勾股定理题

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典型例题：

一、利用勾股定理解决实际问题

例题：水中芦苇

梯子滑动

1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，

灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

2、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN

的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上

沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18

千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

3、如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反

走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在

MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意，反走私A艇通知反走私艇B时，A和C两艇的距离是

20海里，A、B两艇的距离是12海里，反走私艇B测得距离C是16海里，若走私艇C的速度不

变，最早会在什么时间进入我国领海？

二、与勾股定理有关的图形问题

1．已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt

△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等

腰直角三角形的斜边长是．

2．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的

边长是_________．

3．在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置

的四个正方形的面积是S

1

，S

2

，S

3

，S

4

，则S

1

＋S

2

＋S

3

＋S

4

＝_________．

4．如图，△ABC中，∠C＝90°，

(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S

1

＋S

2

与S

3

的关系；

(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S

1

＋S

2

与S

3

的关系；

(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S

1

＋S

2

与

S

3

的关系．

图①图②图③

5．如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方

形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形

ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an，根据上述规律，

则第n个正方形的边长an＝________记正方形AB－CD的面积S

1

为1，按上述方法所作的正

方形的面积依次为S

2

，S

3

，……，S

n

(n为正整数)，那么S

n

＝________．

6、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的

面积为．

A

B

C

D

EF

G

2/5

F

E

D

A

BC

A

B

C

D

E

G

F

F

三、关于翻折问题

1、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，

得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG.

2、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.

（1）求证：△FAC是等腰三角形；

（2）若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积.

3、如图，将矩形

ABCD

沿直线

AE

折叠，顶点

D

恰好落在

BC

边上

F

点处，已知

cmCE6

，

cmAB16

，求

BF

的长．

4、如图，一张矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。现将其折叠，使点D与点B重合。求

折叠后BE的长和折痕EF的长。

5、矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在

其一面着色（如图），求着色部分的面积。

6、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B

恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

7如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,

求BC’的长.

五、

G

A

1

D

AB

C

F

E

D

C

B

A

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四、关于最短性问题

1：如图1，长方体的长为12cm，宽为6cm，高为5cm，一只蚂蚁沿侧面从

A

点向

B

点爬行，问：

爬到

B

点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？

2、如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油

罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而

是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕

到害虫?

3：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边

长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面

爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？

4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相

对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬

到B点，最短线路是多少？

5、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕

塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)

6、有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm，底面直径为20cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s.

⑴如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多

少时间?(盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含π)

⑵如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间?(盒

的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含π)

7：如图，圆锥的侧面展开图是半径为22cm的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从

A

点向

B

点爬行，

问：（1）爬到

B

点时，蚂蚁爬过的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点

C

的最近距离．

A

B

5

3

1

A·

B·

A·

B·

4/5

8、如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着

圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为

五、关于勾股定理判定三角形形状

1、已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC是等腰三

角形。

2：已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13,△ABC是否是直角三角形？你能说明

理由吗？

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．

试说明：（1）；（2）a+b＜c+h；（3）判断以a+b、h、c+h为边的三角形的形状，并说明

理由．

4、在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，BN=n。试判断

以x，m，n为边长的三角形的形状。

C

A

B

M

N

六、关于旋转中的勾股定理的运用：

1、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，

若AP=3，求PP′的长。

变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长.

分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，

根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

七、关于勾股定理的相关证明

1、如图，在△ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，求证:22ABAPPBPC

分析：考虑构造直角三角形，能利用勾股定理.

P

A

P

C

B

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2，如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD2+CD2=2AD2.．

八、综合题

1、已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕

点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．

（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2；

（思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM

沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程．）

（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证

明；若不成立，请说明理由．

2、如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A，B两点，A（1，n），

B（-，-2）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不

存在，请说明理由．