任意角的概念

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任意角的概念与弧度制

1、角的概念的推广：

角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照

逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任

意角的概念与弧度制

1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

正角:按逆时针方向旋转所形成的角.

负角:按顺时针方向旋转所形成的角.

零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.

要点诠释：

角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个

角，从而得到正角、负角和零角的定义.

2.终边相同的角、象限角

终边相同的角为

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我

们就说这个角是第几象限角.

要点诠释：

(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；

(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.

3、终边相同的角与象限角：

与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边

与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．

知识点二：弧度制

弧度制

(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略

不写).

(2)弧度与角度互换公式：

1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)

(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，

扇形面积公式：.

要点诠释：

(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地,正角的弧度数

是

一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

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(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.

3、弧度制的概念及换算：

规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”

或“rad”可以略去不写.

在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则

所以，rad，(rad)，1(rad).

4、弧度制下弧长公式：

；弧度制下扇形面积公式.

类型一：象限角

1．已知角；

(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；

(2)集合，,那么两集合的关系是什

么？

解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，

则令，

得

解得，从而或

代回或.

(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集

合;

而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的

集

合，从而：.

总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列

出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.

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2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?

思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几

何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依

次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域

即为(n∈N*)的终边所在的区域.

解法一：因为是第三象限角，所以，

∴，

∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；

当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，

当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，

故为第一、三、四象限角.

解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依

次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，

则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边

所在的区域.

由图可知，是第一、三、四象限角.

总结升华：

(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；

(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.

举一反三：

【变式1】集合，，则()

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A、B、C、D、

【答案】C

思路点拨：(法一)取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4

(法二)在平面直角坐标系中，数形结合

(法三)集合M变形，

集合N变形，

是的奇数倍，是的整数倍，因此.

【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.

解析：为第三象限角，

当时，此时在第二象限.

当时，此时在第四象限.

综上可知：

类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题

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3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧

度？合多少度？扇形的面积是多少？

解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是

依题意，得

≈≈

总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当

用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：

举一反三：

【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并

求出这个扇形的最大面积.

思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.

解：设扇形的半径为，则弧长为，

于是扇形的面积

当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.

故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.

总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数

表达式，进而求解.

1、角度制与弧度制的互化：(1)；(2).

解：为第三象限；为轴上角

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为第二象限；为第三象限角

小结：[1]用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“”；

[2]角度制化弧度时，分数形式，且“”不取近似值.

2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：

(1)第一象限角；(2)锐角；(3)小于的角；

(4)终边与角的终边关于轴对称的角；(5)终边在直线上的角.

解：(1)或；

(2)或；

(3)或；

(4)分析：因为所求角的终边与角的终边关于轴对称，可以选择代表角，因此问题转

化

为写出与角的终边相同的角的集合即；

(5)或.

注意：角度制与弧度制不能混用！

3、若是第二象限角，则是第几象限角？反之，是第二象限角，是第几象限角？

解：若是第二象限角，则，

两边同除以2，得

当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角

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反之，若是第二象限角，则

两边同乘以2，得

所以是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴上角.

注意：数形结合.