定积分几何意义

定积分与微积分定理

1．定积分的概念一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点

将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为

x

（

ba

x

n



），在每个小区间



1

,

ii

xx



上取一点1,2,,

i

in

，作和式：

11

()()

nn

nii

ii

ba

Sfxf

n









如果

x

无限接近于

0

（亦即

n

）时，上述和式

n

S无限趋近于常数S，那么称

该常数

S

为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：()

b

a

Sfxdx

其中()fx成为被积函数，x叫做积分变量，[,]ab为积分区间，

b

积分上限，a积分

下限。

说明：（1）定积分()

b

a

fxdx是一个常数，即

n

S无限趋近的常数S（

n

时）称

为()

b

a

fxdx，而不是

n

S．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间,ab

；②近似代

替：取点

1

,

iii

xx



；③求和：

1

()

n

i

i

ba

f

n





；④取极限：

1

()lim

n

b

i

a

n

i

ba

fxdxf

n













（3）曲边图形面积：b

a

Sfxdx；变速运动路程2

1

()t

t

Svtdt；

变力做功()

b

a

WFrdr

2．定积分的几何意义

说明：一般情况下，定积分()

b

a

fxdx的几何意义是介于x轴、函数()fx的图形以及

直线,xaxb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方

的面积去负号．（可以先不给学生讲）．

分析：一般的，设被积函数()yfx，若()yfx在[,]ab上可取负值。

考察和式

12

()

in

fxxfxxfxxfxx

不妨设

1

(),(),,()0

iin

fxfxfx





于是和式即为

121

(){[()][]}

iin

fxxfxxfxxfxxfxx





()b

a

fxdx阴影

A

的面积—阴影

B

的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）

2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1abdx

b

a

1

性质2b

a

b

a

dxxfkdxxkf)()(（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性

质）

性质3

1212

[()()]()()bbb

aaa

fxfxdxfxdxfxdx（定积分的线性性质）

性质4

()()()()

bcb

aac

fxdxfxdxfxdxacb其中

（定积分对积分区间的可加性）

说明：①推广：

1212

[()()()]()()()bbbb

mm

aaaa

fxfxfxdxfxdxfxdxfx

②推广:12

1

()()()()

k

bccb

aacc

fxdxfxdxfxdxfxdx

③性质解释：

P

C

N

M

B

A

a

b

O

y

x

y=1

y

x

Ob

a

2.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式

定理：如果函数()Fx是[,]ab上的连续函数()fx的任意一个原函数，则

性质1

性质

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定

积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分

学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供

计算定积分的一种有效方法，微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使

微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，

说明：

①它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函

数的问题。我们可以用()fx的原函数（即满足()()Fxfx



）的数值差()()FbFa来

计算()fx在[,]ab上的定积分.

②它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种

有效方法，为后面的学习奠定了基础。

思考并回答下列问题：

①与函数f(x)相对应F(x)的唯一吗？如果不唯一，它们之间什么关系？原函数的选择影

响最后的计算结果吗？

②计算定积分

()

b

a

fxdx的关键是什么？

③寻找函数f(x)的原函数F(X)的方法是什么？

④利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数

典例分析

例1．计算定积分2

1

(1)xdx

分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为

5

2

。

即：2

1

5

(1)

2

xdx

思考：若改为计算定积分2

2

(1)xdx





呢？

改变了积分上、下限，被积函数在

面[2,2]上出现了负值如何解决呢？（后

解决的问题）

1.（2014·湖北高考理科·Ｔ6）若函数f(x)，

()gx

满足

1

1

()g()d0fxxx





，则

称f(x)，

()gx

为区间[-1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：

①

11

()sin,()cos

22

fxxgxx

；②

()1,g()1fxxxx

；③2(),g()fxxxx

12

y

xo

其中为区间

]1,1[

的正交函数的组数是（）

A.0B.1C.2D.3

【解题提示】考查微积分基本定理的运用

【解析】选C.对①，11

1

1

11

1111

(sincos)(sin)cos|0

2222

xxdxxdxx





，则)(xf、)(xg

为区间]1,1[上的正交函数；

对②，11

231

1

11

14

(1)(1)(1)()|0

33

xxdxxdxxx





，则)(xf、)(xg不为区间

]1,1[上的正交函数；

对③，1

341

1

1

1

()|0

4

xdxx





，则)(xf、)(xg为区间]1,1[上的正交函数.

所以满足条件的正交函数有2组.

2.（2014·山东高考理科·Ｔ6）直线4yx与曲线3yx在第一象限内围成的封

闭图形的面积为（）

A、22B、42C、2D、4

【解题指南】本题考查了定积分的应用，先求出直线与曲线在第一象限的交点，

再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积.

【解析】选D.由











3

4

xy

xy

，得交点为8,2,8,2,0,0，

所以4

0

2

4

1

2442

2

0

3













xxdxxxS，故选D.

3.(2014·陕西高考理科·T3)定积分(2x+ex)dx的值为()

A.e+2B.e+.e-1

【解题指南】求出被积函数2x+ex的原函数,然后根据定积分的定义解之.

【解析】选C.(2x+ex)dx=(x2+ex)=1+e-1=e.

4.（2014·福建高考理科·Ｔ14）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正

方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.

【解题指南】本题考查了反函数在图象上的性质，利用对称性，将问题化为可利

用定积分求解面积的问题。

【解析】xye和lnyx互为反函数，不妨将样本空间缩小到左上方的三角形，

则

1

0

2

22

1

()

()

0

2

11

22

x

xexe

ee

S

p

Se

ee











．

【答案】

2

2

e

5.已知f(x)为偶函数且6

0f(x)dx＝8，则6

6f(x)dx等于

()

A．0B．4C．8D．16

解析：原式＝0

6f(x)dx＋6

0f(x)dx，

∵原函数为偶函数，

∴在y轴两侧的图象对称，

∴对应的面积相等，即8×2＝16.

答案：D

6．设f(x)＝





x2，x∈[0，1]，

2－x，x∈[1，2]，

则2

0f(x)dx等于

()

A.

3

4

B.

4

5

C.

5

6

D．不存在

解析：数形结合，

2

0f(x)dx=1

0x2dx+2

1(2-x)dx

=32

12

11

(2)

3021

xxx

=3

115

(422)

326

x.

答案：C

7．计算以下定积分：

(1)2

1(2x2－

1

x

)dx；

(2)3

2(x＋

1

x

)2dx；

(3)3

0

(sinx－sin2x)dx；

解：(1)2

1(2x2－

1

x

)dx＝(

2

3

x3－lnx)

2

1

＝

16

3

－ln2－

2

3

＝

14

3

－ln2.

(2)3

2(x＋

1

x

)2dx＝3

2(x＋

1

x

＋2)dx

＝(

1

2

x2＋lnx＋2x)

3

2

＝(

9

2

＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)

＝ln

3

2

＋

9

2

.

(3)3

0

(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋

1

2

cos2x)

3

0



＝(－

1

2

－

1

4

)－(－1＋

1

2

)＝－

1

4

.

题组二求曲多边形的面积

8．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合

图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()

A．1B.

4

3

C.3D．2

解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合

图形的面积等于2

0(－x2＋2x＋1－1)dx＝2

0(－x2＋2x)dx＝

4

3

.

答案：B

9．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分

(如图所示)的面积为

4

3

，则k＝________.

解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，

再由

0

k(kx－x2)dx＝(

kx2

2

－

x3

3

)

0

k

＝

k3

6

＝

4

3

求得k＝2.

答案：2

10．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，

记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积

分别记为S

1

，S

2

，若S

1

＝S

2

，则点P的坐标为________．

解析：设直线OP的方程为y＝kx,P点的坐标为(x，y)，

则

0

x(kx－x2)dx＝2

x(x2－kx)dx，

即(

1

2

kx2－

1

3

x3)

0

x

＝(

1

3

x3－

1

2

kx2)

2

x

，

解得

1

2

kx2－

1

3

x3＝

8

3

－2k－(

1

3

x3－

1

2

kx2)，

解得k＝

4

3

，即直线OP的方程为y＝

4

3

x，所以点P的坐标为(

4

3

，

16

9

)．

答案：(

4

3

，

16

9

)

11.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此

物体在时间[1,2]内的位移为

()

A.

17

6

B.

14

3

C.

13

6

D.

11

6

解析：s＝2

1(t2－t＋2)dt＝(

1

3

t3－

1

2

t2＋2t)|2

1

＝

17

6

.

答案：A

12．若1N的力能使弹簧伸长1cm，现在要使弹簧伸长10cm，则需要花费

的功为()

A．0.05JB．0.5JC．0.25JD．1J

解析：设力F＝kx(k是比例系数)，当F＝1N时，x＝0.01m，可解得k＝100

N/m，则F＝100x，所以W＝0.1

0100xdx＝50x2

0.1

0

＝0.5J.

答案：B

13．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路

程为_______米．

解析：据题意，v与t的函数关系式如下：

v＝v(t)＝









3

2

t，0≤t＜20，

50－t，20≤t＜40，

10，40≤t≤60.

所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为

s＝60

0

()dvtt＝20

0

3

d

2

tt＋40

20

(50)dtt＋60

40

10dt

＝

3

4

t2

20

0

＋(50t－

1

2

t2)

40

20

＋10t

40

20

＝900米．

答案：900

14.(2010·烟台模拟)若y＝

0

x(sint＋costsint)dt，则y的最大值是

()

A．1B．2C．－

7

2

D．0

解析：y＝

0

x(sint＋costsint)dt＝

0

x(sint＋

1

2

sin2t)dt

＝(－cost－

1

4

cos2t)

0

x

＝－cosx－

1

4

cos2x＋

5

4

＝－cosx－

1

4

(2cos2x－1)＋

5

4

＝－

1

2

cos2x－cosx＋

3

2

＝－

1

2

(cosx＋1)2＋2≤2.

答案：B

15．(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且1

0f(x)dx＝5，1

0xf(x)dx＝

17

6

，那

么2

1

f(x)

x

dx的值是________．

解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由1

0(ax＋b)dx＝5得(

1

2

ax2＋bx)

1

0

＝

1

2

a＋b＝5，

①

由1

0xf(x)dx＝

17

6

得1

0(ax2＋bx)dx＝

17

6

，即

(

1

3

ax3＋

1

2

bx2)

1

0

＝

17

6

，∴

1

3

a＋

1

2

b＝

17

6

，

②

解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，

于是2

1

f(x)

x

dx＝2

1

4x＋3

x

dx＝2

1(4＋

3

x

)dx

＝(4x＋3lnx)

2

1

＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.

答案：4＋3ln2

16．设f(x)＝1

0|x2－a2|dx.

(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；

(2)当a≥0时，求f(a)的最小值．

解：(1)0≤a≤1时，

f(a)＝1

0|x2－a2|dx

＝

0

a(a2－x2)dx＋1

a(x2－a2)dx

＝(a2x－

1

3

x3)

0

a

＋(

x3

3

－a2x)

1

a

＝a3－

1

3

a3－0＋0＋

1

3

－a2－

a3

3

＋a3

＝

4

3

a3－a2＋

1

3

.

当a＞1时，

f(a)＝1

0(a2－x2)dx

＝(a2x－

1

3

x3)

1

0

＝a2－

1

3

.

∴f(a)＝

32

2

41

(0),

33

1

(>

3

1

1).

aa

aa

a



















≤≤

(2)当a＞1时，由于a2－

1

3

在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上

的最小值是f(1)＝1－

1

3

＝

2

3

.

当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，

由f′(a)＞0知：a＞

1

2

或a＜0，

故在[0，

1

2

]上递减，在[

1

2

，1]上递增．

因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f(

1

2

)＝

1

4

.

综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为

1

4

.

课堂练习

计算下列定积分

1．5

0

(24)xdx5

0

(24)945xdx

2．1

1

xdx

1

1

11

11111

22

xdx





布置作业

1.设连续函数0)(xf,则当

ba

时,定积分b

a

dxxf)(的符号________

A.一定是正的B.一定是负的

C.当

ba0

时是正的D.以上都不对

2.与定积分dxx

2

3

0

sin相等的是_________

A.

2

3

0

sinxdxB.

2

3

0

sinxdx

C.

0

sinxdx-



2

3

sinxdxD.2

3

2

2

0

sinsin







xdxxdx

3.定积分的b

a

dxxf)(的大小_________

A.与)(xf和积分区间ba,有关,与

i

的取法无关.

B.与)(xf有关,与区间ba,以及

i

的取法无关

C.与)(xf以及

i

的取法有关,与区间ba,无关

D.与)(xf以及

i

的取法和区间ba,都有关

4.下列等式成立的是________

b

a

0B.

2

1

b

a

xdx





1

0

1

1

2D.b

a

b

a

xdxdxx)1(

5.已知b

a

dxxf)(=6,则______)(6dxxfb

a

6.已知,18)()(dxxgxfb

ab

a

dxxg10)(,则b

a

dxxf)(=______________

7.已知,3)(

2

0

dxxf则dxxf2

0

6)(___________

8.计算

dxx2

1

03

1



9.计算dxx3

1

0

6

演练方阵

A档（巩固专练）

1．5

0

(24)xdx=()

A．5B．4C．3D．2

2．2

1

1

lnxdx

x

=()

A．2

1

ln2

2

B．ln2C．2ln2D．

ln2

3．若

1

1

(2)3ln2axdx

x

，且

1a

，则a的值为()

A．6B．4C．3D．2

4．已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t

0

所走的路程为()

A．

2

0

3

gt

B．2

0

gtC．2

0

2

gt

D．

2

0

6

gt

5．曲线2xy与直线2xy所围成的图形（阴影部分）的面积等于．

6．

0

dxF'tt．

7．如图，求由两条曲线2xy，24xy及直线y=-1所围成图形的面积．

8．如图，抛物线C1

：y=-x2与抛物线C2

：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点．若过原

点的直线l与抛物线C2

所围成的图形面积

为3

2

9

a，求直线l的方程．

9．平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m

的平行线段，沟宽AB为2m，与沟沿垂直

的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线

的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5m，

沟中水深1m．

（Ⅰ）求水面宽；

y

x

o122-

-1

-1A

B

C

D

第7

第8图

A

（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中

的水有多少立方米？

10．设

)(xfy

是二次函数，方程

0)(xf

有两个相等的实根，且22)(



xxf．[来

源:学科网]

（1）求)(xf的表达式．

（2）若直线)10(ttx把

)(xfy

的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等

分，求t的值．

B档（提升精练）

1．2

1

1

dx

x

=______________．

2．3

2

1

1

(2)xdx

x

=___________．

3．求由曲线22yxx与x轴所围的封闭区域的面积．

4．已知弹簧每拉长0.02米要用9.8N的力，则把弹簧拉长0.1米所作的功

为．

5．由曲线22yx与直线yx所围成的平面图形的面积为．

6．(cos5sin2)d

a

a

xxxx



=．

7．3

2

1

(4)xxdx



_________________．

8．2

0

(sin)xxdx



_______________．

9．

dxx



2

2

2cos





_____________．

10．已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点．直线l

1过点A，且与抛物线C相切．直

线l

2

：x=a(a≠-1)交抛物线C于点B，交直线l

1于点D．

（1）求直线l

1的方程；

（2）设



ABD的面积为S

1，求

BD

及S1

的值；

（3）设由抛物线C、直线l

1

、l

2所围成的图形的面积为S

2，求证：S

1

∶S

2的值为与

a无关的常数．

C档（跨越导练）

1．1

0

()xxeedx()

A．

e

e

1

B．2eC．

e

2

D．

e

e

1



2．曲线

]

2

3

,0[,cosxxy与坐标轴围成的面积()

A．4B．2C．

2

5

D．3

3．若2

0

(345)axxdx=32a（

1a

），则a=．

4．9

4

(1)dxxx=．

5．求定积分：

1

2

23

2

0

(9)xxdx．

6．求曲线xxxy223与x轴所围成的图形的面积．

7．2

3

0

(2cos1)

2

x

dx



=()

8．A．

3

2

B．

1

2

C．

1

2

D．

3

2

8．3

2

0

|312|xdx=()

A．21B．22C．23D．24

9．下列命题：

①若f(x)是定义在R上的奇函数，则

0

()xftdt为R上的偶函数；

②若f(x)是周期为T（＞0）的周期函数，则

0

()()aaT

T

fxdxfxdx；

③

0

(())()xftdtfx



。

其中正确命题的个数为()

A．0B．1C．2D．3

10．如图，抛物线24yx与直线y＝3x的二交点为A、B.点P在抛物线的弧上从

A向B运动。

??（1）求使

PAB

的面积为最大时P点的坐标(,)ab；

（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分．

x

y

024

2

4

6

8

12

10

24

2

4

B

P

A

定积分的几何意义及微积分的基本定理答案

典题探究

例1．C

例2．C

例3．C

例4．

2

1

4





演练方阵

A档（巩固专练）

1．A

2．A

3．D

4．C

5．

2

9

6．F(x)-F(0)

7．由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．

由











1

2

y

xy

得C（1，-1）．同理得D（2，-1）．

∴所求图形的面积

S=})]1(

4

[)](

4

[{22

1

2

2

1

0

2

dx

x

dxx

x



3

4

)

124

(22

1

2

1

3

1

0

3

x

xx

．

8．设过原点的直线方程为y=kx，解方程组











axxy

kxy

22

，得x

1

=0，x

2

=k+2a．

当k+2a≥0时，akakdxxxakdxaxxkxS2

0

2

0

22])2[()2(

6

)2(

)

3

1

2

2

(

3

2

0

32

ak

xx

ak

ak







．

于是(k+2a)3=27a3，解得k=a．

所以，直线l的方程为y=ax．

y

x

o122-

-1

-1A

B

C

D

第7

当k+2a<0时，

0

2

2])2[(

ak

dxxxakS

6

)2(3ak

．

于是-(k+2a)3=27a3，解得k=-5a．

所以，直线l的方程为y=-5ax．

综上所述，所求直线l的方程为y=ax或y=-5ax．

9．（Ⅰ）如图建立直角坐标系xoy，设抛物线方程为)0(,2aaxy．则由抛物线

过点

)

2

3

,1(B，可得

2

3

a．于是抛物线方程为2

2

3

xy．当y=1时，

3

6

x，由此

知水面宽为

3

62

（m）．

（Ⅱ）柱体的底面积

)(

9

64

)

3

1

2

3

(22

3

6

0

3

3

6

0

mxx．

∴柱体体积为)(

9

6400

9

64

1003m，即水沟中有水3

9

6400

m．

10．（1）12)(2xxxf；（2）

32

1

1t．

B档（提升精练）

1．

22

3

2．

ln2

3．

4

3

4．如图所示，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F与弹簧的伸长量（或

压缩量）x成正比，即F=kx．在上式中k为比例系数．

根据题意，当x=0.02时，F=9.8，故由F=kx得k

=490．这样得到的变力函数为F=490x．于是所求的功为

2

0.1

0.1

0

0

490490()2.45

2

x

Wxdx（J）．

5．

9

2

x

F

x

0

O

x

y

F

A

B

C

D

E

G

图6

6．

4a

7．

20

3

8．

2

1

8





9．

2



10．（1）由y=2x2，得

xy4

．当x=-1时，

4



y

．

∴l

1的方程为y-2=-4(x+1)，即4x+y+2=0．

（2）由y=2x2及x=a，解得点B的坐标为（a,2a2）．

由4x+y+2=0及x=a，解得点D的坐标为（a,-4a-2）．

又可求得点A到直线BD的距离为

1a

，

BD=2a2+4a+2=2(a+1)2．

∴S1

=31a．

（3）由题意，当a>-1时，



a

axxxdxxxS

1

1

232

2

)22

3

2

()242(

323)1(

3

2

22

3

2

22

3

2

aaaa，

当a<-1时，1

2

2

)242(

a

dxxxS3)1(

3

2

a，

∴S

1

∶S

2

=3∶2．即S

1

∶S

2的值为与a无关的常数．

C档（跨越导练）

1．D

2．D

3．2

4．

271

6

5．

52

9

6．首先求出函数xxxy223的零点：1

1

x，0

2

x，2

3

x.又易判断出在)0,1(

内，图形在x轴下方，在)2,0(内，图形在x轴上方，所

以所求面

积为

7．D8．C9．D

10．（1）

37

(,)

24

P；（2）面积均为

125

12