数学史论文高斯

高斯对数学的主要贡献

数学科学学院 数学与应用数学

李娜 2

指导教师 套格图桑

摘 要 正如莱布尼茨所说：“不学习数学史就不能正确的了解数学这门学科的发展。”学习数

学史能够正确的认识到数学是什么；数学的发展过程；数学的研究领域以及数学与其他学科

的交叉；数学在人类文明过程中的作用。数学是一门基础学科，但它研究的范畴横跨了整个

自然学科，毫不夸张的说，没有数学就没当今的文明。因此，数学史是每一学习者的必修课

程。

关键词 高斯；十七边形作图；最小二乘法；贡献

高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变

函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、

大地测量学和磁学的研究，发明了“最小二乘法原理”。高理的数论研究

总结在《算术研究》中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方

面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。高斯对代数学

的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新

途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，

建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双

周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了《关于曲

面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴

曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。 高斯一生共发表155篇论文，

他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。1820

到1830年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他写

了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪。为了要对地

球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。高斯和韦伯一起从

事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯

引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯

的思考工作方法。以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机，设立磁

观测站，写了《地磁的一般理论》，和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，

而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。他的著作还有《地磁概念》和《论

与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。

1.高斯的背景

1.1高斯简介

高斯（,1777—1855年）德国数学家、物理学家和天文学家。高

斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学

领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方

法乃至所取得的具体成就方面，他都是18、19世纪之交的中坚人物。德国数学

家F.克莱因曾经这样说过：“如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山

峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想

象为一条条江河，那么其源头就是高斯。”高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史

以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿

基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。

1.2高斯的生平简介

高斯1777年4月30日出生于德国布伦兹维克的一个贫苦农民家庭。幼时家

境贫苦，聪敏异常。他很幸运，有一位鼎力支持他成才的母亲，高斯的母亲对他

的才华极为珍视。1784年，7岁的高斯上学了。

1787年，高斯10岁，他进入了学习数学的班次。那时的高斯已经表现出了

非同一般的创造力与计算能力。高斯的计算能力，更主要的是高斯独到的数学方

法和非同一般的创造力，使得他的数学老师布特纳对他刮目相看。他们一起学习，

互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。

1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极

好，特别是古典文学、数学尤为突出。经过引见，布伦兹维克公爵召见了14岁

时的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，从此，公爵成

为了高斯继续学习的资助人。1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续

学习。此时，15岁的高斯就思考过第五公设问题。

1795—1798年，在公爵的资助下，已打下良好基础的高斯在格丁根大学学

习。高斯在那里受到系统而严格的科学教育，很快就脱颖而出，作出了名扬世界

的一系列重大贡献。1795年，18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。

1796年3月，19岁的高斯就发现正十七边形的尺规作图法（阿基米德与牛顿均

未画出），并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而

未决的问题，为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一

次重要补充。

1799年，高斯完成了博士论文。1801年高斯的著作《算术研究》问世。这

本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不

可多得的经典著作之一。

1807年，高斯赴哥丁根就职。任哥丁根大学数学教授和天文台台长。1820

到1830年间，高斯发明了日观测仪(Heliotrope)。为了要对地球表面作研究，

他开始对一些曲面的几何性质作研究。1827年他发表了《曲面的一般研究》 ，

涵盖一部分现在大学念的《微分几何》。1833年，构造了世界第一个电报机。1833

年，和物理学家韦伯共同建立地磁观测台，组织磁学学会以联系全世界的地磁台

站网。1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极

和磁北极的位置。 1841年美国科学家证实了高斯的理论，找到了磁南极和磁北

极的确实位置。1855年2月23日在哥廷根逝世，终年78岁。

2高斯对数学的贡献

2.1尺规做正十七边形

用直尺圆规作正多边形是历史遗留下来的一个“老大难”，欧几里得几何的公

设里承认直线和圆存在。使用尺规可以作正三角形，可以作正四边形、正五边形、

正十五边形，以及通过反复二等分这些正多边形的边所得的一系列正多边形。例

如由正三角形通过二等分边可以得到正六边形，再得到正十二边形，等等。自然

就会提出这样的问题：能不能用尺规作正七边形、正九边形、正十一边形、正十

三边形、正十七边形或正十九边形呢?历史上多少著名的学者，为了回答这个问

题，作过种种尝试，倾注了无数的心血。结果都无一例外地失败了。

前人的失败激起他不可遏止的热情，高斯意识到，要摸鱼，首先要弄清哪些

地方有鱼通过反复尝试，他巧妙地将尺规作图的几何问题化为一个代数方程，这

就解决了“哪里有鱼”的问题。在这里高斯创造了把问题由一个领域(几何学)

转移到另一个领域(代数学)来解决的第一个例子。高斯在后来的研究中多次采用

这类方法。他证明了：使用尺规所能作出的边数为奇数的正多边形，它的边数必

定是费马素数或不同费马素数的乘积。这就是说，可以用尺规作出边数是3，5，

17，257，65537，…或者边数是它们的乘积的正多边形，但是不能作正七、九、

十一、十三或十九边形。

2.2最小二乘法

1795年，18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。高斯使用的最

小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。

最小二乘法的定义：最小二乘法指在残差满足VPV为最小的条件下解算测量估值

或参数估值并进行精度估算的方法。其中V为残差向量，P为其权矩阵。

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的

平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，

并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用

于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来

表达。最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数

据的最佳函数匹配。

2.3高斯的正态分布

一般地，通过对足够多的测量数据的处理，可以得到一个新的、概率性质的

测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得

到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯

分布），并在概率计算中大量使用。

正态分布的定义：定义1：概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见

的一种分布。该分布由两个参数——平均值和方差决定。概率密度函数曲线以均

值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。定义2：一种最常见的连续

性随机变量的概率分布。

正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概

率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期

望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的

期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因

此人们又经常称之为钟形曲线。我们经常说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1

的正态分布。

2.4三角形全等定理

高斯在计算的谷神星轨迹时总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方

程必有n个复数解。在他的第一本著名的著作《数论》中，作出了二次互反律的证明，成为

数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理的概念。

2.5神秘的小星

在新世纪的元旦，西西里岛天文台台长、意大利天文学家皮亚

齐(1746—1826)发现一颗小星正朝着太阳方向移动。当时的哲学家们认为，太阳

系除了现有的7颗行星(水星、金星、地球、火星、木星、土星和天王星)以外，

不存在别的行星。因为在他们看来，7是一个具有特殊含义的数字。哲学家黑格

尔就这样断言：“正好是7颗。一颗不多，一颗不少。再找是白费时间。”

但是，提丢斯的法则有一定指导意义，而根据这条法则，在距离太阳260 000

000英里处附近应该存在一颗行星。他们怀着这种信念，苦苦寻找，搜索一无所

获。现在决定性时刻到了!这桩旷日持久的公案眼看就要解决。不料横祸飞来：2

月21日皮亚齐突然病倒。观察被迫中断。他在病床上挣扎着把观察结果写信通

告欧洲同行。可是，事不凑巧，这时正值拿破仑远征埃及，地中海已经被英国舰

队严密封锁。等到欧洲的天文学家们得知这个姗姗来迟的消息，小星已经靠近太

阳，消失在太阳的耀眼的光芒之中!可是要发现这个行星谈何容易，望远镜根本

找不到，计算工作量竞庞大到这种程度，不但许多数理天文学家望而却步，即使

是20世纪30年代的计算机也深感力不从心。难怪牛顿把它列为数理天文学中最

困难的问题之一。

大家不约而同地把期待的目光转向高斯。复杂的计算的确是高斯一向的爱好

和罕见的特长。在他的著作中，复杂的计算比比皆是。三角函数表、对数表等各

种数表他无须查阅，因为他能背出所有这些数的前几位数字。使用有错误的表格

反而使他高兴，因为这使他得到有趣的消遣——修正表格中的错误!毫无疑问，

再没有人比高斯更胜任这一重任。在生活上长期受他们关心照顾的高斯不愿使他

们失望，他怀着不胜留恋的心情卷起他数论研究的宏伟蓝图，投身到浩如烟海的

天文计算之中。轨道果然计算出来。正好经过一年，1801年的元旦，高斯的朋

友，德国天文学家奥伯斯，在高斯计算的轨道上重新找到这颗调皮的小星——谷

神星。不久智神星和其他姐妹小行星也被紧盯着的望远镜先后找到。这种轨道的

计算在上一世纪曾经花了欧拉3天时间(有人说他的一只眼睛就是因此失明的)，

经过高斯改进，现在只需要辛苦几个小时。高斯使它成为一种方法，一种固定的

程序，只需3个观测数据(包括时间和位置)，轨道就可以计算出来。这就是至今

仍在轨道计算中应用的高斯方法，稍加改进就完全可以适用于现

代计算机。

2.6高斯的《算术研究》

1801年高斯的著作《算术研究》问世。这部书是高斯大学毕业前夕开始撰写

的，前后花了三年时间。在这本书的序言一开头，高斯明确地说明了本书的范围：

“本书所研究的是数学中的整数部分，分数和无理数不包括在内。”

《算术研究》是一部划时代的作品，它结束了19世纪以前数论的无系统状

态。在这部书中，高斯对前人在数论中的一切杰出而又零星的成果予以系统的整

理，并积极加以推广，给出了标准化的记号，把研究的问题和解决这些问题的已

知方法进行了分类，还引进了新的方法。全书共有三个核心课题：同余理论、齐

式论及剩余论和二次互反律。这些都是高斯贡献给数论的卓越成就。

在《算术研究》中，高斯出乎寻常的以最大的篇幅讨论了型的理论。他从拉

格朗日的著作中抽象出了型的等价概念后，便一鼓作气地提出了一系列关于型的

等价定理和型的复合理论，他的工作有效地向人们展现了型的重要性——用于证

明任何多个关于整数的定理。正是由于高斯的带领，使型的理论成为19世纪数

论的一个主要课题。高斯关于型和型类的几何表式的论述是如今所谓数的几何学

的开端。

高斯对数论问题的处理，有许多涉及到复数。首先是对复数的承认，这是个

老问题。18、19世纪不少杰出的数学家都曾被“复数究竟是什么？”搞不清楚。

莱布尼兹、欧拉等数学大师对此一筹莫展。高斯在代数基本定理的证明中无条件

地使用了复数。这使得原先仅从运算通行性这点考虑对复数的承认，扩大到在重

大的代数问题的证明中来确认复数的地位。高斯以其对该定理的高超证明，使数

学界不仅对高斯而且对复数刮目相待。高斯不仅如此，他又把复数带进了数论，

并且创立了复整数理论。在这一理论中，高斯证明了复整数在本质上具有和普通

整数相同的性质。欧几里得在普通整数中证明了算术基本定理——每个整数可唯

一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数中得出并证明，只要不把四个可逆元素

（±1，±i）作为不同的因数，那么这个唯一分解定理对复数也成立。高斯还指

出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能转化为复数的定理（扩大

到复数领域）。

《算术研究》出版后，很多青年数学家纷纷购买此书并加以研究，狄利克雷

（1805—1859）就是其中之一。狄利克雷是德国著名数学家，对分析、数论等有

多方面的贡献。他把《算术研究》视为心爱的宝贝。狄利克雷第一个打开了“七

道封漆”。后来他以通俗的形式对《算术研究》作了详细的介绍和解释，使这部

艰深的作品逐渐为较多的人所理解和掌握。

3评价

高斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新

的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风

格、方法乃至所得到的具体成就方面，他都是18—19世纪的中坚人物。如果我

们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的

巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高

斯。

4高斯对于我们的影响：

将来作为数学教师的我们，对于数学的教学应该有怎样的体会呢？我觉得我们要教的是

方法，善于对孩子们的引导，善于让孩子们自己思考，善于观察孩子们的特点，遵循其发展

的特点，让他们各尽其才。

高斯的经历对于我们来说，成功的道路就是持之以恒，

对于数学的兴趣要浓厚，对于真知，我们要经过反复的实践，数学就犹如漫天的

星辰，浩瀚无垠，对于问题的探索性就看我们自己，一定要保持一个好奇心，才

能作出大的学问。

参考文献：

[1]朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]《数学问题》,希尔伯特，大连理工大学出版社(2009) .

[3] 《古今数学思想》，克莱因，上海科学技术出版社(1979) .

[4] 《数学史概论》，李文林，高等教育出版社(第三版) .

[5] 《一个数学家的经历》，乌拉姆，上海科学技术出版社.