tan图像

1

正切函数的性质与图象

孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者

热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳

直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，

这就涉及太阳光和地面的角度问题．

那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？

正切函数的图象与性质

(1)图象：如图所示．

正切函数y＝tanx的图象叫做__正切曲线__．

(2)性质：如下表所示.

函数

性质

y＝tanx

定义域













x





x≠

π

2

＋kπ，k∈Z

值域

R

周期

π

奇偶性__奇函数__

单调性

增区间









－

π

2

＋kπ，

π

2

＋kπ

(k∈Z)

减区间无

[拓展](1)正切函数图象的对称中心是









kπ

2

，0

(k∈Z)，不存在对称轴．

2

(2)直线x＝

π

2

＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线．

(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝

π

|ω|

．

[知识点拨]正切函数单调性的三个关注点

(1)正切函数在定义域上不具有单调性．

(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－

π

2

，

π

2

)，(

π

2

，

3

2

π)，…上都是

增函数．

(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－

π

2

，

π

2

)∪(

π

2

，

3π

2

)∪…上是增函数．

1．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(

π

12

，0)，则φ可以是(B)

A．

π

6

B．－

π

6

C．－

π

12

D．

π

12

2．函数y＝2tan(

1

2

x－

π

4

)的最小正周期是(B)

A．πB．2π

C．3πD．4π

3．函数f(x)＝sinxtanx是(B)

A．奇函数B．偶函数

C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数

4．比较大小：tan(－

4π

3

)__<__tan(－

11π

5

)．

命题方向1⇨正切函数的奇偶性

典例1试判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|；

(2)f(x)＝x2tanx－sin2x．

[思路分析]利用函数奇偶性的定义去判断．

[解析](1)因为该函数的定义域是{x|x≠

π

2

＋kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f(－x)＝1－

2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋|tanx|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．

(2)因为函数f(x)的定义域是{x|x≠

π

2

＋kπ，k∈Z}，关于原点对称，

又f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，所

3

以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

『规律总结』在利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定

义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关

系．

〔跟踪练习1〕判断下列函数的奇偶性：

(1)y＝tanx(－

π

4

≤x<

π

4

)；

(2)y＝xtan2x＋x4；

(3)y＝sinx＋tanx．

[解析](1)∵定义域[－

π

4

，

π

4

)不关于原点对称，

∴它既不是奇函数也不是偶函数．

(2)定义域为{x|x≠

kπ

2

＋

π

4

，k∈Z}，关于原点对称，

∵f(－x)＝(－x)tan2(－x)＋(－x)4＝xtan2x＋x4＝f(x)，∴它是偶函数．

(3)定义域为{x|x≠kπ＋

π

2

，k∈Z}，关于原点对称，

∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它是奇函数．

命题方向2⇨求定义域和单调区间

典例2求函数y＝tan









3x－

π

3

的定义域，并指出它的单调性．

[思路分析]把3x－

π

3

看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来解决．

[解析]要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－

π

3

≠kπ＋

π

2

(k∈Z)，得x≠

kπ

3

＋

5π

18

(k

∈Z)，

∴函数的定义域为













x





x≠

kπ

3

＋

5π

18

，k∈Z

．

令kπ－

π

2

<3x－

π

3

π

2

(k∈Z)，

即

kπ

3

－

π

18

kπ

3

＋

5π

18

(k∈Z)．

∴函数的单调递增区间为









kπ

3

－

π

18

，

kπ

3

＋

5π

18

(k∈Z)，不存在单调递减区间．

『规律总结』(1)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋

φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋

π

2

，k∈Z，解得x．

(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

①若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都

4

是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－

π

2

<ωx＋φ

π

2

，k∈Z，解得x的范围

即可．

②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－

Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

〔跟踪练习2〕求函数y＝3tan









π

6

－

x

4

的定义域，并指出它的单调性．

[解析]要使函数有意义应满足

π

6

－

x

4

≠kπ＋

π

2

，得x≠－4kπ－

4π

3

，

∴函数定义域为













x





x≠－4kπ－

4π

3

，k∈Z

．

y＝3tan(

π

6

－

x

4

)＝－3tan(

x

4

－

π

6

)，

由kπ－

π

2

<

x

4

－

π

6

π

2

，k∈Z，

得4kπ－

4π

3

8π

3

，k∈Z．

∴y＝3tan(

π

6

－

x

4

)的单调递减区间为

(4kπ－

4π

3

，4kπ＋

8π

3

)，k∈Z.不存在增区间．

命题方向3⇨单调性的应用

典例3不通过求值，比较下列每组中两个正切值的大小．

(1)tan









－

2π

7

与tan









－

π

5

；

(2)tan126°与tan496°．

[思路分析]不在同一单调区间内的角应该先用诱导公式化到同一个单调区间内．

[解析](1)∵y＝tanx在









－

π

2

，

π

2

上是增函数，

－

π

2

<－

2π

7

<－

π

5

<

π

2

，∴tan









－

2π

7









－

π

5

．

(2)∵tan496°＝tan136°，

y＝tanx在(90°，270°)上是增函数，270°>136°>126°>90°，∴tan136°>tan126°，即

tan496°>tan126°．

『规律总结』运用正切函数的单调性比较tanα与tanβ大小的步骤：

(1)利用诱导公式将角α，β转化到同一单调区间内，通常是转化到区间(－

π

2

，

π

2

)内；

(2)运用正切函数的单调性比较大小．

〔跟踪练习3〕不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“<”、“>”连接起

5

来．

(1)tan32°__<__tan215°．

(2)tan

18π

5

__<__tan









－

28π

9

．

[解析](1)∵tan215°＝tan(180°＋35°)＝tan35°，

y＝tanx在(－90°，90°)上单调增，－90°<32°<35°<90°，

∴tan32°

(2)∵tan

18π

5

＝tan









4π－

2π

5

＝tan









－

2π

5

，

tan









－

28π

9

＝tan









－3π－

π

9

＝tan









－

π

9

，

而－

π

2

<－

2π

5

<－

π

9

<

π

2

，

y＝tanx在









－

π

2

，

π

2

上单调增，

∴tan









－

2π

5









－

π

9

，

∴tan

18π

5









－

28π

9

．

数形结合思想—利用图象解三角不等式

典例4观察正切曲线，解不等式tanx>1．

[思路分析]先确定在一个周期









－

π

2

，

π

2

内的x值的范围，再写出不等式的解集．

[解析]函数y＝tanx在区间









－

π

2

，

π

2

内的图象如图所示．

作直线y＝1，则在









－

π

2

，

π

2

内，当tanx>1时，有

π

4

π

2

，又函数y＝tanx的周期为π，

则tanx>1的解集是













x





π

4

＋kπ

π

2

＋kπ，k∈Z

．

『规律总结』解形如tanx>a的不等式的步骤

作图象―→作在－

π

2

，

π

2

上的正切函数图象

↓

6

求界点―→求在－

π

2

，

π

2

上使tanx＝a成立的x值

↓

求范围―→求在－

π

2

，

π

2

上使tanx>a成立的x的范围

↓

写出解集―→根据正切函数的周期性，写出解集

〔跟踪练习4〕解不等式：tan2x≤－1．

[解析]因为tan(－

π

4

)＝－1，

所以不等式tan2x≤－1的解集由不等式kπ－

π

2

<2x≤kπ－

π

4

(k∈Z)确定．

确定

kπ

2

－

π

4

kπ

2

－

π

8

(k∈Z)，

所以不等式tan2x≤－1的解集为

{x|

kπ

2

－

π

4

kπ

2

－

π

8

，k∈Z}．如图所示：

将正切曲线的对称中心误认为是(kπ，0)

典例5y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为(

π

3

，0)，若－

π

2

<θ<

π

2

，则θ＝____________．

[错解]函数y＝tanx的对称中心是(kπ，0)，其中k∈Z，故令2x＋θ＝kπ，k∈Z，当x

＝

π

3

时，解得θ＝kπ－

2π

3

，k∈Z，由－

π

2

<θ<

π

2

，得θ＝

π

3

．

[错因分析]误认为y＝tanx的对称中心是(kπ，0)，k∈Z而致错．

[正解]函数y＝tanx的对称中心是(

kπ

2

，0)，其中k∈Z，

故令2x＋θ＝

kπ

2

，其中x＝

π

3

，即θ＝

kπ

2

－

2π

3

，k∈Z．

又－

π

2

<θ<

π

2

，所以当k＝1时，θ＝－

π

6

．

当k＝2时，θ＝

π

3

，所以θ＝－

π

6

或

π

3

．

答案：－

π

6

或

π

3

7

『点评』1.对正切函数图象的对称中心要把握准确，是(

kπ

2

，0)而非(kπ，0)(k∈Z)．

2．要特别注意所求参数的范围，注意分情况讨论．

〔跟踪练习5〕函数y＝2tan(3x－

π

4

)的对称中心是(

π

12

＋

kπ

6

，0)(k∈Z)．

课堂检测

1．函数y＝tan(x＋π)是(A)

A．奇函数B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数

2．函数y＝tan(x＋

π

4

)的定义域是(D)

A．{x|x≠－

π

4

}B．{x|x≠

π

4

}

C．{x|x≠kπ－

π

4

，k∈Z}D．{x|x≠kπ＋

π

4

，k∈Z}

3．函数y＝2tan









3x＋

π

4

的最小正周期是(B)

A．

π

6

B．

π

3

C．

π

2

D．

2π

3

4．下列各式中正确的是(D)

A．tan735°>tan800°B．tan1>－tan2

C．tan

5π

7

4π

7

D．tan

9π

8

π

7

[解析]tan

9π

8

＝tan(π＋

π

8

)＝tan

π

8

．

因为0<

π

8

<

π

7

<

π

2

，y＝tanx在(0，

π

2

)上是增函数，所以tan

π

8

π

7

，即tan

9π

8

π

7

．

5．函数y＝tan(

π

2

－x)(x∈[－

π

4

，

π

4

]，且x≠0)的值域为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__．

A级基础巩固

一、选择题

1．当x∈(－

π

2

，

π

2

)时，函数y＝tan|x|的图象(B)

A．关于原点对称B．关于y轴对称

C．关于x轴对称D．没有对称轴

2．函数f(x)＝

tan2x

tanx

的定义域为(A)

8

A．{x|x∈R且x≠

kπ

4

，k∈Z}B．{x|x∈R且x≠kπ＋

π

2

，k∈Z}

C．{x|x∈R且x≠kπ＋

π

4

，k∈Z}D．{x|x∈R且x≠kπ－

π

4

，k∈Z}

[解析]









x≠kπ

x≠kπ＋

π

2

2x≠kπ＋

π

2

(k∈Z)得





x≠

kπ

2

，

x≠

kπ

2

＋

π

4

，

∴x≠

2k

4

π且x≠

2k＋1

4

π，x≠

kπ

4

，k∈Z，故选A．

3．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(

π

12

，0)，则φ可以是(A)

A．－

π

6

B．

π

6

C．－

π

12

D．

π

12

[解析]∵函数的象过点(

π

12

，0)，∴tan(

π

6

＋φ)＝0，∴

π

6

＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－

π

6

，k

∈Z，令k＝0，则φ＝－

π

6

，故选A．

4．函数f(x)＝tan(

π

4

－x)的单调递减区间为(B)

A．(kπ－

3π

4

，kπ＋

π

4

)，k∈Z

B．(kπ－

π

4

，kπ＋

3π

4

)，k∈Z

C．(kπ－

π

2

，kπ＋

π

2

)，k∈Z

D．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z

[解析]由f(x)＝－tan(x－

π

4

)，可令kπ－

π

2

π

4

π

2

，解得kπ－

π

4

3

4

π，k∈Z．

5．函数f(x)＝tanax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝

π

3

所得线段长为2，则a的值为

(A)

A．

π

2

B．

1

2

C．πD．1

[解析]由题意可得T＝2，所以

π

a

＝2，a＝

π

2

．

6．函数f(x)＝tan(ωx－

π

4

)与函数g(x)＝sin(

π

4

－2x)的最小正周期相同，则ω＝(A)

9

A．±1B．1

C．±2D．2

[解析]

π

|ω|

＝

2π

|－2|

，ω＝±1．

二、填空题

7．函数y＝3tan(2x＋

π

3

)的对称中心的坐标为(

kπ

4

－

π

6

，0)(k∈Z)．

[解析]令2x＋

π

3

＝

kπ

2

(k∈Z)，

得x＝

kπ

4

－

π

6

(k∈Z)，

∴对称中心的坐标为(

kπ

4

－

π

6

，0)(k∈Z)．

8．求函数y＝tan(－

1

2

x＋

π

4

)的单调区间是(2kπ－

π

2

，2kπ＋

3

2

π)(k∈Z)．

[解析]y＝tan(－

1

2

x＋

π

4

)

＝－tan(

1

2

x－

π

4

)，

由kπ－

π

2

<

1

2

x－

π

4

π

2

(k∈Z)，

得2kπ－

π

2

3

2

π，k∈Z，

∴函数y＝tan(－

1

2

x＋

π

4

)的单调递减区间是(2kπ－

π

2

，2kπ＋

3

2

π)，k∈Z．

三、解答题

9．已知－

π

3

≤x≤

π

4

，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最值及相应的x值．

[解析]∵－

π

3

≤x≤

π

4

，∴－3≤tanx≤1，

f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，

当tanx＝－1，即x＝－

π

4

时，y

min

＝1；

当tanx＝1，即x＝

π

4

时，y

max

＝5．

10．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的主要性质．

[解析]由y＝|tanx|＋tanx知

y＝





0，x∈kπ－

π

2

，kπ]，

2tanx，x∈kπ，kπ＋

π

2



(k∈Z)．

10

其图象如图所示．

函数的主要性质为：

①定义域：{x|x∈R，x≠

π

2

＋kπ，k∈Z}；

②值域：[0，＋∞)；

③周期性：T＝π；

④奇偶性：非奇非偶函数；

⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋

π

2

)，k∈Z．

B级素养提升

一、选择题

1．函数f(x)＝

tanx

2－cosx

的奇偶性是(A)

A．是奇函数B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数

[解析]f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋

π

2

，k∈Z}，又f(－x)＝

tan－x

2－cos－x

＝－

tanx

2－cosx

＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

2．若a＝log

1

2

tan70°，b＝log

1

2

sin25°，c＝log

1

2

cos25°，则(D)

A．a

C．c

[解析]∵0

∴log

1

2

sin25°>log

1

2

cos25°>log

1

2

tan70°．

即a

3．若函数y＝tanωx在(－

π

2

，

π

2

)内是减函数，则(B)

A．0<ω≤1B．－1≤ω<0

C．ω≥1D．ω≤－1

[解析]若ω使函数在(－

π

2

，

π

2

)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故

11

－1≤ω<0．

4．函数y＝|tan(x＋

π

4

)|的单调增区间为(D)

A．(kπ－

π

2

，kπ＋

π

2

)(k∈Z)

B．(kπ－

3π

4

，kπ＋

π

4

)(k∈Z)

C．(kπ，kπ＋

π

2

)(k∈Z)

D．[kπ－

π

4

＋kπ＋

π

4

)(k∈Z)

[解析]令t＝x＋

π

4

，则y＝|tant|的单调增区间为[kπ，kπ＋

π

2

)(k∈Z)．

由kπ≤x＋

π

4

π

2

，得

kπ－

π

4

≤x

π

4

(k∈Z)．

二、填空题

5．给出下列命题：

(1)函数y＝tan|x|不是周期函数；

(2)函数y＝tanx在定义域内是增函数；

(3)函数y＝









tan2x＋

π

3



的周期是

π

2

；

(4)y＝sin









5π

2

＋x

是偶函数．

其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__．

[解析]y＝tan|x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tanx在每一个区

间









－

π

2

＋kπ，

π

2

＋kπ

(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝









tan2x＋

π

3



的周期是

π

2

.∴(3)对；y＝sin









5

2

π＋x

＝cosx是偶函数，∴(4)对．

因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．

6．若tan









2x－

π

6

≤1，则x的取值范围是









－

π

6

＋

kπ

2

，

5π

24

＋

kπ

2

(k∈Z)．

[解析]令z＝2x－

π

6

，在









－

π

2

，

π

2

上满足tanz≤1的z的值是－

π

2

π

4

，在整个定义域上

有－

π

2

＋kπ

π

4

＋kπ，解不等式－

π

2

＋kπ<2x－

π

6

≤

π

4

＋kπ，得－

π

6

＋

kπ

2

5π

24

＋

kπ

2

，k∈Z．

三、解答题

12

7．若x∈[－

π

3

，

π

4

]，求函数y＝

1

cos2x

＋2tanx＋1的最值及相应的x的值．

[解析]y＝

1

cos2x

＋2tanx＋1＝

cos2x＋sin2x

cos2x

＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1．

∵x∈[－

π

3

，

π

4

]，∴tanx∈[－3，1]．

∴当tanx＝－1时，即x＝－

π

4

时，y取最小值1；

当tanx＝1时，即x＝

π

4

时，y取最大值5．

8．已知函数f(x)＝3tan(

1

2

x－

π

3

)．

(1)求f(x)的定义域、值域；

(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．

[解析](1)由

1

2

x－

π

3

≠

π

2

＋kπ，k∈Z，

解得x≠

5π

3

＋2kπ，k∈Z．

∴定义域为{x|x≠

5π

3

＋2kπ，k∈Z}，值域为R．

(2)f(x)为周期函数，周期T＝

π

1

2

＝2π．

f(x)为非奇非偶函数．

由－

π

2

＋kπ<

1

2

x－

π

3

<

π

2

＋kπ，k∈Z，

解得－

π

3

＋2kπ

5π

3

＋2kπ，k∈Z．

∴函数的单调递增区间为(－

π

3

＋2kπ，

5π

3

＋2kπ)(k∈Z)．

C级能力拔高

函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(

π

2

，

3π

2

)内的图象大致是(D)

13

[解析]∵

π

2

3π

2

时，sinx<0，tanx>0，∴y＝tanx＋sinx－(tanx－sinx)＝2sinx，故选D．