初二数学

第十二章全等三角形

一、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性质

（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定

边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)

边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)

角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)

角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)

斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)

二、角的平分线：

1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：

（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；

（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；

（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互

相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是

三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示和性质

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如≌ABC≌≌DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角

边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

4、全等变换

只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

第十四章整式乘法与因式分解

（一）幂的运算：

1

．同底数幂的乘法

≌n

个相同因式（或因数）

a

相乘，记作

an，读作

a

的

n

次方（幂），其中

a

为底数，

n

为指数，

an的结果叫做幂。

≌

底数相同的幂叫做同底数幂。

≌

同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：

am﹒

an=am+n。

注意：底数可以是多项式或单项式。如：532)()()(bababa•

≌

此法则也可以逆用，即：

am+n=am﹒

an。

≌

开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

2

．同底数幂的除法

≌

同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，

即：nmnmaaa（

nma,,0

都是正整数）。

≌

此法则也可以逆用，即：

am-n=am÷an（

a≠0

）。

3

．零指数与负指数公式

:

（

1

）零指数幂：任何不等于

0

的数的

0

次幂都等于

1

，即：

a0=1

（

a≠0

）。

（

2

）负指数幂：任何不等于零的数的

―p

次幂，等于这个数的

p

次幂的倒数，即：

p

p

a

a

1

（

pa,0

是正整数）

注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为

0

。

注意：

00，

0-2无意义；

（

2

）有了负指数，可用科学记数法记录小于

1

的数，例如：

0.0000201=2.01×10-5.

绝对值小于1的数可记成n-10a的形式，其中10a1，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零

的个数（包括小数点前面的一个零）。

4

．幂的乘方

≌

幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（

am）n表示

n

个

am相乘。

≌

幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。mnnmaa)(。（

nm,

都是正整数）

≌

此法则也可以逆用，即mnnmmnaaa)()(。

5

．积的乘方

≌

积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

≌

积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

即nnnbaab)(（

n

是正整数）。

≌

此法则也可以逆用，即：

anbn=

（

ab

）n。

6

．三种

“

幂的运算法则

”

异同点

（

1

）共同点：

≌

法则中的底数不变，只对指数做运算。

≌

法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

≌

对于含有

3

个或

3

个以上的运算，法则仍然成立。

（

2

）不同点：

≌

同底数幂相乘是指数相加。

≌

幂的乘方是指数相乘。

≌

积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。

（二）整式乘法：

1

．单项式的乘法

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

注意：

≌

积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

≌

相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

≌

只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

≌

单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

≌

单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

2

．单项式与多项式的乘法

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

即

mcmbmacbam)(

(

cbam,,,

都是单项式

)

。

注意：

≌

积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

≌

运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

≌在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

3

．多项式的乘法

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：

(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb

。

注意：

≌

多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多

项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

≌

多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用

“

同号得正，异号得负

”

。

≌

运算结果中有同类项的要合并同类项。

≌

对于含有同一个字母的一次项系数是

1

的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

。

（三）、完全平方公式与平法差公式

1

．平方差公式

≌22))((bababa，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

公式特点：有一项完全相同，另一项只有符号不同

≌

平方差公式中的

a

、

b

可以是单项式，也可以是多项式。

≌

平方差公式可以逆用，即：

a2-b2=

（

a+b

）

(a-b)

。

≌

平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成（

a+b

）

•(a-b)

的形式，然后看

a2与

b2

是否容易计算。

2

．完全平方公式

≌

即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减

去）它们的积的

2

倍。

≌

完全平方公式可以逆用，即：

≌

公式中的

a

，

b

可以是单项式，也可以是多项式。

≌

掌握理解完全平方公式的变形公式：

常用变形：

222121((-),(-(-)nnnnxyyxxyyx））

（四）、因式分解

1．定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式



几个整式的积

例：

111

()

333

axbxxab

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2．分解因式的基本方法：

（1）提公因式法：

≌定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形

就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。











系数——取各项系数的最大公约数

字母——取各项都含有的字母

指数——取相同字母的最低次幂

例：333234221286abcabcabc的公因式是．

222222()2,()2,abaabbabaabb

2222222(),2().aabbabaabbab

222222

1

2

()2()2[()()]ababababababab

22()()4ababab

22

1

4

[()()]ababab

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分

33323422,,abcabcabc都含有因式32abc，故多项式的公因式是232abc.

≌提公因式的步骤

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一

个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符

号。

例1：把2233121824ababab分解因式.

解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

解：2233121824ababab

226(234)ababab

例2：把多项式3(4)(4)xxx分解因式

解析：由于4(4)xx，多项式3(4)(4)xxx可以变形为3(4)(4)xxx,我们可以发现多项式各项都

含有公因式（4x）,所以我们可以提取公因式（4x）后,再将多项式写成积的形式.

解：3(4)(4)xxx

=3(4)(4)xxx

=(3)(4)xx

例3：把多项式22xx分解因式

解：22xx=2(2)(2)xxxx

（2）运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

22

222

3322

3322

.()()

.2()

.()()

.()()

aababab

babbab

cababaabb

dababaabb









逆用平方差公式：

逆用完全平方公式：a

逆用立方和公式：（拓展）

逆用立方差公式：（拓展）

注意：≌公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

≌选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全

平方公式。

例1：因式分解21449aa

解：21449aa=2(7)a

例2：因式分解222()()aabcbc

解：222()()aabcbc=2()abc

（3）分组分解法（拓展）

≌将多项式分组后能提公因式进行因式分解；

例：把多项式1abab分解因式

解：1abab=()(1)abab=(1)(1)(1)(1)abbab

≌将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

例：将多项式2221aabb因式分解

解：2221aabb

=222(2)1()1(1)(1)aabbababab

（4）十字相乘法（形如

2()()()xpqxpqxpxq

形式的多项式，可以考虑运用此种方法）

方法：常数项拆成两个因数pq和，这两数的和pq为一次项系数

2()xpqxpq

x

p

x

q

2()()()xpqxpqxpxq

例：分解因式230xx分解因式252100xx

补充点详解补充点详解

我们可以将-30分解成p×q的形式，我们可以将100分解成p×q的形式，

使p+q=-1,p×q=-30,我们就有p=-6,使p+q=52,p×q=100,我们就有p=2,

q=5或q=-6,p=5。q=50或q=2,p=50。

所以将多项式2()xpqxpq可以分所以将多项式2()xpqxpq可以分

解为()()xpxq解为()()xpxq

x

5

x

2

x

-6

x

50

230xx

(6)(5)xx252100xx

(50)(2)xx

3．分解因式的技巧：

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在

哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

(1)因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；

(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁

(3)变形技巧：

①符号变形

xyy---x

当n为奇数时，nnxyy---x

当n为偶数时，nnxyy--x

①增项变形：

例：22422444-1444-41414xxxxxxx

①拆项变形：

例：11-11-1-1-2x222322323xxxxxxxxxxx

第十三章轴对称

一、轴对称图形

1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称

图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条

直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

轴对称图形

轴对称

区别

联系

图形

(1)轴对称图形是指()

具有特殊形状的图形,

只对()图形而言;

(2)对称轴()只有一条

(1)轴对称是指()图形

的位置关系,必须涉及

()图形;

(2)只有()对称轴.

如果把轴对称图形沿对称轴

分成两部分,那么这两个图形

就关于这条直线成轴对称.

如果把两个成轴对称的图形

拼在一起看成一个整体,那

么它就是一个轴对称图形.

B

C

A

C'

B'

A'

A

B

C

一个

一个

不一定

两个

两个

一条

知识回顾：

4.轴对称的性质

≌关于某直线对称的两个图形是全等形。

≌如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

≌轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

≌如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线

1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等

3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上

三、用坐标表示轴对称小结：

1.在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标

互为相反数,纵坐标相等.

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为______.

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为______.

2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等

四、（等腰三角形)知识点回顾

1.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）

（3）等腰三角形的其他性质：

≌等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

≌等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

≌等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

2

b

≌等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为≌A，底角为≌B、≌C，则≌A=180°—2≌B，≌B=≌C=

2

180A

2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形性质等腰三角形判定

中

线

1、等腰三角形底边上的中线垂直底

边，平分顶角；

2、等腰三角形两腰上的中线相等，并

且它们的交点与底边两端点距离

相等。

1、两边上中线相等的三角形是等腰

三角形；

2、如果一个三角形的一边中线垂直

这条边（平分这个边的对角），

那么这个三角形是等腰三角形

角

平

分

线

1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底

边；

2、等腰三角形两底角平分线相等，并

且它们的交点到底边两端点的距

离相等。

1、如果三角形的顶角平分线垂直于

这个角的对边（平分对边），那

么这个三角形是等腰三角形；

2、三角形中两个角的平分线相等，

那么这个三角形是等腰三角形。

高

线

1、等腰三角形底边上的高平分顶角、

平分底边；

2、等腰三角形两腰上的高相等，并且

它们的交点和底边两端点距离相

等。

1、如果一个三角形一边上的高平分

这条边（平分这条边的对角），

那么这个三角形是等腰三角形；

2、有两条高相等的三角形是等腰三

角形。

角等边对等角等角对等边

边底的一半<腰长<周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形

五、（等边三角形）知识点回顾

1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°。

2.等边三角形的判定：

≌三个角都相等的三角形是等边三角形。

≌有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。