凸函数的定义

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

题目：凸函数与极值

院（系）理学院

专业数学与应用数学

年级2009级

姓名哦哦学号********

指导教师啊啊啊职称副教授

2013年月日

毕业论文（设计）评语及成绩

论文类型：理论研究型

评语：

该论文的选题有一定的理论价值。本文主要观点正确，选题有一定的新意，论点正确、论据充分、

结构严谨、文理通顺、条理清晰、逻辑性强、写作格式规范、图表正确、清晰。所采用的资料可信度、

支撑度高。全文理论结合实际，对应用凸函数的性质求解极值问题做出了全面而深刻的分析和总结，反

映了该生较扎实的理论基础。本文对提高学生解题能力、培养创新能力具有一定的指导作用。符合本科

毕业论文的规范要求。

可以提交答辩。

指导教师（签字）

年月日

评语及评分

成绩：答辩委员会主席（签字）

年月日

院（系）学位评定委员会意见：

签字：

年月日

学校学位评定委员会意见：

签字：

年月日

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

承诺书

本人哦哦，哈尔滨学院理学院数学与应用数学

专业09—4班学生，学号：09031432。

本人郑重承诺：本人撰写的毕业论文《凸函数与极值》，

是个人的研究成果，数据来源真实可靠，无剽窃行为。

承诺人：董春

年月日

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

目录

摘要................................................................................................................................................................1

Abstract.........................................................................................................................................2

前言.............................................................................................................................................3

第一章凸函数的定义与性质.......................................................................................................4

1.1一元凸函数的定义与性质...........................................................................................................4

1.1.1一元凸函数的定义.............................................................................................................4

1.1.2一元凸函数的性质.............................................................................................................4

1.1.3一元凸函数的判定.............................................................................................................7

1.2多元凸函数的定义与性质...........................................................................................................9

1.2.1多元凸函数的定义.............................................................................................................9

1.2.2多元凸函数的性质...........................................................................................................10

1.2.3多元凸函数的判定...........................................................................................................10

第二章极值的定义与判别法.......................................................................................................14

2.1一元函数极值................................................................................................................................14

2.1.1一元函数极值的定义......................................................................................................14

2.1.2一元函数极值的判定......................................................................................................14

2.1.3可导凸函数极值问题....................................................................................................15

2.1.4一般凸函数极值问题......................................................................................................17

2.2多元函数极值..............................................................................................................................18

2.1.1多元函数极值的定义......................................................................................................18

2.1.2多元函数极值的判定......................................................................................................19

第三章凸函数与极值相关理论...............................................................................................22

第四章利用凸函数求解极值问题...........................................................................................24

4.1将极值问题转化为凸函数问题求解................................................................................24

4.2弓形面积的最值....................................................................................................................26

参考文献.......................................................................................................................................30

后记...........................................................................................................................................31

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1

摘要

本文第一章对凸函数的定义及性质问题作了简单的阐述。研究一元凸函数和多元凸函

数的定义，性质及其判定；刻画了凸函数极值点的分布规律，并将所得的结果推广到可导

严格凸函数和一般凸函数中。第二章介绍了极值的定义与判别法，从一元极值的定义与判

别法推出可导凸函数的极值问题以至推广到一般凸函数极值问题。第三章介绍了凸函数与

极值的相关理论为后续第四章的利用凸函数求解极值问题作了铺垫。

关键词：凸函数；严格凸函数；极值；最值

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2

Abstract

Theextremumproblemsandit`scorrespondingmaximumandminimumValue

Problemsofdifferentiableconvexfunctionarestudiedinthispaper，andthedistributionlawof

ainedresultcanbeextendedtothe

differentiablestrictlyconvexfunctionandthegeneralconvexfunction

Keywords:convexfunction;strictlyconvexfunction;extremevalue;maximumand

minimumvalue

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3

前言

函数的极值不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的重要特征。在现有

文献中，对一般可导函数的极值问题的研究已接近完善，得到了许多极值的充分条件，为

求解函数的极值与最值问题带来了极大的便利。但是对于凸函数的极值问题的讨论却鲜见

报道。为此，本文从凸函数的基本定义和性质出发，研究可导凸函数极值问题，探讨凸函

数极值的充分条件，并讨论相应的最值问题，以期揭示可导凸函数的极值点和最值点的分

布规律。

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jenn著作中，它在纯粹数学和应用

数学的众多领域具有广泛的应用，现已成为数学规划，对策论数理经济学，变分学和最优

控制学的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强他们在实践中的应用，产生了广

义凸函数。本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定及其应用，总结了凸函数的许

多重要性质，应用到实际问题中，结合正定矩阵在最优化的图规划和函数极值点问题的应

用，拓宽了凸函数极值问题的新领域。

凸函数是一类有着广泛应用的特殊函数，具有许多特殊的性质，它的最大值与最小值

有着一些特殊的性质，因此，探讨和总结凸函数的性质及应用能深刻理解和牢固掌握函数

的概念和性质，培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用。

本文共分四章，包括了凸函数定义及性质与极值的定义与判别法，凸函数与极值相关

理论和利用凸函数求解极值问题。

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4

第一章凸函数的定义与性质

1.1一元凸函数的定义与性质

1.1.1一元凸函数的定义

定义1]1[设函数xf在I上有定义，若1,0,

2,1

Ixx，总有



2121

11xfxfxxf1

或



2121

11xfxfxxf2

称xf为I上的凸函数（凹函数）。

定义2]1[在定义1中，若

12

xx，且不等式（1）（2）严格成立，则称xf为I上严

格凸函数（严格凹函数）。

我们给出了凸函数的定义，要证明它是严格凸函数唯一的条件是

12

xx，只要

12

xx那

么不等式（1）（2）就严格成立。

由定义1，定义2，容易证明：若函数xf为I上的凸函数，则1,0,

2,1

Ixx，

有



2121

11xfxfxxf

若0,

21

xx，则有0,

21

xx

那么1,0,

21

Ixx，



2121

11xfxfxxf

则



2121

11xfxfxxf

有



2121

11xfxfxxf

则函数-fx为I上的凹函数。由凸函数的定义我们很容易证明凹函数，由凸函数性

质及其相关问题，自然而然的就能推到凹函数中去。

1.1.2一元凸函数的性质

1.凸函数的运算性质

性质1设函数

)(xf

,)(xg在区间I为凸函数，则函数

)(xf

+

)(xg

在区间I也为凸函数。

我们在证明凸函数的运算性质时，知道函数

)(xf

,)(xg在区间I为凸函数，根据定义

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5

写出它的运算公式，函数

)(xf

+

)(xg

的和就是两个运算公式的和，在区间I上也是成立的，

证明过程如下：

证明：

Ixx

21

,

,

)1,0(,因函数

)(xf

,

)(xg

在区间I为凸函数，

从而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf

且

)()1()())1((

2121

xgxgxxg

从而

)]()()[1()]()([)])1(())1(([

22112121

xgxfxgxfxxgxxf

因此

)(xf

+

)(xg

在区间I也为凸函数。

推论1设函数

)(xf

,

)(xg

在区间I为凸函数，

21

,kk为非负实数,则)()(

21

xgkxfk也

为区间I上的凸函数。

根据性质1的证明：我们同样可以证明出推论1的结论。证明如下：

Ixx

21

,

,

)1,0(,因函数

)(xf

,

)(xg

在区间I为凸函数，

从而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf

且

)()1()())1((

2121

xgxgxxg

又因为

21

,kk为非负实数，所以有

)()(

21

xgkxfk=

211

1xxfk+

212

1xxgk



211

1xfxfk+

212

1xgxgk

因此)()(

21

xgkxfk在区间I也为凸函数。

性质2设函数

)(xf

,

)(xg

在区间I为凸函数，则

)}(),(max{xgxf

在区间I也为凸函数。

分析：利用凸函数的定义和两个函数最大值的性质可以证明)}(),(max{xgxf在区间I

也为凸函数。

证明：

Ixx

21

,

,

)1,0(,因函数

)(xf

,

)(xg

在区间I为凸函数，从而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf

且

)()1()())1((

2121

xgxgxxg

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6

令

)(xF

=

)}(),(max{xgxf

,则

)})1((),)1((max{))1((

212121

xxgxxfxxF

1212

1122

12

max{()(1)(),()(1)()}

max{(),()}(1)max{(),()}

()(1)()

fxfxgxgx

fxgxfxgx

FxFx













因此

)}(),(max{xgxf

在区间I也为凸函数。

性质3设函数

)(xf

,

)(xg

在区间

),(ba

为递增的非负凸函数，则

)()(xgxf

在区间

),(ba

也为凸函数。

分析：利用凸函数的定义和函数在区间的单调性可以证明

)()(xgxf

在区间

),(ba

也为凸

函数。

证明：

Ixx

21

,

,

)1,0(,因函数

)(xf

,

)(xg

在区间I为凸函数，从而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf

且

)()1()())1((

2121

xgxgxxg

从而

1212

22

11122122

22

1122

1122

((1))((1))

()()(1)[()()()()](1)()()

()()(1)()()

()()(1)()()

fxxgxx

fxgxfxgxfxgxfxgx

fxgxfxgx

fxgxfxgx

















可得，)()(xgxf在区间),(ba也为凸函数。

推论2

)(xf

为区间I上的凸函数，

k

为非负实数，则

)(xkf

也为区间I上的凸函数。

性质4设函数

)(xf

在

),(ba

区间为非负凸函数，则)(xfn在区间

),(ba

上也为凸函数。

利用不等式的性质和函数的连续可以证明)(xfn在区间

),(ba

上也为凸函数。

证明：

),(,

21

baxx

，因函数

)(xf

为非负凸函数，可知

)(xf

在x连续，且

0)

2

(21

xx

f



12

()()

2

fxfx

从而)(xfn在区间

),(ba

连续，

因Nn,0,ba有

()

2

n

ab

()

2

nnab

，

因此

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7

)

2

(21

xx

fn



[12

()()

2

fxfx

]n12

()()

2

nnfxfx

可知)(xfn在区间

),(ba

上也为凸函数。

性质5设函数

)(xf

在区间

),(ba

为凸函数，设函数

)(xg

在区间

),(dc

为单调增加凸函

数，且

)(xf

的值域A=),()},()({dcbaxxf，则

)]([xfg

在

),(ba

为凸函数。

证明：

Ixx

21

,

,

)1,0(,因函数

)(xf

,

)(xg

在区间I为凸函数，从而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf

且

)()1()())1((

2121

xgxgxxg

因此

121212

[((1))][()(1)()][()](1)[()]gfxxgfxfxgfxgfx

可知

)]([xfg

在

),(ba

为凸函数。

性质6设

)(xfy

在区间I为严格减少的凸函数，则反函数)(1yfx也为凸函数。

分析:根据凸函数的性质和反比例函数的性质，利用函数

)(xfy

在区间I上的单调性

可以证明反函数)(1yfx也为凸函数。

证明：因

)(xfy

在区间I上严格减少，从而存在反函数)(1yfx，设

A=})({Ixxfyy，

)1,0(.Ayy

21

,,则Ixx

21

,，使

)(),(

2211

xfyxfy

即

)(),(

2

1

21

1

1

yfxyfx

则

)(xfy

为凸函数，从而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf

=)]}()1()([{

21

1xfxfff

因为

)(xfy

严格减少。因此，

2121

1)1()]()1()([xxxfxff

即

)()1()(])1([

2

1

1

1

21

1yfyfyyf

因此，由定义知)(1yfx在A=})({Ixxfyy也为凸函数。

2.凸函数的积分性质

将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以

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8

得到许多好的结论。

性质7设

()fx

是

[0,)

上的凸函数,则

0

1

()()xFxftdt

x

为

(0,)

上的凸函数.

分析：利用凸函数的定义和求导公式可以证明

0

1

()()xFxftdt

x

为

(0,)

上的凸函

数。

证明：

()fx

为

[0,)

上的凸函数,因此它在

(0,)

内连续,

()fx

在

[0,]x

上有界.由此知

0

1

()()xFxftdt

x

有意义.

0x

,令

t

u

x



时

1

000

1

()()()xxtt

Fxftdtfxdfxudu

xxx











12

(0,1),,0xx，恒有

1

1212

0

[(1)]{[(1)]}Fxxfxxudu

=

1

12

0

[(1)]fxuxudu

1

12

0

[()(1)()]fxufxudu（因

f

的凸性）

12

()(1)()FxFx

所以F是

(0,)

上的凸函数.

性质8设函数()gx在[,]ab上递增,则(,),cab函数()()

x

c

fxgx为凸函数.

分析：利用函数的增减性不等式的性质可以证明函数

()()

x

c

fxgx为凸函数。

证明：因

()gx

递增,积分有意义.且

123

xxx。

2

1

21

2

2121

()()

1

()()x

x

fxfx

gxdxgx

xxxx









3

2

32

3232

()()

1

()x

x

fxfx

gxdx

xxxx









故()fx为凸函数.

1.1.3一元凸函数的判定

定理1]1[设函数xf为I上可导，则xf为I凸函数的充要条件是：

12

,,xxI总有



12112

xxxfxfxf



3

且当xf为I上的严格凸函数时，不等式（3）严格成立。

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9

定理

22

函数xf为I上的凸函数的充要条件是：总有,,,

2121

xxxIxx



xx

xfxf

xx

xfxf











2

2

1

14

且当xf为I上的严格凸函数时，不等式（4）严格成立。

定理

23

函数xf为I上的凸函数的充要条件是：总有,,,

2121

xxxIxx



2

12

1

1

12

2xf

xx

xx

xf

xx

xx

xf











5

且当xf为I上的严格凸函数时，不等式（5）严格成立。

定理4[11]设函数

)(xf

在开区间I可导，函数

)(xf

在区间I是凸函数（凹函数）

Ixx

21

,，且

21

xx,有

)()(

2

'

1

'xfxf（)()(

2

'

1

'xfxf）.

证明：只给出凸函数情况的证明，同法可证凹函数的情况。

必要性

)(

若函数

)(xf

在区间I是下凸函数，Ixx

21

,，且

21

xx，

21

:xxxx

由

1

1

)()(

xx

xfxf





2

2

()()fxfx

xx





（6）

有

1

1

)()(

xx

xfxf







2

2

)()(

xx

xfxf





已知函数在

1

x与

2

x都可导（当然也连续）。根据极限保号性定理分别有

lim

1

xx

1

1

)()(

xx

xfxf





lim

1

xx

2

2

)()(

xx

xfxf





即

'

1

()fx

21

21

)()(

xx

xfxf





与

1

1

)()(

lim

2xx

xfxf

xx







2

2

)()(

lim

2xx

xfxf

xx





即

12

12

)()(

xx

xfxf





)(

2

'xf

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10

于是

)(

1

'xf

21

21

)()(

xx

xfxf





=

12

12

)()(

xx

xfxf





)(

2

'xf

充分性

)(

Ixxx

21

,,,且

21

xxx.

根据微分中值定理,

221121

:,xxx,

有

1

1

)()(

xx

xfxf





=)(

1

'f

与

2

2

)()(

xx

xfxf





=)(

2

'f

已知)(

1

'f)(

2

'f，即

1

1

)()(

xx

xfxf





2

2

()()fxfx

xx





由（6）式知，函数在区间I是凸函数。

定理5[11]若函数

)(xf

在开区间I存在二阶导数，且

（1）

Ix

,有0)(''xf,则函数

)(xf

在区间I严格凸函数。

（2）Ix,有0)(''xf,则函数

)(xf

在区间I严格凹函数。

1.2多元凸函数的定义及性质

凸函数的概念可以从一元函数推广到多元函数，但是，这需要多元函数的定义域是凸

的。

1.2.1多元凸函数的定义

定义3[12]设集合nSR，若对于任意的

12

,xxS以及任意的(0,1)，有

12

(1)

a

xxxS

则称集合

S

是凸集。

由定义易知，S是凸集，当且仅当连接S中任意两点的线段在S中。

性质9[12]集合nSR是凸集的充要条件是对于任意自然数2n，若点

12

,,,

n

xxxS，则其非负线性组合

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11

1

n

kk

k

xS





其中0,

k

且

1

1

n

k

k





.

性质10[12]任意两个凸集的交集是凸集。

注1两个凸集的并集未必是凸集。

定义4[12]设,nABR，定义

},,{BbAabaccBA

性质11[12]设,()nABR是凸集，

,是实数，则

AB

是凸集。

定义5[12]设nSR是一非空凸集，

:fSR

，若对于任意的

12

,xxS及任意的

(0,1)

，有

1212

((1))()(1)()fxxfxfx

则称

)(xf

在集合

S

上是凸函数；若

1212

((1))()(1)()fxxfxfx

则称

)(xf

在集合

S

上是凹函数。

1.2.2多元凸函数的性质

定理6[12]设nSR是凸集，

:fSR

，则

)(xf

是凸函数当且仅当对于任意的自然数

2,,1,2,,,

k

nxSkn有

11

()()

nn

kkkk

kk

fxfx





其中

1

0,1

n

kk

k





.

定理7[12]设()

i

fx是凸集

S

上的凸函数，

1,2,,,in

又0,1,2,,

i

in，则

1

()()

n

ii

i

fxfx



是凸函数。

定理8[12]设:nfRR是凸函数，:RR是非减凸函数，则复合函数[()]fx是nR

上的凸函数。

1.2.3多元凸函数的判定

如果可行域是凸集，目标函数是凸函数，则所论的最优化问题是一个凸规划问题。那

么哪些函数是凸函数呢?最常见也是最简单的凸函数是变量)(

1





n

xxx的线性函数，例

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

12

如线性规划中的目标函数

nn

xcxcxcxcxcxc



44332211

，其中)......(

,1





n

ccc。需要指

出的是线性函数既是凸函数也是凹函数。

另一类常见的二次函数

cxbGxxxqTT

2

1

)(

cxbxgx

j

n

i

i

n

ji

jiji



11,

2

1

其中































nnnn

n

n

ggg

ggg

ggg

G









21

22221

11211

是n×n阶对称阵，即)(jigg

jiij

，),,(

1





n

xxx。Rcbbb

n





,),,(

1

。

G

为

xq的Hes矩阵。xxT

表示向量x的转置。

当矩阵G半正定时xq是凸函数；当G正定xq是严格凸函数；当G半负定时xq是

凹函数；当

G

是不定矩阵时，xq即不是凸函数也不是凹函数。

定理9设xf是定义在凸函数集D上的一阶可微连续函数，则xf是D上严格凸函

数的充分必要条件是：

)()()()(xyxfxfyfT，

yxDyx,,

。

利用凸函数的定义和泰勒展开式即可证明。

证明必要性：设xf是凸集D上的严格凸函数，则对任意的

Dyx,

和任意的

)1,0(，有

)()1()()1((xfyfxyf

由此得

)()(

)())((

xfyf

xfxyxf









（7）

由泰勒展开式有

)()()()())((xyoxyxfxfxyxfT

代入（7）式得

)()(

)(

)()(xfyf

xyo

xyxfT









两边也关于0取极限即

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

13

)()()()(xyxfxfyfT

充分性：设xf满足条件

)()()()(xyxfxfyfT，

对任意的

Dyx,

，取yxx)1(，

)1,0(由D是凸集知Dx，由条件得到：

DxxfxxxfxfT),()()()(（8）

DxxfxyxfxfT),()()()((9)

用乘以(7)式，用1

乘以(8)式后两式相加,得

)()1()())1(()()(yfxfxyxxfxfT.

由于yxx)1(，由上式即可得对

Dyx,

以及1,0有

)()1()())1((yfxfyxf

由严格凸函数是定义知，xf是凸集D上的严格凸函数。

定理10设xf是非空凸集nRD上的二阶连续可微函数，则若xf的Hes

矩阵)(2xf在D上正定，则xf是D上的严格凸函数。

证明：设xf的Hes矩阵)(2xf在D上正定，任取两不同点x,y∈D，

将xf在点x处展开，有

))(()(

2

1

)()(2xyfxyxyxfxfyfT

T（10）

其中Dxyx，

)1,0(，

由)(2xf在D上的正定性以及

xx

，yxx)1(，

)1,0(有

0))(()(2xxfxxT

代入(9)式即可得到：

)()(xyxfxfyfT

对任意不同的

Dyx,

成立，知xf是D上的严格凸函数。

根据这个定理就可以明白为什么前面所述的二次函数xq在nxn阶对称矩阵G正

定时是严格凸的，在G半正定时是凸的，在G负定时是严格凹的，在G半负定时是凹的。

例1判断122)(

121

2

2

2

1

xxxxxxf是否为凸函数。

解：方法一

由条件知，

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

14

1),()0,1(,

22

24

),(

2

1

)(

212121























xxxxxxxfTT

从而得到：在该二次函数xf中，























22

24

G

是正定的。所以xf是严格凸函数。

方法二

由条件得xf的Hes矩阵























22

24

2xf

是正定的，由定理，知xf是严格凸

函数。

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

15

第二章极值的定义及判别法

2.1一元函数极值

2.1.1一元函数极值的定义

定义1[2]一般地，设函数

)(xf

在点

0

x附近有定义，如果对

0

x附近的所有的点，都有

)()(

0

xfxf

就说)(

0

xf是函数

)(xf

的一个极大值，记作)(

0max

xfy，

0

x是极大值点。

定义2[2]一般地，设函数

)(xf

在点

0

x附近有定义，如果对

0

x附近的所有的点，都有

)()(

0

xfxf

就说)(

0

xf是函数

)(xf

的一个极小值，记作

min

y=)(

0

xf，

0

x是极小值点。

极大点和极小点统称为极值点;极大值与极小值统称为极值。

注1

（1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值

比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可

以不止一个。

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值。

（4）若

)(xf

在某区间内有极值,那么

)(xf

在某区间内一定不是单调函数,即在区间上

单调的函数没有极值。

（5）函数

)(xf

在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点

之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点。一般地,当函数

)(xf

在某区间上连续且有有限极值点时,函数

)(xf

在该区间内的极大值点与极小值点是

交替出现的。

（6）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数

取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

2.1.2一元函数极值的判定

定理1[2]（必要条件）设函数)(

0

xfy在点

0

x处可导，且在点

0

x处取得极值，则函

数

)(xf

在点

0

x的导数)(

0

'xf=0.

使导数为零的点（即方程0)('xf的实根），叫做

)(xf

的驻点。

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

16

注2

（1）可导函数的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点并不一定是它的

极值点。

例如，3xy,

0

'

x

y=0,但

0x

不是极值点。

（2）如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变

符号。

（3）不可导点也可能是极值点。

当我们求得函数的驻点后，还需要判定求得的驻点是不是极值。如果是，就要判定函

数在该点取得极大值还是极小值。

定理2[2]（第一判别法）设函数)(

0

xfy在点

0

x的近旁可导且)(

0

'xf=0.

（1）如果当

0

xx时，0)('xf；当

0

xx时，0)('xf；则

)(xf

在点

0

x取得极大

值。

（2）如果当

0

xx时，0)('xf；当

0

xx时，0)('xf；则

)(xf

在点

0

x取得极小

值。

定理3[2]（第二判别法）设函数

)(xf

在a存在n阶导数，且

0)()()()1('''afafafn,0)()(afn

（1）n是奇数，则a不是函数

)(xf

的极值点；

（2）

n

是偶数，则

a

是函数

)(xf

的极值点；

当0)()(afn时，

a

是函数

)(xf

极小点，

)(af

是极小值；

当0)()(afn时，

a

是函数

)(xf

极大点，

)(af

是极大值。

2.1.3可导凸函数的极值问题

定理4]1[设函数xf为开区间ba,上可导的凸函数，则bax,

0

为xf的极小值的充

要条件是0

0





xf

利用函数的最值得定义和费马定理可以得出此结论。

证明：必要性.设bax,

0

是xf的极小值点，又因为xf在点bax,

0

上是处处可

导的，可以根据费马定理知，0

0





xf

充分性.因为0

0





xf，则bax,，又因为

0

xx，根据定理1，知



0000

xfxxxfxfxf





哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

17

我们根据函数最值的定义，xf在

0

x处取得最小值。那么bax,

0

是内点，所以xf在

0

x

处取得极小值，且

0

x是xf的极小值点。

推论1设函数xf为开区间ba,上可导的凸函数，若

0

x是xf的稳定点，即存在

bax,

0

，使得

0

0





xf

则xf在

0

x处取得极小值，

0

x是xf的极小值点，进而xf在

0

x处取得最小值，

0

x是xf

的最小值点。

证明：因为函数xf为开区间ba,上可导的凸函数，所以存在bax,

0

上处处可导，

使

0

0





xf

那么bax,，xx，根据引理1有



0000

xfxxxfxfxf





根据函数最值的定义：xf在

0

x处取得最小值，又因为

0

x是xf的稳定点，所以xf在

0

x

处取得极小值，进而xf在

0

x处取得最小值，

0

x是xf的最小值点。

推论2设函数xf为开区间ba,上可导的凸函数，则bax,

0

，xf在

0

x处不取

得极大值。

证明：假设xf在bax,

0

处取得极大值，则由费马定理，0

0





xf。因为0

0





xf

所以xf在

0

x处取得极小值，

0

x是xf的极小值点与xf在bax,

0

处取得极大值矛盾，

所以函数xf为开区间ba,上可导的凸函数，则bax,

0

，xf在

0

x处不取得极大值。

推论3设函数xf为开区间ba,上可导的凸函数，则bax,

0

，xf在

0

x处不

取得最大值，即xf在ba,内不取得最大值。

证明：假设xf在bax,

0

处取得最大值，则由于bax,

0

是内点，所以xf在

0

x处

取得最大值，与推论2中函数xf为开区间ba,上可导的凸函数，则bax,

0

，xf在

0

x处不取得极大值矛盾，所以推论3成立。

推论4设凸函数xf

为闭区间ba,

上连续，在开区间ba,

上可导，则xf

在ba,

的端点ax或bx处取得最大值，且xf在ba,上的最大值

bfafM,max

证明：由于xf为闭区间ba,上连续，所以xf为闭区间ba,上可导，因此xf

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

18

为闭区间ba,上存在最值问题，根据最值性定理，xf在ba,上取得最大值。又根据推

理3，xf在ba,内不取得最大值，所以xf的最大值只能在ax或

bx

处取得，且xf

在ba,上的最大值为

bfafM,max

通过以上我们知：可导凸函数xf的稳定点即是xf的极小值点与最小值点。与此

同时，可导凸函数xf在ba,内部没有极大值点，从而在ba,内不取得最大值。

接下来我们讨论可导严格凸函数极值问题。有以下定理：

定理5设函数xf为开区间ba,上可导的严格凸函数，若

0

x是xf的稳定点，则

0

x

是xf在ba,上的唯一极小值点。

证明：函数xf为开区间ba,上可导的凸函数，若

0

x是xf的稳定点。即存在

bax,

0

使得

0

0





xf

则xf在

0

x处不取得极小值，

0

x是xf的极小值点，

0

x必是xf在ba,上的唯一极小值

点。如果不是的话，假设xf在ba,上另有一个极小值点

x



，不妨设xx





0

。则由函数极

值的定义，存在

2

0:0

xx



，当,

0

xx时，

0

xfxf；当,xx



时，

xfxf





现任取,

0

0

1

xx

，

,0

2

xx



，则有



01

xfxf，xfxf





2

从而



0

01

01





xx

xfxf

，



0

2

2









xx

xfxf

注意到xxxx





210

，且xf严格凸函数，因此由定理2，有





00

2

2

12

12

01

01























xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xfxf

产生矛盾。所以不存在另一个极小值x



，故

0

x是xf在ba,上的唯一极小值点。

推论5设函数xf为开区间ba,上可导的严格凸函数，且

0

x是xf的稳定点，

0

x是

xf在ba,上的最小值点。

证明：因为函数xf为开区间ba,上可导的严格凸函数，

0

x是xf的稳定点，根据

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

19

推论1知

0

x是xf的最小值点，即推论5成立。

定理5及其推论表明，可导的严格凸函数xf的稳定点必是xf在ba,上的唯一极

小值点，且是最小值点。定理5也告诉了我们可导凸函数与可导的严格凸函数的区别，就

是可导凸函数的极小值点（如果存在的话）可能有一个或者无穷多个，例如常量函数xf=c

是,上的可导的凸函数，它的定义域内每一点,x都是xf的极小值点。但

可导的严格凸函数的极小值点（如果存在的话）只能有一个。

2.1.4一般凸函数的极值问题

由于在凸函数的定义中并没有对函数xf作出连续性及可导性假设，因此一方面凸函

数可能是不连续的，进而也是不可导的。例如，若令函数

0,1

1,1

(){x

x

fx





则容易证明xf在1,1上是凸函数，但xf在1,1上分别是不连续和不可导的，另一方

面连续函数和可导函数也可能不是凸函数。例如3xxf在R上是连续且可导的，但xf

在R上不是凸函数。这样，当xf在I上不可导时，上述定理及其推论失效。尽管如此，

对于一般凸函数，有以下定理。

定理6设函数xf为开区间ba,内的凸函数，且不恒为常数，则xf在ba,内不

取得最大值。

由函数最值得定义和以上定理3的内容可以充分证明此结果。

证明：假设xf在bax,

0

处取得最大值

0

xf，则由函数最值的定义，baxx,,

21

，

201

xxx，有



10

xfxf，

20

xfxf

此时，不等式

10

xfxf与

20

xfxf至少有一个成立。否则，



210

xfxfxf

这与xf不恒为常数矛盾。于是由定理3，有



00

12

10

12

02

2

12

10

1

12

02

0

xfxf

xx

xx

xx

xx

xf

xx

xx

xf

xx

xx

xf









































产生矛盾。

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

20

2.2多元函数极值

2.2.1多元函数极值的定义

以二元函数为例

定义3]2[设函数z=f(x,y)在点

0

P),(

00

yx的某邻域内有定义，如果在该邻域内异于

点

0

P),(

00

yx的任何点P(x,y)，都有

f(x,y)

),(

00

yxf

（或f(x,y)

),(

00

yxf

）

则称

),(

00

yxf

为函数f(x,y)的一个极大值（或极小值），极大值和极小值统称为极值。

使函数取极值的点),(

00

yx叫函数的极值点。

2.2.2多元函数极值的判定

定理8]2[（极值的必要条件）设可导函数z=f(x,y)在点),(

000

yxP取得极值，则必

有

0000

(,)0,(,)0

xy

fxyfxy

我们称使

0000

(,)0(,)0

xy

fxyfxy和成立的点),(

00

yx为二元函数

(,)zfxy

的驻点。在偏

导数都存在的条件下，函数的极值点必为驻点。但函数的驻点不一定是极值点。

虽然函数的驻点不一定是极值点，但定理8为寻找可导函数的可能极值点划定了范围。

我们可以先把函数的驻点都找出来，再逐一加以判别。下面介绍一个判别二元函数极值的

充分条件。

定理9]2[（极值的充分条件）设函数(,)zfxy在点),(

000

yxP的某邻域内连续且有一

阶和二阶连续偏导数，点),(

000

yxP是函数z=f(x,y)的一个驻点，即

0000

(,)0,(,)0

xy

fxyfxy

记

000000

(,),(,),(,)

xxxyyy

AfxyBfxyCfxy

则有

（1）若B2－AC0,A0,则

),(

00

yxf

为函数z=f(x,y)的一个极大值；

（2）若B2－AC0,A0,则

),(

00

yxf

为函数z=f(x,y)的一个极小值；

（3）若B2－AC0,则

),(

00

yxf

不是函数z=f(x,y)的极值。

注意：当B2－AC=0时，函数z=f(x,y)在点),(

00

yx可能有极值，也可能没有极

值，需另行讨论。

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

21

为谈论二元函数f在点

000

,yxp取得极值的充分条件，我们假定f具有二阶连续

可微偏导数，并记







0

00

00

0

p

yyyx

xyxx

yyyx

xyxx

fff

ff

pfpf

pfpf

pH





































，

它称为f在

0

p的黑塞(Hes)矩阵为对称阵。

定理10(极值充分条件)设二元函数f在点

000

,yxp的某邻域

0

pU内具有二阶

连续偏导函数，且

0

p是f的稳定点，则当

0

pH

f

是正定矩阵时，f在

0

p取得极小值；当



0

pH

f

是负定矩阵时，f在

0

p取得极大值；当

0

pH

f

是不定矩阵时，f在

0

p不取极

值。

分析：利用反证法通过泰勒公式和函数在单位圆的性质证明极值问题。

证明：由f在

0

p的二级泰勒公式，并注意到条件0

00

pfpf

yx

，有



0,0

,yxfyxf22

0

,,,

2

1

yxoyxpHyx

f







其中

0

xxx，

0

yyy。

由于

0

pH

f

正定，所以对任何0,0,yx，使二次型

0,,,

0





yxpHyxyxQ

f

，

因此存在一个与

yx,

无关的q，事实上因为

22/,yxyxQ

vupHvu

f

,,

0

vu,，

其中22/yxxu，22/yxyv。

显然vu,是vu,的连续函数。由于122vu，因此中在单位圆122vu上必有最

小值

02q

。又因0,0,vu，故q>0。使得

22,2,yxqyxQ。

从而对于充分小的

0

pU，只要

0

,pUyx，就有

2222

00

,,,,yxoyxqyxfyxf01,22oqyx

即f在点

00

,yx取得极小值。

同理，可证

0

pH

f

为负定矩阵时f在

0

p取得极大值，再用反证法证明，当

0

pH

f

不定时，

f在

0

p不取极值。

例1求出函数1632

2121

2

1

3

1

xxxxxxxf的稳定点，其中哪一点是极小值点?

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

22

哪一点是极大值点?有没有既不是极大值点又不是极小值点?

解：由方程组















06126

06121266

221

2

1

2

2

2211

2

1

2

1xxxxf

xxxxxxf

x

x

得到f的稳定点0,0

1

p；1,0

2

p；1,1

3

p；0,1

4

p。

由于

21

12612

11

xxf

xx

，61212

21

21

xxf

xx

，61212

21

12

xxf

xx

，

1

12

22

xf

xx

























06

66

1

pH

f

是不定矩阵，所以f在0,0不能取得极值。























06

66

2

pH

f

是不定矩阵，所以f在1,0不能取得极值。























126

66

3

pH

f

是负定矩阵，所以1,1是f的极大值点。

























126

66

4

pH

f

是正定矩阵，所以0,1是f的极小值点。

所以xf的所有稳定点为0,0；1,0；1,1；0,1。其中0,1是xf的极小值点，1,1

是xf的极大值点，0,0与1,0既不是xf的极大值点也不极小值点。

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

23

第三章凸函数与极值相关理论

众所周知，有界闭区域上的连续函数一定能够取到最大值与最小值，但最大值点与最

小值点可能在区域的任意点。但是对于凸函数来说，它的最大（小）值有着一些特殊的性

质。

定理1[12]设nSR是一非空有界闭凸集，

:fSR

是凸函数。

（ⅰ）若

0

x是

)(xf

在

S

上的局部极小值，则

0

x是

)(xf

在

S

上的最小值；

（ii）若

)(xf

是严格凸函数，则它在

S

上的最小值点是唯一的。

证明：（i）若

0

x是

)(xf

的一个局部极小值点，则存在

0

x的一个邻域

0

(,)Nx

，对于

0

(,)xNx，有

0

()()fxfx.

1

,0<<1,xS有充分小的，使得

010

)(,)xxNx（1-

从而有

000

((1))()fxxfx

又由

)(xf

是凸函数，故有

001

()(1)()()fxfxfx

移项即可得，

01

()()fxfx，故

0

()fx在

S

上取最小值；

（ii）假设

)(xf

在

S

上的两点

0

x,

1

x取到最小值，即

01

()()min{()}fxfxfxxS.

因S是凸集，故对于

01

(0,1),(1)xxS.

又由

)(xf

是严格凸的，则有

01010

((1))()(1)()()fxxfxfxfx

这与

0

()fx在

S

上取最小值矛盾。

定理2[12]有界闭凸集

S

上的凸函数

)(xf

必在

S

的边界S上取到最大值。

证明：设

00

,()max{()}nxSRfxfxxS，

若

0

xS则定理得证；否则，

0

xS的内点，过

0

x任做一“直线”，由有界闭凸集的性质，

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

24

该“直线”必与边界S交于两点，设为

12

,xx,于是存在正数,1且.

由假设知

1020

()(),()()fxfxfxfx

故

若

20

()()fxfx，则

010

()()()fxfxfx

即

01

(1)()()fxfx

从而有

01

()()fxfx，这与点

0

x为最大值点矛盾，故

20

()()fxfx.

同理

120

()()()max{()}fxfxfxfxxS.

定理3[12]设nSR为有界凸多面体，

12

,,,

N

xxx为S的顶点，

)(xf

为S上的凸函数，

则

)(xf

的最大值必在

S

的顶点上取到，即

max{()}max{()1}

i

fxxSfxiN

证明：由定理2知，存在

0

xS,使

0

()max{()}fxfxxS

设

0

x在S的某一侧面



上，则



的顶点是S的顶点中的一部分。若

0

x是



的顶点，则结论

已成立；若

0

x不是



的顶点，设

1

x，…，

m

x是



的顶点，则存在

112

0,,0,1

mm



且

011mm

xxx

由

)(xf

的凸性知，

00

11

()()()()

mm

iiii

ii

fxfxfxfx





由此可知

0

()(),1,2,,.

i

fxfxim

01212

()()()()fxfxxfxfx

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

25

注1若

)(xf

是凹函数，则

)(xf

在凸多面体上的最小值必在该多面体的顶点得到。

推论1若

)(xf

是有界凸多面体nSR上的线性函数，则

)(xf

的最大值，最小值都在

该多面体的顶点上取到。

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

26

第四章利用凸函数求解极值问题

4.1将极值问题转化为凸函数问题求解

例1[13]在条件11116xxyy的约束下，求函数

2

(,)sin

4

xy

fxy



的最

大值和最小值。

解：约束条件在xy平面上构成一个八边形（如图4-1）。

y

x

(1,-2)

(2,-1)

(2,1)

(1,2)

(-1,2)

(-2,1)

(-2,-1)

(-1,-2)

图4-1

先考虑函数

2

(,)

4

xy

gxy



,由于2x是一元凸函数，

222

1212

[(1)](1)xxxx

而y是线性函数，所以

2

1212

1122

22

1122

1122

[(1)][(1)]

[(,)(1)(,)]

4

(1)(,)(1)(,)

44

xxyy

gxyxy

xyxy

gxygxy















有

(,)18

5

max(,)max(,)(2,1)

4ii

xyDi

gxygxyg



，

又由于

5

,

42



sinx在,

22











上单调增，所以

2

(,)

5

maxsinsin.

44xyD

xy







至于最小值，我们注意到当x的绝对值越小，y的值越小，(,)gxy越小，故

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

27

2

1

)2,0(),(min

),(





gyxg

Dyx

再由sinx的单调性，有

(,)

1

min(,)sin

2xyD

fxy





.

注意，

(,)fxy

的极小值点不在八边形的顶点集上。

例2[12]已知,xy满足下列不等式

270,43120,230xyxyxy

求22(,)fxyxy的最大值和最小值。

解：约束条件构成

(,)xy

的区域为下图（4-2）中以

5

(9,8),(2,),(3,0)

2

ABC

为顶点的三

x

y

H

C(3,0)

B(-2,5/2)

A(9,8)

O

图4-2

角形闭域

S

.

我们来证明

(,)fxy

是

S

上的下凸函数。对于任意的

112222

(,)(,)MxyMxy与，

2211

(,)(,)xyAxy2

2

x

y







=22

22

2()0xy

可知(,)fxy是S上的下凸函数。可得

max{(,)(,)}max{(),(),()}()(9,8)145fxyxySfAfBfCfAf

为求min{()}fMMS,首先注意到，对于,()MSfM表示点M到坐标原点的距离，故

22

3

3

min{()}

5

12

fMMSOH







哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

28

从而得

9

min{(,)(,)}

5

fxyxyS

4.2弓形面积的最值

下面我们通过一个例题来研究求弓形面积的最值问题。

例3求抛物线axy42与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值。

解法1：弦方程法:

图4-3

设过焦点0,a的弦的方程为

akyx

与axy42联立

解这个方程

akyay42

122

1

kkay，

122

2

kkay

且

21

yy，这样就有了弦与抛物线围成的弓形的面积为

dy

a

y

akysy

y















2

14

2

2

1

122

32

y

ya

y

ay

ky



















3

1

3

212

2

1

2

212

1

2

yy

a

yyayy

k



我们把

1

y和

2

y的值代入

2

3

221

3

8

kas

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

29

通过这个得式我们观察到：当

0k

时弓形面积最小，最小面积为2

3

8

a

。

解法2：极坐标方程法

取0,a为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则抛物线axy42的极坐标方程为

2224cos4sinaapp

化简得

cos1

2





a

p

过焦点的弦的极坐标方程为0,a

，这样我们就可以得到弦与抛物线围成的弓形

面积为









d

a

sa

a

2

2

cos1

4

2

1











daa

a

2

sin4

1

2

4

2

)

2

(

2

csc42



daa

a

2

cot)

2

cot1(22



daa

a





a

a

a|)

2

cot

3

1

2

(cot-32

)

2

cot

3

1

2

cot

2

tan

3

1

2

(cot332

aaa

a



)

2

cos

2

sin

)

2

(cos)

2

(sin

3

1

2

cos

2

sin

1

(

33

3232

2

aa

aa

aa

a





)

sin3

cos31

sin

1

(2

3

2

2

a

a

a

a





a

a

3

2

sin3

8



当

2



a时，弓形的面积最小，那么它的最小面积是2

3

8

a

。

解法3：解法1和解法2综合法

我们将解法1和解法2结合起来，也就是说先在极坐标系下判定何时面积最小，然后

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

30

在直角坐标系下求得面积。

由解法2，我们得到的面积







d

a

sa

a





2

2

cos1(

4

2

1

）

2

2

)

cos1

2

2

1

-

cos(1

2

2

1

a

a

a

a

da

ds

















（

）

令

0

da

ds

时，得

2



a

由于驻点唯一，所以当过焦点的直线垂直x轴时，弓形面积最小。此时的最小面积为：

dxaxsa

0

42

ax

a

0

2

3

|

3

8

2

3

8

a

从以上我们可以看出：无论哪种解法，我们计算起来都有一定的难度，我们通过例题

所描述的问题推广到一般的情形，同时也给出了不同的解法。

结论：设

),(),(yygx

是一光滑凸函数，),(

00

yx是曲线右侧的一个定点，试

求过),(

00

yx且与曲线

)(ygx

相交的诸弦中，与曲线所围成的弓形面积最小的弦的位置。

解如图4-4，设过点),(

00

yx的弦的方程为

00

)(xyykx，它与曲线

)(ygx

交点

的纵坐标为)(

11

kyy，)(

22

kyy，不妨设

21

yy

于是我们就得到了弦对应的弓形的面积为

dyygkyxkysky

ky)(

)

00

2

1

)(

（

dyygykyxy

kky

ky

ky

ky

)(|)(

2

)(

)(

)(

)(00

22

1

2

1

















dyygkykykyx

kykkykky

ky

)()()()(

2

)()()(

)(

1200

2

1

2

22

1































)()()()(

2

)()(

dk

ds

1122

2

1

2

2kykykykyk

kyky

)(-)()()(-

1200120

kykykyxkykyy



）（

)()((

1122

kykygkykyg







））（



)(-

2

)(

120

2

1

2

2kykyy

kyky

）（

）（







)()(

10012002

kykyxkkykykyxkky







）（）（

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

31

)()((

1122

kykygkykyg







））（

因为在曲线与弦的交点有



0011

)(xyykyg，

0022

)(xyykyg

所以



)(-

2

)(

120

2

1

2

2kykyy

kyky

dk

ds

）（

）（









2

)(2

01

2

02

ykyyky



）（

令

0

dk

ds

得：2

01

2

02

)(ykyyky）（



2

))

))

12

0

0102

kyky

y

ykyyky

（（

（（







图4-4

这就是说，当点),(

00

yx为弦的中点时，所形成的弓形的面积最小。

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

32

参考文献

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[5]刘文武.凸函数的一个等价性质[J].数学的实践与认识，2010,40（13）：153-159

[6]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002:281

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[8]陈子春，刘鹏惠.一道面积题的求解方法[J].高等数学研究，2006（6）：33-34

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[12]高夯：《高观点下的中学数学》第214-225页，高等教育出版社，2001.3

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[14]史树中：《凸分析》，上海科学技术出版社。

[15]傅远德：《线性规划与整数规划》，成都科技大学出版社。

[16]胡炳生：《现代观点下的中学数学》，高等教育出版社。

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

33

后记

本篇论文是在我的指导老师黄永辉老师的悉心指导下完成的。她治学严谨，工作精

益求精，在写论文的这段时间给我以精心指导，在此谨向黄永辉老师致以诚挚的谢意和

崇高的敬意，也感谢在这四年的大学生活中辛勤培养过我的各位老师。我还要感谢在最

后论文排版的时候给予我帮助的同学们，正是由于你们的帮助，我才能顺利地完成论文

的最后收尾工作。

最后，再次对帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！