四边形内角和

四边形内角和定理的证明方法

摘要：本文是对一堂新授课的摘录和看法，对四边形内角和定理的证明给出若干种证明方

法，主要强调充分展示学生的个性思维，让学生主动地获取知识、思考问题，而不再是一味

地听取老师的传授。

关键词：四边形；内角和；证明；思维

在一次《多边形的内角和》的课堂上，有一个教学环节是这样设计的：让学生思考任意一个

四边形的内角和是多少？用这种方法能否求五边形、六边形等多边形的内角和？［1］而在课

堂上，同学们给出了许多种求四边形内角和的方法，虽然有的方法不太适合推广到五边形、

六边形，但其中不乏有课前我没有意料到的方法，当然我也没想到学生们会有如此多的方法。

为了不打断学生的想法，给学生一个展示自我的机会，更为了拓展学生的思维，我抓住了这

一难得的机会，充分让学生展示他们活跃的思维，而把预先准备的一些内容放到了下一节课。

我不知道这样做好不好，但至少有一点，学生们主动地进行了观察、实验、猜测、验证、推

理与交流等数学活动，这是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，增强了学生学习数

学的兴趣，使不同的人在数学上得到了不同的发展［2］。下面就一一列举学生们的解法，其中

解法一～解法五是预先设计的。

解法一：如图1，连接AC，四边形ABCD的内角和等于两个三角形内角和的和，即

180°×2=360°。

解法二：如图2，连接AC、BD，四边形ABCD的内角和等于四个三角形内角和的和减去360°，

即180°×4-360°=360°。

解法三：如图3，在四边形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PC、PD，四边形ABCD的内角和

等于四个三角形内角和的和减去360°，即180°×4-360°=360°。

解法四：如图4，在BC边上取一点P，连接PA、PD，四边形ABCD的内角和等于三个三角形

内角和的和减去180°，即180°×3-180°=360°。

解法五：如图5，在四边形ABCD外取一点P，连接PA、PB、PC、PD，四边形ABCD的内角和

等于三个三角形内角和的和减去180°，即180°×3-180°=360°。

解法六：如图6，连接BD，延长BA至E，延长BC至F，∵∠EAD=∠ABD+∠BDA，∠FCD=∠CBD+

∠BDC，∴四边形ABCD的内角和等于（∠EAD+∠BAD）+（∠FCD+∠BCD）=180°+180°=360°。

解法七：如图7，过点A、D分别作BC的平行线AE、DF，则∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADF，∠CDF=

∠C，∴四边形ABCD的内角和等于∠BAD+∠EAB+（∠CDF+∠CDA）=∠BAD+∠EAB+∠ADF=∠

BAD+∠EAB+∠EAD=360°。

解法八：如图8，过点A、D分别作BC的垂线AE、DF，垂足分别为E、F，过点A作DF的垂

线AG，垂足为G，则∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°，∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠DFB=∠C+∠

CDF，∠AGF=∠DAG+∠ADF，∴四边形ABCD的内角和等于∠AEC+∠DFB+∠AGF+∠

EAG=90°×4=360°。

解法九：若AB//CD，则∠B+∠C=∠A+∠D=180°，∴∠B+∠C+∠A+∠D=360°；若AB不平行

于CD，如图9，不妨设BA、CD的延长线相交于点E，∵∠BAD=∠E+∠ADE，∠ADC=∠E+∠EAD，

∴∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=（∠B+∠C+∠E）+（∠ADE+∠E+∠EAD）=180°+180°=360°。

综上可得，四边形ABCD的内角和等于360°

解法十：连接AC，并延长至G，过点C分别作AD、AB的平行线CE、CF，则∠D=∠DCE，∠

DAC=∠ECG，∠BAC=∠FCG，∠B=∠FCB，∴四边形ABCD的内角和=∠B+∠BAC+∠CAD+∠D+∠

BCD=∠FCB+∠FCG+∠ECG+∠DCE+∠BCD=360°。

以上这些证法中，充分发挥了学生的想象力、综合运用知识的能力，很好地训练了学生的思

维，体现了“转化”这一重要数学思想方法地灵活运用，这一点对学生的发展很重要，而这

也是新课程标准所倡导的。这堂课可能是一节不合格的课，但我还是希望我们数学老师能在

课堂上不断探索、试验，大胆创新，只要我们本着新课程的理念，本着以学生的发展为本，

相信中国数学教育的未来一定会取得辉煌的成绩。

参考文献：

①义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册，人民教育出版社，2007年6月第2版.

②教育部制订.全日制义务教育数学课程标准.北京:北京师范大学出版社,2001.