集合数学

名师总结精品知识点

高一数学集合知识点归纳及典型例题

一、、知识点：

本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及

集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。

本章知识结构

集合的概念

集合的表示法

列举法

特征性质描述法

集合与集合的关系

集合

包含关系

集合的运算

子集

真子集

相等

交集

并集

补集

1、集合的概念

集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般

地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的

集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。

对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。

整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。

确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。

不同的――集合元素的互异性。

2、有限集、无限集、空集的意义

有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及

“Φ与{Φ}”的关系。

几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。

3、集合的表示方法

（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们

需要知道能用列举法表示的三种集合：

①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100}

③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…}

●注意a与{a}的区别

●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。

（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示

出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是

非常重要的。如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。

4、集合之间的关系

●注意区分“从属”关系与“包含”关系

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“从属”关系是元素与集合之间的关系。

“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概

念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是

基本要求。

●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。

5、集合的运算

集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的

方式：交集、并集和补集。

一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：

ABABA

AA

AAA

ABBA

















BBABA

AAA

AAA

ABBA

















UACB

BCABA

AACC

ACA

UACA

U

U

UU

U

U



















)(

还要尝试利用Venn图解决相关问题。

二、典型例题

例1.已知集合

}33,)1(,2{22aaaaA

，若

A1

，求a。

解：

A1

根据集合元素的确定性，得：

133,11,1222aaaa或）或（

若a＋2＝1，得:

1a

，但此时

21332aaa

，不符合集合元素的互异性。

若

1)1(2a

，得：

2-,0或a

。但

2a

时，

22)1(133aaa

，不符合

集合元素的互异性。

若

,1332aa

得：

。或－2,1a

1)1(-2a1;2a,-1a2a时，时但

，都不符合集合元素的互异性。

综上可得，a＝0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性

是检验结论的工具。

例2.已知集合M＝

012|2xaxRx

中只含有一个元素，求a的值。

解：集合M中只含有一个元素，也就意味着方程

0122xax

只有一个解。

（1）

012,0xa方程化为时

，只有一个解

2

1

x

（2）

只有一个解若方程时012,02xaxa

1,044aa即需要

.

综上所述，可知a的值为a＝0或a＝1

【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外

多体会知识转化的方法。

例3.已知集合

},01|{},06|{2axxBxxxA

且BA，求a的值。

解：由已知，得：A＝{－3，2}，若BA，则B＝Φ，或{－3}，或{2}。

若B＝Φ，即方程ax＋1＝0无解，得a＝0。

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若B＝{－3}，即方程ax＋1＝0的解是x＝－3，得a＝

3

1

。

若B＝{2}，即方程ax＋1＝0的解是x＝2，得a＝

2

1



。

综上所述，可知a的值为a＝0或a＝

3

1

，或a＝

2

1



。

【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。

例4.已知方程

02cbxx

有两个不相等的实根x

1

，x

2.

设C＝{x

1

，x

2

}，A＝{1，3，

5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，若

CBCCA,

，试求b，c的值。

解：由

BCCBC

，那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。

又因为

CA

，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是C＝{4，10}

因此，b＝－（x

1

＋x

2

）＝－14，c＝x

1

x

2

＝40

【小结】对

CBCCA,

的含义的理解是本题的关键。

例5.设集合

}121|{},52|{mxmxBxxA

，

（1）若

BA

，求m的范围；

（2）若

ABA

，求m的范围。

解：（1）若

BA

，则B＝Φ，或m＋1>5，或2m－1<－2

当B＝Φ时，m＋1>2m－1，得：m<2

当m＋1>5时，m＋1≤2m－1，得：m>4

当2m－1<－2时，m＋1≤2m－1，得：m∈Φ

综上所述，可知m<2，或m>4

（2）若

ABA

，则B



A，

若B＝Φ，得m<2

若B≠Φ，则

















121

512

21

mm

m

m

，得：

32m

综上，得m≤3

【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。

例6.已知A＝{0，1}，B＝{x|x



A}，用列举法表示集合B，并指出集合A与B的关系。

解：因为x



A，所以x＝Φ，或x＝{0}，或x＝{1}，或x＝A，

于是集合B＝{Φ，{0}，{1}，A}，从而A∈B

三、练习题

1.设集合M＝

,24},17|{axx

则（）

A.

Ma

B.

Ma

C.a＝MD.a>M

2.有下列命题：①

}{

是空集②若

NbNa,

，则

2ba

③集合

}012|{2xxx

有两个元素④集合

},

100

|{ZxN

x

xB

为无限集，其中正确命

题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

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3.下列集合中，表示同一集合的是（）

A.M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}

B.M＝{3，2}，N＝{（2，3）}

C.M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}

D.M＝{1，2}，N＝{2，1}

4.设集合

}12,4{},1,3,2{22aaaNaM

，若

}2{NM

，则a的取值集

合是（）

A.

}

2

1

,2,3{

B.{－3}C.

}

2

1

,3{

D.{－3，2}

5.设集合A＝{x|1

BA

，则实数a的范围是（）

A.

2a

B.

2a

C.

1a

D.

1a

6.设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，B＝

}1|),{(

x

y

yx

，则集合A，B的关系是（）

.A＝BD.A



B

7.已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N＝（）

A.Φ.R

8.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则集合B＝_________________

9.若

AB},01|{},023|{22且aaxxxBxxxA

，则a的值为_____

10.若{1，2，3}



A



{1，2，3，4，5}，则A＝____________

11.已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N表示相同的集合，求a，b的值

12.已知集合

B,A}02|{},04|{22且xxxBpxxxA

求实数p的范

围。

13.已知

}065|{},019|{222xxxBaaxxxA

，且A，B满足下列三

个条件：①

BA

②

BBA

③Φ

BA

，求实数a的值。

四、练习题答案

1.B2.A3.D4.C5.A6.B7.C

8.{0，1，2}

9.2，或3

10.{1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}

11.解：依题意，得：











2

2

bb

aa

或











ab

ba

2

2

，解得：











0

0

b

a

，或











1

0

b

a

，或















2

1

4

1

b

a

结合集合元素的互异性，得











1

0

b

a

或















2

1

4

1

b

a

。

12.解：B＝{x|x<－1，或x>2}

①若A＝Φ，即

0416p

，满足A



B，此时

4p

②若

A

，要使A



B，须使大根

142p

或小根

242p

（舍），解得：

43p

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所以

3p

13.解：由已知条件求得B＝{2，3}，由

BBA

，知A



B。

而由①知

BA

，所以AB。

又因为Φ

BA

，故A≠Φ，从而A＝{2}或{3}。

当A＝{2}时，将x＝2代入

01922aaxx

，得

019242aa53或a

经检验，当a＝－3时，A＝{2，－5};当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。

当A＝{3}时，将x＝3代入

01922aaxx

，得

019392aa52或a

经检验，当a＝－2时，A＝{3，－5};当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。

综上所述，不存在实数a使集合A，B满足已知条件。