最小公倍数的定义

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怎样求分数的最大公约数与最小公倍数

题1、求1

11

24

、1

2

3

、

5

6

、2

1

7

这四个分数的最大公约数。

解：自然数的最大公约数的定义可以扩展到分数。一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分

别除以它们的最大公约数应得整数。求一组分数的最大公约数的方法是：

①.先将各个分数化为假分数；

②.求出各个分数的分母的最小公倍数a；

③.求出各个分数的分子的最大公约数b；

④.

a

b

即为所求。

这四个分数化成假分数后是：（

35

24

，

5

3

，

5

6

，

15

7

）

分母的最小公倍数是：[24，3，6，7]＝168；分子的最大公约数是：（35，5，5，15）＝5

所以，这四个分数的最大公约数是：

5

168

题2、有甲、乙、丙三种溶液，分别重4

1

6

千克、3

3

4

千克和2

2

9

千克。现要分别装入小瓶中，每个小

瓶装入液体的重量相同，并且无剩余。间：最少要装多少瓶？每瓶装多少千克？

解：每瓶装的重量应为三种溶液重量的最大公约数。

（

25

6

，

15

4

，

20

9

）＝

5

36

（千克），即每瓶应装

5

36

千克。

最少应装的瓶数：

25

6

÷

5

36

＋

15

4

÷

5

36

＋

20

9

÷

5

36

＝30＋27＋16＝73（瓶）

题3、求

65

168

，

55

189

，

286

525

这三个分数的最小公倍数。

解：自然数的最小公倍数的定义可以扩展到分数。一组分数的最小公倍数可能是分数也可能是整数，

但它一定是这组分数中各分数的整数倍。求一组分数的最小公倍数的方法是：

①.先将各个分数化为假分数；

②.求出各个分数分子的最小公倍数a，

⑧.求出各个分数分母的最大公约数b;

④.￥即为所求。

这三个分数的分子的最小公倍数为：[65,55,286]＝1430，

分母的最大公约数为：（168,189,525）＝21

这三个分数的最小公倍数为：

1430

21

.

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题4、甲、乙、丙三个滑冰运动员在一起练习滑冰。己知甲滑一圈时，乙、丙分别可以滑1

1

4

圈和1

1

6

圈。若甲、乙、丙三人同时从一点出发，甲滑多少圈后三人相遇？那时，乙、丙各滑了几圈？

解：题意要求甲滑多少圈后三人相遇，即要求时间的最小公倍数。

假设甲滑一圈花了1小时，则乙滑1圈要：1÷1

1

4

＝

4

5

（小时）；丙滑1圈要1÷1

1

6

＝

6

7

（小时）.

[1，

4

5

，

6

7

]＝12（圈），即甲滑12圈后三人相遇。

那时，丙滑的圈数：12×1

1

4

＝15（圈）；丙滑的圈数：12×1

1

6

＝14（圈）.

题5、苹果每个重

3

28

千克，梨每个重

5

24

千克。如果苹果和梨的重量相等，最少有多少个苹果，多少

个梨？

解：即要求

3

28

和

5

24

的最小公倍数。[

3

28

，

5

24

]＝

15

4

.

最少有苹果：

15

4

÷

3

28

＝35（个）；最少有苹果：

15

4

÷

5

24

＝18（个）

题6、在一个圆形花坛周围间种花卉。每隔24米栽米兰一株，每隔14.4米栽牡丹一株，每隔13

1

3

米

栽茶花一株，每隔2

2

3

米栽菊花一株。恰好在花坛的周围，四种花栽在一处的只有一次。花坛的周长多少

米？

解：求中四个数据的最小公倍数：[

24

1

，

72

5

，

40

3

，

8

3

]＝

360

1

所以，花坛的周长是360米。

题7、自行车赛场是一个圆环形的，一圈的长度为500米。甲、乙、丙三人同时从起点出发，速度分

别为9米／秒、15米／秒和12米／秒。问：他们至少各绕了多少圈后才能再次在起点相遇。

解：甲绕一圈需500÷9＝

500

9

（秒）；乙绕一圈需500÷15＝

100

3

（秒）；

丙绕一圈需500÷12＝

125

3

（秒）

[

500

9

，

100

3

，

125

3

]＝

500

3

（秒）

再次在起点相遇，甲至少要绕：9×

500

3

÷500＝3（圈）；乙至少要绕：15×

500

3

÷500＝5（圈）；

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丙至少要绕：12×

500

3

÷500＝4（圈）.

题8、三条圆形跑道，圆心都在操场中心的旗杆处，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈和外圈沿相同

方向跑步。已知里圈、中圈和外圈的跑道分别长200米、240米和400米，甲、乙、丙每分钟分别跑160

米、200米和300米。开始时，三个人与旗杆位于同一直线上。问；经过多长时间他们三人才能同时回到

出发点？

解：甲跑一圈需要的时间是：200÷160＝

5

4

（分）；乙跑一圈需要的时间是：240÷200＝

6

5

（分）；

丙跑一圈需要的时间是：400÷300＝

4

3

（分）

三人各跑一圈的时间的最小公倍数是：[

5

4

，

6

5

，

4

3

]＝

60

1

（分）

所以，经过60分钟他们三人才同时回到出发点。

题9、用

5

28

，

15

56

和1

1

20

分别去除某个分数所得的商均是整数，这个分数最小是多少？

解：题意是用这三个分数分别去除某个分数所得的商均是整数，即求一个最小分数被这三个分数分别

除，均得整数，可知，即求这三个分数的最小公倍数。

[

5

28

，

15

56

，

21

20

]＝

105

4

＝26

1

4

所以，这个分数最小是26

1

4

.

题10、金星绕太阳一周所需的时间是地球绕太阳一周所需时间的

45

73

。问：地球、金星、太阳两次位

于同一直线上间隔多少年？

解：金星绕太阳一周所需的时间是地球绕太阳一周所需时间的

45

73

，是以地球绕太阳一周所需时间为

单位“1”，所以，地球、金星、太阳两次位于同一直线上间隔的年数为

[

45

73

，1]＝

45

1

，即45年。

题11、如右图所示的四条圆形跑道，每条跑道的长都是

1

3

千米。A、B、C、D四人

同时从交点0出发，分别沿四个跑道跑步，他们的速度分别为每小时6千米、9千米、

12千米和15千米。问；从出发到四人再次相遇需要多长时间？

解：A跑一圈所需的时间是：

1

3

÷6＝

1

18

（小时）

B跑一圈所需的时间是：

1

3

÷9＝

1

27

（小时）

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C跑一圈所需的时间是：

1

3

÷12＝

1

36

（小时）

D跑一圈所需的时间是：

1

3

÷15＝

1

45

（小时）

四人跑一圈时间的最小公倍数是：[

1

18

，

1

27

，

1

36

，

1

45

]＝

1

9

（小时）

所以，从出发到四人再次相遇需要

1

9

小时。

题12、有一根长木棍上有三种刻度，第一种刻度线将本棍分成十等份，第二种刻度线将木棍分成十二

等份，第三种刻度线将木棍分成十五等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么，木棍总共被锯成多少段？

解：第一种刻度线将本棍分成十等份，每份长

1

10

，第二种刻度线将木棍分成十二等份，每份长

1

12

，

第三种刻度线将木棍分成十五等份，每份长

1

15

。

[

1

10

，

1

12

]＝

1

2

，即在木棍的每隔

1

2

的地方重叠一次；1÷

1

2

－1＝1（次）；

[

1

10

，

1

15

]＝

1

5

，即在木棍的每隔

1

5

的地方重叠一次，1÷

1

5

－1＝4（次）；

[

1

12

，

1

15

]＝

1

5

，即在木棍的每隔

1

3

的地方重叠一次，1÷

1

3

－1＝2（次）；

这跟木棍共有刻痕10－1＋12－1＋15－1＝34（道）

减去重叠的后，根据植树问题的电鱼段数的关系，因此共被锯成：34―1―4－2＋1＝28（段）

20、

1

50

、

15

56

、

11

20

、1分别去除某分数，所得的商都是整数，这个分数最小是。

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