sin2x

不定积分和微分

页脚内容1

一、不定积分的解题技巧

引例：不定积分∫(1-x)cos2xdx

∫(1-x)cos2xdx

=∫cos2xdx-∫xcos2xdx

=(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x

=(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x

=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x(1/4)∫sin2xd2x

=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2xC

∫(1-x)cos2xdx

求导行：1-x-10

积分行：cos2x1/2*sin2x-1/4*cos2x

所以：∫(1-x)cos2xdx

=(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x)C

注：分步积分的时候，∫a*bdx

哪个放到d后面去（那个先反过来求

导）？

这里遵循一个原则：对，反，幂，三，

指。越后的先放到d里去

如∫x^2cosxdxx^2是幂函数，cosx是三角

函数。

所以，要这样化∫x^2dsinx

而不是1/3∫cosxdx^3

引例2：∫1/(1x^4)dx

原式＝1/2((1x^21-x^2)/1x^4)

=0.5(1x^2/1x^4)0.5(1-x^2/1x^4)

=0.5(1x^-2/x^-2x^2)<就是分子分母同

除x的平方>

如果是不定积分,两类换元法和拼凑法一般

来说结合使用灵活系数比较大

不过你要相信考试不定积分形式比较

简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积

出来的,一想到你的方法越做越陷入死

路,我想因该要变通.

第二,对于有独特的因子你要留意.

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定积分,比不定积分要难一些,因为很多

函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二

元

再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要

掌握.例题大家平时做题目就很容易发现

方法与技巧

一、换元法

1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”

出一个函数的微分。对于这个问题一方面要求熟

悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些

不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达

式,求其微分,从而决定如何凑微分。

例1.求下列不定积分:

(1)∫arcsinxx(1-x)dx(2)∫x1x(1xex)dx

解:(1)分析:由于darcsinx=12x(1-x)dx,

故可如下凑微分

∫arcsinxx(1-x)dx=2∫arcsinxd(arcsinx)=arcsin2xC

(2)由于d(xex)=ex(x1)dx,

故可用如下解法:∫x1x(1xex)dx=∫ex(x1)xex(1

xex)dx=∫dxexxex(1xex)=∫1xex-11xexd(xex)=

lnxex1xexC

2.拆(添)项将被积函数拆(添)项,把积分变为几

个较简单的积分,是求不定积分常用的技巧之一。

例2.求下列不定积分:

(1)∫1sin3xcosxdx(2)∫dx(1ex)2

解:(1)当分母是sinmxcosnx的形式时,常将分子

1改写成(sin2xcos2x),然后拆项进行积分。

∫1sin3xcosxdx=∫sin2xcos2xsin3xcosxdx=

∫1sinxcosxdx∫cosxsin3xdx=∫d(2x)sin2x

∫d(sinx)sin3x=lncsc2x-cot2x-∫12sin2xC

(2)先给分子加一项减一项,再将积分拆项。

∫dx(1ex)2=∫1ex-ex(1ex)2dx=∫dx(1ex)-∫exdx(1

ex)2=∫e-xe-x1dx-∫d(ex1)(1ex)2=ln(e-x1)11

exC

二、有理化将被积函数中的无理函数化为有

理函数,是积分常用的手段之一。

有理化的方法常常是换元或利用三角恒等变

换。

不定积分和微分

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例3.求下列不定积分:(1)∫e2x4ex1dx(2)∫1

sinxsinxdx

解:(1)∫e2x4ex1dx=∫exd(ex1)4ex1?

ex1=u44∫(u6-u2)du=4u77-u33C=47(ex

1)74-43(ex1)34C

(2)利用三角公式1sinx=sinx2cosx2可将被

积函数有理化。

∫1sinxsinxdx=∫sinx2cosx22sinx2cosx2dx

=∫dx2cosx2∫dx2sinx2

=lncx2tanx2lncscx2-cotx2C

三、方程法运用分部积分公式后,有时会出现

如下的情况:

∫f(x)dx=g(x)K∫f(x)dx(K≠1)此时可把它看作关于

∫f(x)dx的方程,解得:∫f(x)dx=11-Kg(x)C

例4.求∫c3xdx

解:∫c3xdx=cxd(tanx)

=cxtanx-∫tan2xcxdx

=cxtanx-∫(c2x-1)cxdx

=cxtanxlncxtanx-∫c3dx

故:∫c3xdx=12(cxtanx

lncxtanx)C

四、抵消法将原始积分拆项后,对其中一项用

分部积分公式,以抵消另一项,或对拆开的两项各

分部积分一次后,将未积出的部分抵消,这也是求

不定积分时常用的技巧。

例5.求下列不定积

分:(1)∫lnx-1(lnx)2dx(2)∫esinxxcos3x-sinxcos3xdx

解:(1)∫lnx-1(lnx)2dx=∫1lnx-∫dx(lnx)2=

xlnx∫x?-1ln2x?1xdx-∫dx(lnx)2=xlnx

∫dx(lnx)2-∫dx(lnx)2=xlnxC

(2)∫esinxxcos3x-sinxcos2xdx=

∫esinx?x?cosxdx-∫esinxsinxcos2xdx=

∫xdesinx-∫esinx-∫esinxd1cosx=xesinx-

∫esinxdx-esinxcosx∫1cosx?

esinx?cosxdx=xesinx-esinxcosxC

五、其他方法1.递推法运用分部积分法,可

建立In关于下标的递推公式。由此递推公式,就把

不定积分和微分

页脚内容4

计算In归结为计算In-1,依此类推,最后归结为计算

I1,I0。

例6.求∫dx(x21)3

解:令In=∫dx(x21)n因为In-1=∫dx(x21)n-1=x(x2

1)n-1-∫x?(1-n)?2x(x21)ndx=x(x21)n-1

2(n-1)∫(x21)-1(x21)ndx=x(x21)n-12(n-1)?

In-1-2(n-1)?In

所以In=x2(n-1)?(x21)n-12n-32(n-1)In-1

(n=2,3,…)

又I1=∫dx1x2=arctanxC

从而∫dx(x21)3=I3=x4(x21)234I2=x4(x2

1)234x2(x21)12I1=x4(x21)23x8(x21)

38arctanxC

2.待定系数法这里所说的待定系数法,是指

在求不定积分时,若预知结果的形式,只是其中含

有待定的常数时,可用求导的方法确定这些常数,

进而求出积分。例7.计算下列积分(1)∫sinx

8cosx2sinx3cosxdx(2)∫x3e2xdx解:由于(2sinx

3cosx)′=2cosx-3sinx

故可假设sinx8cosx=A(2sinx3cosx)

B(2cosx-3sinx)

这里A,B为待定系数,比较两端sinx及cosx项

的系数,

得:2A-3B=13A-2B=8,

故A=2,B=1则∫sinx8cosx2sinx3cosxdx=∫2

(2sinx3cosx)′2sinx3cosxdx=2xln2sinx3cosx

C

(2)对于型如∫ekx?Pn(x)dx的积分(其中Pn(x)为n

次多项式),它的原函数也形如ekx?Qn(x),这里的

Qn(x)为某个n次待定多项式。

即有:∫ekx?Pn(x)dx=ekx?Qn(x)C

两端求导得:ekx?Pn(x)=kekx?Qn(x)ekx?Q′n(x)

即:Pn(x)=k?Qn(x)Q′n(x)

再比较多项式的系数,求出待定的系数,进而求出

积分。

设∫x3e2xdx=(B0x3B1x2B2xB3)e2xC

则有:x3=2(B0x3B1x2B2xB3)(3B0x22B1xB2)

比较系数可得:2B0=12B13B0=02B2

2B1=02B3B2=0,

不定积分和微分

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解得B0=12B1=-34B2=34B3=-38故

∫x3e2xdx=12x3-34x234x-38e2xC

类似地,对于∫[Pn(x)coskxQn(x)sinx]dx的类型

(这里Pn(x),Qn(x)为n次多项式),

它的原函数类型也是很有规律的,即有

∫[Pn(x)coskxQn(x)sinx]dx=Sn(x)coskxTn(x)sinkxC

(这里Sn(x),Tn(x)是两个n次待定多项式);同样

对于∫Pn(x)ax2bxcdx型的积分,它的原函数类型也

是已知的,即有:∫Pn(x)ax2bxcdx=Qn-1(x)ax2bx

ca?∫dxax2bxc(这里Qn-1(x)是n-1次待定

多项式,α为待定系数)。

它们均不需积分,只要经过一些求导及代数

运算即可求出积分来。

3.伴侣法有些不定积分,单独考虑时较难积出,

倘若构造出另一个不定积分作为伴侣,两个积分

同时考虑,则可利用两积分相互之间的良好关联

性质,简单地求出不定积分。这种利用“伴侣”求解

的方法即所谓“伴侣法”。

例8.求下列不定积分(1)∫sinxdxasinxbcosx

(2)∫dx1x4

解:(1)本题可用待定系数法求解,这里介绍用

“伴侣法”求解。

令T1=∫sinxdxasinxbcosx,构造伴侣

T2=∫cosxdxasinxbcosx,于是aT1bT2=x

C1aT2-bT1=lnasinxbcosxC2故得:T1=1a2

b2(ax-bln|asinxbcosx|)C(2)本题可用有理函数积分

法求解,但计算繁琐。

令J1=∫dx1x4,J2=∫x2dx1x4则J1J2=∫1x21x4dx=

∫11x2x21x2dx=∫dx-1xx-1x22=12arctan12x-1x

C1J1-J2=∫1-x21x4dx=-∫dx1xx1x2-2=

-122lnx2-2x1x22x1C2

所以J1=∫dx1x4=122arctan12x-1x-142lnx2-2x1x2

2x1C

求解一个数学问题,要用到若干有关的数学

概念、定理、公式,但是怎样运用这些概念、定理

和公式来解题,却有许多方法和技巧,尤其是有些

高等数学问题要用很巧妙的方法或技巧才能解决,

因此要学好高等数学就必须掌握一定的解题方法

和技巧。

二、导数

引例：(x^2)*sinx的一百阶导数是多少

不定积分和微分

页脚内容6

用“二项式”展开法，x^2的3阶以及3阶以上

导数等于0.所以(x^2)*sinx甭管是100阶还是

10000阶求导。只有前几项不为0.

即得-x*x*cosx-200sinx*x9900cosx

例1：f(x)在(-∞,∞)上除X=0外有定义,且

f(xy)=f(x)f(y),f'(1)=1,求f'(x).

用定义去做

附一些解题技巧与经验

单选题的基本解题方法

1.推演法：从题设条件出发，按惯常思维运用

有关的概念、性质、定理等，经过直接的推理、

演算，得出正确结论。适用对象：对于围绕基本

概念设置的，或备选项为数值形式结果的或某种

运算律形式或条件为某种运算形式的，常用推演

法。个人观点：这种方法应该是最常用的，并且

所有的题都能通过这种方法解出来，大家应该注

重对基本概念和定理的记忆和运用。

2.图示法：是指根据条件作出所研究问题的

几何图形，然后借助几何图形的直观性，“看”

出正确选项。适用对象：对于条件有明显的几何

意义：如五性：对称性，奇偶性，周期性，凹凸

性，单调性或平面图形面积，空间立体体积等，

常用图示法。

个人观点：相信大家一定很喜欢这种解题方

法吧，画图直观，简便，但一定要注意图形的准

确性，一点细微的概念差错也许会导致图形的错

误。

3.赋值法：是指用满足条件的“特殊值”，

包括数值、矩阵、函数以及几何图形，通过推理

演算，得出正确选项。适用对象：对于条件中

有……对任意……，必……特征的题目，或选项

为抽象的函数形式结果的，可用赋值法。

个人观点：赋值法应该说是一种特殊的，而

且最快速的方法，可惜适用范围比较狭窄，所以

大家在用这种方法时，一定要注意使用条件，不

要遇到什么题都赋特殊值。

4．排除法：从题设条件出发，或利用推演法

排错，或利用赋值法排错，从而得出正确结论。适

用对象：理论性较强，选项较抽象，且不易证明

的题目。

个人观点：根据我的观察有些选择题，尤其

是理论性的选择题，有些答案是相互矛盾的，也

不定积分和微分

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就是说二者之中必有一对，所以建议大家遇到这

种题时“聪明”一下。

5．逆推法：将备选项依次代入题设条件的方

法。适用对象：备选项为具体数值结果，且题干

中含有合适的验证条件。

个人观点：这种方法对于有些题还是比较好

用的，缺点就是如果正确选项放在Ａ还好，如果

放在Ｄ，可能要浪费些时间了。

解题经验

1.只要遇到无穷小比较或∞.0型未定式极限

问题；或通项中含有“反对三指”函数关系的数

项级数的敛散性问题，就要想到利用等价无穷小

代换或皮亚诺型余项的泰勒公式求解。注:“反对

三指”:反三角函数，对数函数，三角函数，指数

函数。

常见的三个重要展开式:arcsinx=xx^3/3!

o(x^3)注:此公式后项无此规律！tanx=xx^3

o(x^3)注:此公式后项无此规律！arctanx=x-x^3

o(x^3)

2.只要遇到由积分上限函数确定的无穷小的

阶的问题，则想到:

1积分上限变量与被积函数的无穷小因子

可用等价无穷小代换之。

2两个由积分上限函数确定的无穷小量，若

其积分上限无穷小同阶，则其阶取决于被积函数

无穷小的阶；若被积函数无穷小同阶或都不是无

穷小，则其阶取决于积分上限无穷小的阶。

3.只要遇到积分区间关于原点对称的定积分

问题，就要想到先考查被积函数或其代数和的每

一部分是否具有奇偶性。

4.只要遇到对积分上限函数求导问题，就要

想到被积函数中是否混杂着求导变量（显含或隐

含）

若显含时，即被积函数为求导变量函数与积

分变量函数乘积（或代数和）

若隐含时，则必须作第二类换元法，把求导

变量从被积函数中“挖”出来，其出路只有两条:

一是显含在被积函数中，二是跑到积分限上。

5.幂指函数,在求极限,求导数,求积分之前,一

定要用对数恒等式处理一下

6.两项的和差的积分,如果积得出来就积,积

不出来就通分,各项的极限求不出来就通分

不定积分和微分

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7.如果被积函数中所含的对数函数,反三角函

数的次数大于等于2,一定要做变量替换

8.把对数函数,反三角函数拿来求导,看它是

不是另一部分的常数倍,若是,凑微分做;若不是,分

部积分,对数函数,反三角函数一定作为求导对象;

如果分部积分做,积分部分还要做变量替换,与其

如此,不如直接令对数函数,反三角函数等于一个

变量t

9.有理函数的积分，如果分母次数高于分子，

在用待定系数法太繁的时候，一定要想到倒代换，

令分母的倒数为t，然后就是多项式的积分，结果

显然

10.积分等式，凡是含有变限积分，被积函数

又不是复合函数，直接两边对积分变量求导

11.除了幂级数运算外，任何我们所接触到的

运算，绝对不能将两种运算交换位置

12.被积函数含绝对值符号的,一定要令绝对

值的式子=0,得到若干个零点,然后按段积分,再

sigma

13.在积分等式中，定积分，重积分都是定值，

可令先其为A

14.重积分定限口诀：后积先定限，限内画条

线，先交下限写，后交上限见。注意：先积的要

简单。看到先积函数非初等可积的，先交换积分

次序再做。