余弦定理的证明

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正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法

——王彦文青铜峡一中

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一

些简单的三角形度量问题．

2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和

方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问

题．

主要考查有关定理的应用、三角恒等变换

的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角

形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或

证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度

以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．

1．正弦定理

(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它

所对角的正弦的比相等，即．其

中R是三角形外接圆的半径．

(2)正弦定理的其他形式：

①a＝2RsinA，b＝，c

＝；

②sinA＝

a

2R

，sinB＝，

sinC＝；

③a∶b∶c＝______________________.

2．余弦定理

(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等

于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹

角的余弦的积的两倍．即

a2＝，b2＝，

c2＝.

若令C＝90，则c2＝，即为勾

股定理．

(2)余弦定理的变形：cosA

＝，cosB＝，

cosC＝.

若C为锐角，则cosC>0，即a2＋b2______c2；

若C为钝角，则cosC<0，即a2＋b2______c2.故

由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐

角、钝角或直角．

(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边

角____________，余弦定理亦可以写成sin2A

＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，类似地，

sin2B＝____________；sin2C＝

__________________.注意式中隐含条件A＋B

＋C＝.

3．解斜三角形的类型

(1)已知三角形的任意两个角与一边，用

____________定理．只有一解．

(2)已知三角形的任意两边与其中一边的

对角，用____________定理，可能有

___________________．如在△ABC中，已知a，

b和A时，解的情况如表：

A为锐角

A为钝角

或直角

图

形

关

系

式

a＝

bsinA

bsinA

a≥ba>b

解

的

个

数

①②③④

(3)已知三边，用____________定理．有

解时，只有一解．

(4)已知两边及夹角，用____________定

理，必有一解．

4．三角形中的常用公式或变式

(1)三角形面积公式S

△

＝＝

＝____________＝____________＝

____________．其中R，r分别为三角形外接圆、

内切圆半径．

(2)A＋B＋C＝，则A＝__________，

A

2

＝__________，从而sinA＝

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____________，

cosA＝____________，tanA＝

____________；

sin

A

2

＝__________，cos

A

2

＝__________，

tan

A

2

＝________.ta无锡游玩攻略 nA＋tanB＋tanC＝

__________.

(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则

2b＝____________⇔2sinB＝____________⇔

2sin

B

2

＝cos

A－C

2

⇔2cos

A＋C

2

＝cos

A－C

2

⇔tan

A

2

tan

C

2

＝

1

3

.

【自查自纠】

1．(1)

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝2R

(2)①2RsinB2RsinC②

b

2R

c

2R

③sinA∶sinB∶sinC

2．(1)b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosB

a2＋b2－2abcosCa2＋b2

(2)

b2＋c2－a2

2bc

c2＋a2－b2

2ca

a2＋b2－c2

2ab

>

<

(3)互化sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosB

sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC

3．(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解

①一解②二解③一解④一解

(3)余弦(4)余弦

4．(1)

1

2

absinC

1

2

bcsinA

1

2

acsinB

abc

4R

1

2

(a＋b＋c)r

(2)－(B＋C)

2

－

B＋C

2

sin(B＋C)－cos(B＋C)

－tan(B＋C)cos

B＋C

2

sin

B＋C

2

1

tan

B＋C

2

tanAtanBtanC(3)a＋csinA＋sinC

在△ABC中，A>B是sinA>sinB的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解：因为在同一三角形中，角大则边大，

边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故

选C.

在△ABC中，已知b＝6，c＝10，B＝

30，则解此三角形的结果有()

A．无解B．一解

C．两解D．一解或两解

解：由正弦定理知sinC＝

csinB

b

＝

5

6

，又由

c>b>csinB知，C有两解．也可依已知条件，画

出△ABC，由图知有两解．故选C.

(

2013陕西

)设△ABC的内角A,B,C

所对的边分别为a,b,c,若bcosC＋ccosB＝

asinA,则△ABC的形状为()

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不确定

解：由已知和正弦定理可得sinBcosC＋

sinCcosB＝sinAsinA，即sin(B＋C)＝

sinAsinA，亦即sinA＝sinAsinA.因为0

所以sinA＝1，所以A＝

2

.所以三角形为直角

三角形．故选B.

(

2012陕西

)在△ABC中，角A，B，C

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所对的边分别为a，b，c.若a＝2，B＝

6

，c

＝23，则b＝________．

解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB＝

22＋()232－2223cos

6

＝4，b＝2.

故填2.

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别

为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，结脉与代脉的区别

则角A的大小为________．

解：∵sinB＋cosB＝2，

∴2sin













B＋

4

＝2，即sin













B＋

4

＝1.

又∵B∈(0，)，∴B＋

4

＝

2

，B＝

4

.

根据正弦定理

a

sinA

＝

b

sinB

，可得sinA＝

asinB

b

＝

1

2

.

∵a＜b，∴A＜B.∴A＝

6

.故填

6

.

类型一正弦定理的应用

△ABC的内角A，B，C的对边分别

为a，b，c，已知A－C＝90，a＋c＝2b，

求C.

解：由a＋c＝2b及正弦定理可得sinA

＋sinC＝2sinB.

又由于A－C＝90，B＝180－(A＋C)，

故cosC＋sinC＝sinA＋sinC＝2sin(A＋C)＝

2sin(90＋2C)＝2sin2(45＋C)．

∴2sin(45＋C)＝22sin(45＋

C)cos(45＋C)，

即cos(45＋C)＝

1

2

.

又∵0＜C＜90，∴45＋C＝60，C

＝15.

【评析】利用正弦定理将边边关系转化为

角角关系，这是解此题的关键．

(

2012江西

)在△ABC中，角A，B，

C的对边分别为a，b，c.已知A＝

4

，

bsin













4

＋C

－csin













4

＋B

＝a.

(1)求证：青奸 B－C＝

2

；

(2)若a＝2，求△ABC的面积．

解：(1)证明：对bsin













4

＋C

－

csin



变形记作文









4

＋B

＝a应用正弦定理得

sinBsin













4

＋C

－sinCsin













4

＋B

＝sinA，

即sinB













2

2

sinC＋

2

2

cosC－

sinC













2

2

sinB＋

2

2

cosB＝

2

2

，整理得sinBcosC

－sinCcosB＝1，即sin

()B－C

＝1.

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由于B，C∈













0，

3

4

，∴B－C＝

2

.

(2)∵B＋C＝－A＝

3

4

，又由(1)知B－C

＝

2

，

∴B＝

5

8

，C＝

8

.

∵a＝2，A＝

4

，∴由正弦定理知b＝

asinB

sinA

＝2sin

5

8

，c＝

asinC

sinA

＝2sin

8工作情况报告

.

∴S

△ABC

＝

1

2

bcsinA＝

1

2

2sin

5

8

2sin

8

2

2

＝2sin

5

8

sin

8

＝2cos

8

sin

8

＝

2

2

sin

4

＝

1

2

.

类型二余弦定理的应用

在△ABC中，a，b，c分别是角A，

B，C的对边，且

cosB

cosC

＝－

b

2a＋c

.

(1)求B的大小；

(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．

解：(1)由余弦定理知，cosB＝

a2＋c2－b2

2ac

，

cosC＝

a2＋b2－c2

2ab

，将上式代入

cosB

cosC

＝－

b

2a＋c

得

a2＋c2－b2

2ac

2ab

a2＋b2－c2

＝－

b

2a＋c

，

整理得a2＋c2－b2＝－ac.

∴cosB＝

a2＋c2－b2

2ac

＝

－ac

2ac

＝－

1

2

.

∵B为三角形的内角，∴B＝

2

3

.

(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝

2

3

代入b2

＝a2＋c2－2accosB，得13＝42－2ac－2accos

2

3

，解得ac＝3.

∴S

△ABC

＝

1

2

acsinB＝

33

4

.

【评析】①根据所给等式的结构特点利用

余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的

关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还

要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运

用．

若△ABC的内角A，B，C所对的边

a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60，则

ab的值为()

A.

4

3

B．8－43C．1

D.

2

3

解：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝

a2＋b2－ab，代入(a＋b)2－c2＝4中得(a＋b)2

－(a2＋b2－ab)＝4，即3ab＝4，∴ab＝

4

3

.故选

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A.

类型三正、余弦定理的综合应用

(

2013全国新课标Ⅱ

)△ABC的内

角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC

＋csinB.

(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

解：(1)由已知及正弦定理得sinA＝

sinBcosC＋sinCsinB.①

又A＝－(B＋C)，故

sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC吃什么能补大脑 ＋

cosBsinC.②

由①，②和C∈(0，)得sinB＝cosB.

又B∈(0，)，所以B＝

4

.

(2)△ABC的面积S＝

1

2

acsinB＝

2

4

ac.

由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－

2accos

4

.

又a2＋c2≥2ac，故ac≤

4

2－2

，

当且仅当a＝c时，等号成立．

因此△ABC面积的最大值为2＋1.

【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的

正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知

边及其对角求三角形面积最值是高考中考过

多次的问题，既可用三角函数求最值，也可

以用余弦定理化边后用不等式求最值．

(

2013山东

)设△ABC的内角A，

B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b

＝2，cosB＝

7

9

.

(1)求a，c的值；

(2)求sin(A－B)的值．

解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，

得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又a＋c

＝6，b＝2，

cosB＝

7

9

，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.

(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝

42

9

，

由正弦定理得sinA＝

asinB

b

＝

22

3

.

因为a＝c，所以A为锐角，

所以cosA＝1－sin2A＝

1

3

.

因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝

102

27

.

类型四判断三角形的形状

在三角形ABC中，若tanA∶tanB＝

a2∶b2，试判断三角形ABC的形状．

解法一：由正弦定理，得

a2

b2

＝

sin2A

sin2B

，

所以

tanA

tanB

＝

sin2A

sin2B

，

所以

sinAcosB

cosAsinB

＝

sin2A

sin2B

，即sin2A＝sin2B.

所以2A＝2B，或2A＋2B＝，因此A＝B

或A＋B＝

2

，从而△ABC是等腰三角形或直角

三角形．

解法二：由正弦定理，得

a2

b2

＝

sin2A

sin2B

，所以

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tanA

tanB

＝

sin2A

sin2B

，所以

cosB

cosA

＝

sinA

sinB

，再由正、余弦

定理，得

a2＋c2－b2

2ac

b2＋c2－a2

2bc

＝

a

b

，化简得(a2－b2)(c2－

a2－b2)＝0，即a2＝b2或c2＝a2＋b2.

从而△ABC是等腰三角形或直角三角形．

【评析】由已知条件，可先将切化弦，再

结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然

后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的

关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变

形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到

对知识的熟练掌握．

(

2012上海

)在△ABC中，若sin2A

＋sin2B

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不能确定

解：在△ABC中，∵sin2A＋sin2B

∴由正弦定理知a2＋b2

a2＋b2－最后英文 c2

2ab

<0，即∠C为钝角，△ABC为钝角三角形．故选

C.

类型五解三角形应用举例

某港口O要将一件重要物品用小艇

送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，

轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20

nmile的A处，并以30nmile/h的航行速度

沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向

以vnmile/h的航行速度匀速行驶，经过th

与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则

小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30n

mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航

行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船

相遇，并说明理由．

解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为Sn

mile，则

S＝

900t2＋400－230t20cos（90－30）

＝900t2－600t＋400＝

900













t－

1

3

2

＋300，

故当t＝

1

3

时，S

min

＝103，此时v＝

103

1

3

＝

303.

即小艇以303nmile/h的速度航行，相

遇时小艇的航行距离最小．

(2)设小艇与轮船在B处相遇，则

v2t2＝400＋900t2－

22030tcos(90－30)，

故v2＝900－

600

t

＋

400

t2

.

∵0

600

t

＋

400

t2

≤900，即

2

t2

－

3

t

≤0，

解得t≥

2

3

.又t＝

2

3

时，v＝30.故v＝30时，

t取得最小值，且最小值等于

2

3

.

此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，

故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东

30，航行速度为30nmile/h，小艇能以最

短时间与轮船相遇．

解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最

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小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行

方向为正北方向．

设小艇与轮船在C处相遇．

在Rt△OAC中，OC＝20cos30＝103，

AC＝20sin30＝10.

又AC＝30t，OC＝vt，

此时，轮船航行时间t＝

10

30

＝

1

3

，v＝

103

1

3

＝

303.

即小艇以303nmile/h的速度航行，相

遇时小艇的航行距离最小．

(2)假设v＝30时，小艇能以最短时间与轮

船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.

又∠OAD＝60，所以AD＝DO＝OA＝20，

解得t＝

2

3

.

据此可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30，航行速度的大小为

30nmile/h.这样，小艇能以最短时间与轮船相

遇．

证明如下：

如图，由(1)得OC＝103，AC＝10，

故OC>AC，且对于线段AC上任意点P，有

OP≥OC>AC.

而小艇的最高航行速度只能达到30n

mile/h，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包

含C)的任意位置相遇．

设∠COD＝(0<<90)，则在Rt△COD

中，

CD＝103tan，OD＝

103

cos

.

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的

时间分别为t＝

10＋103tan

30

和t＝

103

vcos

，

所以

10＋103tan

30

＝

103

vcos

.

由此可得，v＝

153

sin（＋30）

.

又v≤30，故sin(＋30)≥

3

2

，从而，

30≤<90.

由于＝30时，tan取得最小值，且

最小值为

3

3

.

于是，当＝30时，t＝

10数学口算题 ＋103tan

30

取得最小值，且最小值为

2

3

.

【评析】①这是一道有关解三角形的实际

应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数

学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中

的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②

解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应

用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解

三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三

角形为背景的应用题开始成为热点问题之

一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决

的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙

述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其

归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几

何方法求解也较简便．

(

2012武汉5月模拟

)如图，渔船

甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与

岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的

速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲

同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船

乙，刚好用2小时追上．

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(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin的值．

解：(1)依题意，∠BAC＝120，AB＝12，

AC＝102＝20，在△ABC中，由余弦定理知BC2

＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC＝122＋202－

21220cos120＝784，BC＝28.

所以渔船甲的速度为v＝

28

2

＝14(海里/小

时)．

(2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120，

BC＝28，

∠BCA＝，由正弦定理得

AB

sin

＝

BC

sin∠BAC

，即

12

sin

＝

28

sin120

，从而sin＝

12sin120

28

＝

33

14

.

1．已知两边及其中一边的对角解三角形

时，要注意解的情况，谨防漏解．

2．在判断三角形的形状时，一般将已知条

件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化

为角角关系(注意应用A＋B＋C＝这个结论)

或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变

形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边

的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则

有可能漏掉一种形状．

3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差

数列，则必有一角为60；若三内角的正弦值

成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定

理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B

＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin

A

2

＝cos

B＋C

2

，

sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等．

4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的

一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，

画出示意图；

(2)建模：根据已知条件与求解目标，桐人图片 把已

知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立

一个解斜三角形的模型；

(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三

角形，求得数学模型的解；

(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实

际意义，从而得出实际问题的解．

5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定

理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从

而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关

的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)

提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明

三角形中有关等式的重要依据．主要方法有：

化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注

意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化

思想及分类讨论思想．