单摆公式

谈单摆周期公式中的等效摆长和等效重力加速度-2019年文档

谈单摆周期公式中的等效摆长和等效重力加速度

单摆的周期公式T=2π是惠更斯从实验中总结出来的,单摆的恢复

力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力(mgsinθ)偏角越大

回复力越大,由于摆球的轨迹是圆弧,所以除最高点外摆球的恢复力并不

等于合外力。在有些振动系统中,L不一定是绳长,g也不一定是当地的

重力加速度,因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。

等效摆长:在摆球的直径远小于绳长的情况下,摆长L为小球重心与

悬点间的距离。即L=L+r,其中L为摆线长,r为小球重心与球绳连接点

间的距离。通常使用均匀球体,r为球的半径。例如图(1)所示用两根等

长的细线悬挂在水平天花板下的双线摆的等效摆长为l'=Lsinα。

例如图(2)所示等效摆长为:l'=L+Lsinα=L(1+sinα),故周期T=2π。

例如图(3)所示是一种记录地震装置的水平摆,摆球m固定在边长为

L、质量可忽略不计的等边三角形的顶点A上,它的对边BC跟竖直线成

不大的夹角α,摆球可绕固定轴BC摆动,求摆球做微小振动的周期?

解(1)如图(4)所示摆球处于平衡位置时过A作一竖直线,延长BC交

与D(如右图),DA即为等效摆长,其长度

为:l'=sin60°=L,而等效重力加速度仍为g,因此周期为

T=2πL。

解(2)如图(3)所示在平衡位置时(图中的ABC平面内),把

摆球的重力G分解为与轴BC平行的分力G1和与轴垂直的分力

G2,此时等效摆长为l=Lsin60°=L,等效重力加速度为

g'==gsinα,因此周期为T=2πL。

1.等效重力加速度:公式中的g由单摆所在的空间位置决定,由G=g

知,g随地球表面不同位置、不同高度而变化。在不同的星球上也不相

同,因此应求出单摆所在处的等效重力加速度,即g不一定等于9.8m/s2。

2.g还由单摆系统的运动状态决定。如单摆处于加速上升的升降

机内,设加速度为a,此时摆球处于超重状态,摆球静止在平衡位置时,悬线

对摆球的拉力为mg+ma,摆球的质量不变则等效重力加速度为g+a。

再如,单摆处在在轨道上航行的航天飞机内,摆球完全失重,悬线的拉力是

零,等效重力加速度是零,因此周期无穷大,即单摆不摆动了。

3.g还由摆球所处的物理环境决定,如图(6)所示带电小球做成的单

摆在竖直方向的匀强电场中静止时,悬线的拉力是

mg+qE,此时等效重力加速度为g'=mg+qE/m。

所以等效重力加速度等于摆球在平衡位置不摆动时,摆线的拉力与

摆球质量的比值。

4.如图(7)所示若带电小球处在水平方向的匀强电场中,摆

球的平衡位置在O处(也叫物理最低点),此时摆线对小球的拉力

为F=,等效重力加速度是g'=。

5.对于一些特殊情况,用摆球在平衡位置不摆动时,摆线的拉力与摆

球质量的比值,来求等效重力加速度就不再成立,如图(5)所示在悬点和小

球都带同种电荷的情况下,小球静止在平衡位置时悬线的拉力为

F=mg+K,但此时等效重力加速度g'=g,即周期为2π,因为尽管悬线的

拉力大于mg,但在摆动过程中摆球的恢复力仍等于mgsinα,即静电力

对恢复力没有贡献。

综上所述,等效重力加速度的求法,在恒力场里,当摆球在平衡位置不

摆动时,可以用摆线的拉力与摆球质量的比值来求等效重力加速度。