小学数学比例

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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字： 签字日期：

学 员 编 号 ： 年 级 ：五年级 课 时 数 ：2

学 员 姓 名 ：徐正雅 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ：张丹丹

课 题 比例

授课日期及时段 2014.03.30 17：00——19:00

教 学 目 的 2、认识比例，理解比与比例的区别与练习。

重 难 点

1、复习比的基本概念和性质。

3、掌握正比例和反比例的概念，会分辨两个变量是成正比还是成反比。

认识理解正比例反比例

【趣味链接】

比家兄弟演武术。

这天，数学城的体育场上正在进进行武术表演。先上台的是“比”家两对兄弟。4：3和12：9，他们两人一

对，一前一后，在台上都了好长一段时间，不分上下。最后，大家看到的是等号陪着两个比：4：3=12：9。

此时，话筒传来了解说员的声音。“刚才表演的是„比变比例‟。”他告诉观众，“台上的两个比是相等的，他

们前项除以后项都得一又三分之一，两个相等的比，便可以组成比例。一个比只有前后两个项，而比例却有两个比、

四个项，有两个内项和两个外项。”

观众正聚精会神的端详着，等号拉着两个比，不停的迈开舞步。忽见他们身体一晃，霎时变成了：4×9=3×12.

大家仔细观察发现：4、9是两个外项，3、12是两个内项，他们的积都是36。众人恍然大悟：原来比例的两个外

项的积与两个内项的积相等啊！

听了这个故事，大家是否了解一些关于比例的知识呢？

【知识梳理】

一、基本概念

（1）两个数相除，又叫做这两个数的比，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数

叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。比的后项不能为0。

（2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），

分数的大小不变。乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。

（3）商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0除外），商不变。

（4）比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），它们的比值不变。

（5）小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。

（6）公因数只有1的两个数叫做互质数。

1

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最简整数比：比的前项和后项是互质数。

（7）比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。

（8）比例：①表示两个比相等的式子叫做比例。如：（3：4=9：12）。

比例有四个项，分别是两个内项和两个外项。在3：4=9：12中，其中3与12叫做比例的外项，

4与9叫做比例的内项。比例的四个数均不能为0。

（9）比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。

（10）比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位。

二、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两

个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．

引：什么是变化的量？

生活中存着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。

（1）用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例

关系可以用以下关系式表示：x/y=k （一定）

（2）正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车

每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？

（3）正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对

应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。如果用字

母x和Y表示两种相关联的量，用字母K表示它们的比值（一定），正比例的关系可以表示为：X÷

Y=k （一定）还可表示为：X=kY。正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，

比值不变．

路程

例如： = 速度

时间

速度 × 时间 = 路程

路程

= 时间

速度

路程（千米） 速度（千米 / 时）

100 100

80 80

60 60

40 40

20 20

0 0

5 10 15 20 时间（时） 5 10 15 20 时间

（时）

2

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当速度一定时，路程和时间成正比例关系

当路程一定时，速度和时间成反比例关系

当时间一定时，路程和速度成正比例关系

三、反比例：两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数

的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系．

（1）用字母表示：两种相关联的量，分别“x”和“y”表示，“k”表示不变的量，那么反比例关系

式是： xy=k（一定）

（2）反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一

种量则扩大，积不变． 例：图上距离一定，实际距离和比例尺是否成反比例． 因为实际距离

×比例尺=图上距离。所以，实际距离和比例尺成反比例．

（3）反比例意义：两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的

两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系． 用字母表示：两

种相关联的量，分别“x”和“y”表示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是： xy=k（一定）

反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩

大，积不变．

四、正比例和反比例的比较

相同点：两种量都是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．

不同点：两种量成正比例，是一种量扩大，另一种量也随着扩大，一种量缩小，另一种量也随

着缩小，它们扩大，缩小的规律是，这两种量相对应的两个数的比值不变，即商一定． 两种量

成反比例是一种量扩大，另一种量反而缩小。一种量缩小，另一种量反而扩大，它们变化的规律是

这两种量中，相对应的两个数积不变

。

共同点 不同点

两种量中相对应

正比例 两种量相关的两个数的比值

联，一种量（也就是商）一定

变化，另一即 Y/X = R（一定）

种量也随着

两种量中相对应

反比例 的两个数的积一

变化。

定

即 XY = R （一定）

【经典例题】

【例1】填空

1、在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，一个内项是0.5，另一个内项是（ ）。

3

＝乙数×60%，甲：乙＝（ ： ）。 2、甲数×

4

2

3、0.75：化成最简整数比是（ ）。

3

3

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4、甲数的是甲乙两数和的，甲乙两数的比是（ ）。

3

1

4

5

5、一车水果重1.8吨，按2：3：5的比例分配给甲、乙、丙三个水果店，乙水果店分得这批水果的（）。

6、已知一个比例的两个外项分别是3和，组成比例的两个比的比值是，这个比例是（ ）。

【例2】

判断．

11

42

1．一个因数不变，积与另一个因数成正比例．（ ）

2．长方形的长一定，宽和面积成正比例．（ ）

3．大米的总量一定，吃掉的和剩下的成反比例．（ ）

4．圆的半径和周长成正比例．（ ）

5．分数的分子一定，分数值和分母成反比例．（ ）

6．铺地面积一定，方砖的边长和所需块数成反比例．（ ）

7．铺地面积一定，方砖面积和所需块数成反比例．（ ）

8．除数一定，被除数和商成正比例．（ ）

【例3】

在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（ ），成反

比例关系是（ ）．

A．汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数．

B．汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数．

C．汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数．

【例4】

和一定，加数和另一个加数．（ ）

A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例

【例5】

把一堆化肥装入麻袋，麻袋的数量和每袋化肥的重量．（ ）

A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例

【例6】一块长方形的周长是28米，它的长和宽的比是4：3，这块地的面积是（ ）平方米。

A、192 B、48 C、28

【例7】 一个圆柱和一个圆锥体积相等，已知圆锥体和圆柱的高的比是9：1，圆柱体底面积和圆锥体底面积的比

是（ ）。

A、9：1 B、3：1 C、6：1

【例8】如果＝那么和（ ）。

6



5







4

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A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例

11

：组成比例的是（ ）。 【例9】下列各组比能与

56

11

A、5：6 B、6：5 C、：

65

【例10】求x：

12：＝3：：＝：：＝：15

2、1、 3、



4、13：7＝ 5、6：＝1：50% 6、

331141

4105496





1



21

12：＝：





5

1436

【例11】甲地到乙地的公路长392千米。一辆汽车3小时行了168千米。照这样计算，行完全还需要几小时？（用

两种方法解答）

【例12】印刷厂装订一批图书，原计划每天装订500本，30天完成；实际只用了25天就完成了任务，实际每天装

订多少本？（用比例方法解答）

5

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【课堂练习】

1、甲数比乙数多，甲数与乙数的比是（ ）

2

3

1

，另一个外项是（ ）。 一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是

8

甲、乙、丙三个数的平均数是15，甲、乙、丙三个数的比是2：3：4，甲数是（ ）。

2、如果a×5=b×8，那么a:b=（ ）。

11

：组成比例的比（ ）。 写一个能与

34

3、

判断题：

1、圆的面积和圆的半径成正比例。（ ）

2、圆的面积和圆的半径的平方成正比例。（ ）

3、圆的面积和圆的周长的平方成正比例。（ ）

4、正方形的面积和边长成正比例。（ ）

5、正方形的周长和边长成正比例。（ ）

6、长方形的面积一定时，长和宽成反比例。（ ）

7、长方形的周长一定时，长和宽成反比例。（ ）

8、三角形的面积一定时，底和高成反比例。（ ）

4、

(1)根据表格判断数量间的比例关系。

时间（小

2 3 5 7 8 „„

时）

路程（千

100 150 250 350 400 „„

米）

时间与路程( )。

A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例

（2）圆柱体底面积与高( )。

A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例

圆柱体

底面积

300 200 150 120 100 „„

（平方

分米）

圆柱体

高 2 3 4 5 6 „„

（分米）

年龄

2 3 4 5 6 „„

（岁）

身高（厘94 110 119 125 131 „„

6

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(3) 年龄与身高( )。

A.成正例 B.成反比例 C.不成比例

5、成反比例的量是（ ）。

米）

A、A和B互为倒数 B、圆柱的高一定，体积和底面积

C、被减数一定，减数与差 D、除数一定，商和被除数

6、做一批零件，甲需要4小时，乙需要3小时，甲与乙的速度比是（ ）。

A、4：3 B、5：4 C、3：4

7、互为倒数的两个数（ ）。

A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例

8、修路队修一条长120千米的公路，前4天修了20千米；照这样的速度，修完全路共需要多少天？（用比例方法

解答）

9、一个晒盐场用500千克海水可以晒15千克盐；照这样的计算，用100吨海水可以晒多少吨盐？（用比例方法解

答）

【课后作业】

1、学校购到一批书，按2：3：5借给四、五、六三个年级。四年级借到这批书的（ ）%。

7

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把3克盐放入12克水中，盐与盐水重量的最简整数比是（ ）。

把（5平方米）：（50平方分米）化成最简整数比是（ ），它们的比值是（ ）。

请你写出一个比例，使它的两个外项互为倒数：（ ）。

把一个比化成最简整数比是3：2，这个比有可能是（ ）。

一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是314，另一个外项是（ ）。

2、如果与互为倒数，那么a、b、c、d这四个数写成比例是（ ）。

bd

ac

3、a÷b=c，当c一定时a和b（ ）；当a一定时b和c（ ）；当b一定时a和c（ ）。

A. 成正比例 B. 成反比例

4、

判断对错

（1）路程一定，速度和时间成正比例。 （ ）

（2）一堆煤的总量不变，烧去的煤与剩下的煤成反比例。 （ ）

（3）花生的出油率一定，花生的重量与榨出花生油的重量成正比例。 （ ）

（4）平行四边形的面积不变，它的底与高成反比例。 （ ）

5、一批产品，合格产品与不合格产品的比是4：1，这批产品的不合格率是（ ）

A、25% B、20% C、10%

6、在同一个圆里，周长与直径（ ）。

A、成正比例 B、成反比例C、不成比例

7、一个三角形内角度数的比是7：2：1，这个三角形是（ ）。

A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形

8、表示与成正比例关系的式子是（ ）。





A、＝6 B、＝6 C、＝＋6





9、路程一定，速度和时间（ ）。

A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例

10、的5倍与的3倍的比是1：2，那么与的比是（ ）。







A、3：10 B、10：3 C、3：5

11、一项工程，甲队独做要8天完成，乙队独做要6天完成。甲队和乙队的工作效率比是（ ）。

A、8：6 B、4：3 C、： D、：

1111

8668

12、两个圆的直径比是1：2，周长比是（ ）。

A、1：2 B、1：4 C、1：8

8

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13、下列各题中的两种量是否成什么比例，并用文字列等式说明理由。

（1）买相同的电脑，购买的电脑台数与总价

（2）每捆练习本的本数相同，练习本的总本数与捆数

（3）总路程一定，已行的路程与未行的路程

（4）分数值一定，分数的分子与分母

（5）长方形的长一定，它的面积和宽

（6）长方体的体积一定，底面积和高

（7）一本书的总页数一定，看的天数与平均每天看的页数

（8）圆的周长和直径

（9）订阅《扬子晚报》，订的份数与总价

（10）小麦的出粉率一定，小麦的质量与面粉的质量

（11）六（1）班同学做操，每排站的人数与排数

9

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14、泸西县水泥厂5天生产水泥320吨。照这样计算，要生产6400吨水泥，需要多少天完成？（用两种方法解答）

15、甲、乙、丙三个同学体重总和是110千克，他们的体重比是6：9：7。最重的一个同学达多少千克？

16、盖一幢职工宿舍。计划使用6米长的水管240根。后来改用8米长的水管，共需要多少根？（用两种方法解答）

17、求未知数



1、 3、6.5：＝3.25：4 2、



25754

＝425：＝：

1.21





10

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627：＝15：：＝：0.8：＝：

6、 4、 5、







7、 9、 8、

4：＝15：＝：

11125

810439

241

32596



3＝0.5：5：





【课后反馈】

本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________

本次课后作业：___________________________________________________________________________________

需要家长协助：____________________________________________________________________________________

家长意见：________________________________________________________________________________________

【参考答案】

【课后作业】

1、20，1:5, 100:1, 100, 3:5=： ，9:6， 2、b:a=c:d 3、A B A 4、× × √ √

11

1

53

314

5、B 6、A 7、A 8、B 9、B 10、A 11、C 12、A 13、（1）成正比例，总价=电脑台

数×单价 （2）成正比例，练习本的总本数÷捆数=每捆练习本的本数 （3）不成比例 总路程=已行的路程

+未行的路程 （4）成正比例，分数的分子÷分母=分数值 （5）成正比例，长方形的面积÷宽=长 （6）成

反比例，长方形的体积=底面积×高 （7）成反比例，总页数=看的天数×平均每天看的页数 （8）成正比例，

圆的周长=圆周率×直径 （9）成正比例，总价=份数×单价 （10）成正比例，小麦的质量×小麦的出粉率=

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面粉的质量 （11）成反比例，每排站的人数×排数=全班人数14、100天 15、45千克 16、180根 17、（1）

0.4 （2）400 （3）8 （4） （5）3.2 （6）1 （7）150 （8）0.3 （9）40

1

5

12