虎克定律

广义胡克定律

§10.4空间应力状态及广义胡克定律

一、空间应力状态简介

当单元体上三个主应力均不为零时的应

力状态称为空间应力状态，也称为三向应力状

态。本节只讨论在已知主应力σ

1

、σ

2

、σ

3

的条

件下，单元体的最大正应力和最大剪应力。先

研究一个与σ

1

平行的斜截面上的应力情况，

如图10-16(a)所示。该斜面上的应力σ、τ

与σ

1

无关，只由主应力σ

2

、σ

3

决定。于是，

可由σ

2

、σ

3

确定的应力圆周上的点来表示平行

于σ

1

某个斜面上的正应力和剪应力。同理，

在平行于σ

2

或σ

3

的斜面上的应力σ、τ，也

可分别由（σ

1

、σ

3

）或（σ

1

、σ

2

）确定的应力

圆来表示。这样作出的3个应力圆称作三向应

力圆，如图10-16（d）所示。当与三个主应

力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力

必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内

的某一点D。D点的纵横坐标值即为该斜面上

的正应力和剪应力。由于D点的确定比较复杂

且不常用，在此不作进一步介绍。

二、最大、最小正应力和最大剪应力

从图10-16(d)看出，在三个应力圆中，

由σ

1

、σ

3

所确定的应力圆是三个应力圆中最大

的应力圆，又称极限应力圆。画阴影线的部分

内，横坐标的极大值为Al点，而极小值为B1

点，因此，单元体正应力的极值为：

σ

max

=σ

1

，σ

min

=σ

3

图10-16空间应力

单元体中任意斜面上的应力一定在σ

1

和σ

3

之

间。

而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl点

的纵坐标，即等于该应力圆半径：

13

max2









Gl点在由σ

1

和σ

3

所确定的圆周上，此圆

周上各点的纵横坐标就是与σ

2

轴平行的一组

斜截面上的应力，所以单元体的最大剪应力所

在的平面与σ

2

轴平行，且与σ

1

和σ

3

主平面交

450。

三、广义胡克定律

在研究单向拉伸与压缩时，已经知道了在

线弹性范围内，应力与应变成线性关系，满足

胡克定律

E

（a）

此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横

向线应变根据材料的泊松比可得出：

'

E





（b）

在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪

应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变

之间的关系服从剪切胡克定律，即

G或G





（c）

对于复杂受力情况，描述物体一点的应力

状态，通常需要9个应力分量，如图10.1所

示。根据剪应力互等定律，τ

xy

=－τ

yx

，τ

xz

=－τ

zx

，

τ

yz

=－τ

zy

，因而，在这9个应力分量中只有6

个是独立的。这种情况可以看成是三组单向应

力（图10-17）和三组纯剪切的组合。对于各

向同性材料，在线弹性范围内，处于小变形时，

线应变只与正应力有关，与剪应力无关；而剪

应变只与剪应力有关，与正应力无关，并且剪

应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改

变，而不会影响其它方向上的剪应变。因此，

求线应变时，可不考虑剪应力的影响，求剪应

变时不考虑正应力的影响。于是只要利用（a）、

（b）、（c）三式求出与各个应力分量对应的应

变分量，然后进行叠加即可。

图10-17

应力分解

如在正应力σx单独作用时(图

10-17(b))，单元体在x方向的线应变x

xxE



；

在σy单独作用时(图10-17(c))，单元体

在x方向的线应变为：y

xyE



；

在σz单独作用时(图10-17(d))，单元

体在x方向的线应变为z

xzE



；

在σx、σy、σz共同作用下，单元体在

x方向的线应变为：

1

()

xxxxyxz

y

xZ

xyzEEEE

















同理，可求出单元体在y和z方向的线应

变εy和εz。最后得

1

()

xxyzE







1

()

yyzxE







（10-9）

1

()

zzxyE







对于剪应变与剪应力之间，由于剪应变只

与剪应力有关，并且剪应力只能引起与其相对

应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向

上的剪应变。因而仍然是（c）式所表示的关

系。这样，在xy、yz、zx三个面内的剪应变

分别是

12(1)

xyxyxyGE









12(1)

yzyzyzGE









（10-10）

12(1)

zxzxzxGE









公式（10-9）和（10-10）就是三向应力状态

时的广义胡克定律。

当单元体的六个面是主平面时，使x、y、

z的方向分别与主应力σ

1

、σ

2

、σ

3

的方向一致，

这时有

1,2,3,

0,0,0,

xyzxyyzzx



广义胡克定律化为：

1123

1

()

E



2231

1

()

E



（10-11）

3312

1

()

E



0,0,0

xyyzzx



ε

1

、ε

2

、ε

3

方向分别与主应力σ

1

、σ

2

、σ

3

的方向一致，称为一点处的主应变。三个主应

变按代数值的大小排列，ε

1

≥ε

2

≥ε

3

，其中，ε

1

和ε

3

分别是该点处沿各方向线应变的最大值

和最小值。

四、体积应变

单位体积的改变称为体

积应变（体应变）。图10-18

所示的主单元体，边长分别是

dx、dy和dz。在3个互相垂直的面上有主应

力σ

1

、σ

2

和σ

3

。

单元体变形前的体积为:v=dxdydz;

变形后的体积为：v

1

=（dx+ε

1

dx)(dy

+ε

2

dy)(dz+ε

3

dz)

则体积应变为：

图10-18

1123

()()()vvvdxdxdydydzdzdxdydz

vvdxdydz









(1)(1)(1)1

xyz



3



略去高阶微量，得

123



（10-12）

将广义胡克定律式(10-11)代入上式，得到以

应力表示的体积应变

123123

12

()

E









（10-13）

令

123

1

()

3m



（10-14）

则

3(12)

mm

EK









（10-15）

式中：3(12)

E

K





称为体积弹性模量，σm称为平

均主应力。

公式（10-15）表明，体积应变θ与平均

主应力σm成正比，即体积胡克定律。单位体

积的体积改变只与三个主应力之和有关，至于

三个主应力之间的比例对体积应变没有影响。

若将图10-19（a）中所示单元体分解为

（b）和（c）两种情况的叠加，在（c）图中，

由于各面上的主应力为平均主应力，该单元体

各边长按相同比例伸长或缩短，所以单元体只

发生体积改变而不发生形状改变。

在图（b）中，三个主应力之和为零，由

式（10-13）可得其体积应变θ也为零，表明

该单元体只发生形状改变而不发生体积改变。

由此可知，图（a）所示的单元体的变形将同

时包括体积改变和形状改变。

五、复杂应力状态下的弹性变形比能

弹性变形比能是指物体在外力作用处于弹

性状态下，在单位体积内储存的变形能。在单

向应力状态下，当应力σ与应变ε满足线性关

系时，根据外力功和应变能在数值上相等的关

系，导出变形比能的计算公式为

1

2

u

在复杂应力状态下的单元体的变形比能

为

112233

1

()

2

u

将将广义胡克定律(10.11)式代入上式，经过

图10-19单元体应力的组

整理后得出：

1

1

()()()

2

u

E



222

123122331

1

2()

2E







（10-16）

式（10-16）就是在复杂应力状态下杆件的弹

性变形比能计算公式。由于单元体的变形包括

体积改变和形状改变，所以变形比能也可以看

成由体积改变比能和形状改变比能这两部分

的组合。

d

uuu





式中：u

为体积改变比能，d

u为形状改变比能。

对于图（10-19（c））中的单元体，各面上的

正应力为：123

1

()

3m

，将σm代入式（10-16）

得体积改变比能：

222222

1

2()

2mmmmmm

u

E







2

123

12

()

6E









（10-17）

形状改变比能：

2222

3

112

2()()

26d

uuu

EE













222

123122331

1

6E













222

122331

1

[()()()]

6E









（10-18）

例10-7如图10-20所示钢梁，在梁的A

点处测得线应变640010,

x

612010,

y

试求：A点

处沿x、y方向的正应力和z方向的线应变。

已知弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。

图10-20钢梁上某点A

的位置

解：因为A点的单元体上σz=0，该单

元体处于平面应力状态，将ε

x

、ε

y

、E、μ代

入公式（10-9），得

6

9

1

40010(0.3)

20010xy





6

9

1

120010(0.3)

20010yx





解得：σx=80MPa，σy=0

再由