焦距椭圆

1

第1讲椭圆的定义及其应用

整理：广东阳江曾广荣

一、问题综述

本讲梳理椭圆的定义及其应用．椭圆的考题中，对椭圆定义的考查一直都是热点．

（一）椭圆的定义

平面内到两个定点

1

F

、

2

F

的距离之和等于定值2a12

2aFF的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做

椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

（二）椭圆定义的应用

主要有下面几方面的应用：

1．求标准方程；2．焦点三角形中的计算问题；3．求离心率；4．求最值或范围．

二、典例分析

类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程

【例1】ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹方程．

【解析】以BC所在的直线为

x

轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点坐标为xy，，由

20GCGB，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10a，8c，有6b，

故其方程为22

10

10036

xy

y

．

【方法小结】由已知可得20GCGB，再利用椭圆定义求解，要注意剔除不合要求的点．

【例2】已知动圆P过定点30A，，并且在定圆2

2364Bxy：的内部与其相内切，求动圆圆心P

的轨迹方程．

【解析】如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心

03，B距离之和恰好等于定圆半径，即86PAPBPMPBBMAB．

∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆，

P的轨迹方程为：

22

1

167

xy



．

【例3】已知圆2

2:3100Cxy及点3,0A，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交

2

于点

Q

，求点

Q

的轨迹方程。

【解析】如图所示．

∵

l

是线段PA的垂直平分线，

∴

AQPQ

．

∴

10AQCQPQCQCP

，且

10>6

．

∴点

Q

的轨迹是以A、

C

为焦点的椭圆，

且

210a

，

3c

，即

5a

，

4b

．

∴点

Q

的轨迹方程为

22

1

2516

xy

．

【方法小结】是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．结

合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．

【变式训练】

1．已知椭圆22

22

10

xy

ab

ab



的左、右焦点分别是

1

,0Fc、

2

,0Fc，

Q

是椭圆外的动点，满

足

1

2FQa

．点P是线段

1

FQ

与该椭圆的交点，点T在线段

2

FQ

上，并且满足

2

0PTTF，

2

0TF

．求

点T的轨迹C的方程．

【解析】当

0PT

时，点,0a和点,0a在轨迹上．

当

0PT0PT

且

2

||0TF时，由

2

0PTTF，得

2

PTTF．

由

1

2FQa

，得

1

2PFPQa，

又

12

2PFPFa，所以

2

PQPF

，所以T为线段

2

FQ

的中点．

连接OT，则OT为

12

QFF△的中位线，所以112

11

22

OTFQPFPFa

，

设点T的坐标为,xy，则222xya．故点T的轨迹C的方程是222xya．

3

【方法小结】定义法求轨迹（方程）的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

类型二：焦点三角形中的计算问题

【例1】已知

ABC△

的顶点B，

C

在椭圆

2

21

3

x

y

上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦

点在BC边上，则

ABC△

的周长是（）

A．23B．6C．43D．12

【答案】C

【解析】由椭圆的定义知：2BABFCACFa，∴周长为443a（F是椭圆的另外一个焦

点）．

【方法小结】（1）椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于

21

FF）的点的轨迹叫做椭

圆．

（2）椭圆上的点必定适合椭圆的定义，即aMFMF2

21

，利用这个等式可以解决椭圆上的点与

焦点有关的距离问题．

【例2】已知

1

F

、

2

F

是椭圆22

22

:10

xy

Cab

ab



的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且

12

PFPF

．若

12

PFF△

的面积为9，则b＝________．

【答案】3

【解析】由题意知

12

2PFPFa，

12

PFPF，

∴222

2

1212

4PFPFFFc，

∴2

2

1212

24PFPFPFPFc

，

∴222

12

2444PFPFacb

．

∴2

12

2PFPFb，

∴

12

22

12

11

29

22PFF

SPFPFbb

△

．

∴3b．

【方法小结】关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有

12

2PFPFa，再利用

12

PFPF，进而得

解．椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定

义和余弦定理可求

12

PFPF；通过整体代入可求其面积等．

【变式训练】1．椭圆

22

1

259

xy



上的点M到焦点

1

F的距离为2，N为

1

MF的中点，则ON（O为

坐标原点）的值为（）

A．4B．2C．8D．

2

3

4

【解析】如图所示，设椭圆的另一个焦点为

2

F，由椭圆第一定义得102

21

aMFMF，所以

821010

12

MFMF，又因为ON为

21

FMF的中位线，所以4

2

1

2

MFON，故答案为A．

2．如图，把椭圆

22

1

2516

xy



的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于

1

P

、

2

P

、…、

7

P

七个点，F是椭圆的一个焦点，则

127

PFPFPF________.

【答案】35

【解析】设椭圆右焦点为F



，由椭圆的对称性知，

17

PFPF



，

26

PFPF



，

35

PFPF



，

∴

1

735

2

PFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFa





.

类型三：利用椭圆的定义求离心率

【例1】设椭圆的两个焦点分别为

12

,FF

，过

1

F

作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若

12

FPF△

为等腰直

角三角形，则椭圆的离心率为．

【解析】设

1

PFm，则

122

,2FFmPFm，

由点P在椭圆上，得

12

2||||(21)aPFPFm，

又2cm，所以

2

21

2

(21)

cm

e

a

m





．

【例2】己知倾斜角为60的直线l与椭圆22

22

10

xy

ab

ab



交于,AB两点，且经过椭圆的左焦点

F，若2BFAF，则椭圆的离心率为．

【解析】设

1

BFm，

1

2AFm，则

2

22AFam，

2

2BFam，

在

1212

AFFBFF△,△中，分别由余弦定理得

5

222

222

(22)(2)(2)222cos60

(2)(2)22cos120

ammccm

ammccm















，即

2

2

484(1)

442(2)

bamcm

bamcm















，

所以2248244bambam，即234bam

，

代入（2）得22bcm

，所以

64cmam

，故

2

3

c

e

a



．

【变式训练】

1．如图所示，

12

,FF

分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且

212

MFFF

，

12

60FMF

，则

椭圆的离心率为．

【解析】设

2

MFm，则

1

2MFm，

12

3FFm，

由点M在椭圆上，得

12

2||||3aMFMFm

，

又23cm，所以

233

233

cm

e

am



．

2．设P是椭圆22

22

10

xy

ab

ab



上任一点，

1

,0Fc，

2

,0Fc为焦点，

12

PFF

，

12

PFF

．

（1）求证：离心率

sin

sinsin

e











；（2）求33

12

PFPF的最值．

【解析】（1）由正弦定理得

2112

sinsinsin

PFPFFF







，

由等比性质得2121

sinsinsinsin

PFPFPFPF









，所以

1221

sinsinsin

FFPFPF









，

所以



12

12

sin

2

2sinsin

FF

c

e

aPFPF











．

（2）设

1

PFm，

1

PFn，则2mna，所以

6







33

3322

12

2

2

3

3

243

86

PFPFmnmnmmnn

mnmnmn

aamn

aamn













将2nam代入上式，得

33

2

33

12

86226PFPFaamamaama，

又

1

,mPFacac，所以：

当ma时，33

12

PFPF取得最小值32a

；

当mac或mac时，33

12

PFPF取得最大值3226aac

．

类型四：利用椭圆的定义求解最值问题

【例1】以椭圆

22

1

123

xy



的焦点为焦点，过直线

90lxy：

上一点M作椭圆，要使所作椭圆的

长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直

线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称

的知识就可解决．

【解析】如图所示，椭圆

22

1

123

xy



的焦点为

1

30F，，

2

30F，．

点

1

F关于直线

90lxy：

的对称点F的坐标为9,6，

直线

2

FF

的方程为

230xy

．

解方程组

230

90

xy

xy











得交点M的坐标为5,4．此时

12

MFMF最小．

所求椭圆的长轴

122

265aMFMFFF，

∴35a，又3c，

∴2

222235336bac．

因此，所求椭圆的方程为

22

1

4536

xy



．

【方法小结】解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线

同侧两已知点的距离之和最小．

【例2】（1）如果M是以A、B为焦点的椭圆

22

1

43

xy



上任一点，若点M到点

1

,1

2

C







与点B的

距离之差为s，则s的最大值是多少？

7

（2）如果M是以A、B为焦点的椭圆

22

1

43

xy



上任一点，若点M到点

1

,1

2

C







与点B的距离之和

为s，则s的取值范围是多少？

【解析】（1）

5

2

MCMBBC≤

，延长BC与椭圆交于点D，

则当M与D重合时，s取得最大、最小值

5

2

．

（2）1,0A，

1

,1

2

C







，连结MA，由椭圆定义可得：24MBMCaMAMCMAMC，

由

13

2

MAMCAC≤

，得

1313

22

MAMC-≤≤

，

所以

1313

4

22

MBMC≤≤4+

，

当且仅当A、M、C三点共线时，s取得最大、最小值，如上图所示．故

1313

4,

22

s









4+．

【变式训练】

1．已知P为椭圆22

22

10

xy

ab

ab



的上一点，求

12

PFPF的最大值．

【解析】由点P在椭圆上，得

12

||||2PFPFa

，所以

2

2

12

12

||||

2

PFPF

PFPFa











，

当且仅当

12

||||PFPFa

时，

12

PFPF取得最大值2a

（此时为P椭圆的上顶点或下顶点）．

类型五：利用定义构造椭圆解题

【例1】（2017年浙江高考第15题）

已知向量

a

，b满足|

a

|＝1，|b|＝2，则

abab

的最小值是，最大值是．

【答案】4，25

【解法1】作OPa，点P在单位圆上，设点

(2,0)B

,

(2,0)C

，则

||||ababPBPC

，

8

点

P

在椭圆

2

21

5

x

y

上，||||25PBPC



，

显然|25PBPCPBPC



≤，当且仅当点为椭圆的上下顶点等号成立；

又4PBPCBC≥，∴

abab

的最小值是4，最大值是

25

．

【解法2】作

OAa

，

OAa





，

OBb

，则

BAab





，

BAab

ababmax()()abab；

()()abab=max2,24ab；

点B既在半径为2的圆上，又在焦距为2的椭圆上，且

abab

表示的长轴，

当椭圆与圆相切时，短轴最长，此时长轴也是最长；

∴

abab

的最小值是4，最大值是25．

【方法小结】两个解法都是通过构造椭圆，转化为定圆上的动点到两定点距离之和的最值问题．

【例2】ABC中，角

,,ABC

的对边分别为

,,abc

，若sinsinsinsin0ABAB，且2abc，则

的最大值为．

【解析】由条件2abc可构造椭圆

22

22

11

1

xy

ab

，其中

1

ac

，

1

1

2

cc

，

1

3

2

bc

，如图所示．

9

因为

sinsinsinsin0ABAB

，所以

sin0abaB

，所以

22

sin

cc

aBh



，其中

h

为AB边

上的高．

当

h

取得最大值时，最大．显然

max1

3

2

hbc

，故

max

max

2443

3

3

c

h

．

【方法小结】该法同样通过构造椭圆来解决问题．

【变式训练】

1．锐角ABC中，2BC，sinsin2sinBCA，求BC边上的中线AD的取值范围．

【解析】由sinsin2sinBCA得，24ABACBCBC，

故A在以

,BC

为焦点，长轴长为4的椭圆上，椭圆方程为

22

1

43

xy



，

又ABC为锐角三角形，所以

33

22

x

，

A的轨迹方程为

2233

1

4322

xy

x









，

当A为短轴顶点时，AD最短，此时

min

3AD；

当A坐标为

3

1,

2

A









时，

13

2

AD

，故

13

3,

2

AD













．

三、巩固练习

1．（1）方程2222(3)(3)10xyxy表示的曲线是，其标准方程是。

（2）方程2222(3)(3)6xyxy表示的曲线是，其方程是。

（3）方程2222(3)(3)4xyxy表示的曲线。

（4）方程2222(3)(3)10xyxy表示的曲线是，其标准方程是。

2．已知椭圆

22

1

169

xy



上一点M，到椭圆的一个焦点的距离为2，则点M到另一个焦点的距离为（）

A．1B．2C．4D．6

3．已知

12

,FF是椭圆

22

1

169

xy



的两个焦点，过

1

F的直线与椭圆交于

,MN

两点，则

2

MNF△的周长为

（）

A．8B．16C．25D．32

4．已知

12

,FF分别是椭圆

22

1

97

xy



的左、右焦点，为椭圆上一点，且

12

45AFF，则

12

AFF△的面积为

（）

A．7B．

7

4

C．

7

2

D．

75

2

10

5．过点2,0A与圆

1622yx

相内切的圆的圆心P的轨迹是（）

A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆

6．已知椭圆的焦点坐标为

)0,3(

，

)0,3(

，并且经过点(2，1)，则椭圆的标准方程为．

7．已知

ABC△

的周长是16，)0,3(A，B)0,3(则动点的轨迹方程是（）

A．1

1625

2

2



y

x

B．)0(1

1625

2

2

y

y

x

C．1

2516

2

2



y

x

D．)0(1

2516

2

2

y

y

x

8．在平面直角坐标系

xOy

中，已知ABC顶点4,0A和4,0C，顶点B在椭圆

22

1

259

xy



上，则

sinsin

sin

AC

B





．

9．已知A、B、C是直线l上的三点，且6ABBC，o



切直线l于点A，又过B、C作o



异于l的

两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

10．（2012广州二模）已知对称中心为坐标原点的椭圆

1

C与抛物线2

2

4C:xy有一个相同的焦点

1

F，直

线2l:yxm与抛物线

2

C

只有一个公共点．

（1）求直线l的方程；

（2）若椭圆

1

C经过直线l上的点P，当椭圆

1

C的的离心率取得最大值时，求椭圆

1

C的方程及点P的坐标．

四、巩固练习参考答案

1．【答案】（1）椭圆，

22

1

2516

xy



；（2）线段，033yx≤≤；（3）不存在；（4）椭圆，

22

1

2516

yx



．

2．【答案】D；【解析】由椭圆方程知

12

28,||2,||226aMFMFa．

3．【答案】B．

4．【答案】C．【解析】3,7,2abc，设

1

AFm，则6nm，

在

12

AFF中，由余弦定理得222(6)(2)22cos45mmccm，

即22(6)84mmm，解得

7

2

m

，

故

12

1727

2sin452.

2222AFF

Scm





5．【答案】A．

6．【答案】

22

1

63

xy



．

7．【答案】B

11

F'

1

y

x

O

P

P

0

F

2

F

1

8．【答案】

5

4

．

9．【解析】设过B、C作o



异于l的两切线分别切o



于D、E两点，两切线交于点P．

由切线的性质知：BABD，PDPE，CACE，

故612186PBPCBDPDPCBAPEPCBACEABCABC，

故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，

以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，

可求得动点P的轨迹方程为：

22

1

8172

xy



10．【解析】

（1）解法1：由

2

2,

4

yxm

xy











消去y，得2840xxm．

∵直线l与抛物线

2

C只有一个公共∴28440m，解得4m．

∴直线l的方程为

24yx

．

解法2：设直线l与抛物线

2

C

的公共点坐标为

00

,xy

，

由2

1

4

yx

，得

1

2

yx





，∴直线l的斜率

0

0

1

|

2xx

kyx







．依题意得

0

1

2

2

x

，解得

0

4x

．

把

0

4x

代入抛物线

2

C

的方程，得

0

4y

．

∵点

00

,xy在直线l上，∴424m，解得4m．

∴直线l的方程为

24yx

．

（2）解法1：∵抛物线

2

C的焦点为

1

0,1F，

依题意知椭圆

1

C的两个焦点的坐标为

12

0,1,0,1FF．

设点

1

0,1F关于直线l的对称点为

100

,Fxy



，

则

0

0

00

1

21

1

24

22

y

x

yx























，解得0

0

4

1

x

y





∴点1

4,1F



．

∴直线l与直线

12

:1FFy



的交点为

0

3

,1

2

P









．

由椭圆的定义及平面几何知识得：

椭圆

1

C的长轴长

121212

24aPFPFPFPFFF



≥，

其中当点P与点

0

P重合时，上面不等式取等号．

12

∴

2a≥

．∴

11

2

e

a

≤

．

故当

2a

时，

max

1

2

e

．

此时椭圆

1

C的方程为

22

1

43

yx



，点P的坐标为

3

,1

2









．

解法2：∵抛物线

2

C

的焦点为

1

0,1F，

依题意知椭圆

1

C

的两个焦点的坐标为

12

0,1,0,1FF，

设椭圆

1

C

的方程为22

22

11

1

yx

a

aa





，

由22

22

24

1

1

yx

yx

aa

















消去y，得22222541611160axaxaa．（*）

由2

22221614541160aaaa







≥

，

得425200aa≥

．解得24a≥

．∴2a≥．∴

11

2

e

a

≤

．

当2a时，

max

1

2

e

，此时椭圆

1

C

的方程为

22

1

43

yx



．

把2a代入方程（*），解得

3

2

x

，

1y

．

∴点P的坐标为

3

,1

2









．