真假命题

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2019年高考总复习：命题的真假

1．下列命题中是假命题的是()

A．∃x∈R，log

2

x＝0B．∃x∈R，cosx＝1

C．∀x∈R，x2>0D．∀x∈R，2x>0

答案C

解析因为log

2

1＝0，cos0＝1，所以A、B项均为真命题，02＝0，C项为假命题，2x>0，

选项D为真命题．

2．(2018·广东梅州联考)已知命题p：∀x

1

，x

2

∈R，[f(x

1

)－f(x

2

)](x

1

－x

2

)≥0，则非p是()

A．∃x

1

，x

2

∉R，[f(x

1

)－f(x

2

)](x

1

－x

2

)<0

B．∃x

1

，x

2

∈R，[f(x

1

)－f(x

2

)](x

1

－x

2

)<0

C．∀x

1

，x

2

∉R，[f(x

1

)－f(x

2

)](x

1

－x

2

)<0

D．∀x

1

，x

2

∈R，[f(x

1

)－f(x

2

)](x

1

－x

2

)<0

答案B

解析根据全称命题否定的规则“改量词，否结论”，可知选B.

3．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(非

q)；④(非p)∨q中，真命题是()

A．①③B．①④

C．②③D．②④

答案C

解析若x>y，则－x<－y成立，即命题p正确；若x>y，则x2>y2不一定成立，即命题q

不正确；则非p是假命题，非q为真命题，故p∨q与p∧(非q)是真命题，故选C.

4．(2018·浙江临安一中模拟)命题“∃x

0

∈R，2x

0

<

1

2

或x

0

2>x

0

”的否定是()

A．∃x

0

∈R，2x

0

≥

1

2

或x

0

2≤x

0

B．∀x∈R，2x≥

1

2

或x2≤x

C．∀x∈R，2x≥

1

2

且x2≤xD．∃x

0

∈R，2x

0

≥

1

2

且x

0

2≤x

0

答案C

解析特称命题的否定是全称命题，注意“或”的否定为“且”，故选C.

5．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lgx－3}，则下列命题中真命题的个数是()

①∃m∈A，m∉B；②∃m∈B，m∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.

A．4B．3

C．2D．1

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答案C

解析因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lgx－3}，所以B＝{x|x>3}，

所以B是A的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选C.

6．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

答案D

解析否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.

7．已知命题p：∃x

0

∈R，mx

0

2＋1≤0；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，

则实数m的取值范围为()

A．{m|m≥2}B．{m|m≤－2}

C．{m|m≤－2或m≥2}D．{m|－2≤m≤2}

答案A

解析由p：∃x∈R，mx2＋1≤0，可得m<0；由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2

－4<0，解得－2

m≥0；若q是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m的取值范围为{m|m≥2}．故选A.

8．(2018·河北保定模拟)命题“∀x>0，

x

x－1

>0”的否定是()

A．∃x

0

<0，

x

0

x

0

－1

≤0B．∃x

0

>0，0≤x

0

≤1

C．∀x>0，

x

x－1

≤0D．∀x<0，0≤x≤1

答案B

解析命题“∀x>0，

x

x－1

>0”的否定为“∃x

0

>0，

x

0

x

0

－1

≤0或x

0

＝1”，即“∃x

0

>0，0≤

x

0

≤1”，故选B.

9．(2018·山东潍坊一模)已知p：函数f(x)＝(x－a)2在(－∞，－1)上是减函数，q：∀x>0，a

≤

x2＋1

x

恒成立，则非p是q的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案A

解析p：函数f(x)＝(x－a)2在(－∞，－1)上是减函数，所以－1≤a，所以非p：a<－1.

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q：因为x>0，所以

x2＋1

x

＝x＋

1

x

≥2x·

1

x

＝2，

当且仅当x＝1时取等号，所以a≤2.

则非p是q的充分不必要条件，故选A.

10．已知命题p

1

：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p

2

：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．

则在命题q

1

：p

1

∨p

2

，q

2

：p

1

∧p

2

，q

3

：(非p

1

)∨p

2

和q

4

：p

1

∧(非p

2

)中，真命题是________．

答案q

1

，q

4

解析p

1

是真命题，则非p

1

为假命题；p

2

是假命题，则非p

2

为真命题．

∴q

1

：p

1

∨p

2

是真命题，q

2

：p

1

∧p

2

是假命题．

∴q

3

：(非p

1

)∨p

2

为假命题，q

4

：p

1

∧(非p

2

)为真命题．

∴真命题是q

1

，q

4

.

11．若“∀x∈[0，

π

4

]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

答案1

解析∵∀x∈[0，

π

4

]，tanx∈[0，1]．∴m≥1，∴m的最小值为1.

12．命题“任意x∈R，存在m∈Z，m2－m

答案真

解析由于任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋

1

2

)2＋

3

4

≥

3

4

，因此只需m2－m<

3

4

，即－

1

2

3

2

，即

0≤m≤1，所以当m＝0或m＝1时，任意x∈R，存在m∈Z，m2－m

该命题是真命题．

13．(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假

命题，则实数a的取值范围是________．

答案(

1

2

，1)∪(1，＋∞)

解析已知函数f(x)＝a2x－2a＋1，命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，∴原命题的否

定是：“存在实数x

0

∈(0，1)，使f(x

0

)＝0”是真命题，∴f(1)f(0)<0，

即(a2－2a＋1)(－2a＋1)<0，

∴(a－1)2(2a－1)>0，解得a>

1

2

，且a≠1，

∴实数a的取值范围是(

1

2

，1)∪(1，＋∞)．

14．(2018·山东青岛模拟)已知命题p：∃x

0

∈R，使tanx

0

＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集

是{x|1

①命题“p且q”是真命题；

②命题“p且非q”是假命题；

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③命题“非p或q”是真命题；

④命题“非p或非q”是假命题．

其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)

答案①②③④

解析当x

0

＝

π

4

时，tanx

0

＝1，所以命题p为真；不等式x2－3x＋2<0的解集是{x|1

所以命题q也为真，故命题“p且q”是真命题，①正确；命题“p且非q”是假命题，②正

确；命题“非p或q”是真命题，③正确；命题“非p或非q”是假命题，④正确．

15．(2018·山东潍坊质检)已知命题p：∀x>0，2ax－lnx≥0.若命题p的否定是真命题，则实

数a的取值范围是________．

答案(－∞，

1

2e

)

解析命题p的否定是：∃x

0

>0，2ax

0

－lnx

0

<0，即不等式2ax－lnx<0有解．而不等式2ax

－lnx<0可化为2a<

lnx

x

，令g(x)＝

lnx

x

，则g′(x)＝

1－lnx

x2

，可得g(x)在x＝e处取得最大值

1

e

，

因此要使不等式2a<

lnx

x

有解，只需2a<

1

e

，即a<

1

2e

.

16．若命题“∃x

0

∈R，x

0

2＋(a－1)x

0

＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

答案(－1，3)

解析由“∃x

0

∈R，x

0

2＋(a－1)x

0

＋1≤0”为假命题，得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为

真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1

17．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x

1

∈[－1，2]，∃x

0

∈[－1，2]，使g(x

1

)＝f(x

0

)，

则实数a的取值范围是________．

答案(0，

1

2

]

解析由于函数g(x)在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x

0

∈[－1，2]，使得g(x

1

)

＝f(x

0

)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1，

3]，函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤

1

2

.又a>0，故a

的取值范围是(0，

1

2

]．

18．(2017·安徽毛坦厂中学模拟)已知命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a>0)，q：实数x

满足









x2－x－6≤0，

x2＋2x－8>0.

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

答案(1)(2，3)(2)(1，2]

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解析由x2－4ax＋3a2<0(a>0)，得a

即p为真命题时，a

由









x2－x－6≤0，

x2＋2x－8>0，

得









－2≤x≤3，

x>2或x<－4，

即q为真命题时，2

(1)a＝1时，p：1

由p∧q为真，得p，q均为真命题，

则









1

2

得2

所以实数x的取值范围为(2，3)．

(2)令A＝{x|a

由题意知，p是q的必要不充分条件，

所以









0

3a>3，

所以1

所以实数a的取值范围为(1，2]．

1．(2018·衡中调研卷)已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x

＋

4

x

的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(非q)；④(非p)∨(非q)．则其中

真命题的个数为()

A．1B．2

C．3D．4

答案C

解析由于Δ＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当

x<0时，f(x)＝x＋

4

x

的值为负值，故命题q为假，所以p∨q，p∧(非q)，(非p)∨(非q)是真

命题，故选C.

2．(2017·四川绵阳中学模拟)已知命题p：∃x∈[0，

π

2

]，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则

实数m的取值范围是________．

答案[－1，2]

解析令f(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋

1

4

)2－

9

8

，由于x∈[0，

π

2

]，所以cosx

∈[0，1]．于是f(x)∈[－1，2]，因此实数m的取值范围是[－1，2]．

3．已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1>0对∀x

∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求实数a的取值范围．

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答案(0，1]∪[4，＋∞)

解析∵y＝ax在R上单调递增，∴p：a>1.

又不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，

∴Δ<0，即a2－4a<0，∴0

而命题p且q为假，p或q为真，那么p，q中有且只有一个为真，一个为假．

(1)若p真，q假，则a≥4；

(2)若p假，q真，则0

所以a的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞)．

4．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”命题q：“∃x

0

∈R，x

0

2＋2ax

0

＋2－a＝0”，若

命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．

答案a≤－2或a＝1

解析由“p∧q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题，若p为真命题，a≤x2恒成立，

∵x∈[1，2]，∴x2∈[1，4]，∴a≤1.若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2

－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，综上所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.