2015高考真题

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试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5

页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

（1）设复数z满足

1+z

1z

＝i，则|z|＝

(A)1(B)2(C)

3

(D)2

(2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝

(A)

3

2



(B)

3

2

(C)

1

2



(D)

1

2

(3)设命题P：



n



N，2n

>

2n，则P为

(A)



n



N，2n

>

2n(B)



n



N，2n

≤

2n

(C)



n



N，2n

≤

2n(D)



n



N，2n

＝

2n

(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次

投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概

率为

(A)0.648(B)0.432(C)0.36(D)0.312

(5)已知M(x

0，y

0

)是双曲线C：

2

21

2

x

y

上的一点，F

1

、F

2

是C上的两个

焦点，若

12

MFMF

＜0，则y

0

的取值范围是

(A)(－

3

3

，

3

3

)(B)(－

3

6

，

3

6

)

(C)(

22

3



，

22

3

)(D)(

23

3



，

23

3

)

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有

委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角

处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的

高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立

方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛

(7)设D为ABC所在平面内一点3BCCD，则

(A)

14

33

ADABAC(B)

14

33

ADABAC

(C)

41

33

ADABAC(D)

41

33

ADABAC

(8)函数f(x)＝的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为

(A)()，k(b)()，k

(C)()，k(D)()，k

(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝

(A)5(B)6(C)7(D)8

（10）25()xxy的展开式中，52xy的系数为

(A)10(B)20(C)30(D)60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，

（12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的

（13）表面积为16＋20，则r＝

(A)1

(B)2

(C)4

(D)8

12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的

整数x

0

，使得f(x

0

)0，则a的取值范围是()

A.[

3

2e



，1)B.[

33

,

24e



)C.[

33

,

24e

)D.[

3

2e

，1)

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都

必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)若函数f(x)＝xln(x＋2ax

)为偶函数，则a＝

(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方

2

r

r

正视图

俯视图

r

2

r

程为.

(15)若x，y满足约束条件

10

0

40

x

xy

xy

















，则

y

x

的最大值为.

(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范

围是.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

S

n

为数列{a

n

}的前n项和.已知a

n

>0，

(Ⅰ)求{a

n

}的通项公式：

(Ⅱ)设，求数列}的前n项和

(18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，

E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，

DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：

千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣

传费x

i

和年销售量y

i

(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及

一些统计量的值.

x

y

w

8

i=1

(x

i

－x)2

8

i=1

(w

i

－w)2

8

i=1

(x

i

－x)(y

i

－

y)

8

i=1

(w

i

－

w)(y

i

－y)

46.656.36.8289.81.61469108.8

表中w

i

＝

i

x，，w＝

1

8

8

i=1

i

w

A

B

C

F

E

D

年宣传费(千元)

年

销

售

量

(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传

费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答

下列问题：

（i）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u

1

v

1

)，(u

2

v

2

)……..(u

n

v

n

)，其回归线v＝

u

的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

1

2

1

()()

,

()

n

ii

i

n

i

i

uuvv

vu

uu















(20)(本小题满分12分)

在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝

2

4

x

与直线l:y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，

(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.

(21)(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝3

1

,()ln

4

xaxgxx

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线

()yfx

的切线；

(Ⅱ)用

min,mn

表示m，n中的最小值，设函数

()min(),()(0)hxfxgxx

，讨论h(x)零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果

多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号

后的方框涂黑.

(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，BC交☉O于点E

（I）若D为AC的中点，证明：DE是☉O的切线；

（II）若OA＝3CE，求∠ACB的大小.

(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中.直线

1

C:x＝－2，圆

2

C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求

1

C，

2

C的极坐标方程；

（II）若直线

3

C的极坐标方程为

4

R





，设

2

C与

3

C的交点为

M

，N，

求△C

2

MN的面积

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

2015年普通高等学校招生全国统一考试

C

D

A

E

B

O

理科数学试题答案

A卷选择题答案

一、选择题

（1）A（2）D（3）C（4）A（5）A（6）B

（7）A（8）D（9）C（10）C（11）B（12）D

A、B卷非选择题答案

二、填空题

（13）1（14）22

325

()

24

xy

（15）3

（16）

二、解答题

（17）解：

（I）由2243

nnn

aaS

，可知2

111

243.

nnn

aaS





可得22

111

2()4

nnnn

aaaaa





即

22

1111

2()()()

nnnnnn

aaaaaaaa





由于0

n

a可得

1

2.

nn

aa





又2

111

243aaa

，解得

11

1()3aa舍去，

所以

n

a

是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为

21.

n

an

（II）由

21

n

an

1

11111

().

(21)(23)22123n

n

b

aannnn







设数列

n

b

的前n项和为

n

T

，则

12nn

Tbbb

1111111

()()()()

235572123

.

3(23)

nn

n

n















（18）解：

（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.

在菱形ABCD中不妨设GB=1.由



ABC=120°，

可得AG=GC=3.由BE



平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.

又AE



EC，所以EG=3，且EG



AC.在Rt



EBG中，

可得BE=2故DF=

2

2

.在Rt



FDG中，可得FG=

6

2

.

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=

2

2

，

可得FE=

32

2

.从而222,EGFGEFEGFG所以

又,.ACFGGEGAFC可得平面因为

EGAEC平面

所以平面

AECAFC平面

（III）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，

GB为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.

由（I）可得

2

(03,0),(102),(10),(03,0)

2

AEFC，，，，，，

所以

2

(132),(13,).

2

AECF，，

故

3

cos,.

3

AECF

AECF

AECF







所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为

3

3

.

（19）解：

（I）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方

程类型。……2分

（II）令wx，先建立y关于w的线性回归方程。由于

1

2

1

()()

108.8

ˆ

68

1.6

()

n

ii

i

n

i

i

wwyy

d

ww















ˆ

ˆ

563686.8100.6cydw。

所以y关于w的线性回归方程为

ˆ

100.668yw，因此y关于x的回归方程为

ˆ

100.668yx。……6分

（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值

ˆ

100.66849576.6y

年利润z的预报值

ˆ

576.60.24966.32z。……9分

（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值

ˆ

0.2(100.668)13.620.12zxxxx

所以当

13.6

6.8

2

x，即x=46.24时，

ˆ

z取得最大值

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。……12分

（20）解：

（I）有题设可得

(2,),(2,),MaaNaaMa或（-2,a）.

又

2

=y2

24

xx

yxa



，故在

处的导数值为

a

，C在点

(2,)aa

出的切线方程为

a(2),0yaxaaxya即

2

2

4

x

yxa在

，即

0axya

.

股所求切线方程为

0a0axyaxya和

（III）存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为

12

,kk

kxa代入的方程得

故

1212

4,

从而a代入的方程得x

1212

4,故

12

1

12

1212

12

b

2

2()()

yyb

kk

xx

kxxabxx

xx







从而

()kab

a





当b=-a时，有

12

0,=kkPM则直线的倾角与直线PN的倾角互补，故OPMOPN，所以点P(0,-a)符合题意

（21）解：

（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点

000

3

00

2

0

0

(,0)()0,()0

1

0

4

30

13

,

24

xfxfx

xax

xa

a



















则即

解得x

因此，当

3

xy()

4

afx时，轴为曲线的切线

（II）当

x(1,)()10,(),()()0,h()(1,)gxnxfxgxgxx时，从而h(x)=min故在无零点



55

x1(1)0,(1)min(1),(1)(1)0,x

44

afahfgg当时，若则故

是



5

()a,(1),(1)(1)0,1(

4

hxfgfxhx的零点；若则f(1)<0,h(1)=min故不是

的零点x(0,1)g()当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数

2iaaf



（）若-3或0,则（x）=3x+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调

15

f(0),(1),faf

44

fa所以当a-3时，(x)在（0,1）有一个零点；当0时(x)在（1,0）没有零点

aa

()30,f()0),1

33

iiax若则在（，单调递减，在（）单调递增，故在（0,1）中

3

21

()f()

3334

a

aaa

xfx当时，取得最小值，最小值为

3

()0.0,()

34

3

faf()(0,1)

34

3153

()0,3,(0),(1)

34444

a

fafx

a

x

a

faffaa







①若即在（0,1）无零点；

②若()=0,即=-则在有唯一零点

③若即由于

5

()f()(0,1).

4

fxx时，在（0,1）有两个零点；当-3

综上，当

3535

aa<-()aah()

4444

hxx或时，有一个零点；当或时，有两个零点

53

h().

44

ax当时，有三个零点

（22）解：

（I）链接AE，由已知得，AEBCACAB

在RtAEC中，由已知得，DE=DC故DECDCE

链接OE，则OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90°

故90oOED，DE是O得切线

（II）设CE=1，AE=X，由已知得23AB，212BEx

由摄影定理可得，AE=，所以2212xx即42120xx

可得3x，所以60oACB

（23）解：

（I）因为cosx，siny，所以

1

C的极坐标方程为cos2，

2

C的

极坐标方程为22cos4sin40。……5分

（II）将

4



代入22cos4sin40，得23240，解得

1

22，

2

2。故

12

2，即2MN。

由于

2

C的半径为1，所以

2

CMN的面积为

1

2

。……10分

（24）解：

（I）当1a时，1fx化为12110xx，

当1x时，不等式化为40x，无解；

当11x时，不等式化为320x，解得

2

1

3

x；

当1x时，不等式化为20x，解得12x。

所以1fx的解集为

2

2

3

xx









。……5分

（II）由题设可得，

12,1,

312,1,

12,,

xax

fxxaxa

xaxa

















所以函数fx的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为

21

,0

3

a

A









，

21,0Ba，,1Caa，ABC的面积为22

1

3

a。

由题设得22

16

3

a，故2a。

所以a的取值范围为2,……10分

B卷选择题

一、选择题

（1）D（2）A（3）C（4）A(5)D(6)B

(7)D(8)A(9)C(10)C(11)B(12)A