设f=3x，且f=18，g=3ax

题文

设f（x）=3x，且f（a+2）=18，g（x）=3ax-4x（x∈R）．（Ⅰ）求g（x）的解析式；（Ⅱ）讨论g（x）在[0，1]上的单调性并用定义证明；（Ⅲ）若方程g（x）-b=0在[-2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=3x，且f（a+2）=18，∴3a+2=18⇒3a=2（2分）∵g（x）=3ax-4x=（3a）x-4x∴g（x）=2x-4x（2分）（2）g（x）在[0，1]上单调递减．证明如下设0≤x1＜x2≤1g(x2)-g(x1)=2x2-4x2-2x1+4x1=(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)（2分）∵0≤x1＜x2≤1，∴2x2＞2x1，1≤2x1＜2，1＜2x2≤2∴2≤2x1+2x2＜4∴-3＜1-2x1-2x2＜-1，∴(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)＜0∴g（x2）＜g（x1）∴g（x）在[0，1]上单调递减（2分）（3）方程为2x -4x -b=0，令t=2x x∈[-2，2]，则14≤t≤4（2分）转化为方程为t-t2-b=0在[14，4]有两个不同的解．∴b=t-t2即b=-(t-12)2+14，当t=12时b取最大值14当t=14时，b=316，当t=4时，b=-12可得，当316≤b＜14时，方程有两不同解．（4分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=3x，且f（a+2）=18，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.