2013年四川高考数学

2013四川文科数学第1页

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求的．

1．(2013四川，文1)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}．则A∩B＝()．

A．B．{2}

C．{－2,2}D．{－2,1,2,3}

2．(2013四川，文2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是

()．

A．棱柱

B．棱台

C．圆柱

D．圆台

3．(2013四川，文3)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()．

A．AB．B

C．CD．D

4．(2013四川，文4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：x

∈A,2x∈B，则()．

A．



p：



x∈A,2x∈B

B．



p：



x



A,2x∈B

C．



p：



x∈A,2x



B

D．



p：



x



A,2x



B

5．(2013四川，文5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是()．

A．

23

B．2C．

3

D．1

6．(2013四川，文6)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)

ππ

0,

22











的部分图象如图所示，则ω，φ的

值分别是()．

A．2，

π

3



B．2，

π

6



C．4，

π

6



D．4，

π

3

7．(2013四川，文7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如

图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是()．

2013四川文科数学第2页

8．(2013四川，文8)若变量x，y满足约束条件

8,

24,

0,

0,

xy

yx

x

y























且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则

a－b的值是()．

A．48B．30C．24D．16

9．(2013四川，文9)从椭圆

22

22

1

xy

ab

(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆

与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()．

A．

2

4

B．

1

2

C．

2

2

D．

3

2

10．(2013四川，文10)设函数f(x)＝

exxa(a∈R，e为自然对数的底数)，若存在b∈[0,1]使f(f(b))

＝b成立，则a的取值范围是()．

A．[1，e]B．[1,1＋e]C．[e,1＋e]D．[0,1]

第二部分(非选择题共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．(2013四川，文11)lg5lg20的值是__________．

12．(2013四川，文12)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD

交于点O，AB



＋AD



＝λAO



.则λ＝__________.

13．(2013四川，文13)已知函数f(x)＝4x＋

a

x

(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.

14．(2013四川，文14)设sin2α＝－sinα，α∈

π

,π

2







，则tan2α的值是__________．

15．(2013四川，文15)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和

最小的点的坐标是__________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(2013四川，文16)(本小题满分12分)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，

求数列{an}的首项、公比及前n项和．

2013四川文科数学第3页

17．(2013四川，文17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos

B－sin(A－B)sin(A＋C)＝

3

5

.

(1)求sinA的值；

(2)若42a，b＝5，求向量BA



在BC



方向上的投影．

18．(2013四川，文18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，

24这24个整数中等可能随机产生．

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)．

(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为

i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表(部分)

运行

次数n

输出y的值

为1的频数

输出y的值

为2的频数

输出y的值

为3的频数

3014610

…………

21

乙的频数统计表(部分)

运行

次数n

输出y的值

为1的频数

输出y的值

为2的频数

输出y的值

为3的频数

3012117

…………

21

当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分

数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

2013四川文科数学第4页

19．(2013四川，文19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC

＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝

1

3

Sh，其中S为底面面

积，h为高)

20．(2013四川，文20)(本小题满分13分)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：

y＝kx与圆C交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且

222

211

||||||OQOMON

，请将n表示为m的函数．

2013四川文科数学第5页

21．(2013四川，文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝

22,0,

ln,0,

xxax

xx











其中a是实数，设A(x1，

f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.

(1)指出函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1；

(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

2013四川文科数学第6页

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求的．

1．

答案：B

解析：{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}．

2．

答案：D

解析：从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆

台．

3．

答案：B

解析：设z＝a＋bi，则共轭复数为z＝a－bi，

∴表示z与z的两点关于x轴对称．

故选B．

4．

答案：C

解析：原命题的否定是x∈A,2xB．

5．

答案：D

解析：y2＝8x的焦点为F(2,0)，它到直线x－3y＝0的距离d＝

2

13

＝1.故选D．

6．

答案：A

解析：由图象知函数周期T＝2

11π5π

1212









＝π，

∴ω＝

2π

π

＝2，把

5π

,2

12







代入解析式，得

5π

22sin2

12











，即

5π

sin1

6











.

∴

5π

6

＋φ＝

π

2

＋2kπ(k∈Z)，φ＝

π

3

＋2kπ(k∈Z)．

又

ππ

22

，∴φ＝

π

3

.

故选A．

7．

答案：A

解析：由分组可知C，D一定不对；由茎叶图可知[0,5)有1人，[5,10)有1人，

∴第一、二小组频率相同，频率分布直方图中矩形的高应相同，可排除B．故选A．

8．

答案：C

解析：画出可行域，如图．

联立

8,

24,

xy

yx











解得

4,

4.

x

y











即A点坐标为(4,4)，

由线性规划可知，zmax＝5×4－4＝16，zmin＝0－8＝－8，即a＝16，

b＝－8，

∴a－b＝24.故选C．

9．

2013四川文科数学第7页

答案：C

解析：由题意知A(a,0)，B(0，b)，P

2

,

b

c

a









，

∵AB∥OP，

∴

2bb

aca

.∴b＝c.

∵a2＝b2＋c2，∴

2

2

2

1

2

c

e

a

.

∴

2

2

e.故选C．

10．

答案：A

解析：当a＝0时，f(x)＝

exx为增函数，

∴b∈[0,1]时，f(b)∈[1，e1]．

∴f(f(b))≥e1＞1.

∴不存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立，故D错；

当a＝e＋1时，f(x)＝

ee1xx，当b∈[0,1]时，只有b＝1时，f(x)才有意义，而f(1)＝0，

∴f(f(1))＝f(0)，显然无意义，故B，C错．故选A．

第二部分(非选择题共100分)

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确

认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．答案：1

解析：lg5lg20lg(520)lg1001.

12．

答案：2

解析：由平行四边形法则知AB



＋AD



＝AC



＝2AO



，

∴λ＝2.

13．答案：36

解析：由基本不等式可得4x＋

a

x

≥24

a

x

x

＝4a，当且仅当4x＝

a

x

即

2

a

x时等号成立，

∴3

2

a

，a＝36.

14．答案：3

解析：∵sin2α＝－sinα，α∈

π

,π

2







，

∴2sinαcosα＝－sinα，cosα＝

1

2

.

∵α∈

π

,π

2







，

∴

2π

3

，

4π

2

3

.

2013四川文科数学第8页

∴tan2α＝

4π

tan

3

＝3.

15．答案：(2,4)

解析：由题意可知，若P为平面直角坐标系内任意一点，则

|PA|＋|PC|≥|AC|，等号成立的条件是点P在线段AC上；

|PB|＋|PD|≥|BD|，等号成立的条件是点P在线段BD上，

所以到A，B，C，D四点的距离之和最小的点为AC与BD的交点．

直线AC方程为2x－y＝0，直线BD方程为x＋y－6＝0，

∴

20,

60,

xy

xy











解得

2,

4.

x

y











即所求点的坐标为(2,4)．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．解：设该数列的公比为q，由已知，可得

a1q－a1＝2,4a1q＝3a1＋a1q2，

所以，a1(q－1)＝2，q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1.

由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．

故公比q＝3，首项a1＝1.

所以，数列的前n项和Sn＝

31

2

n

.

17．

解：(1)由cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝

3

5

，得

cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝

3

5

.

则cos(A－B＋B)＝

3

5

，即cosA＝

3

5

.

又0＜A＜π，则sinA＝

4

5

.

(2)由正弦定理，有

sinsin

ab

AB

，

所以，sinB＝

sin2

2

bA

a

.

由题知a＞b，则A＞B，故

π

4

B.

根据余弦定理，有

2(42)＝52＋c2－2×5c×

3

5









，

解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．

故向量BA



在BC



方向上的投影为|BA



|cosB＝

2

2

.

18．

解：(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．

当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝

1

2

；

当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝

1

3

；

2013四川文科数学第9页

当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝

1

6

.

所以，输出y的值为1的概率为

1

2

，输出y的值为2的概率为

1

3

，输出y的值为3的概率为

1

6

.

(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：

输出y的值

为1的频率

输出y的值

为2的频率

输出y的值

为3的频率

甲

1027

2100

376

2100

697

2100

乙

1051

2100

696

2100

353

2100

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．

19．

解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，

因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，

由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC．

由已知，AB＝AC，D是BC的中点，

所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD．

因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.

又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，

所以直线l⊥平面ADD1A1.

(2)过D作DE⊥AC于E，

因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.

又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，

所以DE⊥平面AA1C1C．

由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，

所以在△ACD中，DE＝

3

2

AD＝

3

2

.

又

11

AQC

S



＝

1

2

A1C1·AA1＝1，

所以

11

AQCD

V



＝

11

DAQC

V



＝

1

3

DE·

11

AQC

S



＝

133

1

326

.

因此三棱锥A1－QC1D的体积是

3

6

.

20．

解：(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中，得

(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)

由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0，得k2＞3.

所以，k的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞)．

(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，

则|OM|2＝(1＋k2)x1

2，|ON|2＝(1＋k2)x2

2，

又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2.

由

222

211

||||||OQOMON

，得

222222

12

211

111kmkxkx





，

2013四川文科数学第10页

即

2

1212

22222

1212

2

211

xxxx

mxxxx



.

由(*)式可知，x1＋x2＝

2

8

1

k

k

，x1x2＝

2

12

1k

，

所以2

2

36

53

m

k





.

因为点Q在直线y＝kx上，

所以

n

k

m

，代入2

2

36

53

m

k





中并化简，得5n2－3m2＝36.

由2

2

36

53

m

k





及k2＞3，可知0＜m2＜3，即m∈(3，0)∪(0，3)．

根据题意，点Q在圆C内，则n＞0，

所以

2236315180

55

mm

n



.

于是，n与m的函数关系为

215180

5

m

n



(m∈(3，0)∪(0，3))．

21．

解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．

(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，

故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.

当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.

因为x1＜x2＜0，所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1.

所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.

因此x2－x1＝

1

2

[－(2x1＋2)＋2x2＋2]

≥

12

[22]22xx＝1.

(当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即

1

3

2

x且

2

1

2

x时等号成立)

所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1.

(3)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.

当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x1

2＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y

＝(2x1＋2)x－x1

2＋a.

当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－lnx2＝

2

1

x

(x－x2)，即y＝

2

1

x

·x＋lnx2

－1.

两切线重合的充要条件是

1

2

2

21

1

22,

ln1.

x

x

xxa















①

②

由①及x1＜0＜x2知，0＜

2

1

x

＜2.

由①②得，a＝lnx2＋

2

2

1

1

2x









－1＝

2

22

111

ln21

4xx









.

令

2

1

t

x

，则0＜t＜2，且a＝

1

4

t2－t－lnt，

2013四川文科数学第11页

设h(t)＝

1

4

t2－t－lnt(0＜t＜2)，

则h′(t)＝

1

2

t－1－

1

t

＝

213

2

t

t



＜0.

所以h(t)(0＜t＜2)为减函数，

则h(t)＞h(2)＝－ln2－1，

所以a＞－ln2－1.

而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大．

所以a的取值范围是(－ln2－1，＋∞)．

故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln2－1，＋∞)．