圆心角度数怎么求

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圆心角和圆周角及之间的关系

内容（课题）:圆心角和圆周角及之间的关系

教学目的：1、了解圆周角的概念。

2、理解圆周角定理的证明。

3、通过圆周角定理的证明，培养学生对数学的逻辑严密性的体验，树立正确的数学学习观。

4、培养学生的合作交流意识和数学交流能力。

重难点（考点）分析：

要注意分类讨论和有关圆的问题的多解性，同时结合阅读理解，条件开放，结论开放的探索题

型，圆周角的概念和圆周角定理的证明，理解圆周角定理的证明中的分类证明思想。

教学过程：

一、圆周角与圆心角的定义

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个基本特征：

(1)顶点在圆上；

(2)两边都和圆相交。

圆心角：顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：

练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．

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二、看一看

A

B

C

O

有没有圆周角？∠BAC有没有圆心角？∠BOC

它们有什么共同的特点？它们都对着同一条弧BC

三、猜想归纳：请画出弧BC所对的圆周角.若按圆心O与这个圆周角的位置关系来分类,我们可以分成几类？圆

周角的度数与什么有关系？动手量一量∠BOC与∠BAC有何数量关系？

A

B

C

O

A

BC

O

四、证明圆心角与圆周角之间的关系

1、首先考虑一种特殊情况：

当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(AB)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.

∵∠BOC是△ACO的外角

∴∠BOC=∠C+∠A

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∵OA=OC，

∴∠A=∠C

∴∠BOC=2∠A

即∠BAC=1/2∠BOC

2、如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?

当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?

思考：能否转化成1中的情况？

证明：过点A作直径AD.由1可得:

∵∠BAD=1/2∠BOD,∠CAD=1/2∠COD

∴∠BAC=1/2∠BOC.

3、当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?

思考：同样是否能转化成1中的情况？

过点B作直径AD.由1可得:

∵∠BAD=1/2∠BOD,∠CAD=1/2∠COD

∴∠BAC=1/2∠BOC.

综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:

圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即∠BAC=1/2∠BOC

知识点总结：圆周角与圆心角的关系

（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的

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其它各组量都分别相等。

（2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

（3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

（4）．圆的内接四边形对角之和是180度。

（5）．弧的度数就是圆心角的度数。

练习题：（一）选择、填空题：

1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）

A．相等B．互补C．相等或互补D．都不对

3．下列说法正确的是（）

A．顶点在圆上的角是圆周角

B．两边都和圆相交的角是圆周角

C．圆心角是圆周角的2倍

D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

4．下列说法错误的是（）

A．等弧所对圆周角相等B．同弧所对圆周角相等

C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．D．同圆中，等弦所对的圆周角相等

5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD=

．

6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON=．

7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．

（A）30°（B）150°（C）30°或150°（D）)60°

8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则的度数为（

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）

（A）60°（B）80°（C）100°（D）)120°

9.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角

共有()个．

（A）3（B）4（C）5（D）6

10.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（）

（A）70°（B）65°（C）60°（D）)50°

二、填空题：

1.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.

C

B

A

O

D

C

B

A

O

E

D

C

B

A

O

(1)(2)(3)

2.如图5,AB是⊙O的直径,

BCBD

,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.

3.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB=30°,则点O到CD的距离OE=______.

三、解答题：

1．如图，已知AB是

O

的直径，

AC

是弦，过点

O

作ODAC于D，连结

BC

．

（1）求证：

1

2

ODBC；

（2）若40BAC∠，求ABC的度数．

A

B

C

D

O

（图1）

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2.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.

30

D

C

B

A

O

3.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长.

D

C

B

A

O

四、能力提升：

如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，

则有AC·AC＋BC·BC=AB2．

（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．

（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=．参照（1）填写相应结论，并

证明你填写结论的正确性．

学生对于本次课的评价：

○特别满意○满意○一般○差

学生签字：________

教学总结：