二次根式知识点

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数,只有当是一个非负数时，才有

意义．

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．

举一反三：

1、使代数式有意义的x的取值范围是

2、如果代数式有意义,那么,直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

【例3】若y=++2009，则x+y=

解题思路：式子（a≥0），，y=2009,则x+y=2014

举一反三：1、若，则x－y的值为（）

A．－1B．1C．2D．3

3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

已知a是整数部分，b是的小数部分,求的值。

若的整数部分为x,小数部分为y，求的值。

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1。非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用

到．

2.．注意：此性质既可正用,也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数

或非负代数式写成完全平方的形式：

3.注意：(1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的,应把负号留在根号外．

4。公式与的区别与联系

（1)表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．

（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．

（3）和的运算结果都是非负的．

【典型例题】

【例4】若则．

举一反三：

1、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4|＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.

2、若与互为相反数,则。

(公式的运用）

【例5】化简:的结果为(）

A、4—2aB、0C、2a—4D、4

举一反三：

3已知直角三角形的两直角边分别为和,则斜边长为

(公式的应用）

【例6】已知,则化简的结果是

A、B、C、D、

举一反三：

2、化简得（）

(A)2（B）（C）－2（D）

3、已知，化简求值：

【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+的结

果等于（）

A．－2bB．2bC．－2aD．2a

举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：．

【例8】化简的结果是2x—5，则x的取值范围是（）

(A）x为任意实数（B）≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1

举一反三:若代数式的值是常数，则的取值范围是（）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．或

【例9】如果，那么a的取值范围是(）

A。a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1

举一反三：

1、如果成立，那么实数a的取值范围是（)

2、若，则的取值范围是（）

(A）(B）(C）（D）

【例10】化简二次根式的结果是

（A)（B）（C)(D)

1、把根号外的因式移到根号内:当＞0时，＝；＝。

知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

(1）最简二次根式的定义:①被开方数是整数，因式是整式;②被开方数中不含能开得

尽方的数或因式．

2、同类二次根式(可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次

根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】

【例11】下列根式中能与是合并的是(）

A.B。C.2D。

举一反三:

1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（)

A、B、C、D、

2、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式,则a=__________。

知识点四:二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互

为有理化因式。有理化因式确定方法如下:

①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式.

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例13】把下列各式分母有理化

（1）（2）

举一反三：

1、已知，，求下列各式的值：（1)（2）

知识点七:根式比较大小

【知识要点】

1、根式变形法当时，①如果,则；②如果，则。

2、平方法当时，①如果,则;②如果,则。

3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

5、倒数法

6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①;②

8、求商比较法

它运用如下性质：当a〉0,b>0时,则：①；②

【典型例题】

【例22】比较与的大小。

【例23】比较与的大小.

【例24】比较与的大小。

【例26】比较与的大小.

已知：,求的值．