圆与圆的位置关系

2.5.2 圆与圆的位置关系

【学习目标】

课程标准 学科素养

1.理解圆与圆的位置关系的种类.

2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法

判断两圆的位置关系.

3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.

1、直观想象

2、数学运算

3、逻辑推理

【自主学习】

1．圆与圆的位置关系

两圆相交 有 公共点

两圆相切 和 公共点

两圆相离 和 公共点

2.圆与圆位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为r，r，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如

12

下：

位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

图示

d与r，r的

12

关系

(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

消元



Δ＞0⇒相交，

圆C

1

方程





――→

一元二次方程



Δ＝0⇒内切或外切，

圆C

2

方程





Δ＜0⇒外离或内含.

思考：将两个相交的非同心圆的方程x＋y＋D

22

iii

x＋Ey＋F＝0(i＝1,2)相减，可得一直线方程，

这条直线方程具有什么样的特殊性呢？

1

【小试牛刀】

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( )

(2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( )

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( )

(4)若两圆有公共点，则|r－r|≤d≤r＋r.( )

1212

2．圆O：x：x

12

2222

＋y－2x＝0和圆O＋y－4y＝0的位置关系为( )

A．相离 B．相交 C．外切 D．内切

【经典例题】

题型一 两圆的位置关系

判断两圆的位置关系的两种方法

(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位

置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.

(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.

例1 已知圆C＋y－2ax－2y＋a－15＝0，圆C＋y－4ax－2y＋4a＝0(a＞0)．试求

12

：x：x

222222

a为何值时，两圆C，C的位置关系为：

12

(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．

[跟踪训练]1 已知圆C＋y－2x＋4y＋4＝0和圆C＋4y－16x＋8y＋19＝0，则这两

12

：x：4x

2222

个圆的公切线的条数为( )

A.1或3 B.4 C.0 D.2

题型二 两圆的公共弦问题

1．求两圆公共弦长的方法

一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；

二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．

2．过两圆的交点的圆的方程

2

已知圆C＋y＋D＋y＋D

11112222

：xx＋Ey＋F＝0与圆C：xx＋Ey＋F＝0相交，则过两圆交点的圆的方

2222

程可设为x＋y＋D＋y＋D

2222

111222

x＋Ey＋F＋λ(xx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)．

例2 已知两圆x＋y－2x＋10y－24＝0和x＋y＋2x＋2y－8＝0.

2222

(1)判断两圆的位置关系；

(2)求公共弦所在的直线方程；

(3)求公共弦的长度.

[跟踪训练]2 圆C＋y＝1与圆C＋y－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C

123

：x：x：

2222

25

(x－1)

22

＋(y－1)＝所截得的弦长为________.

4

题型三 两圆相切

处理两圆相切问题的两个步骤

(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨

论．

(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半

径之和(外切时)．

例3

错误!错误!错误!错误!

求半径为4，与圆(x－2)＋(y－1)＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方

22

程．

3

[跟踪训练]3 求与圆x＋y－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方

22

程．

【当堂达标】

1.已知两圆x

2222

＋y＝1和x＋y－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( )

A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

2.若圆x

2222

＋y－2x＋F＝0和圆x＋y＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，

则( )

A.E＝－4，F＝8 B.E＝4，F＝－8

C.E＝－4，F＝－8 D.E＝4，F＝8

3．已知圆C：(x－1)：(x＋2)

12

2222

＋(y－2)＝4，圆C＋(y＋2)＝9，则两圆的公切线条数是________．

4．已知两圆x

2222

＋y＝10和(x－1)＋(y－3)＝10相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．

5.若圆x

2222

＋y＝4与圆x＋y＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a＝________.

6．已知点P在圆O：x

2222

＋y＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)＋y＝1上运动，则|PQ|的最小

值为________．

7.已知圆C：x：x

12

222222

＋y－2mx＋4y＋m－5＝0，圆C＋y＋2x－2my＋m－3＝0，当m为何值

时，分别满足下列情况：

(1)圆C与圆C外切；

12

(2)圆C与圆C内含.

12

8．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x

22

＋y＝1相切，求圆C的方程．

4

【参考答案】

【自主学习】

外切 内切 外离 内含 两个 只有一个 没有

d＞r＋rd＝r＋r|r－r|＜d＜r＋rd＝|r－r| 0＜d＜|r－r|

12 12 1212 1212

思考：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆

的公共弦所在的直线．

【小试牛刀】

1. (1)× (2)× (3)× (4)√

2. B [圆O的圆心坐标为(1,0)，半径长r＝1；圆O的圆心坐标为(0,2)，半径长r＝2；1＝r

11222

－r

11212

<|OO|＝5<r＋r＝3，即两圆相交．]

【经典例题】

例1 [解]圆C＋(y－1)＝16，C＋(y－1)＝1，

1212

，C的方程，经配方后可得C：(x－a)：(x－2a)

2222

⇒圆心C(a,1)，C(2a,1)，半径r＝4，r＝1.⇒|CC|＝a－2a

121212

(1)当|CC|＝r＋r＝5，即a＝5时，两圆外切；

1212

当|C

1212

C|＝r－r＝3，即a＝3时，两圆内切．

(2)当3＜|CC|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．

12

(3)当|CC|＞5，即a＞5时，两圆外离．(4)当|CC|＜3，即a＜3时，两圆内含.

1212

[跟踪训练]1 D 解析 对两个圆的方程配方得圆C＋(y＋2)＝1及圆C

12

：(x－1)：(x－2)

222

111

＋(y＋1)＝，则圆心距d＝|C＋1＝2，1－，故两个圆相交，则这两个

222

422

12

C|＝1<2<1＋

圆的公切线有2条.

例2 解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则C＋(y＋5)＝50，C＋(y＋

12

：(x－1)：(x＋1)

222

1)的圆心坐标为(1，－5)，半径为r＝52，

2

＝10，⇒圆C

11

圆C

22

的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r＝10.

⇒|CC|＝25，r＋r＝52＋10，|r－r|＝|52－10|，

121212

⇒|r－r|<|CC|<r＋r，⇒两圆相交.

121212

5

22

＋1－1＝a.

(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.

(3)方法一由(2)知圆C的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝

1

35，

22

⇒公共弦长为l＝2r－d

1

＝250－45＝25.

|1－2×－5＋4|

＝

2

1＋－2

方法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组



x－2y＋4＝0，x＝－4，x＝0，



22

解得或



xy＝0y＝2，

＋y＋2x＋2y－8＝0，

⇒|AB|＝－4－0

22

＋0－2＝25.即公共弦长为25.

[跟踪训练]2 23 解析 由题意将两圆的方程相减，可得圆C

12

和圆C公共弦所在的直线l

|1＋1－1|

2

＝， 的方程为x＋y－1＝0.又圆C

2

1

22

＋1

3

的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d＝

22

2512323

设圆C－d＝－＝，所以弦长为2×＝23.

3

的半径为r，由条件知，r

4242

例3 [解] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16，

由圆与直线y＝0相切、半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．

已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.

由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.

⇒当圆心为C1(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，

故可得a＝2±210,故所求圆的方程为(x－2－210)＋(y－4)＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2

22

＝16.

⇒当圆心为C2(a，－4)时，

(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±26.

故所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.

综上所述，所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16或(x

－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.

[跟踪训练]3 [解] 已知圆的方程可化为(x－1)＋y＝1，则圆心为C(1,0)，半径为1.

22

设所求圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r2(r＞0)．

22

6





b＋3

×





－

3

＝－1，

由题意，可得解得或



a－3



3b＝－43，

|a＋3b|





2

＝r，

【当堂达标】

1. C

a－12＋b2＝r＋1，



a＝4，



b＝0，



r＝2



a＝0，





r＝6，

即所求圆的方程为(x－4)＋y＝4或x＋(y＋43)＝36.

2222



x

22

＋y－2x＋F＝0， ⇒

2. C解析



22



x

＋y＋2x＋Ey－4＝0， ⇒

E

F＋4

⇒－⇒可得4x＋Ey－F－4＝0，即x＋y－

44

＝0，

E





4

＝－1，

由两圆的公共弦所在的直线方程为x－y＋1＝0，得解得



F＋4





－＝1，

4



E＝－4，





F＝－8.

3. 3 [C(1,2)，r＝2；C(－2，－2)，r＝3，|CC|＝5，r＋r＝5，因此两圆外切．所以公切

11221212

线有3条．]

4.x＋3y－5＝0 [由两圆方程消去二次项得10－2x＋1－6y＋9＝10，即x＋3y－5＝0.]

1

5. 1 解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝

a

，圆心(0,0)到直线的距离为

1

d＝

a

＝2－3＝1，所以a＝1

22

6. 1 [O(0,0)，C(3,0)，两圆半径均为1，⇒|OC|＝3

22

＋0＝3，⇒|PQ|的最小值为3－1－1＝1.]

7.解 易得圆C：(x－m)：(x＋1)

12

2222

＋(y＋2)＝9，圆C＋(y－m)＝4.

(1)如果圆C与圆C外切，则m＋1

12

22

＋m＋2＝3＋2，

所以m＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.

2

（2）如果圆C＋m＋2

12

与圆C内含，则m＋1<3－2，

22

所以m＋3m＋2<0，解得－2<m<－1.

2

8. [解] 设圆C的半径为r，圆心距为d＝4－0

当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，

当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，

7

22

＋－3－0＝5，

⇒圆的方程为(x－4)

2222

＋(y＋3)＝16或(x－4)＋(y＋3)＝36.

8