有理数定义

有理数基本概念及运算

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（一）有理数的基本概念

1、正数和负数

（1）、大于0的数叫做正数。

（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。

（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

2、有理数

(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.

注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。

不是有理数；

(2)有理数的分类:①































负分数

负整数

负有理数

零

正分数

正整数

正有理数

有理数②



































负分数

正分数

分数

负整数

零

正整数

整数

有理数

(3)自然数＜====＞0和正整数；a＞0＜====＞a是正数；a＜0＜====＞a是负数；

a≥0＜====＞a是正数或0＜====＞a是非负数；a≤0＜====＞a是负数或0＜====

＞a是非正数.

3、数轴【重点】

（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求：

①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；

②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次

表示1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…

（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位

长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。

注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。

（4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a

个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

有理数基本概念及运算

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4、相反数

（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

①注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

②相反数的商为-1；

③相反数的绝对值相等。

（2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的

两侧，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。

（3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

相反数是它本身的数只有0。

（4）、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。

（5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反

数。

（6）、多重符号的相乘由“-”的个数来定：若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“-

“的个数为奇数，化简结果为负数。比如：-2×4×（-3）×（-1）×（-5），因为有4个负

号，所以最终结果是正数，再算绝对值的积，得到120.即：-2×4×（-3）×（-1）×（-5）

=+(2×4×3×1×5)=120.

5、绝对值

（1）、绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝

对值记作|a|。

（2）、正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0（或者说0的绝对值是它本身，或者说0

的绝对值是它的相反数）；负数的绝对值等于它的相反数；（注意：绝对值的意义是数轴上表

示某数的点离开原点的距离；）。0是绝对值最小的数。

（3）、绝对值可表示为：



















)0(

)0(0

)0(

aa

a

aa

a或













)0(

)0(

aa

aa

a；

（4）、

01a

a

a

；

01a

a

a

；

（5）、任何数的绝对值总是非负数（非负数是正数或0），即|a|≥0。

（6）、互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等。

（7）、有理数比大小：

①正数比0大，0大于负数，正数大于负数；

②两个负数比较，绝对值大的反而小；

③数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（8）、比较两个负数的大小的步骤如下：

①先求出两个数负数的绝对值；

②比较两个绝对值的大小；

③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

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（二）有理数的基本运算

6、有理数的加法

（1）、有理数加法法则【原创】：

①同号相同号，绝对值相加；

②异号取大号，绝对值相减；

③数与0相加，仍得这个数.

④一对相反数，其和等于0.

（2）、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。

（3）、有理数加法的运算律：

①加法的交换律：a+b=b+a；

②加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

（4）、为了计算简便，往往会采取以下方法：

①互为相反的两个数，可以先相加；

②符号相同的数，可以先相加；

③分母相同的数，可以先相加；

④几个数相加能得到整数，可以先相加。

7、有理数的减法

（1）、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.（有理

数减法运算时注意两“变”：①减法变加法；②把减数变为它的相反数.）

注：有理数的减法实质就是把减法变加法。

8、有理数的乘法

（1）、有理数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

②任何数同零相乘都得零；

（2）、一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。

（3）、乘积为1的两个数互为倒数；

注意：0没有倒数；若ab=1<====>a、b互为倒数。

（4）、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是

正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。

（5）、有理数乘法的运算律：

①乘法的交换律：ab=ba；

②乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

③乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.

有理数基本概念及运算

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9、有理数的除法

（1）、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

（2）、有理数除法符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任

何一个不等于0的数，都得0。

（3）、乘除混合运算的步骤：①先把除法转化为乘法；②确定积的符号；③运用乘法运算律

和乘法法则进行计算得出结果。

10、有理数的乘方

（1）、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，

n叫做指数。

（2）、an表示的意义是n个a相乘。如：2³=2×2×2=8

（3）、分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来。如：（1/2）²

（4）、负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来。

（5）、10的几次方，幂的结果中1后面就有几个0。如：105=100000

（6）、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数，0的

任何正整数次幂都是0。1的任何次幂都是1。-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是1。

11、科学记数法

（1）、把一个大于10数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，而且

1≤︱a︱＜10，n是正整数），使用的是科学计数法。

（2）、用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1。

例：240000000用科学计数法记为2.4×108

12、近似数

（1）、接近实际数字，但是与实际数字还是有差别，这个数是一个近似数。

（2）、精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。

（3）、利用四舍五入法得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

（4）、从一个数的左边的第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效

数字。

（5）、解题技巧：①近似数精确到哪一位，只需看这个数的最末一位在原数的哪一位。

②当四舍五入到十位或十位以上时，应先用科学记数法表示这个数，再按要求取近似数。

（6）、a×10n中有效数字是指a的有效数字。

13、等于本身的数汇总：

①相反数等于本身的数：0

②倒数等于本身的数：1，-1

③绝对值等于本身的数：正数和0

④平方等于本身的数：0,1

⑤立方等于本身的数：0,1，-1.