三的倍数有哪些

叩问疑点重锤节点准拎课眼

以“3的倍数”教学为例谈大问题创设的基本思路

深圳市福强小学（518048）刘全祥

案例：北师大版课标实验教科书四年级上册

教学实录：

一．问询疑点，探询学生认识起点

师：同学们，这里有三张数字卡片，看看，是„„？（2，5，9，学生答略）

谁能用这三个数字摆几个三位数，使它是2的倍数？

生：592.

师：有没有不同的想法？

生：952.

师：摆2的倍数有什么诀窍？

生：只要把0、2、4、6、8放在个位就一定是2的倍数。

师：非常好！还是用这三个数字，谁能摆几个三位数，使它是5的倍数？

（生尝试略）

师：5的倍数有什么特点？

生：个位数字是0或5的数都是5的倍数。

师：恩！下面增加一点难度。敢不敢挑战？（生：敢！）真的敢！好！咱们

变换一下方式。请同学们把练习本打开。还是用这三个数字，请写出几个三位数，

使它是3的倍数。

师：你写的是什么数？

生：我写的是259或529

师：和他一样的请举手。你们怎么都把9放在个位？

生：我觉得个位数字是3、6、9的数就是3的倍数。

师：这是你的观点，同意这个观点的请举手，老师把它写在黑板上（板书：

3的倍数：个位数字是3、6、9的数）。有没有不同的意见？

生：老师，我不同意他们的观点，这两个数不是3的倍数，并且用这三张数

字卡片根本摆不出3的倍数。

师：肯定？OK，咱们来验证一下。老师这有一个计算器，谁上来操作一下。

（生验算）怎么样？

生：确实不是3的倍数。

策略分析：任何一个儿童的思考与挫折都应被视为精彩的表现来加以接纳。用2、

5、9三张数字卡片摆2、5、3的倍数，是对学生“已有经验”的一种唤醒，在

这种唤醒的过程中，直面儿童的多样性，关注“后知后觉”儿童的困惑与沉默，

某种程度上，就找到了大问题教学的立足点。

二．重锤节点，搭建教学脚手架

镜头1：用4颗算珠拨数

师：看来，个位数字是3、6、9的数不一定就是3的倍数。那3的倍数到底

与什么有关？今天我们就来研究这个问题。（板书课题，齐读）研究3的倍数的

特征，要借助一个学具——计数器。以前用过吗？谁能在计数器上拨一个数？

（一生举手尝试，拨出了13）

师：他用了多少颗算珠？

生：4颗。

师：谁还能用4个算珠拨一个不同的数？（生尝试略）用4颗算珠可以拨多

少个数？

生：很多个。

师：0K？今天我们就借助拨珠实验来研究3的倍数的特征。怎样研究呢？请

看屏幕

（CAI课件呈现：

1、拨珠实验一：用4颗算珠拨数；

（1）同桌合作：用4个珠子拨数，一人负责拨珠，一人负责判断拨出来的

数是不是3的倍数（可以借助计算器）

（2）时间2分钟，看哪一个小组拨出来的数多。

（3）填写实验报告单

师：有没有不明白的地方？

生：没有。

师：好，同桌商量，然后分工，分好了就可以开始做实验。

（生活动，师巡视，生汇报）

师：（组织教学：好，现在很多组都完成了。好现在请把学具收好，我看一

看，哪一个小组收拾学具快、齐、静！）哪个小组来汇报？

生：我们拨的数是13,22,31,1003.2002，„

生：我们拨的数,4,40,301,400,„

（学生报数，教师将学生报的数汇总在实验报告单中）

师：等一等，等一等，拨的完吗？拨不完，那么你们观察老师汇总的实验报

告单，有没有什么发现？

生：我们报的数都不是3的倍数。

生：用4颗算珠拨不出3的倍数。

师：同意吗？OK！用4颗算珠拨不出3的倍数我们可以在结论这里简洁地写

作“一个都拨不出”

策略分析：大问题背景下，教师的责任不仅仅只是“上好课”，更关键的，教师

的责任在于：实现每一位学生的学习权。在走进教室之前，部分学生通过自己的

经历和体验已经隐隐约约地知道了“3的倍数的特征”与“数的个位数字”无关，

而是将所有数位上的数字相加。知其然但不知其所以然，鉴于此，创设一个“陌

生“的问题情境，让学生在计数器上拨数，这样不仅将“3的倍数特征”与“各

个数位上的数字和”巧妙地联系了起来，同时陌生化的情境也保障了每一位学生

尤其是“先知先觉”的学生兴致盎然学习的兴趣。

镜头2：自选一个颗数拨数。

师：好！既然用4颗算珠拨不出3的倍数。那么是不是不管用多少颗算珠都

拨不出3的倍数呢？

生：不是。

师：口说无凭！我们再来做一次实验。

（CAI课件显示：

（1）任意选择一个颗数。

(2)用你选择的那个颗数拨数

（3）分工合作，完成实验报告单(二)。

师：任意选择一个颗数什么意思？

师：好。现在同桌合作，做实验

（学生做实验的时候教师请一些小组把实验数据输入表格)

师：这是部分小组的实验数据。观察这个表格，你有什么发现？

（独立思考后，四人小组交流，教师组织学生汇报）

生：我发现珠子的颗数等于各个数位上的数字相加

师:具体说说

生：比如说345,3+4+5=12,摆这个数就要用12颗算珠。

师：那摆1025需要多少颗算珠？

生：1+2+5=8颗。

师：很好。这是一个重要的发现，老师把它写下来。

（板书：算珠的颗数=各个数位上的数字和）

师：谁还有不同的发现？

生：我发现珠子的颗数是3、6、9的拨出来的都是3的倍数。

师：有没有谁有补充？，除了3、6、9，当颗数是哪些数时，拨出来的也是

3的倍数？

生：12、15.

生：只要珠子的颗数是3的倍数，拨出的就一定是3的倍数。

师：还可以怎样说？

（生沉默不语）

师：同学们设想一下，要是根据这个规律去判断，那同学们每天岂不是都要

背着一个计数器？在判断一个数是不是3的倍数前，先在计数器上拨一拨，数一

数？联系刚才的发现想一想？谁能不借助计算器也能判断一个数是不是3的倍

数？

生：各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

师：具体说说你怎么想的

生：刚才说了，算珠的颗数就等于各个数位上的数字和，所以算珠的颗数是

3的倍数，说明这个数各个数位的数字和和也是3的倍数。

师：同意吗？OK。那谁上来把这个发现改一改。同学们觉得这个猜想怎样？

师：老师也赞同你的猜想。不过！猜想毕竟只是猜想，要想知道猜想正不正

确，我们还要验证。怎样验证？有没有好的建议？

策略分析：实施合作学习，教师持有的最大焦虑是合作学习“某种程度上”影

响了教学的进度。解决的有效策略之一是设计大活动，提大问题，高水准地设定

合作学习的课题。让学生每个小组“任选一个颗数拨数”，每个小组只选择一种

颗数，这既有利于节省课堂教学的时间，同时由于各小组选择的颗数不尽相同，

因此这也为各小组交流、观察、碰撞、发现作了铺垫与孕伏。

镜头3：自由报（或拨）数，验证规律

师：老师有一个建议，想不想听听。（CAI课件出示活动三）

1）一个同学报数，计算自己报的数的数字和,判断是不是3的倍数。

2)另一个同学用计算器验证同桌的判断。

3）如果你找到一个数，它的数字和是3的倍数，但这个数却不是3的倍数；

或者它的数字和不是3的倍数，这个数却是3的倍数，请把它记下来。

师：看的明白吗？谁来解释解释？

生：我任意报一个数，比如说708，数字和是15，我觉得它应该是3的倍数。

物品同桌用计算器验算，它的确除以3没有余数。

师：会了吗？这样一个人负责报数、判断是不是3的倍数，另外一个人负责

用计算器验证。看有没有一个组找到一个数，它的数字和是3的倍数，但这个数

却不是3的倍数的数，或者找到一个数，它的数字和不是3的倍数，这个数却是

3的倍数的。

（生交流，教师巡视指导）

策略分析：学习，智力的冲刺与挑战，。一位同学报数，判断后另一位学生用计

算器验算。这本身就充盈着竞争，充盈着挑战。而日本著名教育家佐藤学教授指

出，挑战学习的儿童是灵动的、高雅的、美丽的。

三．以问导学，拓展延伸

师：同学们，今天我们通过小组合作，明白了3的倍数的特征。学到这，你

有没有什么问题想问的？

生：我不明白，3的倍数的特征为什么和所有数位上的数都有关，而2、5

的倍数特征只和个位数字有关呢？

„„„„

师：这个同学提了一个很好的问题，其实，一个数是不是2、5的倍数和一

个数是不是3的倍数的判断方法实质是一样的，等同学们到了高中或者大学就会

明白了。今天的课上到这里。下课！

策略分析：下课铃的敲响并不意味着问题的结束，相反，它应成为许多新的问题

的开始。2、5的倍数特征为什么只和个位上的数有关，而3的倍数的特征却和

所有数位上的数都有关？这一问题的抛出，不仅意味着学生问题意识的增强，同

时也为学生从2、3、5倍数特征孤立、割裂、甚至是相互对立的表象中跳离出来

提供了可能。课结束而曲不终！余音绕梁中，这一疑问会一直激荡在学生心头，

促使学生不懈地去探究。

反思：一切教学法，均源自于学习内容自身的规定性和儿童内在的心理需求。

解读教材、分析学情的意义正在于此！备《3的倍数的特征》一课，在正式确定

教学思路之前，我始终努力思考如下几个问题：首先，在“2、3、5、7、9„„

的倍数的特征”这一知识序列中，“3”的倍数究竟处于怎样的特殊位置，它具

有怎样的承先启后的作用？其次，对于一个只初步接触“2、5倍数的特征”的

四年级学生而言，“3的倍数的认识”对其构成怎样的认识难度和思维挑战：仅

仅凭借原有的认识结构即可实现对新知的同化？还是需要借助知识结构的顺应，

在重构中完成对新知的理解和掌握？应该说，正是在对上述问题的思量中，我们

确定了本次课堂教学重构的框架，同理也厘清了大问题提出的基本思路，具体地

说：

一，问诊疑点，探询学生知识的盲点。众所周知，在接触“3的倍数的特征”

之前，学生已经学习了“2、5的倍数的特征”。看一个数是不是2、5的倍数，

只需看这个数的个位。个位是0、2、4、6、8的数就是2的倍数，个位是0、5

的数就是5的倍数。而3的倍数的特征则不然，一个数是不是3的倍数，不能只

看个位，而要看它所有数位上的数字的和。为什么会这样？越是“课前自学的”、

“校外培训的”、“爸爸妈妈先教的”学生就越会产生这样的疑问。某种程度上，

这既彰显了知识前后“不一致”、“相互矛盾”的地方，同时也彰显了学生认识

上的盲区：即在某种程度上，位置制是研究数的倍数特征的基础。从位置制的角

度讲一个数能否被2、3、5乃至被其它数整除，要看这个数数位上的数被某数除，

所得的余数的和能够被某数整除，如果能被某数整数，那么这个数也一定能被某

数整除。反之，则不能。这是知识的节点，也是问题的关键点。虽然，小学生由

于知识和思维特点的限制，还不可能从这样的高度去建构与理解。但是，这并不

意味着教师不可以作相应的渗透。事实上，这正是本次教学重构响鼓重锤的地方。

二，重锤节点，为学生同化、顺应新知搭建脚手架。学生的学习应像呼吸一

样自然！如何让学生“自然”而非“人为”地想到“所有数位的数字和”呢？特

别地，在学生已有的经历与体验中，有没有学生耳熟能详的、可资利用的经历与

活动能让学生自然地实现“各个数位上的数字自然地相加呢”？在反复斟酌的基

础上，我们想到了用计数器作为学生同化、顺应新知的脚手架。理由有三：一，

计数器“所拨的数的各个数位上的数字和”等于一共使用的“算珠的颗数”，而

4颗算珠拨不出3的倍数，6、9、12„„颗算珠拨出来的都是3的倍数，这样不

仅将学生思维的关注点从“个位上的算珠”顺利地转移到“一共使用的算珠的颗

数”，同时也在对上述问题的考量中，“自然”而非“人为”地感到“各个数位

上的数字和”与“算珠的颗数”甚至与“3的倍数的特征”的关系；二，活动是

儿童的天性！用计算器拨数，不仅能让抽象的“数字和”具体化，而且“3的倍

数的特征”与“所有数位上的数字都有关”这一直观的印象必将留在学生脑海中，

为学生高中乃至大学从数论的角度研究所有数的倍数的特征作一个铺垫与孕伏；

三，也是最重要的，正如前文所说，在走进课堂之前，部分学生已经“先知先觉”

了“3的倍数的特征”，如何让这部分学生同其他学生一样也对教师即将讲授的

内容保持浓厚的兴趣？“陌生化”无疑是一种好的策略。事实证明，让学生用计

数器拨数，把所有学生置于一个“将各个数位上的数字相加”看似无关的陌生

的情境，既为学生洞察现象背后的本质提供了契机，同时也保障了每一位学生不

同角度、不同侧面、不同层次挑战高水准学习的机会。

三，围绕课眼，设计大活动，为学生深度思考预留空间和时间。正如文有“文

眼”，课也应该有“课眼”。著名特级教师黄爱华老师认为，“课眼”可以是学

生的学习疑点，可以是教材的盲点，可以是知识的连接点，也可以是数学思想的

聚焦点，课眼常常都是钻研教材的着力点。品读教材，分析学情，我们认为“3

的倍数的特征”虽然重点是让学生明确“各个数位上的数字和”，但“位置制”

才是牵一发而动全身的基础，是课眼。围绕这一课眼，由浅入深地设计了三个活

动：（1）用4颗算珠拨数；（2）任选一个颗数拨数；（3）自由报（或拨）数，

验证规律。这三个活动层层递进，互为补充。具体地说，用4颗算珠拨数，学生

拨不出3的倍数，自然想到用多少颗算珠才能拨出3的倍数？学生任意选择一颗

算珠，交流后发现，只要算珠的颗数是3的倍数拨出来的数就一定是3的倍数，

否则就不是。这一猜想是否正确，自由报数，同桌验证既是对上一猜想的验证，

同时也是对猜想发现的规律的巩固与运用。而学生也就在这层层递进、互为补充

的活动中拾级而上，隐隐约约触摸到了3的倍数的特征的实质。

为教之道在于导！为学之道在于悟！学会思考是送给学生的最好礼物！然而，

“没有长期思考型训练的人，是不会深刻思考问题的„„无论怎样训练即时性思

考，也不会掌握智慧深度。”（日本数学家广中平佑语）“数学是自己思考的产

物，首先要能够自己思考起来，用自己的见解与别人的见解进行交换„„但是思

考数学问题需要很长时间„„”（著名数学家陈省身语）这就要求我们摒繁琐之

气，兴磅礴之风。设计大活动，提大问题，我们期待着！

(作者系深圳市黄爱华教育科研专家工作室成员）