正切的二倍角公式

第19讲：二倍角的正弦、余弦和正切公式

【学习目标】

1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了

解它们之间的内在联系.

2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角

公式.但不要求记忆)，能灵活地将公式变形并运用.

3.通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法

处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.

【要点梳理】

要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sina-cosa{S2a)

cos2a=cos2a—sin2a(C.a)

=2cos:a-1

=1—2sin2a

tanla=

2tancz

1-tan2a

要点诠释：

(1)公式成立的条件是：在公式S2o.C2a中，角a可以为任意角，但公式中，只有当

a^

—+k7r及

。=兰+压(LeZ)时才成立；

242

⑵倍角公式不仅限于2。是。的二倍形式，其它如S是2。的二倍、号是f的二倍、3〃

是半的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二

倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：sina=2sii^cos^；

{

s,n顶=2sm豆rcos—(〃eZ)

2.和角成式、而角公式之间的内在联系

在两角和的三角函数公式中，当a=P时，就可得到二倍角的三角函数

公式，它们的内在联系如下:

相

以-B代B

以-8代B

Sa-p

Ca-B

相除

要点二：二倍角公式的逆用及变形

1.公式的逆用

2sinczcos=sin2a:sin。cost?=—sin2a.

2

cos2a一sin2a=2cos2a-=1-2sin:a=cosla.

2tana,

--------=tan2

1-tan*a

2.公式的变形

l±sin2q=(sina+cosay:

钉八十21+cos2a.21-cos2a

降驿公式：cosa=---------.sina=--------

升慕公式：1+cos2a=2cos2q.1-cos2g=2sin:a

要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型

求值题、化简题、证明题

1.对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、

配方、凑项、添项、换元等；

2.掌握“角的演变"规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如

。=（。—0）+"2。=（。+“）+（。-0）等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要

抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）；

3.将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.

【典型例题】

类型一：二倍角公式的简单应用

例1.化简下列各式：

…Qa小.K2ns、tai】37.5°

<1）4sin—cos—:（2）sin*——cos"—；（3）；-.

22881一顷37.5。

【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.

【答案】（1）2sinQ（2）一写（3）士了

【解析】(1)

4sin—cos—=2-2sin—cos—=2sina.

2222

关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的

正弦公式的形式.在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系,

从而使最终的结果为实数.利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地,

sina。0,贝!Jcosacos2acos4tr・・・cos2〃a=~~—

2心sina

举一反m

【变式1】求值：sinlO°cos40°sin70°.

r础rs-e□no4冲ono2sin20°cos20°cos40°cos80°

LWrTJ原式=cos20°cos40°cos80°=---------------------------

2sin20°

2sin40°cos40°

cos80°2sin80°cos80°

--------------------=--------------

8sin20°4sin20°

sin160°sin20°

(2)Vl-sin4

8sin20°8sin20°8

类型三：利用二倍角公式化简三角函数式

例3.化简下列各式：

⑴sinsin20

1+cos^+cos2^

【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简.（2）

观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简.

【答案】（1

）tan。（2）sin2—cos2

■/八sin0+sin20sinQ+2sin〃・cos〃sin仞l+2cos〃)°

【解析】(1)-----------=-------------；—=

―^―—

~=tan<9.

1+cos6+cos23cos〃+2cos~0cosR(l+2cos。)

(2)Jl-sin4

=psin'2—2sin2・cos2+cos'2

=J(sin2—cos2)'=1sin2—cos21=sin2—cos2.

【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：

1+cos267=2cos20,1-cos2a=2sin2a.经常起到消除式子中1的作用.②由于

sin2a=2sina・cosa,从而l±sin2a=(sina±cosa)2>可进行无理式的化简和运算.

例4.

（2015秋安徽阜阳期末）己知Ovav?,sin（?=|

(1)

—2sin*tz+sin2a皿任

求-------------的值;

cos2a

求tan（tz+-^）的值.

【思路点拨】：1）根据角的范围求出cosa,

(2)

tana,然后通过二倍角公式转化

2血舟+、弟2,分子分母同除cos2a，代入tana,即可求出值.

cos2。

（2）直接利用两角和的正切函数.展开代入tana的值求解即可.

【答案】(1)6；(2)7

【解析】(1)由sina

=-X0

—>/.cos(z=-,tana=—

5254

•2sin2a+sin2a_2sin2a+2sinacosa

cos2。cos2cr-sin2a

2sina

cosa-sina

2kina

1-tana

(2)tan(tz+-^)=

4

5

tana+tan—n

4

tan

1-tan«]_2

~4

1-tanatan—7t

4

举一反三：

【变式i】(1)VT项*的化简结果是

(2)已知sina=-,且。丘(任，刀)，则业<的值为____________

52cos*a

【答案】(1)sin3-cos3(2)

【解析】~

(1)原式二一sin3cos3

二J(sin3-cos3)‘

=lsin3—cos3l

=sin3—cos3

K

3

-

5

=an

SI

为因

K

)

-

2

刀)，所以cosa=一一,原式

2sinacos。

cos2a

3

2

类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用

例5.求值：

(1)已知sin(—-—)=—,求cos(<?-—).

12256

(2)已知sin(a+—)=/?!»求sin2a

.

4

【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式

去求解.

【答案】(1)—(2)2那一1

25

【解析】

(1)cos(^——)=cosI—

66

-0=cos2

三_g

J2^2

FM各勺

=l-2x±

25

_7

25

(2)sin2a=-cos(^+

2d)

--1一2、静(三+口)]

2

=-l+2sin2|

—

+a

；

u)

=2/n2-l

【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通己知条件和

所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧.

举一反三：

【变式1】已知sinQ

+costz=!，且0

tanla的值.

时-I萼8^17

17

【解析】由sin

即1+2sintzcos«=-

-,得(sin。+cosQ)：=-

■

39

8

,：.sin2a=

2sintzcosa=—

99

由sina+cosa=-t得cosa=—-sina,

「•cosa=—sina

(3

12

W1-sin2a=——

-sina+sin2a・

93

整理得9sii「a—3sintz—4=().

解得sin=J摆7或sin

a

=

6

cos2。=I-2sin*a=l-2x

（舍去）•

晅

9

cos2a17

、sin2a

..tan2a=------=

8x/17

=----・

【总结升华】解题过程中注意角。的范围的判定.

【变式2】(2016天津红桥区模拟)已知a是第二象限角，且sina=史,

4

(1)求cos2a的值

；

(2)求sin(a+—)的值.

6

【答案】(1)-Z;(2)

88

【解析】(1)因为a是第二象限角，sina=坐，

4

所以，cos2a=l-2sin:

168

(2)乂。是第二象限角，故COSQ=-Ji^j=-

：

.

/叭屈

H<1、13>/5-1

所以sin(a+-)=—--+(--)-=—-—.

o42428

类型五：二倍角公式的综合应用

例6・已知/(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,求：

(1)f(X)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；

(2)f(x)的单调区间.

【思路点拨】用降幕公式把原式降幕，然后用辅助角公式化成Asm(口X+/+*的形式.

【答案】(1)V2+2[xX=k^+-.keA(2)单增区间^/r+-Uez单

I8JL88J

•■

减区间&+：，kw乙

OO

【解析】

(1)原式=l+sin2x+cos2x+l

=sinZv+cos2x+2

=V2sin(2x+-)+2

4

♦.

则当2x+—=2kff+—，即

428

(x)=V2+2

(2)f(x)的单调递增区间为：2^--<2a+-<2^+-,则

242

,3.*n

xektt----,k—+—.kez

88

E)的单调递减区间为：如学处辱沥+学，则

,kf5/r]]

xek-+—,ke+—Lk€z

88J

【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余

弦公式及y

=Asin(d+9)的性质等知识.要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：(1)

缩角升慕公式1+sinQ=|sin^+cosg]，l-sina=lsin—-cos—j.l+cos

I22J[22)2

l-cosa=2sinzy.(2)扩角降幕公式cos：a=J挡。'-",sin2Cf=-~~

22

例7.已知向量a=(l+sin2x,sinA-cosx)•5=(l,sinx+cosx),求函数f{x)=ah.

(1)求/(・x)的最大值及相应的x值；

(2)若=-,求cos2§—2用的值.

514J

【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转

化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式.

【答案】＜1)很+1x=kfr+—(keZ)(2)—

825

【解析】(1)因为〃=(1+sin2x,sinx-cosx)，b=(Lsinx+cosx)，

所以f(x)=l+sin2x+sin2x—cos'x

=1+sin2x-cos2x=V2sin2x——|+1.

因此，当2x--=2k7T+-,即X=k7r+—(kez)时，/(.i)取得最大值72+1.

428

QQ

(2)由/(。)=1—sin28—cos2。及f(0)=—得sin2^—cos20=-,两边平方得

l-sin46=W，UPsin4^=.【大1此，cos21-2^|=cos|^—40|=sin4^=^-.

举一反三，

【变式1】(2015秋朝阳区期中)已知函数/(x)=2V3sin-cos-+2coS2-.

222

(1)求fe的最小正周期

：

(2)求f(P的单调递减区间.

【答案】(1)2刀：(2)［2切•+：,2切•+马］,kWZ.

【解析】(1)由已知可得:/(x)=73sin.v+cosx+1=2sin(x+—)+1.

6

所以f(X)的最小正周期为小.

(2)由2A”tt—〈X—《2上汗+—,k—

262

^2k7T+—

33

因此函数f(X)的单调递减区间为［2切■+§,2如■+芋］,心.

【变式2】已知向量nF

(sinA,cosA).w=(>/3,-l),m•n=l»且A为锐角.

(1)求角A的大小：

(2)求函数/(x)=cos2x+4cosAsinx(xGR)的值域.

［答案】⑴三⑵-4

【解析】(1)由题意,得mn=v3sinA-cosA=l,

2si』A—习=1,=

I6JI6J2

由A为锐角得E=J人=；.

663

(2)

ill(1)知cosA=一,

2

y/(x)=cos2a*+2sin.r=1—2sin2x+2sina:=—2|sinx——j.因为x€R,序f以

sinxG[—1,1].

因此，当sinx=-时，/(x)有最大值当sinx二一1时，/(x)有最小值一3,所以所

22

求函数/(、)的值域是-3；・

-■■

【巩固练习】

1.若cos2。=；,则sin2a=()

A.

•—

3

B.

2

3

CbD

33

2.（2017云南大理州模拟）已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终

边在直线y=-如x上,

则sin26=(

B.

2

IT

2

—sin4等于(

2+cos2B.—sin2—2—

2—sin2

4.函数/U)=sin

汗I

x+——sin

4)

A.周期为2兀的奇函数

C.周期为n的奇函数

B・周期为2n的偶函数

D.周期为n的偶函数

已知cos20=,则sin'0+cos'6的值为(

7

9

6.

8.

A.

13

18

B.

n

18

D.-1

A.1

cos

20”

B.2

（2015春吉林延边州期末）已知sin6+cos6=L且兰式0三丑，

则cos¥的值为（）

524

a7仁7广24,24

A.-—B.——C.-—D.—

25252525

将函数y二sin2x的图象向左平移夺个单位，再向上平移1个单位，

所得图象的函数解析

B.D.

求值55

c-n

式是（

:JD.y二2sin'x

A.y=cos2xB.y=2cos:xC.y

=l+sin2x+—

9.已知；

一言,0,cosx=,则tan2L

10.或的值为

11.（2016上海徐汇区一模）函数y=cos2x+>/3sinxcosx的最小值为

12.

cos2(x-7)"cos2(x+7)

的取值范围是

13.求。也—sin10。—'——血】5』的值.

2sin20°Itan5°)

14.(2017江苏海陵区月考)已知tan(-+^)=3,求sin23-2cos2的值.

4

15.已知/XABC的内角B满足2cos2B—8cosB+5=0,,若BC=(i,CA=bRaji满足：

a・S=-9,同=3,机=5,3为万.片的夹角.求sin(B+。).

16.(2015天津武清区模拟)已知角cre(―,—)>且(4cosq-3sina)(2cosa-3sin(2)

=0.

42

U)求tan(a+

—)的值

；

4

(2)求cos(y-2a)的值.

【答案与解析】

1.【答案】A

2.【答案】D

【解析】

・.•角0的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=-V3-r±,

.*•tan0=-5

则sin20=

2sin。cos。2tan。

sin23+cos'8tan28+1

_-2占_,

一3+1一一"T

故选D.

3.【答案】C

4・【答案】C

【解析】・.佃3七一+勺

••f(x)=cos2—xj—

sin2—xj=cos

=cos[--2x^)=sin2x.

I2)

5.【答案】B

【解析】sin’O+cos」8=(sin‘9+cos'。)'-2sin?Seos'8=l-?sin‘28

=1-—(1—cos220)=—

218

6.【答案】C

【解析】

cosJoO-siriO。_cosl0°+sinl0°_JIsin55°_

cos35°(cos10°-sin10°)cos35°cos35°

7.【答案】A

【解析】cos6+sin3=!

/.(cosO+sin。〉=—

24

「•2cosOsin。=---

25

又

24

「•sin6>0,cos。v()

cos6—sin0vO.

c49

义•:(cos。

一sin〃)-=1—2sin6cos0=——

25

7

cosO-sin。=——

5

cos20=cos2。一sin'0=(cos0—sin^)(cos+sin0)=--=—^

故选：A.

8.【答案】B

【解析】将函数y二sin2x的图象向左平移令个单位，得到函数y=sin2|

+

^|,即

y

=sin(2x4--^=coslx的图象,

再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为

l+2cos2x=2cos:x，故选B.

9.【答案】一亨

【解析】•••"*"=?3

/.sinx=——

5

3〜2tail24

tailx=——,/.tan2x=-----；—=----

41-tan*x7

10.【答案】4

【解析】tan15+

J

_sin15

tail15cos15

cos15_1_1

sin15sin15cos151・7n.

—sin30

2

=2x2=4

11.【答案】七

［解析］函数y=cos2x+JJsinxcosx==X

75.1•/r

f-^-sin2x=—+sin(2x+—),

故当2踞=如号心时，函数y取得最小值为（—IT

故答案为：—：・

12.【答案】[-1,1]

16

(2)由tana=—

3

一、cos

W得cos2a=一；--------

coss+siira

1-tan2a_亏

1+tan2a—16

V

25

8

,c2sinacosa2tana

324

siira+cos'atans+1]_史25

T

兀介2^.2k.介17v75

2424^3-7

cos(---2a)=cos——cos2a+sin——sin2a=——x(----)+——x——=--------

333225225

50