高中数学必修2

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人教版高中数学必修2

第一章：空间几何体

柱、锥、台、球的结构特征

一、教学目标

1．知识与技能：〔1〕通过实物操作,增强学生的直观感知.

〔2〕能根据几何结构特征对空间物体进行分类.

〔3〕会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.

〔4〕会表示有关于几何体以与柱、锥、台的分类.

2．过程与方法：

〔1〕让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征.

〔2〕让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.

3．情感态度与价值观：

〔1〕使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生

的观察能力.

〔2〕培养学生的空间想象能力和抽象括能力.

二、教学重点：让学生感受大量空间实物与模型、概括出柱、锥、台、球的结构特

征.

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.

三、教学用具

〔1〕学法：观察、思考、交流、讨论、概括.

〔2〕实物模型、投影仪.

四、教学过程

〔一〕创设情景,揭示课题

1、由六根火柴最多可搭成几个三角形？〔空间：4个〕

2在我们周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子

吗？这些建筑的几何结构特征如何？

3、展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体.

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问题：请根据某种标准对以上空间物体进行分类.

〔二〕、研探新知

空间几何体：多面体〔面、棱、顶点〕：棱柱、棱锥、棱台；

旋转体〔轴〕：圆柱、圆锥、圆台、球.

1、棱柱的结构特征：

〔1〕观察棱柱的几何物体以与投影出棱柱的图片,

思考：它们各自的特点是什么？共同特点是什么？

〔学生讨论〕

〔2〕棱柱的主要结构特征〔棱柱的概念〕：

①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两上四边形的公共边互相

平行.

〔3〕棱柱的表示法与分类：

〔4〕相关概念：底面〔底〕、侧面、侧棱、顶点.

2、棱锥、棱台的结构特征：

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〔1〕实物模型演示,投影图片；

〔2〕以类似的方法,根据出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关的概念、分类以与表示.

棱锥：有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形.

棱台：且一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分.

3、圆柱的结构特征：

〔1〕实物模型演示,投影图片——如何得到圆柱？

〔2〕根据圆柱的概念、相关概念与圆柱的表示.

4、圆锥、圆台、球的结构特征：

〔1〕实物模型演示,投影图片

——如何得到圆锥、圆台、球？

〔2〕以类似的方法,根据圆锥、圆台、球的结构特征,以与相关概念和表示.

5、柱体、锥体、台体的概念与关系：

探究：棱柱、棱锥、棱台都是多面体,它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关

系如何？当底面发生变化时,它们能否互相转化？

圆柱、圆锥、圆台呢？

6、简单组合体的结构特征：

〔1〕简单组合体的构成：由简单几何体拼接或截去或挖去一部分而成.

〔2〕实物模型演示,投影图片——说出组成这些物体的几何结构特征.

〔3〕列举身边物体,说出它们是由哪些基本几何体组成的.

〔三〕排难解惑,发展思维

1、有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？〔反例说明〕

2、棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？

3、圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什么图形旋转

得到？如何旋转？

〔四〕巩固深化

练习：课本P7练习1、2；课本P8习题1.1第1、2、3、4、5题

〔五〕归纳整理：由学生整理学习了哪些内容

〔六〕课后思考题：

课本P8习题1.1B组第1、2、3题

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教学反思：

空间几何体的三视图〔2课时〕

一、教学目标

1．知识与技能：掌握画三视图的基本技能,丰富学生的空间想象力.

2．过程与方法：通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视图的作用.

3．情感态度与价值观：提高学生空间想象力,体会三视图的作用.

二、教学重点：画出简单几何体、简单组合体的三视图；

难点：识别三视图所表示的空间几何体.

三、学法指导：观察、动手实践、讨论、类比.

四、教学过程

第一课时：简单几何体的三视图

〔一〕创设情景,揭开课题

展示庐山的风景图——"横看成岭侧看成峰,远近高低各不同",这说明从不同的角度看同

一物体视觉的效果可能不同,要比较真实反映出物体,我们可从多角度观看物体.

〔二〕讲授新课

1、中心投影与平行投影：

中心投影：光由一点向外散射形成的投影；

平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.

正投影：在平行投影中,投影线正对着投影面.

2、三视图：

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图；

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图；

俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图.

三视图：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.

三视图的画法规则：长对正,高平齐,宽相等.

长对正：正视图与俯视图的长相等,且相互对正；

高平齐：正视图与侧视图的高度相等,且相互对齐；

宽相等：俯视图与侧视图的宽度相等.

3、画长方体的三视图：

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正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到有几何体的

正投影图,它们都是平面图形.

长方体的三视图都是长方形,正视图和侧视图、侧视图和俯视图、俯视图和正视图都各

有一条边长相等.

4、画圆柱、圆锥的三视图：

5、思考：如图分别是两个几何体的三视图,请说出它们对应几何体的名称.

〔1〕

〔2〕

6、探究：画出底面是正方形,侧面是全等的三角形的棱锥的三视图.

〔三〕巩固练习

课本P15练习1、2；P20习题1.2[A组]2.

〔四〕归纳整理

请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图

〔五〕布置作业

课本P20习题1.2[A组]1.

教学反思

第二课时：简单组合体的三视图：

1、复习三视图的概念与画法：

〔1〕三视图是利用物体的三个正投影来表现空间几何体的方法,包括：正视图、侧视图

和俯视图.

〔2〕画三视图时,几何体的侧视图和正视图高度一样,俯视图与正视图长度一样,侧视图

与俯视图宽度一样,即长对正、宽相等、高平齐；侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的

下边.

2、典例剖析

〔1〕画出上、下底面都是正三角形,侧面是全等的等腰梯形的棱台的三视图.

〔2〕画出如图所示几何体的三社图.

三视图如下：

3、课堂练习：

课本P15练习3、4.

4、作业：

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画出下列几何体的三视图：

〔1〕

〔2〕

教学反思：

空间几何体的直观图

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星

期〕

一、教学目标

1．知识与技能：〔1〕掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.

〔2〕采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方

法的各自特点.

2．过程与方法：通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.

3．情感态度与价值观：提高空间想象力与直观感受,体会对比在学习中的作用,感受几何

作图在生产活动中的应用.

二、教学重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图.

三、学法指导：通过作图感受图形直观感,并自然采用斜二测画法画空间几何体的直

观图.

四、教学过程

〔一〕创设情景,揭示课题

投影展示几何体〔长方体〕的图片,设疑：怎样画物体的直观图？

〔二〕研探新知

例1、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.

〔1〕画轴：



45,90YOXXOY；

〔2〕画平行线：平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段为原来的一半；

〔3〕成图：连结对应线段,擦去辅助线.

练习反馈：画正方形的水平放置的直观图.

拓展：画空间正方体的直观图.

例2、用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’

的直观图.

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〔1〕画轴；〔2〕画底面；〔3〕画侧棱；〔4〕成图.

例3、如图,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

探究：〔1〕如图是一个奖杯的三视图,想象出它的几何结构特征,并画出它的直观图.

〔2〕空间几何体的三视图和直观图能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的

结构,它们知有哪些特点？二者有何关系？

5．巩固练习：课本P19练习1,2,3,4,5.

补充：根据斜二测画法,画出水平放置的正五边形的直观图.

〔三〕归纳整理：学生回顾斜二测画法的关键与步骤.

〔四〕作业：课本P20练习第4题；习题1.2[A组]第4题.

教学反思：

柱体、锥体、台体的表面积

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能

〔1〕通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法.

〔2〕能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积,并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转

换关系.

2、过程与方法

〔1〕经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状.

〔2〕通过对照比较,理顺柱体、锥体、台体三者之间的面积的关系.

3、情感态度与价值观：感受到几何体面积的求解过程,对自己空间思维能力的影响,从而

增强学习的积极性.

二、教学重点：柱体、锥体、台体的表面积的计算；

难点：锥体、台体表面积公式的推导.

三、学法指导：通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物几

何体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标.

四、教学过程

〔一〕创设情境

正方体与长方体的表面积,以与它们的展开图

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有什么关系？

结论：多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积.

〔二〕探究新知

1、棱柱、棱锥、棱台的表面积：

探究：棱柱、棱锥、棱台的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

把多面体展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求其表面积.

例1、已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S—ABC,求

它的表面积.

分析：边长为a的正三角形的面积2

4

3

2

3

2

1

aaaS



,

所给几何体为正四面体,其四个面为全等的等边三角形,故其表

面积为234aSS



.

2、圆柱、圆锥、圆台的表面积：

探究：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？

圆柱的侧面展开图是一个矩形,如果圆柱的底面半径为r,母线长为l,那么圆柱的底面面

积为2r,侧面面积为2rl,因此,其表面积为2222()Srrlrrl.

圆锥的侧面展开图是一个扇形,如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,那么它的表面积为

2()Srrlrrl.

圆台的侧面展开图是一个扇环,如果圆台的上、下底面半径分别为r



,r,母线长为l,那么

它的表面积为22()Srrrlrl

.

例2、如图,一个圆台形花盆盆口直径为20,盆底直径为15,

底部渗水圆孔直径为15,盆壁长15.为了美化花盆的外观,需要涂

油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多

少油漆？

分析：只需求出每一个花盆外壁的表面积,就可求出油漆的

用量,而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积,再减去底面圆孔的面积.

3、质疑答辩、排难解惑、发展思维

组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱与圆锥表面积公式之间的变化关系.

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〔三〕巩固深化,反馈矫正

补充练习：1、已知圆锥的表面积为am2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的

底面直径为.

2、若长方体的三条棱长的比是1:2:3,全面积为88,则这三条棱的长分别是,对角线的

长为.

3、等边圆柱的轴截面面积是S,则它的侧面积是.

4、圆锥轴截面的顶角为120°,过顶点的截面三角形中,面积的最大值为2,则此圆锥的

侧面积是.

5、圆锥母线长为4,过顶点的截面三角形面积最大值为43,则截面三角形顶角最大为.

6、把一个半圆卷成圆锥的侧面,则圆锥母线间的最大夹角是.

7、将半径为72的扇形OAB剪去小扇形OCD,余下的扇环面积为648π,将扇环围成一

圆台,两底面半径之差为6,则圆台的上、下底面半径分别为.

8、长方体AC

1

,若在A点有一只蜘蛛,C

1

处有一只苍蝇,蜘蛛要尽快地到达C

1

捕获苍蝇,

问蜘蛛的最短路程是多少？

9、圆锥PO的底面半径是1,母线长为3,M是底面圆周上任一点,从点M拉紧一条绳子,

环绕圆锥侧面一周再回到M处,若使绳子最短,则它的长度应该是多少？

〔四〕课堂小结

本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积的结构和求解方法与公式.用联系的关点看待

三者之间的关系,更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握.

〔五〕课后作业：P28,习题1.3,A组1、2.〔以上补充练习〕

教学反思：

柱体、锥体、台体的体积

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能

〔1〕通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法.

〔2〕能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积,并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换

关系.

2、过程与方法

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通过对照比较,理顺柱体、锥体、台体三者之间的体积的关系.

3、情感态度与价值观：感受到几何体体积的求解过程,对自己空间思维能力的影响,从而

增强学习的积极性.

二、教学重点：柱体、锥体、台体的体积的计算；

难点：台体体积公式的推导.

三、学法指导：通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物几

何体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标.

四、教学过程

〔一〕复习引入

问题：正方体、长方体、圆柱的体积公式是什么？它们之间有什么共同的特点？

3Va

正方体

,

Vabc

长方体

,2Vrh

圆柱

；

它们的体积公式可以统一为V=Sh〔S为底面面积,h为高〕.

〔二〕讲授新课

1、柱体的体积

一般柱体的体积也是V=Sh,其中S为底面面积,h为棱柱的高.

棱柱〔圆柱〕的高是指两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,

这点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离.

2、锥体的体积

圆锥的体积公式是

1

3

VSh〔S为底面面积,h为高〕,它是同底等高的圆柱的体积的

1

3

.

棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的

1

3

,即棱锥的体积

1

3

VSh〔S为底面面积,h为

高〕.

棱锥与圆锥的体积公式类似,都是底面面积乘高的

1

3

.

棱锥〔圆锥〕的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的

距离.

3、台体的体积

由于圆台〔棱台〕是由圆锥〔棱锥〕截成的,因此可以利用两个锥体的体积差,得到员台

〔棱台〕的体积公式：

1

()

3

VSSSSh



,其中S



,S分别为上、下底面面积,h为圆台

〔棱台〕的高.

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圆台〔棱台〕的高是指两个底面之间的距离.

4、比较柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系：

〔三〕例题分析

例：有一堆规格相同的铁制〔铁的密度是7.8g/cm3〕六角螺帽共重5.8g,已知底面是正

六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个〔π取3.14,可

用计算器〕？

分析：六角螺帽表示的几何体是一个组合体,在一个六棱柱中间挖去一个圆柱,因此它的

体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.

注：求组合体的表面积和体积时,要注意组合体的结构特征,避免重叠和交叉等.

〔四〕巩固深化、反馈矫正

补充练习：

1、圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形,则圆柱的体积是.

2、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S,那么圆柱的体积等于〔〕

〔A〕

2

S

S〔B〕

2

SS



〔C〕

4

S

S〔D〕

4

SS



3、三棱锥的三条侧棱两两垂直,三个侧面的面积分别为6,4,3,则三棱锥的体积为.

4、棱台的两个底面面积分别是245cm2和80cm2,截得这个棱台的棱锥的高为35cm,求这

个棱台的体积.

5、一个圆柱形贮油桶,当它水平放置时,桶里油所在的轴弧恰好占桶的底面周长的

1

4

,那

么当油桶竖直放置时,油的高度和桶的高度的比值是.

6、将长为2πdm,宽为πdm的长方形纸片围成一个容器〔不考虑底面,也不考虑粘接处〕,

立放于桌面上,下面四种方案中,容积最大的是〔〕

〔A〕直三棱柱〔B〕直四棱柱〔C〕高为πdm的圆柱〔D〕高为2πdm的圆柱

7、用一块长2米宽1米的矩形木板,在底面两直线的夹角为60的墙角处围出一个直棱

柱形的谷仓,试问怎样围才能使谷仓的容积最大？求出谷仓容积的最大值.

〔五〕课堂小结

本节课学习了柱体、锥体与台体的体积的结构和求解方法与公式.用联系的关点看待三

者之间的关系,更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握.

〔六〕课后作业：

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P28,习题1.3,A组3、4,补充练习.

教学反思

球的体积和表面积

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能：了解球的表面积和体积的计算公式,能利用所学公式解决一些简单的与

球有关的面积与体积的问题.

2、过程与方法：通过对公式的应用,了解球体与正方体之间的内接与外切关系中边长与

半径的关系,并能利用它们的关系进行解题.

3、情感、态度与价值观：通过球的有关公式的应用,提高空间思维能力和空间想象能力,

增强探索问题和解决问题的信心.

二、教学重点：了解球体的体积和表面积公式.

难点：应用球的体积和表面积公式解决有关问题.

三、教学过程

〔一〕介绍新知

1、球的体积：

设球的半径为R,那么它的体积为3

4

3

VR

球

,是以R为自变量的函数.

练习1：一个钢球的直径是5,则它的体积是.

练习2：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.〔钢的密度是7.9g/cm2〕

2、球的表面积：

设球的半径为R,那么它的表面积为24SR,也是以R为自变量的函数.

练习3：〔1〕若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍.

〔2〕若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的倍,体积变为原来的倍.

〔3〕若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是.

〔4〕若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是.

〔二〕典例分析

例1：已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证：

〔1〕球的体积等于圆柱体积的

2

3

；

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〔2〕球的表面积等于圆柱的侧面积.

例2：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上,

则这个球的表面积是.

结论：球的内接长方体的对角线长等于球的直径.

〔三〕巩固深化、反馈矫正

1、如果球的大圆周长是20πcm,那么它的表面积是.

2、若离球心距离为3cm的球截面的面积是4πcm2,那么这个球面的面积是.

3、半径为R的球的内接正方体的体积为.

4、已知球内接正方体的表面积为S,那么球的体积等于.

5、正方形的内切球和外接球的体积的比为,表面积比为.

6、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球

的表面积.

7、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA

=2,则球的表面积为.

8、一根细金属丝下端挂着一个半径为1的金属球,将它沉入半径为2的圆柱形容器内的

水中,现将金属丝向上提升,当金属球被提出水面时,客器内的水面下降了_______.

9、64个半径为1的铁球熔化后铸成一个大球,则该大球的半径为.

〔四〕课堂小结

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式,以与利用公式解决相关的球的问题.

〔五〕课后作业：补充练习

教学反思

第二章点、直线、平面之间的位置关系

平面

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标：

1、知识与技能：利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法与水平放置的

直观图；掌握平面的基本性质与作用；培养学生的空间想象能力.

2、过程与方法：通过讨论,对平面有了感性认识；归纳整理本节所学知识.

3、情感态度与价值观：认识到我们所处的世界是一个三维空间,增强学习的兴趣.

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二、教学重点：1、平面的概念与表示；

2、平面的基本性质：注意他们的条件、结论、作用、图形语言与符号语言.

难点：平面基本性质的掌握与运用.

三、学法指导：通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好

地完成本节课的教学目标.

四、教学过程

〔一〕实物引入、揭示课题

生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象,请

举出更多例子.

问题：平面的含义是什么？

〔二〕研探新知

1、平面的含义

几何里所说的"平面"是从一些物体中抽象出来的〔原始概念〕,平面是无限延展的.

2、平面的画法与表示

问题：在平面几何中,怎样画直线？

类比、迁移：水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角

画成450,横边长等于邻边的2倍长.

表示法：平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,

也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写

字母来表示,如平面AC、平面ABCD等.

如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应

画成虚线或不画.

平面内有无数个点,平面可以看成点的集合.

点A在平面α内,记作：A∈α；点B在平面α外,记作：Bα.

3、平面的基本性质：

〔1〕思考：如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内？

如果直线l与平面α有两个公共点呢？

演示：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面

上.

归纳〔公理1〕：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

DC

BA

α

·B

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符号语言：lBAlBlA,,,.

公理1作用：判断直线是否在平面内.

直线l在平面α内〔平面α经过直线l〕,记作：l；

直线l在平面α外,记作：l.

〔2〕实物演示：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪.

自行车要放稳需几个点？

归纳〔公理2〕：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

符号表示：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α,使A∈α、B∈α、C∈α.

公理2作用：确定一个平面的依据.

推论1：过一条直线和直线外一点确定一个平面.

推论2：两条相交直线确定一个平面.

推论3：两条平行直线确定一个平面.

〔3〕演示：长方体模型中,两个平面的交线的含义.

思考：把一个三角板的一个角立在课桌上,三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只

相交于一点B,为什么？

归纳〔公理3〕：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的

公共直线.

符号表示：P∈α∩βα∩β=l,且P∈l.

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.

4、例题：用符号表示下列图形中点、直线、平面

之间的位置关系：

分析〔1〕BaAal,,；

〔2〕PlbPlabal,,,,.

通过例子,让学生掌握图形中点、线、面的位置关系与符号的正确使用.

5、课堂练习：课本P43练习1、2、3、4；P51习题2.1A组1、2.

〔三〕课时小结：〔师生互动,共同归纳〕

〔1〕本节课我们学习了哪些知识内容？

〔2〕三个公理的内容与作用是什么？

〔3〕公理化方法：从一些原始概念〔基本概念〕和一些不加证明的原始命题〔公理〕

16/95

出发,运用逻辑推理,推导出其他命题和定理的方法.

〔四〕作业布置

〔1〕复习本节课内容；

〔2〕预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？

教学反思：

空间中直线与直线之间的位置关系

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标：

1、知识与技能：了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法,培养学

生的空间想象能力；理解并掌握公理4、等角定理.

2、过程与方法：师生的共同讨论与讲授法相结合,让学生在学习过程不断归纳整理所学

知识.

3、情感态度与价值观：感受掌握空间两直线关系的必要性,提高学习兴趣.

二、教学重点：异面直线的概念；公理4与等角定理.

难点：异面直线定义的理解.

三、学法指导：阅读教材、思考、交流、概括,较好地完成本节课的教学目标.

四、教学过程

〔一〕创设情景、导入课题

问题1：同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？

问题2：没有公共点的两条直线一定平行吗？

问题3：没有公共点的两条直线一定在同一个平面内吗？

观察：如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中,线段A'B所在的直线与线

段C'C所在直线的位置关系如何？

举例：举出生活中类似的例子.

〔二〕讲授新课

1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线.

2、空间两条直线的位置关系：

相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内,没有公共点；

共面直线

17/95

异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点.

课堂练习1：正方体的棱所在的直线中,与直线A

1

B异面的有哪些？

答案：D

1

C

1

,CC

1

,B

1

C

1

,DD

1

,AD,CD.

课堂练习2：判断下列命题是否正确,若正确,请简述理由；若不正确,请举出反例.

〔1〕没有公共点的两条直线是异面直线；

〔2〕互不平行的两条直线是异面直线；

〔3〕分别在两个平面内的两条直线一定异面；

〔4〕一个平面内的直线与这个平面外的直线一定异面；

〔5〕分别与两条异面直线都相交的两条直线共面.

〔6〕分别与两条异面直线都相交的两条直线异面.

答案：〔1〕~〔6〕都错,反例略.

异面直线直观图的画法：

异面直线的判定：〔1〕既不相交也不平行的两

条直线是异面直线.

〔2〕过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的

直线是异面直线.

数学语言：,,,ABlBl直线AB与直线l是异面

直线.

探究：如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AB、CD、EF、GH这

四条线段所在的直线是异面直线的有对.

分析：AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对.

3、平行公理：

引入：在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,

那么这两条直线互相平行.在空间中,是否有类似的规律？

观察：如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',

那么BB'与DD'平行吗？

举出现实中相应的例子〔如教室里的灯管〕.

归纳〔公理4〕：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

符号表示为：设a、b、c是三条直线,cacbba////,//.

18/95

强调：公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用.

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.

4、等角定理：

引入：在同一平面内,如果一个角的两边与另一个的两边分别平行,那么这两个角相等或

互补,能否推广到空间？

观察：如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中,∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别

对应平行,这两组角的大小关系如何？

∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠A'B'C'=1800.

归纳〔等角定理〕：空间中如果两个角的两边分别对应平行,

那么这两个角相等或互补.

拓展：有关平面图形的结论都可以推广到空间中来吗？试分别找出一个可以推广和一

个不可以推广的例子.〔如对边相等的四边形为平行四边形,在平面图形中成立,但在空间却不

成立.〕

5、例题巩固：

如图,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的

中点,求证：四边形EFGH是平行四边形.

证明：连接BD,因为EH是三角形ABD的中位线,

所以EH//BD,且BDEH

2

1

；同理FG//BD,且BDFG

2

1

；

所以EH//FG,且EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形.

探究：如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形？〔菱形〕

拓展：若AC⊥BD,则四边形EFGH又是什么图形？〔矩形〕

〔三〕课堂练习：课本P48,练习1；P56习题2.1[A组]3,6.

〔四〕本节课学习了哪些内容？

1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线,既不相交,也不平行,没有公共

点.

2、空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.

3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行〔平行线的传递性〕.

4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

〔五〕布置作业：导与练P34,基础应用.

19/95

教学反思：

异面直线所成的角

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能：理解并掌握异面直线所成的角的定义,熟记异面直线所成角的范围,会

用平移转换法求异面直线所成的角.

2、过程与方法：借助正方体、长方体这一主要载体,以师为主导,引导学生主动参与,探

究异面直线所成角的概念形成过程,以与角的求解与其所蕴含的转化思想与化归方法.

3、情感态度与价值观：

〔1〕通过本节学习,培养学生不断探索发现新知识的精神,渗透事物相互转化和理论联

系实际的辩证唯物主义观点.

〔2〕培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以与逻辑推理能力,使学生

初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想.

二、教学重点：异面直线所成的角的定义、范围与计算.

难点：空间平移点的选取与解题规范.

三、教学过程

〔一〕创设情景,引入新课

复习：1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线,既不相交,也不平行,没

有公共点.

2、空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.

3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行〔平行线的传递性〕.

4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角

相等或互补.

问题1：正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,E为BC的中点,判断直线A

1

C

1

、

B

1

C

1

、C

1

E、C

1

C与直线AB的位置关系.

说明：从位置关系一看,同为异面直线,但它们的相对位置却是不同的,

说明仅用"异面"与考虑异面直线间的相对位置是不够的.

问题2：用什么来刻画两条异面直线的相对位置呢？

提示：在平面几何中,用"距离"来刻画两平行直线间的相对位置,用"角"来刻画两相交直

A

B

A

1B

11

D

1C

11

C

D

E

20/95

线间的相对位置.

问题3：一张纸中画有两条能相交的直线、〔但交点在纸外〕,现给你一副三角板和量角

器,限定不许拼接纸片,不许延长纸上的线段.问如何量出、所

成角的大小？其理论依据是什么？

学生动手操作.

问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？

〔二〕新授课

1、异面直线所成角的定义〔学生类比问题3给出定义〕：

已知异面直线a、b,经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b,把a'与b'所成的锐角〔或

直角〕叫异面直线a与b所成的角〔夹角〕.

范围：]

2

,0(



.

思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任

意点O位置的不同而改变？

点O可任选,一般取特殊位置,如线段的中点或端

点.

2、探究：〔1〕如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也与

这条直线垂直？即a∥b,若a⊥c,则b⊥c？

〔成立,因为b、c所成的角与a、c所成的角相等,都是90°.〕

〔2〕垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

〔否,两条直线可能相交、平行或异面.〕

2、例、习题剖析：

例1、在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,求：

〔1〕A

1

B

1

与CC

1

所成的角；

〔2〕A

1

B与CC

1

所成的角；

〔3〕A

1

C

1

与BC所成的角；

〔4〕A

1

C

1

与D

1

C所成的角；

分析：〔1〕∵A

1

B//CC

1

--------找

∴

11

BBA为A

1

B与CC

1

所成的角--------证

在△A

1

BB

1

中,45

11

BBA；--------算

A

B

A

1B

1

D

1C

1

C

D

a

b

21/95

∴A

1

B与CC

1

所成的角为45o--------答

〔2〕45

11

BBA；〔3〕45

111

BCA；〔4〕60

11

CBA.

这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中,通过解三角形来求解.

把这种方法叫做——平移法,其基本解题思路是"异面化共面,认定再计算",简记为"找——证

——算——答".

变式一：〔07##卷〕如图,在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,E、F、G、H分别为AA

1

、AB、

BB

1

、BC

1

的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于〔〕

〔A〕45°〔B〕60°〔C〕90°〔D〕120°

解：连接A

1

B,BC

1

,A

1

C

1

---------------------作

∵A

1

B//EF,BC

1

//GH

∴∠A

1

BC

1

为EF

1

与GH所成的角〔或其补角〕-----------证

在三角形A

1

BC

1

中,A

1

B=BC

1

=A

1

C

1

∴∠A

1

BC

1

=60°-----------算

∴异面直线EF与GH所成的角等于60°---------答

小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：

〔1〕作图：作出所求的角与题中涉与的有关图形等；

〔2〕证明：证明所给图形是符合题设要求的；

〔3〕计算：一般是利用解三角形计算得出结果.

〔4〕结论.

简记为"作〔或找〕——证——算——答".

例2、长方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,AA

1

=AB=2,AD=1,求异面直线A

1

C

1

与BD

1

所成角

的余弦值.

解：设A

1

C

1

与B

1

D

1

交于O,取B

1

B中点E,连接OE,

因为OE//D

1

B,所以∠C

1

OE或其补角,就是异面直线A

1

C

1

与BD

1

所

成的角或其补角.

在△C

1

OE中,

111

15

22

OCAC,

22

1

113

221

222

OEBD,

2222

1111

112CEBCBE,

22/95

所以

222

222

11

1

1

53

()()(2)

5

22

cos

25

53

2

22

OCOECE

COE

OCOE











,

所以异面直线A

1

C

1

与BD

1

所成的角的余弦值为

5

5

.

变式2：〔05##卷〕如图,长方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中,AA

1

=AB=2,AD

=1,E、F、G分别是DD

1

、AB、CC

1

的中点,则异面直线A

1

E与GF所成的

角是__________.

变式3：在正四面体S—ABC中,SA⊥BC,E、F分别为SC、AB的中

点,那么异面直线EF与SA所成的角等于〔〕

〔A〕30°〔B〕45°〔C〕60°〔D〕90°

〔三〕课堂小结

1、异面直线所成角的定义、范围与其求解.

2、求角的大小,常用"平移法"："作〔或找〕——证——算——答".

3、数学思想——化异面为共面,化空间为平面.这是我们学习空间几何最常用到的数学

思想——转化化归思想.

〔四〕课后作业：

1、空间四边形ABCD中,P、R分别是AB、CD的中点,且PR=

3

,AC

=BD=2,求AC与BD所成的角.

2、正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,M为AB的中点,N为BB

1

的中点,

求A

1

M与C

1

N所成角的余弦值.

3、课本P48第2题.

4、变式3题.

教学反思：

直线与平面平行的判定

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标：

1、知识与技能：了解空间中直线与平面的位置关系,理解并掌握直线与平面平行的判定

A

C

B

S

E

F

A

C

B

D

R

P

AB

A

1

B

1

1C

1

C

D

M

N

D

E

G

F

D

1

D

C

1

B

1

A

1

C

B

A

23/95

定理,进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力.

2、过程与方法：学生通过观察图形,借助已有知识,得出空间中直线与平面的位置关系,

直线与平面平行的判定定理.

3、情感态度与价值观：让学生在发现中学习,培养空间问题平面化〔降维〕的思想,增强

学习的积极性.

二、教学重点：空间中直线与平面的位置关系,直线与平面平行的判定定理与应用.

难点：判定定理的应用,例题的证明.

三、学法指导：学生借助实例,通过观察、类比、思考、探讨,教师予以启发,得出直线

与平面的位置关系,直线与平面平行的判定.

四、教学过程

〔一〕创设情景、导入课题

思考〔1〕一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面,可能有几种位置关系？

〔2〕如图,线段A

1

B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几

种位置关系？

〔二〕直线与平面的位置关系

归纳：直线与平面有三种位置关系：

〔1〕直线在平面内——有无数个公共点,记作：

a

；

〔2〕直线与平面相交——有且只有一个公共点,记作：Aa；

〔3〕直线在平面平行——没有公共点,记作：//a.

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a来表示.

例1：下列命题中正确的个数是〔〕

〔1〕若直线l上有无数个点不在平面α内,则l//α；

〔2〕若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行；

〔3〕如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行；

〔4〕若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点；

〔5〕平行于同一平面的两条直线互相平行.

〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3

答案：B

课堂练习1：若直线a不平行于平面α,且a,则下列结论成立的是〔〕

〔A〕α内的所有直线与a异面〔B〕α内不存在与a平行的直线

24/95

〔C〕α内存在唯一的直线与a平行〔D〕α内的直线与a都相交

答案：B

〔三〕直线与平面平行的判定

1、揭示问题：根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判定直线与平面有没有公共点.

但是,直线无限伸长,平面无限延展,如何保证直线与平面没有公共点呢？

2、直观感知,操作确认：

〔1〕转动门扇：门扇转动的一边与门框所在的平面是否平行？

〔2〕观察：将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,封面边缘所在的直线与桌面所在平面

具有什么样的位置关系？

3、探究：〔1〕如右图,直线a与平面α平行吗？

〔2〕平面α外的直线a平行于平面α内的直线

b,直线a与平面α的位置关系如何？

4、归纳〔直线与平面平行的判定定理〕平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,

则该直线与此平面平行.

符号语言：////,,ababa.

作用：线线平行,则线面平行.

将直线与平面平行关系〔空间问题〕转化为直线间平行关系〔平面问题〕.

5、感受生活中线面平行的例子：教室里日光灯与天花板,足球门的顶部与地面等.

6、直线与平面平行的判定方法：

〔1〕利用定义,说明直线与平面没有公共点；

〔2〕利用判定定理,应用时的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线.

7、思考：平行线有传递性,线面平行有传递性吗？即以下命题是否成立？

〔1〕//,////abba；〔2〕//,////aa.

说明：以上两个命题都是假命题,线面平行没有传递性.

课堂练习2：若,//aba,则b与



的位置关系是.

答案：//b或b.

〔四〕定理的应用

例1、求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.

已知：如图,空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.

25/95

求证：EF//平面BCD.

证明：连接BD,因为AE=EB,AF=FD,

所以EF//BD〔三角形中位线的性质〕,

因为EF平面BCD,BD平面BCD,

由直线与平面平行的判定定理得EF//平面BCD.

小结：要证明一条已知直线与一个平面平行,只要在这个平面内找出

一条直线与已知直线平行,就可断定已知直线与这个平面平行.

变式1：如图,空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD上的点,若

AEAF

EBFD

,则EF与平面BCD的位置关系是.

答案：EF//平面BCD.

变式2：如图,四棱锥A—DBCE中,底面DBCE为平行四边形,F

为AE的中点,求证：AB//平面DCF.

分析：连接BE交CD于点O,则OF//AB〔中位线〕.

例2：如图在正方体ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

中,E、F分别是棱BC、

C

1

D

1

的中点,求证：EF//平面BDD

1

B

1

.

分析：要证明线面平行,根据线面平行的判定定理,只需证明EF与平面BDD

1

B

1

内的一条

直线平行即可.

小结：1、证明线面平行可先证线线平行,但要注意"三条件"的说明,关键是找到面内的直

线.

2、证明线面平行的一般步骤是：〔1〕证线线平行；〔2〕说明

两直线一条在面内,另一条在面外；〔3〕由判定定理得到结论.

变式3：如图,正方体ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

中,E、F分别是对角

线A

1

D、B

1

D

1

的中点,证判直线EF分别与正方体六个面中的哪些

平面平行？并证明你的结论.

课堂练习3：1、如图,长方体ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

中,

〔1〕与AB平行的平面是；

〔2〕与AA

1

平行的平面是；

〔3〕与AD平行的平面是.

2、如图,正方体ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

中,E为DD

1

的中点,试判断

26/95

BD

1

与平面AEC的位置关系,并说明理由.

〔五〕课堂总结

1、直线与平面的位置关系：相交,平行,直线在平面内.

2、直线与平面平行的判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此

平面平行.

3、证明线面平行的一般步骤是：〔1〕证线线平行；〔2〕说明两直线一条在面内,另一条

在面外；〔3〕由判定定理得到结论.要注意"三条件"的说明,关键是找到面内的直线.

〔六〕布置作业：

课本P62习题2.2[A组]第3题,[B组]第1题；变式3题.导与练P40,1~11.

教学反思：

2.2.2平面与平面平行的判定

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标：

1、知识与技能：了解空间中平面与平面的位置关系,理解并掌握平面与平面平行的判定

定理,进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力.

2、过程与方法：学生通过观察图形,借助已有知识,得出空间中平面与平面的位置关系,

平面与平面平行的判定定理.

3、情感态度与价值观：让学生在发现中学习,培养空间问题平面化〔降维〕的思想,增强

学习的积极性.

二、教学重点：空间中平面与平面的位置关系,平面与平面平行的判定定理与应用.

难点：判定定理的应用,例题的证明.

三、学法指导：学生借助实例,通过观察、类比、思考、探讨,教师予以启发,得出平面

与平面的位置关系,平面与平面平行的判定.

四、教学过程

〔一〕平面与平面的位置关系

思考：〔1〕拿出两本书,看作两个平面,上下、左右移动和翻转,它们之间的位置关系有几

种？

〔2〕如图,围成长方体的六个面,两两之间的位置关系有几种？

两个平面的位置关系：

27/95

〔1〕两个平面平行——没有公共点,记作：//；

〔2〕两个平面相交——有且只有一条公共直线,记作：l.

用图形表示为：

画两个相互平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应

边平行.

探究：已知平面α、β,直线a、b,且ba,,//,则直线a与直线b具有怎样的

位置关系？

拓展：若l呢？

课堂练习1：如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结

论.

〔二〕平面与平面平行的判定

1、观察：三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在平

面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如

何呢？

2、若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行,那么这两个平面

一定平行.

3、探究：〔1〕平面β内有一条直线与平面α平行,α、β平行吗？

〔2〕平面β内有两条直线与平面α平行,α、β平行吗？

〔3〕平面β内有两条相交直线与平面α平行,α、β平行吗？

通过长方体模型,引导学生观察、思考、交流,得出结论.

4、归纳〔两个平面平行的判定定理〕：一个平面内的两条交直线与

另一个平面平行,则这两个平面平行.〖线不在多,相交就行.〗

符号语言：////,//,,,baPbaba.

作用：线面平行,则面面平行.

5、平面平行的传递性：如果平面α//平面β,平面β//平面γ,则平面α//平面γ.

课堂练习2：

1、判断下列命题是否正确,正确的说明理由,错误的举例说明：

〔1〕已知平面α,β和直线m,n,若,,//,//mnmn,则α//β；

28/95

〔2〕一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β,则α//β.

2、平面α与平面β平行的条件可以是〔〕

〔A〕α内有无穷多条直线都与β平行

〔B〕直线a//α,a//β,且直线a不在α内,也不在β内

〔C〕直线

a

,直线b,且//,//ab

〔D〕α内的任何直线都与β平行

〔三〕定理的应用：

例1、已知正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

,求证：平面AB

1

D

1

//平面C

1

BD.

分析：由AB

1

//DC

1

,得AB

1

//平面C

1

BD；AD

1

//BC

1

,得AD

1

//平面

C

1

BD,

证明：因为ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

为正方体,

所以D

1

C

1

//A

1

B

1

,D

1

C

1

=A

1

B

1

,

又AB//A

1

B

1

,AB=A

1

B

1

,所以DC//D

1

C

1

,DC=D

1

C

1

,所以D

1

C

1

BA为平行四边形,

所以AD

1

//BC

1

,又

1

AD平面C

1

BD,

1

BC平面C

1

BD,

由直线与平面平行的判定定理得AD

1

//平面C

1

BD.

同理AB

1

//平面C

1

BD,又

11

ABADA,所以平面AB

1

D

1

//平面

C

1

BD.

变式1：已知在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,M、E、F、N分别是

A

1

B

1

、B

1

C

1

、C

1

D

1

、D

1

A

1

的中点.

求证〔1〕E、F、B、D四点共面；

〔2〕平面AMN//平面EFBD.

例2：求证：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面

内的两条相交直线平行,那么这两个平面平行.

已知：

1212121122

,,,,,//,//aabbaaAabab,

求证：α//β.

分析：由线线平行得线面平行,再得面面平行.

小结：面面平行的判定定理的实质就是一个平面内的两条相

交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行,本例可作为定理

29/95

使用.

变式2：已知四棱锥V—ABCD,四边形ABCD为平行四边形,E、F、G分别是AD、BC、

VB的中点,求证：平面EFG//平面VDC.

例3：如图,α//β,A、C

,B、D,且A、B、C、D不共面,E、

F分别是AB、CD的中点,求证：EF//α,EF//β.

分析：欲证线面平行,可先证面面平行,再结合面面平行的定义

从而得证.

证明：连结AD,取AD的中点为G,连结EG,

因为E为AB的中点,所以EG为△ABD的中位线,所以EG//

BD,

因为EG平面β,BD平面β,所以EG//β.

连结GF,同理证得GF//β,又EG∩GF=G,

所以平面EGF//平面β,又EF平面EGF,所以EF//β,同理

EF//α.

变式3：如图,在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,M、N分别是A

1

D

1

、

A

1

B

1

的中点,在该正方体中作出与平面AMN平行的平面,并证明你的

结论.

〔四〕归纳整理、整体认识

1、平面与平面的位置关系：相交,平行；

2、平面与平面平行的判定：一个平面内的两条交直线与另一个

平面平行,则这两个平面平行.

3、面面平行的判定定理的实质就是一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的

两条相交直线平行.

〔五〕布置作业：

课本第61页习题2.2[A组]第7、8题；变式3题；导与练P44,1~11.

教学反思：

直线与平面平行的性质

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标：

30/95

1、知识与技能：掌握直线与平面平行的性质定理与其应用.

2、过程与方法：学生通过观察与类比,借助实物模型理解性质与应用.

3、情感态度与价值观：进一步提高学生空间想象能力、思维能力；体会类比的作用；

渗透等价转化的思想.

二、教学重点：直线与平面平行的性质定理的理解.

难点：直线与平面平行的性质定理的证明与正确运用.

三、学法指导：学生借助实物,通过类比、交流等,得出性质与基本应用.

四、教学过程

〔一〕创设情景、引入新课

复习：直线与平面平行的判定定理：////,,ababa.

思考：〔1〕如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位

置关系？

〔2〕教室内日光灯管所在的直线与地面平行,如何在地面上作一条直线与灯管所在的直

线平行？

〔二〕研探新知

问题1：命题"若直线a平行于平面α,则直线a平行于平面α内的一切直线"对吗？

直线会与平面内哪些直线平行呢？

问题2：在上面的论述中平面α的直线b满足什么条件时可以与直线a平行？

没有公共点——共面〔平行〕.

归纳〔直线与平面平行的性质定理〕：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平

面与此平面的交线与该直线平行.

符号语言：babaa//,,//.

证明：因为b,所以b,

因为//a,所以a与b没有公共点,又因为ba,,所以a//b.

简记为：线面平行则线线平行.作用：利用该定理可解决直线间的平行问题.

〔三〕例题剖析

例1、如图所示的一块木料中,棱BC平竽于面CA



.

〔1〕要经过面CA



内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线？

31/95

〔2〕所画的线与平面AC是什么位置关系？

分析：〔1〕经过木料表面CA



内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC与BC

外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.可以由直线与平面平行的性质定理和公理4、

公理2作出.

〔2〕由于所作的直线EF平行于BC,所以所画的线EF与平面AC平行,

而BE、CF则与平面AC相交.

例2、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证：另

一条也平行于这个平面.

已知：//,//,,ababa,求证：//b.

证明：过直线a作平面β交平面α于直线c,因为caa,,//,

所以a//c,因为a//b,所以b//c,又因为bc,,所以//b.

说明：线线平行线面平行,转化是立体几何的一种重要的思想方法.

变式：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.

已知：,//,//laa,

求证：a//l.

分析：利用线面平行的性质定理.

证明：过a作平面交



于b,因为//a,所以a//b,

过a作平面交平面于c,因为//a,所以a//c,所以b//c.

又因为b且c,所以//b,

由于平面



过b交于l,所以b//l,又a//b,所以a//l.

〔四〕课堂练习

1、判断下列命题的真假：

〔1〕//,//abba；〔〕〔2〕baba////,//；〔〕

〔3〕////,//abba；〔〕〔4〕baba//,//；〔〕

〔5〕过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.〔〕

2、填空：

32/95

〔1〕若两直线a、b异面,且a//α,则b与α的位置关系可能是.

〔2〕若两直线a、b相交,且a//α,则b与α的位置关系可能是.

3、长方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,点

1

PBB〔异于B、B

1

〕,

1

PABAM,

1

PCBCN,

求证：MN//平面ABCD.

〔五〕归纳小结

证明线面平行的转化思想：

要证a//α,通过构造过直线a的平面β与平面α相交于直线

b,只要证明a//b即可.

线线平行线面平行面面平行〔〔1〕平行公理；〔2〕

三角形中位线；〔3〕平行线分线段成比例；〔4〕相似三角形对应

边成比例；〔5〕平行四边形对边平行.〕

〔六〕布置作业：

课本P61,习题2.2[A组]第5,6题；[B组]第2题；导与练P47,1~11.

教学反思：

2.2.4平面与平面平行的性质

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能：掌握两个平面平行的性质定理与其应用.

2、过程与方法：学生通过观察与类比,借助实物模型理解性质与应用.

3、情感态度与价值观：进一步提高学生空间想象能力、思维能力,体会类比的作用,渗

透等价转化的思想.

二、教学重点：平面与平面平行的性质定理的理解.

难点：面面平行性质定理的证明与正确应用.

三、学法指导：学生借助实物,通过类比、交流等,得出性质与基本应用.

四、教学过程

〔一〕创设情景,揭示课题

复习：两个平面平行的判定定理：////,//,,,baPbaba.

相关性质：1、若两个平面平行,那么一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行.

2、平行于同一个平面的两个平面平行.

33/95

问题1：若两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关

系？

学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行.

问题2：分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？〔共面〕

问题3：长方体中,平面ABCD内哪些直线会与直线DB



平

行？怎么样找到这些直线？

〔平面ABCD内的直线只要与DB



共面即可〕

〔二〕研探新知

例1、如图,已知平面α、β、γ满足ba,,//,

求证：a//b.

证明：因为ba,,所以ba,,又因为//,

所以a,b没有公共点,又因为a,b同在平面γ内,所以a//b.

归纳〔两个平面平行的性质定理〕如果两个平面同时与第三个平面

相交,那么它们的交线平行.

符号语言：baba//,,//.

可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.

课堂练习1：判断下列命题是否正确.

〔1〕如果a,b是两条直线,且a//b,那么a平行于经过b的任何平面.

〔2〕如果直线a和平面α满足a//α,那么a与α内的任何直线平行.

〔3〕如果直线a,b和平面α满足a//α,b//α,那么a//b.

〔4〕如果直线a,b和平面α满足a//b,a//α,b,那么b//α.

例2、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.

已知：DBCACDAB,,,,//,//,求证：

AB=CD.

证明：因为AB//CD,所以过AB、CD可作平面γ,且平面γ与

平面α和β分别相交于AC和BD,因为α//β,所以BD//AC,因此,四边形

ABDC是平行四边形,所以AB=CD.

变式1：如图,α//β//γ,直线a与b分别交α,β,γ于点A、B、C和点D、

34/95

E、F,求证：

EF

DE

BC

AB

.

例3：如图,ABCD与BAFE是两个全等的正方形,点M在AC上,点N在FB上,AM=FN,

求证：MN//平面BCE.

变式2：如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分

别是AB、PC的中点,平面PAD平面PBC=l.

〔1〕求证：BC//l；

〔2〕MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.

〔三〕归纳小结

1、平面与平面平行的几条性质：

〔1〕性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交,那么

它们的交线平行.

符号语言：baba//,,//.

〔2〕两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.

〔3〕夹在两个平行平面间的平行线段相等.

〔4〕经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

2、通过对性质定理的学习,大家应注意些什么？

3、本节课涉与到哪些主要的数学思想方法？

〔五〕布置作业：

课本第63页习题2.2[B组]第3题；变式2题；导与练P50,1~11.

教学反思：

直线与平面垂直的判定与性质

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能〔1〕掌握直线和平面垂直的定义与判定定理、性质定理；

〔2〕掌握判定直线和平面垂直的方法；掌握直线和平面垂直的性质.

〔3〕培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结

论.

2、过程与方法〔1〕感受直线和平面垂直的定义的形成过程；

〔2〕探究判定直线与平面垂直的方法.

35/95

3、情感态度与价值观：培养学生学会从"感性认识"到"理性认识"过程中获取新知.

二、教学重点、难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究.

三、教学设计

〔一〕创设情景,揭示课题

举例：旗杆与地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系.

模型演示：直棱柱的侧棱与底面的位置关系.

〔二〕研探新知

1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面内α的任意一条直线都垂直.记作：l⊥α.

直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,垂线与平面的交点P

叫做垂足.

2、直线与平面垂直的判定：

〔1〕探究：准备一块三角形纸片.

过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上〔BD、DC

与桌面接触〕.

①折痕AD与桌面所在平面α垂直吗？

②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？〔AD是BC边上的高〕

〔2〕思考：

①有人说,折痕AD所在直线已桌面所在平面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直

平面α,你同意他的说法吗？

②如图,由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,由此你能得到什

么结论？

〔3〕归纳结论：〔直线与平面垂直的判定定理〕

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此

平面垂直.

符号语言：lblalAbaba,,,,.

作用：由线线垂直得到线面垂直.〔线不在多,相交就行.〕

强调：①定理中的"两条相交直线"这一条件不可忽视；

②定理体现了"直线与平面垂直"与"直线与直线垂直"互相转化的数学思想.

3、实际应用,巩固深化

例1：有一根旗杆AB高8米,它的顶端A挂有一条长10

36/95

米的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点〔和旗杆脚不在同一条直线上〕C、D,

如果这两点都和旗杆脚B的距离是6米,那么旗杆就和地面升起垂直,为什么？

分析：AB⊥BC,AB⊥BD,且B、C、D三点不共线.

课堂练习：已知三角形ABC,直线l⊥AB,l⊥AC,求证l⊥BC.

例2：直线a、b和平面α有以下三种关系：〔1〕a//b,〔2〕a,〔3〕b,如果

任意取其中两个作为前提,另一个作为结论构造命题,能构成几个命题？并判断其真假.如果

是真命题,请予以证明；如果是假命题,请举一个反例.

命题1：如图,已知aba,//,求证：b.

证明：在平面α内作两条相交直线m,n,因为直线a,根据直线

与平面垂直的定义知,aman,又因为a//b,所以,bmbn,又

因为,mn,m,n是两条相交直线,所以b.

归纳：两条互相平行的直线,如果有一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直.

命题2：如图,已知直线a⊥α,b⊥α,那么a//b.

证明〔反证法〕假设a、b不平行,且Ob,b



是经过点O与直线

b平行的直线.直线b与b



确定平面β,设c,则cO.因为a⊥α、

b⊥α,所以a⊥c、b⊥c,又因为ab//



,所以cb



.这样在平面β内,经过直线

c上同一点O就有两条直线b,b



与c垂直,显然不可能,因此a//b.

归纳〔直线与平面垂直的性质〕：垂直于同一平面的两条直线平行.

说明：可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行,性质定理揭示了"平行"与"垂

直"之间的内在联系.

〔三〕课堂练习：课本P67,练习1、2.

1、如图,在三棱锥V—ABC中,VA=VC,AB=BC,求证：VB⊥AC.

2、过三角形ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接

PA,PB,PC.

〔1〕若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是AB边的点.

〔2〕若PA=PB=PC,则点O是三角形ABC的心.

〔3〕若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是三角形ABC的心.

〔四〕归纳小结：

37/95

〔1〕获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程.

〔2〕直线与平面垂直的判定定理,体现的数学思想方法是什么？

〔五〕课后作业：

1、正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,求证：AC⊥BDD

1

B

1

.

2、如图,已知PA⊥平面ABC,AC⊥BC,O、D分别为AB、AC的中点,

求证：OD⊥平面PAC.

3、如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的

中点,求证：MN⊥CD.

教学反思：

三垂线定理

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能：理解三垂线定理与其逆定理的证明,准确把握"空间三线"垂直关系的实

质；掌握三垂线定理与其逆定理解题的一般步骤.

2、过程与方法：通过三垂线定理的证明与应用,体会空间线线、线面垂直关系的转化.

3、情感态度与价值观：培养学生的观察、猜想和论证能力；培养学生对待知识的科学

态度和辩证唯物主义观点.

二、教学重点：三垂线定理与其逆定理的证明和初步应用.

难点：三垂线定理中的垂直关系与证明过程.

关键：把握住斜线和它在平面上的射影必定同时垂直于平面内的某条直线.

三、教材分析：

1、"三垂线定理"是高中立体几何中的重要内容之一,它是在研究了空间直线和平面垂直

的基础上研究两条直线垂直关系的一个重要定理,它既是线面垂直关系的一个应用,又为以后

学习面面垂直,研究空间距离、空间角奠定了基础,同时这节课也是培养学生空间想象能力和

逻辑思维能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义.

2、本节课的教学过程为：猜、证、比、用,即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特

征；证明三垂线定理与其逆定理；比较两个定理；应用定理证题.

由于本节课安排在立体几何学习的初始阶段,是学生空间观念形成的关键时期,因此要

重视让学生动手做模型,教师演示指导,让学生直观地感受到空间线面、线线关系的变化,再在

38/95

教师的引导下思考线面、线线垂直关系存在的因果关系,逐步推理、猜想命题,论证命题,从而

发现定理,揭示定理的实质,在定理论证中进一步发展定理,引出逆定理,再进行比较,从而更进

一步地把握定理的关键.对定理的应用,只要求学生在理解定理的基础上,理清应用定理证题

的一般步骤,学会证明一些简单问题.

3、本节课采用启发、引导、探索式相结合的教学方法,启发、引导学生积极思考,勇于

探索,使学生的心理达到一种"欲罢不能"的兴奋状态,从而产生浓厚的学习兴趣,发挥学生的

主观能动性,体现学生的主体作用.

四、教学过程

〔一〕复习和引入新课

提问：〔1〕直线和平面垂直的定义是什么？〔直线垂直于平面内的任意一条直线.〕

〔2〕直线和平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该

直线与此平面垂直.

〔3〕如图,如果PO⊥平面α,PA与平面α交于点A,则PO为平面α

的垂线,PA为平面α的斜线,连接垂足O与斜足A的直线OA叫做斜线PA

在平面α内的射影.

〔二〕猜想和发现

1、揭示问题,引导探究

根据直线和平面垂直的定义知平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直.

进一步,平面内的任意一条直线是否都和平面的一条斜线垂

直？〔否〕

是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直？

2、模型演示

引导学生用三角板和铅笔在桌面上搭建模型〔如图〕.

如图表示平面的斜线〔PO〕在平面内有垂线〔a〕,且有无数

条.这些直线应具备什么条件,即怎样判定平面内的直线与平面的

一条斜线垂直呢？

指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型〔如图〕,使铅笔

与三角板的斜边垂直,引导学生观察猜想发现规律,经过实验,发现

39/95

铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时,便与斜边垂直.

3、结论：在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这

条斜线垂直.

〔三〕证明定理

实验得出的结果是否正确还得进行证明.

已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线,AO是PO在平

面α上的射影,,aaOA〔如图〕.

求证：a⊥PA.

分析：证明两直线垂直,可转化为证明一条直线垂直于另一

条直线所在的平面,从本题条件看,PO在平面PAO内,只要证明a⊥平面PAO即可.

证明：因为PO,所以PO⊥a,又a⊥OA,PO∩OA=O,所以a⊥平面POA,所以a

⊥PA.

〔四〕揭示定理

上面命题反映了平面内一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的

垂直关系,这就是著名的三垂线定理,下面请大家根据已知条件和结论,把三垂线定理完整地

表达出来.

三垂线定理：在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也

和这条斜线垂直.

三垂线定理的实质是平面内的直线与平面的斜线垂直的判定定理.这个定理之所以著名,

不仅在于它给了我们一个证明线线垂直的重要方法,为研究计算空间角、空间距离奠定了基

础,而且这个定理的证明方法——"线面垂直法",也是一种非常重要的方法.

刚才我们由a与PA、AO垂直得到了a与平面PAO垂直,现在我们再看,由于PA与a总

垂直,那么当a与PO垂直时还会有a⊥平面PAO吗？进一步可得到什么结论？〔a⊥AO〕这

样我们又得到了一个重要定理：

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它

也和这条斜线在平面内的射影垂直.

请同学们写出证明过程,并与原定理进行对比.

40/95

〔五〕原、逆定理的比较

相同点：〔1〕结构相同：都是由线线垂直推证线线垂直；

〔2〕证明方法相同：都采用了线面垂直法.

不同点：〔1〕用途不同：原定理是用来证空间两直线垂直；逆定理是用来证平面上两直

线垂直.

〔2〕条件与结论不同：原定理："与射影垂直""与斜线垂直"；逆定理："与斜线垂直

""与射影垂直".

〔六〕定理的应用

例1：如图,O是△ABC的垂心,PO⊥平面ABC,连结PA,求证：

BC⊥PA.

分析：PO是平面的垂线,PA是平面的斜线,BC在平面ABC上,

所以,欲证BC⊥PA,只需证明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可.

证明：连结AO并延长交BC于D,则AO是PA在平面ABC上

的射影.

又O是△ABC的垂心,所以AD⊥BC,由三垂线定理可得BC⊥PA.

小结：使用三垂线定理证题的一般步骤是：

一定——定平面与平面内的一条直线；二找——找平面的垂线、斜线与射影；三证——

证明平面内一直线与射影垂直.

由于逆定理与原定理的实质相同,结构相似,因而使用时也可以按以上步骤进行,这对我

们在复杂图形中使用定理很有好处.

例2：正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,求证：

〔1〕A

1

C⊥BD；〔2〕A

1

C⊥BC

1

；〔3〕A

1

C⊥平面BDC

1

.

4、探究：如图,直四棱柱ABCDDCBA



〔侧面与底面垂直

的棱柱称为直棱柱〕中,底面四边形ABCD满足什么条件

时,DBCA







？

解：连结AC



,因为AA



平面ABCD



,所以AC



为AC



在平面

ABCD



内的射影,由三垂线定理知,当ACBD



时,有ACBD



,

即四边形ABCD的对角线互相垂直时,ACBD



.

41/95

〔七〕归纳总结

1、本节课重点学习了三垂线定理与其逆定理,它们是空间两线垂直的判定与性质定理,

要牢固掌握,并注意原、逆定理的区别与联系.

2、学会按"一定、二找、三证"的步骤应用两个定理证明线线垂直.

〔八〕布置作业

1、已知点O是△ABC的BC边上的高上的任意一点,且OP⊥平面ABC,

求证PA⊥BC.

2、如图,PD⊥平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求证：AB⊥PC.

3、如图,ABCD是矩形,PA⊥平面AC,连结PB、PC、PD,指出图中有哪

些三角形是直角三角形,并说明理由.

教学反思：

直线与平面所成的角

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能：理解并掌握直线与平面所成的角的定义,熟记直线与平面所成角的范围,

会求直线与平面所成的角.

2、过程与方法：借助正方体、长方体这一主要载体,以师为主导,引导学生主动参与,探

究异面直线所成角的概念形成过程,以与角的求解与其所蕴含的转化思想与化归方法.

3、情感态度与价值观：

〔1〕培养学生不断探索发现新知识的精神,渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯

物主义观点.

〔2〕培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以与逻辑推理能力,使学生

初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想.

二、教学重点：直线与平面所成的角的定义、范围与计算.

难点：角的寻找〔垂线〕.

三、教学过程

〔一〕创设情景,引入新课

复习：平面的垂线：垂直于平面的直线.

平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线.

42/95

射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影.

三垂线定理：在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也

和这条斜线垂直.

逆定理：在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线

在平面内的射影垂直.

三垂线定理与其逆定理的证明：线面垂直法.

问题：如图,E为长方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

的边AB上任意一

点,直线AA

1

,A

1

E,A

1

B中哪些与底面ABCD垂直？

从位置关系来看,同为直线,但它们的相对位置是不同的,如

何刻画直线与平面的位置关系？

模型演示：笔与桌面的位置关系.

〔二〕研探新知

1、直线与平面所成角的定义：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这

个平面所成的角.

注：l⊥α时,所成角为90°；l//α时,所成角为0°.

范围：]

2

,0[



.

课堂练习：两条直线和一个平面所成的角相等,这两条直线一定平行吗？

2、应用举例：

例1：在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,求：

〔1〕直线A

1

B和平面A

1

B

1

CD所成的角；

〔2〕直线DB

1

与平面ABCD所成角的正弦值.

解〔1〕连结BC

1

交B

1

C于点O,连结OA

1

,

因为A

1

B

1

⊥平面BCC

1

B

1

,所以A

1

B

1

⊥BC

1

,

因为BCC

1

B

1

为正方形,所以B

1

C⊥BC

1

,

又

1111

BCBBA,所以BO⊥平面A

1

B

1

CD,

所以∠BA

1

O为直线A

1

B和平面A

1

B

1

CD所成的角,且∠BOA=90°,

设正方体的棱长为a,则

aOBaOA

2

2

,2

1

,

α

A

P

O

DC

A

B

A

1B

1

D

1C

1

E

DC

A

B

A

1B

1

D

1C

1

43/95

所以

2

1

sin

1

1



BA

OB

OBA,得∠BA

1

O=30°,

所以直线A

1

B和平面A

1

B

1

CD所成的角为30°.

〔2〕学生练习.

小结：求直线与平面所成的角一般要有三个步骤：

〔1〕作图：作出所求的角与题中涉与的有关图形等；

〔2〕证明：证明所给图形是符合题设要求的；

〔3〕计算：在证明的基础上计算得出结果.

例2：如图,在直三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

中,∠ABC=90°,AB=BC=1.

〔1〕求异面直线B

1

C

1

与AC所成角的大小；

〔2〕若直线A

1

C与平面ABC所成角为45°,求三棱锥A

1

—ABC的体积.

〔三〕课堂练习

1、已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2,A、B两点

在平面α内的射影之间的距离为

3

,求直线AB和平面α所成的角.

2、求正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值.

3、如图,PD⊥平面ABCD,AD⊥PC,AD//BC,PD:DC:

BC=1:1:2,求直线PB与平面PDC所成角的大小.

〔四〕作业：

例2,课堂练习2题.导与练P55,1~11.

教学反思：

二面角与其平面角

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能：〔1〕正确理解和掌握"二面角"、"二面角的平面角"与"直二面角"、"两

个平面互相垂直"的概念；

〔2〕掌握两个平面垂直的判定定理与其简单的应用；

〔3〕学会"类比归纳"思想在数学问题解决上的作用.

A

B

C

D

P

A

B

C

D

44/95

2、过程与方法：〔1〕通过实例让学生直观感知"二面角"概念的形成过程；

〔2〕类比已学知识,归纳"二面角"的度量方法与两个平面垂直的判定定理.

3、情感态度与价值观：通过揭示概念的形成、发展和应用过程,使学生理会教学存在于

观实生活周围,从中激发学生积极思维,培养学生的观察、分析、解决问题能力.

二、教学重点：平面与平面垂直的判定；

难点：如何度量二面角的大小.

三、学法指导：实物观察,类比归纳,语言表达.

四、教学过程

〔一〕创设情景,揭示课题

实例：〔1〕修筑水坝时,为了使坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度.

〔2〕发射人造地球卫星时,根据需要,使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.

问题1：平面几何中"角"是怎样定义的？

问题2：在立体几何中,"异面直线所成的角"、"直线和平面所成的角"又是怎样定义的？

它们有什么共同的特征？

〔二〕研探新知

1、二面角的有关概念

演示：把纸对折,观察其形状,并进行归纳：

角二面角

图形

A

边

顶点O边B

A

梭lβ

B

α

定义

从平面内一点出发的两条射线〔半

直线〕所组成的图形

从空间一直线出发的两个半平面所组

成的图形

构成射线—点〔顶点〕一射线半平面一线〔棱〕一半平面

表示∠AOB二面角α–l–β或α–AB–β

2、二面角的度量

问题：我们常说"把门开大一些",是指哪个角大一些？

应该怎样刻画二两角的大小呢？〔模型演示〕

归纳〔二面角的平面角〕：在二面角α—l—β的棱上任取一点O,以

45/95

点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的

∠AOB叫做二面角的平面角.

说明：〔1〕在表示二面角的平面角时,要求"OA⊥l,OB⊥l"；

〔2〕∠AOB的大小与点O在l上位置无关；

〔3〕二面角的大小可以用它的平面角来度量,范围：],0[；

〔4〕直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.

3、两个平面互相垂直的概念

观察：教室相邻的两个墙角与地面可以构成几个二面

角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角与其度数.

两个平面互相垂直：两个平面所成的角为直二面角,记作：.

演示：课本与桌面垂直.

〔三〕求二面角的大小

例1：如图,在三棱锥V—ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB

=32,VC=1,试画出二面角V—AB—C的平面角,并求它的度数.

课堂练习1：〔1〕在一个二面角的一个面内有一点,它到棱的距

离等于到另一个面的距离的2倍,求二面角的度数.

〔2〕如图,四棱锥V—ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,

其他四个侧面都是侧棱长为

5

的等腰三角形,试画出二面角V—AB

—C的平面角,并求它的度数.

例2：正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,求

〔1〕二面角A

1

—CD—B的大小；

〔2〕二面角C

1

—BD—C的平面角的余弦值；

〔3〕二面角A—BD

1

—C的的平面角的余弦值.

课堂练习2：〔1〕如图,正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,M是棱

A

1

B

1

的中点,求二面角M—BD—A的平面角的正切值.

〔2〕如图,已知平面α,β,且α∩β=AB,PC⊥α,PD⊥β,C,D是

垂足,

46/95

①判断直线AB与CD的位置关系,并证明你的结论；

②若PC=5,PD=8,PC=7,求二面角α—AB—β的大小.

〔四〕课堂总结

1、二面角的平面角必须具备三个条件：

〔1〕角的顶点在二面角的棱上；

〔2〕角的两边分别在二面角的两个半平面内；

〔3〕角的两条边分别与二面角的棱垂直.

准确、恰当地作出二面角的平面角,是解答有关二面角问题的关键.

2、确定二面角的平面角的方法：

〔1〕定义法：在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.

〔2〕垂面法：过棱上一点作棱的垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,

这两条射线〔交线〕所成的角,即为二面角的平面角.

〔3〕垂线法〔三垂线定理〕：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作

棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角,此种方法通用于求二面角的所有题

目,具体步骤为：

一找——找平面与平面的垂线；

二证——证明斜线或射影与棱垂直；

三求——求出所得二面角的平面角的大小.

〔五〕布置作业：

课堂练习1、2.〔共4题〕

教学反思：

平面与平面垂直的判定与性质

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能：〔1〕掌握平面与平面垂直的判定定理与性质定理；

〔2〕能运用判定定理、性质定理解决一些简单问题；

〔3〕了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.

2、过程与方法：从开放性的角度设计问题,引导学生建立新的认知结构,挖掘学生的创造

47/95

潜能.

3、情感态度与价值观：通过"直观感知、操作确认,推理证明",培养学生空间概念、空间

想象能力以与逻辑推理能力.

二、教学重点、难点：判定定理、性质定理的证明与其应用.

三、学法指导：直观感知、操作确认,猜想与证明.

四、教学过程

〔一〕由开放题设计知识的产生过程

问题导入：直线a和平面α,β有以下三种关系：①a⊥β,②aα,③α⊥β,如果任意取其中

两个作为前提,另一个作为结论构造命题,能构成几个命题？如果是真命题,请给予证明；如果

是假命题,请举出一个反例,并补充条件使其成为真命题并加以证明.

学生画图形,搭模型——用课本、桌面作平面,铅笔作直线,能构成三个不同的命题：























































a

a

a

aa

a

)3(;)2(;)1(.

其中〔1〕是真命题,〔2〕,〔3〕均是假命题.

〔二〕用开放的思维探索命题的真假

1、证明命题〔1〕为真

分析：设α∩β=CD,欲证α⊥β,只须判断二面角α–CD–β为直二面角.为此,作OB⊥CD,得

其二面角∠AOB〔如图〕.











90AOBOBAO

OB

AO





,从而证明了α⊥β.

归纳〔两个平面垂直的判定定理〕：一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

符号语言：ll,.

作用：由线面垂直得到面面垂直.

2、考察命题〔2〕的真假

由α⊥β,α内的直线a不一定能与β垂直〔反例如图〕.

问题：对于命题〔2〕,能否在α⊥β,aα的条件下,再增加某些条件,

使a⊥β的结论成立呢？

引导学生分析,发现增加"a垂直于α与β的交线"的限制条件后,就能

判定a⊥β.

证明：在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,则∠ABE是二面角α—CD—β

A

aD

OB

C

图1

a

图2

48/95

的平面角.

由知AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是β内的两条相交直线,所以AB⊥β.

归纳〔两个平面垂直的性质定理〕：

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

符号语言：设CDABABCD,,,,则有AB⊥β.

作用：由面面垂直得到线面垂直.

3、考察命题〔3〕的真假

途径1：结论开放.α⊥β且a⊥β不一定能得到aα,但可以判断a与α的位置关系是什

么？〔平行或在平面内〕

途径2：条件开放.为了得到aα这个结论,需要增加什么条件？〔由途径1可知：为使

a∥α不成立,a须经过α内的一点P.〕

思考：〔1〕设平面α⊥平面β,点P在平面α内,过点P作平面β的垂线a,直线

a与平面α具有什么位置关系？

分析：过一点只能作一条直线与已知平面垂直.〔答：直线a必在平面α内〕

归纳：,,aPaa.

〔2〕已知平面α、β和直线a,若α⊥β,a⊥β,a,则直线a与平面α具有什么位置关

系？〔答：直线a与平面α平行〕

归纳：,,//aaa.

探究：已知平面α、β和直线a,若α⊥β,ABaaAB,//,,则直线

a与平面β具有什么位置关系？〔a⊥β〕

4、应用举例

例：如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意

一点,求证：平面PAC⊥平面PBC.

证明：设圆O所在平面为α,由已知条件,

PA⊥α,BC在α内,所以PA⊥BC,

因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点,AB是圆O的直径,

所以∠BCA是直角,即BC⊥AC.

49/95

又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线,

所以BC⊥平面PAC,又因为BC在平面PBC内,所以平面PAC⊥平面PBC.

5、探究：如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相

垂直,为什么？

拓展：哪些直线互相垂直？线面垂直呢？

〔三〕通过开放性练习的研究深化对知识的认识

课堂练习：直线a和平面α,β有以下三种关系：①a⊥α,②a∥β,③α⊥β,

以其中两个作为条件,另一个作为结论,构成三个命题,试探讨其真假.

〔四〕课堂总结

1、直线与平面垂直的判定：ll,.

2、直线与平面垂直的性质：〔1〕设CDABABCD,,,,则有AB⊥β.

〔2〕,,aPaa；,,//aaa.

〔五〕作业：课堂练习.

教学反思：

立体几何复习

授课类型：复习课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标：

1、知识与技能：〔1〕掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知识；

〔2〕通过对知识的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力.

2、过程与方法：利用框图对本章知识进行系统的小结,直观、简明再现所学知识,化抽象

为直观,易于识记,同时凸现数学知识的发展和联系.

3、情感态度与价值观：通过知识的整合、梳理,理会空间点、线、面间的位置关系与其

互相联系,进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力.

二、教学重点：各知识点间的网络关系.

难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化.

三、教学过程

〔一〕整合知识,发展思维

1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题,进行逻辑推理

50/95

的基础.

公理1：ABBA,——判定直线是否在平面内.

公理2：不共线的三点确定一个平面——确定平面的依据.

推论1：直线与直线外一点确定一个平面.

推论2：两条相交或平行直线确定一个平面.

公理3：lPlPP且,,.——判定两个平面交线的位置.

公理4：cacbba////,//.——判定空间直线之间平行.

2、位置关系：

〔1〕直线与直线：相交、平行、异面.

〔2〕直线与平面：直线在平面内、相交、平行.

〔3〕平面与平面：相交、平行.

3、空间平行、垂直之间的转化与__

判定定理性质定理

直线与平面平行

////,,ababababaa//,,//

平面与平面平行





////,//

,

















Aba

ba

ba



ba

b

a//

//



























直线与平面垂直



















l

Anm

nm

nlml



,

,

baba//,

平面与平面垂直

aa,

















a

CDaCD

a

,

,



转化思想：直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行

直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直

4、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题.

5、观察和推是认识世界的两种重要手段,两者相辅相成,缺一不可.

〔二〕应用举例,深化巩固

例1、〔1〕已知平面α、β和直线m,给出条件：

①m//α,②m⊥α,③m



α,④α⊥β,⑤α//β.

51/95

①当满足条件时,有m//β；

②当满足条件时,有m⊥β.

〔2〕已知m、n是不同的直线,α、β是不重合的平面,给出下列命题：

①若m//α,则m平行于平面α内任意一条直线；

②若α//β,mα,nβ,则m//n；

③若m⊥α,n⊥β,m//n,则α//β；

④若α//β,mα,则m//β.

上面命题中,真命题的序号是.

例2、如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是

AB、PC的中点.

〔1〕求证：CD⊥PD；

〔2〕求证：EF//平面PAD；

〔3〕当平面PCD与平面ABCD成多大角时,直线EF⊥平面PCD.

例3：如图,在直三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

中,底面△ABC是直角三角

形,∠ABC=90°,BC=BB

1

,且A

1

C∩AC

1

=D,BC

1

∩B

1

C=E,连结

DE.

〔1〕求证：A

1

B

1

⊥平面BB

1

C

1

C；

〔2〕求证：A

1

C⊥BC

1

；

〔3〕求证：DE⊥平面BB

1

C

1

C.

课堂练习〔作业〕

1、如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB

=CD=BD=2,AB=AD=2.

〔1〕求证：AO⊥平面BCD；

〔2〕求异面直线AB与CD所成角的大小；

〔3〕求点E到平面ACD的距离.

2、如图,已知

1111

ABCDABCD是棱长为3的正方体,

点E在

1

AA上,点F在

1

CC上,且

1

1AEFC,

〔1〕求证：

1

,,,EBFD四点共面；

P

A

B

C

D

E

F

A

B

C

A

1

B

1

C

1

D

E

A

B

C

D

O

E1

D

1

A

A

B

C

D

1

C

1

B

M

E

F

H

G

52/95

〔2〕若点G在BC上,

2

3

BG,点M在

1

BB上,

GMBF,垂足为H,求证：EM面

11

BCCB；

〔3〕用表示截面

1

EBFD和面

11

BCCB所成锐二面角大小,求tan.

第三章直线与方程

直线的倾斜角和斜率

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标：

1、知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式.

2、过程与方法：

〔1〕在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.

〔2〕经历用代数方法刻画直线斜率公式的推导过程.

3、情感态度与价值观：〔1〕通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关

系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.

〔2〕通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学

生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

二、教学重点、难点

重点：斜率的概念,用代数方法刻画直线斜率的过程,过两点的直线斜率的计算公式.

难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.

三、学法指导：启发、引导、讨论.

四、教学过程：

〔一〕直线的倾斜角的概念

思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置由哪些条件确定？

问题1：已知直线l经过点P,直线l的位置能够确定吗？

问题2：过一点P可以作无数条直线l

1

,l

2

,l

3

,…,它们都经过点P〔组成一个直线束〕,这

些直线区别在哪里呢？

定义：当直线l与x

轴相交时,取x轴作为基准,x轴正

向与直线l向上方向之间所成的角

53/95

α叫做直线l的倾斜角

．．．

.

特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.范围：0°≤α＜180°.

当直线l与x轴垂直时,α=90°.

当直线a∥b∥c,它们的倾斜角α相等,所以一个倾斜角α不能确定一条直线.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点

．．．

P

．

和一个倾斜角

．．．．．．

α

．

..

〔二〕直线的斜率

思考：日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量？〔

前进量

升高量

比坡度)(〕

定义：一条直线的倾斜角α〔α≠90°〕的正切值叫做这条直线的斜率.k=tanα

〔1〕当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0；

〔2〕当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.

如：α=45°时,k=tan45°=1；α=135°时,k=tan135°=–tan45°=–1.

〔三〕直线的斜率公式

问题：给定两点P

1

1

,y

1

>,P

2

2

,y

2

>,x

1

≠x

2

,求直线P

1

P

2

的斜率.

〔1〕当α为锐角时,),(

12

yxQ,

12

12

1

2

12||

||

tantan

xx

yy

QP

QP

QPPk





.

〔2〕当α为钝角时,),(

12

yxQ,

12

12

21

12

1

2

12||

||

tantantan

xx

yy

xx

yy

QP

QP

QPPk











.

结论〔直线的斜率公式〕：

)(tan

21

12

12xx

xx

yy

k





.

思考：〔1〕当直线与x轴平行或重合时,上述式子还成立吗？为什么？

〔2〕已知直线上两点),(),,(

2121

bbBaaA,运用上述公式计算直线AB的斜率时,与A、B

两点坐标的顺序有关吗？

〔3〕当直线与y轴平行或重合时,上述式子还成立吗？为什么？

〔四〕例题巩固

例1：已知A<3,2>,B<–4,1>,C<0,–1>,求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角

是钝角还是锐角.

54/95

分析：

7

1



AB

k,其倾斜角为锐角；

2

1



BC

k,其倾斜角为钝角；1

AC

k,其倾斜角为

锐角.

一般结论：

当k=tanα<0时,倾斜角α是钝角；当k=tanα>0时,倾斜角α是锐角；当k=tanα=0时,

倾斜角α是0°.

例2：在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,–1,2,与–3的直线l

1

,l

2

,l

3

与l

4

.

分析：要画出经过原点的直线,只要再找出l

1

上的另外一点

M,而M的坐标可以根据直线l

1

的斜率确定.

〔五〕课堂练习：课本P86,练习1,2,3,4.

〔六〕归纳小结：

〔1〕直线的倾斜角和斜率的概念；

〔2〕直线的斜率公式：

)(tan

21

12

12xx

xx

yy

k





.

〔七〕作业：课本P89,习题3.1[A组]第2,3,4题.

教学反思：

两条直线的平行与垂直

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平

行或垂直.

2、过程与方法：通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用已有知识解决新问题

的能力,以与数形结合能力.

3、情感态度与价值观：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意

识,合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.

二、教学重点、难点：

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用.

难点：启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系

问题.

关键：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解

55/95

决好这个问题.

三、教学过程

〔一〕两条直线平行的条件

思考：设两条直线l

1

,l

2

的斜率分别为k

1

,k

2

,当l

1

//l

2

时,k

1

与k

2

满足什么关系？

探究：

21212121

tantan//kkll.

结论：两条不重合的直线

2121

//kkll〔斜率存在〕.

应用举例：

例1、已知A<2,3>,B<–4,0>,P<–3,1>,Q<–1,2>,试

判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.

分析：作出图像如右,猜想BA//PQ：

由斜率公式可得：

2

1



PQBA

kk,

所以直线BA//PQ.

例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为

A<0,0>,B<2,–1>,C<4,2>,D<2,3>,试判断四边形ABCD的形

状,并给出证明.

分析：在直角坐标系作出图形如右,猜想四边形ABCD

为平行四边形：

2

1



CDBA

kk,所以AB//CD；

2

3



ADBC

kk,所以BC//AD；所以四边形ABCD为平行四边形.

追问：四边形ABCD是否为矩形？如何判断直线AB与BC垂直？〔向量的数量积〕

由此,欲判断ABCD为平行四边形,可以由

DCAB

得到.

〔二〕两条直线垂直的条件

问题：设两条直线l

1

,l

2

的斜率分别为k

1

,k

2

,当l

1

⊥l

2

时,k

1

与k

2

满足什么关系？

分析一：设两条直线l

1

与l

2

的倾斜角分别为α

1

与α

2

〔90,

21

〕,

如图,如果l

1

⊥l

1

,这时

21

,由三角形任一外角等于其不相

56/95

邻两内角之和,得90

12

,

因为l

1

,l的斜率分别为k

1

,k

2

且90

2

,由

1

12tan

1

)90tan(tan



得1

21

kk.

分析二〔向量法〕：设l

1

与l

2

的交为为P

0

,y

0

>,

在l

1

与l

2

上分别取不同于点P的点),(),,(

222111

yxPyxP,则

),(),,(,,

02

02

2

01

01

1

yyxxPPyyxxPP

xx

yy

k

xx

yy

k











,

因为l

1

⊥l

2

,所以,

两边同除以

0))((

0201

xxxx,得1

21

kk.

探究：当时1

21

kk,l

1

与l

2

的位置关系如何？

结论：1

2121

kkll.

应用举例：

例3、已知A<–6,0>,B<3,6>,P<0,3>,Q<–2,6>,试判断直线AB与PQ的位置关系.

分析：PQABkkkk

PQABPQAB

1,

2

3

,

3

2

.

例4、已知A<5,1–1>,B<1,1>,C<2,3>,试判断三角形ABC的形状.

分析：作出图形如右,猜想三角形ABC为直角三角形：

BCABkkkk

BCABBCAB

1,2,

2

1

,

所以三角形ABC为直角三角形.

〔三〕探究：

如果有一条直线的斜率不存在,两条直线平行或垂直的条件又是

什么？

结论：〔1〕两条直线的斜率都不存在时,它们互相平行；

〔2〕一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,它们互相垂直.

〔四〕课堂练习：课本P89,练习第1,2题.

〔五〕归纳小结：

〔1〕两条直线平行或垂直的条件：

2121

//kkll,1

2121

kkll；

57/95

〔2〕应用条件,判定两条直线平行或垂直；

〔3〕应用直线平行的条件,判定三点共线.

〔六〕作业：课本P89,习题3.1[A组]第5,6,7,8题；或[B组]第2,4,5,6题.

教学反思：

3.2.1直线的点斜式方程

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能〔1〕理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

〔2〕能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程.

〔3〕体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直

线的倾斜角的基础上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解"截距"与"距

离"的区别.

3、情感态度与价值观：体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,培养学生数形结合的

思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题.

二、教学重点、难点：

1、重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.

2、难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.

三、教学过程

〔一〕创设情景,导入新课

问题1：在直角坐标内,确定一条直线应知道哪些条件？

〔1〕已知直线上的一点和直线的倾斜角〔斜率〕可以确定一

条直线.

〔2〕已知两点可以确定一条直线.

问题2：直线l经过点

),(

000

yxP,且斜率为k.设点),(yxP是直线l上的任意一点,请建

立yx,与

00

,,yxk之间的关系.

〔二〕研探新知

1、根据斜率公式,当

0

xx时,

0

0

xx

yy

k





,即)(

00

xxkyy〔1〕

y

x

O

P

P

0

58/95

问题〔1〕过点),(

000

yxP,斜率是k的直线l上的点,其坐标都满足方程〔1〕吗？

是,由以上的推导过程可得.

〔2〕坐标满足方程〔1〕的点都在经过),(

000

yxP,斜率为k的直线l上吗？

若点

111

(,)Pxy的坐标

1

x,

1

y满足方程〔1〕,即

1010

()yykxx,若

10

xx,则

10

yy,

说明点P

1

与P

0

重合,于是可得点P

1

在直线l上；若

10

xx,则10

10

yy

k

xx







,这说明过点P

1

和

P

0

的直线的斜率为k,于是可得点P

1

在过点),(

000

yxP,斜率为k的直线上.

2、直线的点斜式方程：方程〔1〕由直线上一定点与其斜率确定,所以叫做直线的点斜

式方程,简称点斜式.

问题3：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？

〔1〕x轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方程是什么？

〔y=0,x=0〕

〔2〕经过点

),(

000

yxP且平行于x轴〔即垂直于y轴〕的直线方程是什么？

〔y=y

0

,k=0〕

〔3〕经过点

),(

000

yxP且平行于y轴〔即垂直于x轴〕的直线方程是什么？

〔x=x

0

,k不存在〕

3、直线的斜截式方程：

问题4：已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为〔0,b〕,求直线l的方程.

结论：直线的斜截式方程：y=kx+b.

其中,直线l与y轴交点〔0,b〕的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.

思考：截距是距离吗？

4、直线的斜截式方程与一次函数的关系：

〔1〕观察方程bkxy,它的形式具有什么特点？

左边的系数恒为1,右边x的系数k和常数b项均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b

是直线在x轴上的截距.

〔2〕如何从直线方程的角度认识一次函数bkxy？一次函数

中k和b的几何意义是什么？请说出一次函数

y

x

O

P

0

59/95

3,3,12xyxyxy图象的特点.

〔三〕例、习题剖析

例1、直线l经过点P

0

<–2,3>,且倾斜角45,求直线l的点斜式方程,并画出直线

l.

分析：直线l的点斜式方程为y–3=x+2,图象如右.

例2、已知直线

111

:bxkyl,

222

:bxkyl,试讨论：

〔1〕

21

//ll的条件是什么？〔2〕

21

ll的条件是什么？

结论：,//

2121

kkll且

21

bb；1

2121

kkll.

〔四〕课堂练习：

课本P95,练习1,2,3,4.

〔五〕归纳小结：

〔1〕本节课我们学过那些知识点；

〔2〕直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？

〔3〕求一条直线的方程,要知道多少个条件？

〔六〕作业：

课本P100,习题3.2[A组]第1〔1〕〔2〕〔3〕,3,5.

教学反思：

3.2.2直线的两点式方程

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能：掌握直线方程的两点式和截距式的形式特点与适用范围.

2、过程与方法：在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、

分析、应用获得新知识的特点.

3、情感态度与价值观：认识事物之间的普遍联系与相互转化,培养学生用联系的观点看

问题.

二、教学重点、难点：

重点：直线方程的两点式.

难点：直线两点式推导过程的理解.

60/95

三、教学过程

〔一〕创设情景,引入新课

思考：利用直线的点斜式方程解答下列问题：

〔1〕已知直线l经过两点)5,3(),2,1(

21

PP,求直线l的方程.[)1(

2

3

2xy]

〔2〕已知两点),(),,(

222211

yxPxxP其中),(

2121

yyxx,求通过这两点的直线方程.

〔二〕讲授新课

1、直线的两点式方程：

问题解答：因为

21

xx,所以

12

12

xx

yy

k





,由直线的点斜式方程,得：

)(

1

12

12

1

xx

xx

yy

yy





,因为

21

yy,所以),(

2121

12

1

12

1yyxx

xx

xx

yy

yy













为直

线的两点式方程.

说明〔1〕这个方程由直线上两点确定；

〔2〕当直线没有斜率或斜率为0时,不能用两点式求出它们的方程.〔此时方程如何

得到？〕

思考：若点),(),,(

222211

yxPxxP中有

21

xx,或

21

yy,此时这两点的直线方程是什

么？

〔1〕当

21

xx时,直线与x轴垂直,所以直线方程为：

1

xx；

〔2〕当

21

yy时,直线与y轴垂直,直线方程为：

1

yy.

2、直线的截距式方程：

例1、如图,已知直线l与x轴的交点为A)0,(a,与y轴的交点为B),0(b,其中0,0ba,

求直线l的方程.

分析：由直线的两点式方程得：











a

ax

b

y

00

0

1

b

y

a

x

,为

直线的截距式方程.

其中,直线与x轴交点的横坐标a叫做直线在x轴的截距.

截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.

3、例题巩固：

61/95

例2、已知三角形的三个顶点A〔–5,0〕,B〔3,–3〕,C〔0,2〕,求BC边所在直线的方程,

以与该边上中线所在直线的方程.

分析：BC边所在直线的方程：由两点式方程即得：5x+

3y–6=0；BC的中点为M)

2

1

,

2

3

(〔中点坐标公式〕,所以

AM所在直线的方程为：x+13y+5=0.

拓展：〔1〕求BC边上的高线AH所在直线的方程；

〔2〕求线段BC的垂直平分线的方程.

〔三〕课堂练习：课本P97,练习1,2,3.

补充练习：1、下列四个命题中的真命题是〔〕

〔A〕经过定点

000

(,)Pxy的直线都可以用方程

00

()yykxx表示；

〔B〕经过任意两个不同的点

111222

(,),(,)PxyPxy的直线都可以用方程

121121

()()()()yyxxxxyy表示；

〔C〕不经过原点的直线都可以用方程1

xy

ab

表示；

〔D〕经过定点的直线都可以用ykxb表示.

2、求过点P<1,2>且满足下列条件的直线方程：

〔1〕倾斜角的正弦值是

5

4

；

〔2〕倾斜角是直线

033yx

的倾斜角的一半；

〔3〕倾斜角是直线x–3y+4=0的倾斜角的两倍；

〔4〕与直线3x–y+5=0平行；

〔5〕与直线x–2y–3=0垂直.

3、〔1〕已知点A<7,–4>,B<–5,6>,求线段AB的垂直平分线的方程.

〔2〕求过点P<1,2>且到两坐标轴的截距相等的直线方程.

〔3〕求过点P<1,2>且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最小的直线方程.

〔四〕归纳小结：

〔1〕到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？

〔2〕要求一条直线的方程,必须知道多少个条件？

〔五〕作业：

62/95

课本P100,习题3.2[A组]1〔4〕〔5〕〔6〕,4,8,9.

教学反思：

3.2.3直线的一般式方程

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能

〔1〕探索并掌握直线方程一般式的形式特征；

〔2〕掌握直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间的互化的方法；

〔3〕了解在直角坐标系中,平面上的直线与x、y的一次方程是一一对应的.

2、过程与方法

通过直角坐标系中直线与二元一次方程对应关系的探究,体会直线的一般式与平面上直线的

关系,学会用分类讨论的思想方法解决问题.

3、情感态度与价值观

〔1〕认识事物之间的普遍联系与相互转化；

〔2〕用联系的观点看问题.

二、教学重点、难点：

重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法；

难点：平面上的直线与x、y的一次方程的一一对应关系.

三、教材分析：

1、提示概念内涵,反映客观事物的本质属性

〔1〕联系旧知识,引入新概念；——回顾直线方程的特殊形式,说明它们都具有局限性,

通过扩大概念的外延,引出新概念：一般式.

〔2〕充分用课本,剖析新概念；——"讲授新课"一段,分两个方面,每方面又分两种不同

情况进行讨论；教学过程中又适当借助图形,最后得出"平面上的直线与二元一次方程一一对

应"的结论.

〔3〕设计小例题,强化新概念；——例1具体地说明了直线方程的点斜式转化为一般式,

把握直线方程一般式的特点；例2除了说明一般式化斜截式,由已知直线方程的一般式求直

线的斜率和截距的方法,强化这堂课的新概念外,也重温了前面所学过的知识——由方程如何

画直线.

63/95

O

y

x

l

2、进行概念教学,注意运用数学方法,培养学生能力

〔1〕抓住课题是字母系数方程的机会,进行"两分法"教学,培养全面、系统、周密地讨论

问题的能力；

〔2〕抓住"特殊式"与"一般式"在一定条件下可以互化,在解题中可以培养多向思维的能

力.

四、教学过程

〔一〕复习引入：

1、直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的互相转化：

练习1：由下列条件,写出直线的方程：

〔1〕经过点A〔8,–2〕,斜率是

2

1

；〔)8(

2

1

2xy〕

〔2〕经过点B〔4,2〕,平行于x轴；〔y–2=0〕

〔3〕经过点P

1

〔3,–2〕,P

2

〔5,–4〕；〔

35

3

)2(4

)2(









xy

〕

〔4〕在x轴,y轴上的截距分别为

2

3

,–3.〔1

3

2

3







yx

〕

2、直线方程的几种形式：

形式条件方程应用范围

点斜式

过点),(

111

yxP,斜率为k)(

11

xxkyy

k存在

斜截式斜率为k,在y轴的截距为b

bkxy

k存在

两点式

过不同两点),(

111

yxP、),(

222

yxP

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy











k存在

截距式在x轴、y轴上的截距分别为a、b

1

b

y

a

x

k存在且0k

且不过原点

思考：以上方程有什么共同的特点？

〔二〕讲授新课：

1、直线与二元一次方程的关系：

问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示

吗？

64/95

x

1

O

y

x

对直线的倾斜角α进行讨论：

①当90时,

直线斜率为tank,其方程可写成：bkxy,可变形为：

0CByAx,其中：A=k,B=–1,C=b；A、B不同时为零.〔如图〕

②当90时,直线斜率不存在,其方程可写成

1

xx的形式,

也可以变形为：0CByAx,其中：A=1,B=0,

1

xC.

〔如图〕

结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程

0CByAx〔A、B不同时为零〕来表示.

问题2：每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？

对B分两种情况进行讨论：

①当0B时,0CByAx可化为：

B

C

x

B

A

y,它表示斜率为

B

A

k,在y

轴上的截距为

B

C

b的直线；

②当B=0时,则0A,0CByAx可化为

A

C

x,表示与y轴平行〔0C〕

或重合〔C=0〕的直线.

结论2：任何关于x、y的二元一次方程0CByAx〔A、B不同时为零〕都可以

表示平面直角坐标系中的一条直线.

2、直线的一般式方程：

把关于x、y的二元一次方程0CByAx〔A、B不同时为零〕叫做直线的一般式

方程,简称一般式.

注：〔ⅰ〕在平面直角坐标系中,表示任何一条直线的方程都是关于x、y的一次方程；

反之,每一个关于x、y的一次方程都表示直角坐标系中的一条直线.

〔ⅱ〕直线方程的特殊形式与一般形式可以互相转化.

3、探究：

在方程0CByAx中,A,B,C为何值时,方程表示的直线：

〔1〕平行于x轴；〔2〕平行于y轴；

65/95

〔3〕与x轴重合；〔4〕与y轴重合.

说明：引导学生从直线与方程的一一对应关系去探究.

4、练习2：把练习1中的直线方程化成一般式方程.

〔三〕例题剖析：

例1、已知直线经过点)4,6(A,且斜率为

3

4

,求直线点斜式和一般式的方程：

解：点斜式方程：)6(

3

4

4xy；〔2〕一般式方程：01234yx；

例2、把直线l的一般式方程x–2y+6=0化成斜截式,求出直线l的斜率以与它在x轴

与y轴上的截距,并画出图形.

解：将直线l的一般式方程化成斜截式3

2

1

xy,因此,直线的斜率

2

1

k,它在y轴上

的截距是3.

在直线l的方程x–2y+6=0中,令y=0,得x=–6,即直线在x轴上的截距是–6.

由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A〔–6,0〕,B〔0,3〕,过点A、B作直线,

就得直线l的图形〔如图〕.

注：求截距可以引导学生把一般式化为截距式,再由截距式观察而得.

〔四〕课堂练习：课本P99,练习第2、3题.

〔五〕归纳总结

1、我们学到了什么？

〔1〕通过对直线方程的各种特殊形式的复习和变形,概括出直线方程的一般形式：

0CByAx〔A、B不同时为零〕

〔2〕通过直线方程的一般式与特殊式的互化与解题,进一步理解直线方程解集和直线上

点集的一一对应关系,从而概括出互推关系：

点

),(

00

yx在直线0CByAx上0

00

CByAx

2、数学思想方法：分类讨论思想、数形结合思想.

补充练习：1、已知直线l

1

,l

2

的方程分别是l

1

：A

1

x+B

1

y+C

1

=0〔A

1

,B

1

不同时为0〕,l

2

：

A

2

x+B

2

y+C

2

=0〔A

2

,B

2

不同时为0〕,且A

1

A

2

+B

1

B

2

=0,求证：l

1

⊥l

2

.

拓展：若l

1

//l

2

,则A

1

、B

1

、C

1

、A

2

、B

2

、C

2

应满足什么条件？

〔六〕布置作业：课本P100,习题3.2[A组]第10、11题；[B组]第4,5题.

〔七〕教学反思：

66/95

3.3.1两直线的交点坐标

3.3.2两点间的距离

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标

1、知识与技能：〔1〕能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；

〔2〕掌握直角坐标系两点间的距离公式,会用坐标法证明简单的几何问题.

2、过程和方法：〔1〕学习两直线交点坐标的求法,判断两直线位置的方法,归纳过定点的

直线系方程；

〔2〕推导两点间距离公式,充分体会数形结合的优越性.

3、情感态度与价值观：通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的

内的联系,能用代数方法解决几何问题.

二、教学重点、难点

重点：判断两直线是否相交,求交点坐标；两点间距离公式的推导.

难点：两直线相交与二元一次方程的关系,应用两点间距离公式解决几何问题.

三、教学方法：启发引导式

在学生认识直线方程的基础上,启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关

系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问

题.由此体会"形"的问题由"数"的运算来解决.

四、教学过程：

〔一〕两条直线的交点坐标

1、设置情境,导入新课

问题1：已知两条直线l

1

：3x+4y–12=0,l

2

：2x+y+2=0相交,求这两条直线的交点

坐标.

问题2：已知两条直线l

1

：A

1

x+B

1

y+C

1

=0,l

2

：A

2

x+B

2

y+C

2

=0相交,如何求这两条直线的

交点的坐标？

2、讲授新课

几何元素中,点A可用坐标A表示,直线l可用方程Ax+By+C=0表示,因此,

求两条直线的交点坐标,可联立方程组求解〔代数方法〕.

结论：〔1〕若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标；

67/95

〔2〕若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行；

〔3〕若方程组有无数解,则两条直线重合.

练习：课本P104,练习1.

3、探究：当λ变化时,方程3x+4y–2+λ<2x+y+2>=0表示什么图形？图形有何特点？

演示：借助几何画板作出方程所表示的图形,改变的值.

猜想：方程表示一条直线,其共同特点是经过同一点,该点的坐标可由l

1

：3x+4y–2=0,l

2

：

2x+y=0的交点求得.

4、例题：判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标：

〔1〕l

1

：x–y=0,l

2

：3x+3y–10=0；

〔2〕l

1

：3x–y+4=0,l

2

：6x–2y–1=0；

〔3〕l

1

：3x+4y–5=0,l

2

：6x+8y–10=0.

5、练习：P104,练习2.

〔二〕两点间的距离

1、情境设置,导入新课

复习：数轴上两点间的距离公式：|AB|=|x

2

–x

1

|.

思考：已知平面上两点),(),,(

222111

yxPyxP,如何求P

1

,P

2

的距离？

2、讲授新课

解决问题：分别向x轴和y轴作垂线相交于点Q

2

,y

1

>,

所以|||||,|||

121122

xxQPyyQP,所以

〔两点间的距离公式〕

说明：〔1〕若P,则22||yxOP；

〔2〕公式的形式特点：勾股定理.

3、应用举例

例2、已知点A<–1,2>,B<2,

7

>,在x轴上求一点,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

分析：设所求点P,由|PA|=|PB|得2225411xxxx解得x=1,

所以,所求点P<1,0>且22)20()11(||22PA.

例3、证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

68/95

分析：首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数运算

"翻译"成几何关系.

证明：如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x

轴,建立直角坐标系,有A<0,0>,设B,D,由平行四边

形的性质的点C的坐标为,

因为22222222||||,||,||BCcbADaCDaAB,

222222)(||,)(||cabBDcbaAC,

所以,222222222||||)(2|||||||BDACcbaDACDBCAB,

因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

上述解决问题的基本步骤可以归纳如下：

第一步：建立直角坐标系,用坐标表示有关的量.

第二步：进行有关代数运算.

第三步；把代数结果"翻译"成几何关系.

思考：是否还有其它的解决办法？〔还可用综合几何的方法证明这道题.〕

4、课堂练习：课本P106,练习1,2.

〔三〕课堂小结：

1、直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标；

2、两点间距离公式的推导与应用；

3、建立适当的直角坐标系,将几何问题转化为代数问题来解决.

〔四〕作业：课本P109,习题3.3[A组]1,3,5,7.

〔五〕教学反思

3.3.3点到直线的距离

3.3.4两条平行直线间的距离

授课类型：新授课授课时间：第周年月日〔星期〕

一、教学目标：

1、知识与技能：理解点到直线距离公式的推导,掌握点到直线的距离公式；会求两条平

行直线间的距离.

2、过程与方法：探索点到直线距离公式,会用点到直线距离公式求解两平行线距离.

69/95

3、情感态度与价值观：认识事物之间在一定条件下的转化,会用联系的观点看问题.

二、教学重点、难点

重点：点到直线的距离公式,两条平行直线间的距离公式.

难点：点到直线距离公式的理解与应用.

三、教学内容分析

本节课是在研究了直线的方程和两条直线的位置关系的基础上,探索如何用坐标和方程

来定量研究距离问题,既是对前面知识体系的完善,又为后面研究直线与圆、圆与圆的位置关

系奠定基础,具有承上启下的作用.同时,教材通过让学生经历点到直线距离公式的探究与应

用过程,进一步体会解析几何的本质：用代数方法解决几何问题.

学生已经有的相关知识是：两点间距离公式,直线的倾斜角、斜率,直线方程的各种形式,

直线间关系判断的依据；并且经历了建立这些公式、解决这些问题的过程,积累了一定的用

坐标法思想解决问题的经验与各种具体方法.这一节课的任务是：给出已知点的坐标与已知

直线的方程,求点到直线的距离,建立点到直线的距离的公式.从学生已经有的知识与经验看,

不难知道,可以把点到直线的距离问题转化为点到点的距离问题,从而完成任务.

从课型来说,应该属于"问题教学",以一个问题为载体,学生在教师的引导与帮助下,分析、

研究问题,制订解决问题的策略,选择解决问题的方法.

通过一个数学问题的解决,让学生参与教学过程,在这个过程中,教师尊重学生的思维过

程,充分发挥学生在学习中的主动性以与他们之间的合作交流.

因此,本节课的重点是点到直线距离公式的建立,难点是选择恰当的解决问题的方法.

2、对公式的推导,关键是"怎样想到利用坐标系中的x轴或y轴构造直角三角形,从而推

出公式".对于这个问题,教材的处理是：直接作辅助线〔呈现教材〕,这样做,无法展现为什么

会想到要构造直角三角形这一最需要学生探索的过程,不利于学生完整地理解公式的推导和

掌握与之相应的丰富的数学思想方法.如果照本宣科,则不能摆脱在客观上对学生灌注式教学.

事实上,为了真正实现以学生为主体的教学,起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内

容组织形式.

因此,在备课时没有像教材中的那样直接作辅助线,而是对教学内容进行剪裁、重组和铺

垫,构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节,采用由特殊到一般的方

法,引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究,自己发现隐藏其中的直角三角形,从而引出

|PQ|.在此基础上进一步将特殊问题还原到一般,学生十分自然地想到在坐标系中探寻令PQ

的直角三角形,找不到,自然想构造,此时再过点P作x轴和y轴的平行线就显得"瓜熟蒂落,水

70/95

到渠成"了.

本设计力求以启迪思维为核心,设计出能启发学生思维的"最近发展区",从而突破关键,

导出公式.

四、教学策略分析

1、遵循"数学学习的本质是主体〔学生〕在头脑中构建和发展数学认知结构的过程,是

主体的一种再创造行为"的理论,采取以"学生为主体、教师为主导"的启发式教学.

2、根据"教师应尊重学生主体和主动的精神,开发学生的智能,形成其健全个性"的原则,

力求营造##的教学氛围,使学生或显性〔答问、板演等〕或隐性〔聆听、苦思等〕地参与教

学全过程,给学生以思考时空,让学生自己导出公式.

3、采用多媒体教学手段,增大教学的容量和直观性,有效提高教学效率和教学质量.

4、以反馈调控为手段,力求反馈的全面性〔优、中、差生〕与时效性〔与时、中肯〕.

五、教学过程设计

〔一〕创设情景,提出问题

问题1：求点P

0

<–1,2>到直线l：3x=2的距离.

问题2：求原点O到直线l：3x+2y–26=0的距离.

方法1：设直线交两坐标轴于A、B两点,则)13,0(),0,

3

26

(BA,从而

13

3

13

13)

3

26

(||,13||,

3

26

||22ABOBOA

,

因为dABOBOAS

AOB





||

2

1

||||

2

1

,所以132

13

3

13

13

3

26

||

||||











AB

OBOA

d.

方法2〔求点H的坐标〕：作OQ⊥l,垂足为Q,直线OQ的方程为2x–3y=0,与直线l的

方程联立,解方程组











032

02623

yx

yx

,得











4

6

y

x

,所以点Q的坐标为<6,4>,由两点间的距

离公式得132)04()06(||22OQ.

〔二〕类比探究,推导公式

问题3：已知点P的坐标为

),(

00

yx,直线0:CByAxl,如何求点P到直线l的距

离呢？

学生首选坐标法〔因为从问题2可以看出,坐标法比面积法简单.〕

71/95

o

x

y

l

d

Q

S

R

P(x

0

,y

0

)

分析：设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ⊥l可知,直线PQ的斜率为

A

B

〔A≠0〕,根据点斜式写出直线PQ的方程,并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两

点距离公式求出｜PQ｜,得到点P到直线l的距离为d王新敞

果真在运算时受阻,所有的学生都没有信心完整地算出,于是只有放弃.

自然的便有学生用面积法进行尝试,而此时问题便可迎刃而解：

设A≠0,B≠0,这时l与

x

轴、y轴都相交,过点P作

x

轴的平行线,交l于点),(

01

yxR；作y

轴的平行线,交l于点),(

20

yxS,

由











0

0

20

011

CByAx

CByxA

得

B

CAx

y

A

CBy

x







0

2

0

1

,,

所以,｜PR｜=｜

10

xx｜=

A

CByAx

00,

｜PS｜=｜

20

yy｜=

B

CByAx

00,

｜RS｜＝

AB

BA

PSPR

22

22



×｜CByAx

00

｜

由三角形面积公式可知：d·｜RS｜＝｜PR｜·｜PS｜,所以

22

00

BA

CByAx

d





.