2023学年江苏高二上学期数学教材同步教学讲义1

1.1

直线的斜率与倾斜角

【知识点梳理】

知识点一：直线的倾斜角

平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合

xx

时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.



规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．

x

0

0180



知识点诠释：

1.要清楚定义中含有的三个条件

①直线向上方向；

②轴正向；

x

③小于的角.

180

2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.

x

3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.



01800





4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.

5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线

的位置.

知识点二：直线的斜率

1．定义：

倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．

90

kktan



知识点诠释：

(1)当直线与x轴平行或重合时，，；

l



0ktan00

(2)直线与x轴垂直时，，k不存在.

l



90

由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.

l



2．直线的倾斜角与斜率之间的关系



k

由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线



(0,90)(90,180)

的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾



090



斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角

90





0,90

(90,180)



越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大





0,90

(90,180)

小即可，反之亦然．

知识点三：斜率公式

已知点、，且、的直线的斜率公式与轴不垂直，过两点

P(x,y)P(x,y)(x,y)P(x,y)P

111222111222

PP

12

x

k

yy

21

.

xx

21



知识点诠释：

1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：

(1)当

xx

12

时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；



90

x

(2)与

k

Px

11

、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能

Pyyx

2122

交换；

(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

k

(4)当

yy

12

时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；

k00



x

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：

(1)由

P

1

、点的坐标求的值；

P

2

k

(2)已知及

k

x,y,x,y

1122

中的三个量可求第四个量；

(3)证明三点共线.

【题型归纳目录】

题型一：直线的倾斜角与斜率定义

题型二：斜率与倾斜角的变化关系

题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数

题型四：直线与线段相交关系求斜率范围

【典型例题】

题型一：直线的倾斜角与斜率定义例．（全国高二课时练习）下列说法中正确的是

1

2022··( )

A

．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大

B

．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角



C

．和

x

轴平行的直线，它的倾斜角为



D

．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率

例．（多选题）（江苏高二）下列四个命题中，错误的有（）

2

2022··

A

．若直线的倾斜角为，则



sin0



B

．直线的倾斜角的取值范围为



0



C

．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为



tan



D

．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

tan





例．（江苏高二）下列命题中，错误的是．（填序号）

3

2022··______

①若直线的倾斜角为，则；





(0,)

②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；

③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．



tan



例．（全国高二课时练习）当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为．

4

2022··lxl______

【技巧总结】

（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②轴的正方向；③小于平角的正角．

x

（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于轴正方向的倾斜程度．

x

（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；

倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．

（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺

一不可．

题型二：斜率与倾斜角的变化关系

例．（江苏高二）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（）

5

2022··

l

1

ll

23

kk

11

kk

22

kk

33

A

．

kkk

123

C

．

kkk

213

B

D

．

kkk

132

．

kkk

321

例．（北京市十一学校高一阶段练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取

6

2022·

ll

k

3k1



值范围是（）



π2ππ3π

A

．



0,,π0,,π



B



4364



π2π

C

．



,



D



43



．









π3π

．



,





34

例．（全国高二期中）若过两点、的直线的倾斜角为，则＝．

7

2022··60°y______

A(0,y)

B(23,3)

例．（全国高二课时练习）已知直线经过、（）两点，求直线的倾斜角的取值

8

2022··ll

A(2,1)

B(1,m)

2

mR

范围

.

例．（江苏高二）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，求直线的斜率

9

2022··2.

ll

11

2

ll

22

【技巧总结】

由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线



(0,90)(90,180)

的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾



090



斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角

90





0,90

(90,180)

越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大





0,90

(90,180)

小即可，反之亦然．

题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数

例．（江苏高二）已知三个不同的点

10

2022··

A2,a



､､

Ba1,2a1C4,1a



在同一条直线上，则实数

a

的值为

___________.

例．（全国高二课时练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若直线的斜率，

11

2022··

A



3,4

B

AB

k4

AB

求点的坐标．

B

例．（江苏高二课时练习）已知直线的斜率，且，，是这条直线上的

12

2022··

k2

A3,5



Bx,7



C1,y



三个点，求实数和的值．

xy

例．（江苏高二）经过两点的直线的斜率为（）

13

2022··,

A(0,1)

B(2,4)

33

A

．

B C D

22

52

．．．

25

1





例．（江苏高二）若三点共线，则的值为．

14

2022··a_________

A(2,2),B(a,0),C(0,6)

例．（上海市控江中学高二期中）设，若直线经过点､，则直线的斜率是

15

2022·ll

aR

A(a,2)

B(a1,3)

___________.

【技巧总结】

由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等．



斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线

x

上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．

题型四：直线与线段相交关系求斜率范围

例．（江苏高二）已知过点的直线与以点，为端点的线段相交，则直线

16

2022··lAB



0,2

A3,1



B2,5



l___________.

的斜率的取值范围为

例．（江苏高二）若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围

17

2022··

M(x,y)

y2x8

x2,5



是．

______

例．（江苏高二）过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的

18

2022··

P(0,1)

ll

A(3,2)

B(2,3)

AB

倾斜角的取值范围．



例．（全国高二课时练习）已知点，，若直线过点，且与线段相交，

19

2022··l

A2,3



B3,2P1,1





AB

则直线的斜率的取值范围为（）

lk

A

．

k

3

或．

k2

B

4

2y1

x1

k1

C D

．．

1k2

3

k2

4

例．（江苏高二）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜

20

2022··

A2,3B3,2



ll

P1,1



AB

率的取值范围是（）

k

133

A

．

4k4kk4

B C D

444

【技巧总结】

1

．或．．

k4

k

4

直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线

的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定

点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑．

一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的

A(x,y)

11

B(x,y)P(x,y)

2200

PP

x

ll



斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两

kkk

ll



ABAB

kkkk

PAPBPAPB

边．

【同步练习】

一、单选题

12022··ax+y+2=0AB

．（广东华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点，，若直线与线段

A2,3B3,2



有交点，则的取值范围是（）

a

5445



A

．



,,,,



B C D

2332





45

．．．



,



32



54



,



23

22022··l

．（全国高二课时练习）若直线经过第二三四象限，其倾斜角为

､､



，斜率为，则（）

k

A B

．．

ksin0



C D

．．

ksin0



kcos0



kcos0



32022··

．（四川高二期末）过点和的直线斜率为（）

P2,1



Q3,4



1

A

．



B C3 D-3

3

1

．．．

3

42022··

．（陕西咸阳高一期末）已知三条直线

l

1

，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为若

ll

23

k

1

k

2

k

3



,,

.





，则下列关系不可能成立的是（）

A

．

kkkkkkkkkkkk

312123231321

B C D

．．．

52022··

．（黑龙江哈尔滨市第一六二中学校高二期末（文））一直线过点

(0,3),(3,0)

，则此直线的倾斜角为

（）

A45° B135° C45° D135°

．．．－．－

62022··

．（湖北监利市教学研究室高二期末）已知点，若直线与线段

A2,3,B2,1



l:ykx12

没有公共点，则的取值范围是（）

k



1

A

．



,5

B



3

AB

1



．



,

3



1



DC

．．



,5,





3





5,

72022··

．（全国高三专题练习）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率

A4,3



B2,2



ll

P1,1



AB

k

的取值范围是（）

A B

．或．或

k1k1

k4

4

k

C D

3

．．

4k1

4

k1

3

82022··

．（辽宁葫芦岛高二期末）已知直线

ll

11

的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线

115°

ll

22

的斜率为（）

A1 B

．－．



3

C D1

3

．．

3

3

二、多选题．（江苏高二）直线过点且斜率为，若与连接两点，的线段

92022··lk

P1,2B3,2



A1,3



有公共点，则的取值可以为（）

k

A B1 C2 D4

．．．．

2

102022··

．（江苏高二）设直线过原点，其倾斜角为

l



，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到

l

45

直线，则直线的倾斜角为（）

ll

11

A B C D

．．．．



45

45





135

135

112022··()l(0 0)l

．（江苏高二课时练习）多选如果直线过原点，且不经过第三象限，那么的倾斜角



可能

是（）

A0° B120°

．．

C90° D60°

．．

122022··

．（全国高二课时练习）颗粒物过滤效率



是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为



100%

CC

outin

，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：），表示经口罩

CC

outin

ind./L

C

out

过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类

ind./L

型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第种口罩第

4ij

A

ij

次测试时的值，纵坐标表示第种口罩第次测试时的值（，）．

CC

outin

ij

i1,2

j1,2,3,4

该研究小组得到以下结论，正确的是（）

A243

．在第种口罩的次测试中，第次测试时的颗粒物过滤效率最高

B144

．在第种口罩的次测试中，第次测试时的颗粒物过滤效率最高

C12

．在每次测试中，第种口罩的颗粒物过滤效率都比第种口罩的颗粒物过滤效率高

D3412

．在第次和第次测试中第种口罩的颗粒物过滤效率都比第种口罩的颗粒物过滤效率低

三、填空题

132022··______

．（全国高二课时练习）已知三点，，．

A1,2



B3,4



C5,y



共线，则

y





2

142022··l

．（全国高二课时练习）当直线的倾斜角



,,





时，则直线的斜率的取值范围为

l



4223

______

．

152022··

．（全国高二课时练习）直线

ll

11

与直线所成的锐角为，则直线的倾斜角为．

l:x2

2

30

______

162022··ll

．（全国高二课时练习）直线的斜率为，将直线绕其与

3

x

轴交点逆时针旋转所得直线的斜

60

率是．

______

四、解答题

172022··l

．（全国高二课时练习）已知直线经过两点

A2a,a



､

B(0,1)

，求直线的倾斜角的取值范围

l.

2

182022··1

．（江苏高二）（）设坐标平面内三点

A(m,m3)B(2,m1)

､､

C(1,4)

，若直线的斜率是直线

AC

BC3m

的斜率的倍，求实数的值；

（）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，求直线的斜率

22.

ll

11

2

ll

22

192022··

．（全国高二课时练习）根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图中各条直线

li

i



1,2,3,4,5

的斜率，并写出各条直线的斜率

k

i

.

1

202022··

．（全国高二课时练习）已知三条直线

l

1

，，的斜率分别

ll

23

为，，，倾斜角分别为，，，且，探索其倾斜角，，的大小关系．

k

1

k

2

k

3







kkk

123



212022··

．（全国高二课时练习）已知的三个顶点分别为

ABC

A1,0C2,4





，，，求的三边

B1,2









ABC

所在直线的斜率

.

222022··ll

．（江苏高二课时练习）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总

P0,1B2,1



A1,2



有公共点，求直线的倾斜角和斜率的取值范围．

lk



1.1

直线的斜率与倾斜角

【知识点梳理】

知识点一：直线的倾斜角

平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合

xx

时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.



规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．

x

0

0180



知识点诠释：

1.要清楚定义中含有的三个条件

①直线向上方向；

②轴正向；

x

③小于的角.

180

2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.

x

3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.



01800





4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.

5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线

的位置.

知识点二：直线的斜率

1．定义：

倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．

90

kktan



知识点诠释：

(1)当直线与x轴平行或重合时，，；

l



0ktan00

(2)直线与x轴垂直时，，k不存在.

l



90

由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.

l



2．直线的倾斜角与斜率之间的关系



k

由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线



(0,90)(90,180)

的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾



090



斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角

90





0,90

(90,180)



越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大





0,90

(90,180)

小即可，反之亦然．

知识点三：斜率公式

已知点、，且、的直线的斜率公式与轴不垂直，过两点

P(x,y)P(x,y)(x,y)P(x,y)P

111222111222

PP

12

x

k

yy

21

.

xx

21



知识点诠释：

1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：

(1)当

xx

12

时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；



90

x

(2)与

k

Px

11

、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能

Pyyx

2122

交换；

(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

k

(4)当

yy

12

时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；

k00



x

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：

(1)由

P

1

、点的坐标求的值；

P

2

k

(2)已知及

k

x,y,x,y

1122

中的三个量可求第四个量；

(3)证明三点共线.

【题型归纳目录】

题型一：直线的倾斜角与斜率定义

题型二：斜率与倾斜角的变化关系

题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数

题型四：直线与线段相交关系求斜率范围

【典型例题】

题型一：直线的倾斜角与斜率定义例．（全国高二课时练习）下列说法中正确的是

1

2022··( )

A

．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大

B

．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角



C

．和

x

轴平行的直线，它的倾斜角为



D

．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率

【答案】

D

【解析】

【分析】

根据直线倾斜角和斜率的概念逐项判断即可﹒

【详解】

π

直线倾斜角的范围是，，当倾斜角是时直线无斜率，故错误；

[0π)A

2

π

直线倾斜角的范围是，，和既不是锐角也不是钝角，故错误；

[0π)0B

2

和轴平行的直线，它的倾斜角为，故错误；

x

0C

π

每一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，故正确．

D

2

故选：﹒

D

例．（多选题）（江苏高二）下列四个命题中，错误的有（）

2

2022··

A

．若直线的倾斜角为，则



sin0



B

．直线的倾斜角的取值范围为



0



C

．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为



tan



D

．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

tan





【答案】

ACD

【解析】

【分析】

根据倾斜角与斜率的定义判断即可

.

【详解】

解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，

0,0,

当时直线的斜率，故、均错误；正确；对于：若直线的斜率，此时











sin0





2

ktanθ

ACBD

ktan3

4



3

直线的倾斜角为，故错误；

故选：

ACD



D

3

例．（江苏高二）下列命题中，错误的是．（填序号）

3

2022··______

①若直线的倾斜角为，则；





(0,)

②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；

③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．



tan



【答案】①②③

【解析】

【分析】

根据直线的倾斜角和斜率的概念，逐项判定，即可求解

.

【详解】

对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为，则，所以①错误；





[0,)

对于②中，当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，且；



[0,)

kk0

2

当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，但，所以②错误；



(,)

k

k0

2





对于③中，根据直线斜率的概念，可得当且时，直线的斜率为，所以③错误



[0,)





故答案为：①②③

.



2

ktan



.

例．（全国高二课时练习）当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为．

4

2022··lxl______

【答案】



##

90

2

【解析】

【分析】

根据直线的倾斜角的定义可得答案

.

【详解】

当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为

lxl

故答案为：



2



2

【技巧总结】

（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②轴的正方向；③小于平角的正角．

x

（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于轴正方向的倾斜程度．

x

（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；

倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．

（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺

一不可．

题型二：斜率与倾斜角的变化关系

例．（江苏高二）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（）

5

2022··

l

1

ll

23

kk

11

kk

22

kk

33

A

．

kkk

123

B

．

kkk

132

C

．

kkk

213

【答案】

A

【解析】

【分析】

直接由斜率的定义判断即可

.

【详解】

D

．

kkk

321

由斜率的定义可知，

kkk

123

.

故选：．

A

例．（北京市十一学校高一阶段练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取

6

2022·

ll

k

3k1



值范围是（）



π2ππ3π

A

．



0,,π0,,π



B



4364



π2π

C

．



,



D



43



．









π3π

．



,





34

【答案】

A

【解析】【分析】

根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围

.

【详解】

因为直线的斜率为，且，

l

k

3k1

3tan1



，因为，



[0,π)



2ππ

,π0,







34



.

故选：

A.

例．（全国高二期中）若过两点、的直线的倾斜角为，则＝．

7

2022··60°y______

A(0,y)

B(23,3)

【答案】－

9

【解析】

【分析】

列出关于的方程即可求得的值

yy.

【详解】

过两点、的直线的倾斜角为

A(0,y)

B(23,3)

60°

则有，解之得

3y

tan603

y9

230

故答案为：－

9

例．（全国高二课时练习）已知直线经过、（）两点，求直线的倾斜角的取值

8

2022··ll

A(2,1)

B(1,m)

2

mR

范围

.



ππ

【答案】



0,,π





42

【解析】

【分析】

先求得直线的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系即可求得直线的倾斜角的取值范围

ll.

【详解】

∵直线过，两点，

l

A(2,1)

B(1,m)

2

(mR)

m1

2

1m1k

2

，∴直线的斜率为

l

12

设直线的倾斜角为，则，且，解得或

l





0,π





tan1



0





ππ

∴直线的倾斜角的取值范围是

l





0,,π



.



42

π

π





π

2

4

例．（江苏高二）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，求直线的斜率

9

2022··2.

ll

11

2

ll

22

1

4

【答案】

3

【解析】

【分析】

由倾斜角与斜率的关系及二倍角的正切公式即可求解

.

【详解】

解：由题意，设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，

l

1



l

2

2



由已知得，

ktan

1



1

2

2tan4



ktan2

.

1tan3

2



所以直线的斜率为

l

2

2



【技巧总结】

由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线



(0,90)(90,180)

的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾



090



斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角

90





0,90

(90,180)

越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大





0,90

(90,180)

小即可，反之亦然．

题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数

例．（江苏高二）已知三个不同的点

10

2022··

A2,a



､､

Ba1,2a1C4,1a



在同一条直线上，则实数

a

的值为

___________.

1

【答案】或



5

2





【解析】

【分析】

根据斜率相等可求出结果

.

【详解】因为，所以该直线斜率存在，

k

AC

又，

k

AB

1aa2a1

426

2a1aa1

a12a1

2a1a1

1



，解得或根据题意得

a

a5

.

2

6a1

1

故答案为：或



5

.

2

例．（全国高二课时练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若直线的斜率，

11

2022··

A



3,4

B

AB

k4

AB

求点的坐标．

B

【答案】或



2,0



0,8

.

【解析】

【分析】

分别可假设或，利用两点连线斜率公式可构造方程求得点坐标

Ba,0B0,b



B

.

【详解】

若在轴上，则可设，；，解得：，

B

x

Ba,0



k4

AB

若在轴上，则可设，，解得：，；

B

y

B0,b



k4

AB

40

0B2,



a2

3a

4b

b8

B0,8



30

综上所述：点的坐标为或

B



2,0



0,8

.

例．（江苏高二课时练习）已知直线的斜率，且，，是这条直线上的

12

2022··

k2

A3,5



Bx,7



C1,y



三个点，求实数和的值．

xy

【答案】，

x4

y3

【解析】

【分析】

依题意可得，根据两点的斜率公式得到方程，解得即可；

kk2

ABAC

【详解】

解：因为，，三点在斜率的直线上，所以，即，

A3,5



Bx,7



C1,y



k2

kk2

ABAC

解得，

x4

y3

33

52

例．（江苏高二）经过两点的直线的斜率为（）．．．．

13

2022··, A B C D

A(0,1)

B(2,4)

25

22

75y5

2

x313

【答案】

B

【解析】

【分析】

根据直线的斜率公式即可求解

k

【详解】

经过两点的直线的斜率为：；

A(0,1)

,

B(2,4)

故选：

B.

例．（江苏高二）若三点共线，则的值为．

14

2022··a_________

A(2,2),B(a,0),C(0,6)

【答案】

3

41



5



202

yy

21

.

xx

21

【解析】

【分析】

由三点共线得，即可求出答案

kk