析】不等式ax

2

+bx+c＞0的解集为（﹣4，1），

则不等式对应方程的实数根为﹣和，且＜；

41a0

b





41





ba



3



a

由根与系数的关系知，，∴，



cca



4







41



a



∴不等式b（x

22

+1）﹣a（x+3）+c＞0化为3a（x+1）﹣a（x+3）﹣4a＞0，

即3（x，

2

+1）﹣（x+3）﹣4＜0，解得﹣1＜x

＜

∴该不等式的解集为（﹣1，）．故选：A．

4

3

4

3

6．（2019·湖北高一期中）已知不等式的解集为

(ab)x2a3b0



xx







3

，则关于的不等式

x

4

(a2b)x2(ab1)xa20

2

的解集为（）

22

或．

x1}

bb

22

C

．或

{x|x1

x3}{x|1x3}



bb

A

．

{x|x3x1}{x|3



【答案】B

D

．

B

【解析】根据题意，，变形可得，



abx2a3b0abx3b2a

又由不等式的解集为，



abx2a3b0



xx



则有且，

ab0







3

4

233

ab



ab



4

2

解得，则不等式

a3b0



a2bx2ab1xa20

等价为

bx4b2x3b20



．

2

2



x13

，解可得：

b

2

故不等式的解集为故选．

{x|3x1}



,B

b

（北京大学附属中学新疆分校高二期中（文））不等式．

2019·7

x2ax2a

2

当时恒成立，的

x1,





a

范围是。

_____________

【答案】

3a1

【解析】构造函数

fxx2ax2



，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.

xa

2

①当时，函数在区间上单调递增，

a1

yfx





1,



fxf12a3a



min

，

解得，此时；

a3

3a1

②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

a1

yfx1,aa,







所以，，解得，此时.

fxfa2aa



min

，即

aa20

2

2a1

1a1

2

综上所述，实数的取值范围是，故答案为：

a

3a13a1

.

（北京大学附属中学新疆分校高一期中）如果方程．

2019·8

axbxc0

2

的两根为和且，那么

2

3

a0

不等式的解集为____________．

axbxc0

2

【答案】或



x|2x3

(2,3)



b



231





ba





a

【解析】由韦达定理得，，代入不等式，





axbxc0

2



cac



6





236





a

得，，消去得，解该不等式得，

axax6a0

2

a0

a

xx60

2

2x3

因此，不等式的解集为或，

axbxc0

2



x|2x3



2,3

故答案为：或



x|2x3



2,3

.

（内蒙古高一期末（文））若存在实数，使不等式．

2019·9

x[2,5]

x2x5m0

2

成立，则的取值范

m

围是_______________.

【答案】；



5,

【解析】由题意存在，使得不等式成立，

x[2,5]

mx2x5

2

当时，

x[2,5]

x2x5(x1)4(21)45

222

，其最小值为，

∴．故答案为．

m5

(5,)

10．（2019·安徽毛坦厂中学高一期末（理））已知不等式

xxa0

2

的解集为或，则实



x|x3x2

数

a

__________.

【答案】

6

【解析】由题意可知，为方程的两根，则，即

2

3.

xxa0

2

23a

a6

故答案为：6

11．（2019·安徽高一期末）对任意实数恒成立，则实数

x

，不等式的取值范

(a3)x2(a3)x60

2

a

围是____．

【答案】

(3,3]

【解析】①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意

a3060

a3a3





a



30

②当，即时，不等式恒成立则需：

a30

a3



2



434360

aa







解得：综上所述：本题正确结果：

a3,3a3,33,3





（浙江高二期末）若，关于．

2019·12

x[1,1]

x

的不等式恒成立，则实数的取

x1ax2axa

322

a

值范围是___．

【答案】



0,

4

【解析】，

x[1,1]

x1ax2axa(x1)(xx1)a(xx1)a(xa1)

32222

即：

(xa1)(xx1a)0

2

恒成立



3



(x1)a(xx1)

maxmin

2

1333



3

x[1,1]x10,

xxxa

22

1()0

所以故答案为：



0,

2444



4

13．（2019·浙江高一期末）若关于________，_______.

x

的不等式的解集是，则

xaxb0

2

(1,2)

a

b

【答案】1-2

(2).-2【解析】由题得，所以a=1,b=-2.故答案为：(1).1





12

a



(1)2



b



14．（2019·上海市北虹高级中学高二期末）关于

x

的不等式的解集是，求实数的取值范

xkx90

2

R

k

围是_______.

【答案】



6,6

【解析】关于的不等式的解集为，∴△

xR=k

xkx90

2